Физические основы механики

В. К. Воронов В. И. Щепин ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ КУРС ЛЕКЦИЙ для бакалавров инженерно-технических специальностей ИРКУТСК 2014 5 Оглавление ЛЕКЦИЯ I ................................................................................................................. 8 Предмет физики ...................................................................................................... 8 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ..................... 10 КИНЕМАТИКА.................................................................................................... 10 Перемещение и скорость. ................................................................................... 11 Ускорение............................................................................................................... 14 ЛЕКЦИЯ 2 .............................................................................................................. 16 Ускорение при криволинейном движении ..................................................... 16 Искусственные спутники Земли ....................................................................... 21 ДИНАМИКА ......................................................................................................... 22 Первый закон Ньютона ...................................................................................... 23 Масса и импульс тела .......................................................................................... 25 Закон сохранения импульса ............................................................................... 26 ЛЕКЦИЯ 3 .............................................................................................................. 28 Второй закон Ньютона ........................................................................................ 28 Третий закон Ньютона ........................................................................................ 28 Контактные силы (силы реакции) ................................................................... 30 Трение ..................................................................................................................... 32 Упругие силы ........................................................................................................ 33 Сила тяжести и вес тела...................................................................................... 34 Применение законов Ньютона .......................................................................... 35 ЛЕКЦИЯ 4 .............................................................................................................. 40 Закон всемирного тяготения.............................................................................. 40 Принцип эквивалентности................................................................................. 42 6 Работа, энергия и мощность .............................................................................. 43 Кинетическая энергия ......................................................................................... 46 Потенциальная энергия. Консервативные силы .......................................... 48 ЛЕКЦИЯ 5 .............................................................................................................. 50 Гравитационная и потенциальная энергия .................................................... 50 Потенциальная энергия пружины .................................................................... 51 Закон сохранения механической энергии ....................................................... 51 ЛЕКЦИЯ 6 .............................................................................................................. 60 Вращательное движение ..................................................................................... 60 Кинематика вращательного движения ........................................................... 60 Векторное произведение ..................................................................................... 62 Момент импульса. Момент силы ...................................................................... 63 Сохранение момента импульса ......................................................................... 65 Центр масс ............................................................................................................. 68 Момент инерции твердого тела. ........................................................................ 70 ЛЕКЦИЯ 7 .............................................................................................................. 74 Элементы специальной теории относительности. ........................................ 74 Принцип относительности Галилея. ................................................................ 74 Постулаты Эйнштейна........................................................................................ 76 Преобразования Лоренца ................................................................................... 77 ЛЕКЦИЯ 8 .............................................................................................................. 79 Следствия из преобразований Лоренца ........................................................... 79 7 Лекция I ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ Каждый, кто хочет понять мир, в котором он живет, или попытаться изменить его, не может обойтись без науки и научных основ современной техники. Образованному человеку недостаточно знать только законы Ньютона и иметь простейшие сведения о тяготении и электричестве. Он должен быть знаком с новыми концепциями, возникшими в науке. В развитии физики можно, до некоторой степени произвольно, выделить три периода: классический, новый и современный. К концу XIX в. были подробно изучены такие разделы физики, как механика, термодинамика, электромагнетизм, оптика и гидродинамика. Разработка теории этих разделов казалась в основных чертах завершенной, так что в дальнейшем вряд ли можно было ожидать каких-либо новых важных открытий. Совокупность этих разделов физики принято называть классической физикой. В самом конце XIX в. и на протяжении первых трех десятилетий XX в. в физике был сделан ряд удивительных открытий. Выло обнаружено явление радиоактивности, которое в дальнейшем стало использоваться для исследования строения атома. Создание теории относительности заставило пересмотреть прежние взгляды на пространство и время. Попытки описать строение атома, привели к созданию квантовой теории. Этот период, на протяжении которого изменился весь характер физических исследований, принято называть эрой новой физики. В 30-х годах прошлого века впервые наблюдалось радиоизлучение звезд, были открыты нейтрон и деление атомных ядер, была обнаружена элементарная частица, не являющаяся составной частью атома. Эти открытия привели к накоплению огромного количества результатов в новых областях физики, и это продолжает происходить и в настоящее время. Подобное развитие физических исследований, следствием которых явились дальнейшие открытия и возникновение новых идей, привело к созданию современной физики. Физика - наука о наиболее простых, общих свойствах материи. Физика, наряду с другими науками, изучает свойства окружающего нас мира, строение и свойства материи, законы взаимодействия и движения материальных тел. Почему физика столь важна, какую пользу она приносит? Конечно, физика не создает новых зданий или новых транспортных средств, не лечит болезни и не улучшает удобства наших квартир. Физика расширяет наши знания о вселенной, о ее составных элементах и их поведении. Архитекторы и инженеры, строящие дома и создающие авиацию, постоянно пользуются законами механики, установленными физиками. Многие из применяемых в современной медицине методов диагностики и терапии были разработаны в физических лабораториях. Холодильная техника, радио, телевидение - это результаты открытий, сделанных физиками. Открытие транзистора, сделанное в лаборатории физики твердого тела, привело к новой эпохе в электронике, а также к увеличению ро8 ли вычислительных машин в научных исследованиях и повседневной жизни. Если бы не было постоянного притока новых идей из физики, то не было бы и грандиозной современной техники, а уровень технического развития оставался бы застывшим и примитивным. Таким образом, физика теснейшим образом связана с техникой, и именно в этой связи наиболее ярко проявляется та важная роль, которую физика играет в обществе. Хотя вклад физики в технику совершенно очевиден, имеется еще одна не менее важная причина столь большого значения физики. Человек живет не только достижениями техники, повышающими его материальный жизненный уровень, для постоянного развития человека огромную роль играют интеллектуальные стимулы. В физике, как в любой другой области науки, проявляется деятельность человеческого разума подобно тому, как это имеет место в истории, философии, музыке и т.д. Человек всегда обладал неистощимой любознательностью. Физика предоставляет ему возможность испытывать приключения в неизведанной области. Физика бросает ему вызов в виде новой задачи, позволяет испытывать волнение при разработке новой идеи и интеллектуальное удовлетворение, когда последняя задача наконец решена. Прежде чем приступить к серьезному обсуждению какого-либо вопроса, в особенности научного, мы должны установить общую терминологию, т.е. определить язык, которым следует пользоваться. Так как физика - наука экспериментальная, в которой результаты наблюдений и предсказания теории могут быть всегда сведены к числам, языком физики является математика. Поистине замечателен тот факт, что результаты математических вычислений можно сопоставить с реальным миром. Математика, в конечном счете, представляет собой изобретение человеческого разума, не требующее для своего обоснования физической реальности, тогда как физика целиком основана на экспериментальных фактах. Почему же в таком случае математика прекрасно подходит для описания физического мира? Мы не можем дать ответа, однако применение математического аппарата в физике оказалось столь плодотворным, что мы редко задумываемся над этим вопросом и продолжаем использовать испытанное оружие - математику. Предлагаемый курс лекций по физике начнем излагать с механики, простейших форм движения - перемещение материальных тел, т.е. изменение их взаимного расположения в пространстве с течением времени. 9 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ КИНЕМАТИКА Раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве и времени без рассмотрения вызывающих это движение взаимодействий, носит название кинематики. Движущееся тело обладает определенными размерами - протяженностью в пространстве. Движение также происходит в какой-то части пространства, размер которой мы называем масштабом движения. Если размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с масштабом движения, то это тело принято считать материальной точкой. Понятие материальной точки есть научная абстракция. Она позволяет отвлекаться (абстрагироваться) от всех несущественных для данного движения свойств тел, как например, его размеров, строения, изменений внутреннего состояния. Введенное понятие материальной точки оказывается полезным и при рассмотрении протяженных тел, которые можно рассматривать как системы материальных точек. Изучая более подробно внутренние свойства конкретных тел, мы можем прийти к понятию твердого тела - как системы жестко связанных между собой материальных точек; упругого тела - как системы точек, способных к небольшим относительным смещениям; газа - как системы несвязанных, свободно движущихся материальных точек. Таким образом, движение в механике рассматривается как перемещение отдельных материальных точек или систем материальных точек в пространстве с течением времени. При этом первостепенной задачей является изучение кинематических характеристик движения одной материальной точки. Для этого необходимо иметь систему отсчета положений материальной точки. Таковой является система координат, связанная с произвольно выбранным материальным телом, которое называется телом отсчета. Y M  r  y O X x  z Z Рис.1.1. Прямоугольная система координат OXYZ 10 В качестве примера возьмем прямоугольную систему координат ОХYZ (рис.1.1). Положение точки М в этой системе координат характеризуется тремя координатами, которые обозначены через X – абсцисса, Y – ордината, Z – аппликата точки М (X, У, Z). Эти три отрезка являются проекциями радиусавектора OM  r , проведенного из начала координат в точку М (r). Вместо координат X, У, Z радиус-вектор r можно характеризовать в пространстве и иначе, задав его длину r и два угла: θ между радиус-вектором r и осью OY; γ – между проекцией r на плоскость XOZ и осью OZ. В рассмотренном примере радиус-вектор r и положение точки в пространстве количественно характеризуются тремя числами, которые могут меняться независимо друг от друга. Это является математическим отражением того факта, что пространство трехмерно. Поскольку три величины, характеризующие положение точки в пространстве, взаимно независимы, принято считать, что математическая точка обладает тремя степенями свободы. Если материальная точка движется, то ее положение в пространстве с течением времени меняется, т.е. радиус-вектор r , или что то же, величины X, Y, Z являются функциями времени. Математически это записывается так:  (1.1) r  r (t ) ; X  X (t )  Y  Y (t )  Z  Z (t )  (1.2) Уравнения (1.1) и (1.2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ. Совокупность последовательных положений, занимаемых точкой М, в процессе её движения, образует в пространстве линию, называемую траекторией движения точки. В зависимости от формы, траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные. Пусть в какой-то момент времени t1 точка M занимала на траектории положе ние M1, характеризуемое радиус-вектором OM 1  r1 (рис.1.2). В следующий момент t2, спустя промежуток времени ∆t =t2 - t1, точка M занимает на траектории новое положение M2, характеризуемое радиус-вектором  OM 2  r2 . Дуга M 1 M 2  S при этом представляет собой путь, пройденный точкой М за время ∆t Длина пути, таким образом, является скалярной функцией времени, т.е. S=S(t) (1.3) 11 s M1  r  r1 M2 O Рис.1.2. Вектор перемещения точки  Вектор M1 M 2  r , проведенный из начального положения М1 в конечное положение М2, называется вектором перемещения точки М за время ∆t. При  прямолинейном движении абсолютная величина r вектора перемещения равна пути ∆S. В общем случае, как это видно из рис.1.2, r и ∆S не совпадают,   но различие тем меньше, чем меньше r . Равенство r  S реализуется лишь в пределе для бесконечно малого промежутка времени, т.е. когда стремится к нулю: lim  r 0    S  1 r (1.4) Из рисунка видно, что r2  r1  r , или:    r  r2  r1 (1.5) Таким образом, вектор перемещения равен геометрической разности радиус-векторов конечного и начального положения. Для характеристики перемещения материальной точки введено понятие скорости движения. Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения в данный момент времени. При этом вводится понятие средней скорости, определяемой отношением:  r ср  t    (1.6) Вектор cр , как и вектор r , направлен по секущей М1М2 (рис. 3). Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (т.е. для ∆t→0), мы получим вектор мгновенной скорости в точке М1:   r dr   lim cр  lim  t  0 t M 2 M1 dt   (1.7) Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор мгновен ной скорости  направлен по касательной к траектории (рис. 3). Величина   мгновенной скорости или модуль вектора  (обозначается как  ), согласно выражению (1.4), определится выражением: 12      lim е0  r t M1 S dS  t 0 t dt  lim (1.8)  v1  r M2  v ср Рис.1.3. Мгновенная и средняя скорость Таким образом, численное значение скорости материальной точки равно первой производной от длины ее пути по времени. Остановимся теперь на способе вычисления величины средней скорости,  т.е. cр . Для простоты рассмотрим одномерное прямолинейное движение в  направлении оси X . Это означает, что r  S  X . Из курса математики известно, что для вычисления среднего значения необходимо учитывать весовой множитель каждого события, дающего вклад в среднее. Например, если на интервале времени t1 скорость автомобиля была равна υ1, а на интервале t2 она равнялась υ2, согласно определению, средняя по времени скорость записывается в виде:   ср  1 t1   2 t 2   ср  t1  t 2 S1  S 2 t1  t 2 или весь путь всё время Если бы вместо t1 и t2 в качестве весовых множителей использовали расстояния X1 и Х2, то получили бы скорость, усредненную по расстоянию. В кинематике принято считать, что средняя скорость – это скорость, усредненная по времени, если специально не оговаривается противное. Вышесказанное можно распространить на более общий случай переменкой скорости движения – это случай, когда скорость равна υ1 в течение короткого промежутка времени t1, υ2 в течение t2 и т.п. Тогда средняя скорость запишется в виде:  ср  1 t1   2 t 2  ...   п t n t1  t 2  ...  t n , где j=1,2,…,n. При любом j υjtj=Xj, где Xj - расстояние, пройденное за время tj. Поэтому предыдущее выражение можно переписать в виде:  ср  Х 1  Х 2  ...  Х п . t1  t 2  ...  t n 13 Алгебраическая сумма X1+Х2+...Хn представляет собой результирующее перемещение, равное (X – Х0), где Х0 - начальное положение тела, а X - положение тела спустя время t=t1+t2+…+tn. Таким образом:  ср  Х  Х0 t Пример1. Велосипедист преодолевает ряд холмов. На подъемах его скорость равна υ1, а на спусках υ2. Общая длина пути l, причем подъемы и спуски имеют одинаковые длины. Какова средняя скорость велосипедиста? Решение. Обозначим через t1 полное время подъема на холмы, а через t2 время спуска. Тогда t1=(l/2)/υ1, а t2=(l/2)/υ2. Подставив эти значения в выражение для средней скорости  , получим:  ср  1 t1   2 t 2 t1  t 2  1 (l / 2) / 1   2 (l / 2) /  2 l / 2  l / 2 l (21  2 ) 21  2    l / 2 1  l / 2  2 l (1   2 ) l (1   2 ) 1   2 21  2 Пример 2. Автомобиль проезжает расстояние длиной 10 км со скоростью 20 км/ч, а затем проезжает еще 10км, но уже со скоростью 60 км/ч. Будет ли средняя скорость в точности средним между 20 и 60, т.е. будет ли она равна 40 км/ч? (40 км/ч – это средняя арифметическая скорость) Решение. Найдем сначала весовые множители t1 и t2: 1). t1  x 10 км x1 10 км 1 1   ч; t 2  2   ч. v1 20 км /  2 v 2 60 км /  6 2). Подставим эти весовые множители в формулу для средней скорости 20 км /  1 / 2    60 км /  1 / 6   v  30км/ч. 1/ 2  1/ 6  УСКОРЕНИЕ В движениях, с которыми чаще всего приходится иметь дело, вектор скорости изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения. Качественное представление об ускорении известно каждому, автомобиль ускоряется нажатием на педаль газа. Чем сильнее нажимается акселератор, тем быстрее движется автомобиль и тем больше ускорение. При ускорении возрастает скорость и пассажиров прижимает к спинкам кресел. Это давление спинок служит количественной мерой ускорения. Нажатие на педаль тормоза приводит к аналогичному эффекту – только теперь это отрицательное ускорение (уменьшение скорости). Ускорение - это быстрота изменения скорости. Пусть за время ∆t движущаяся точка перешла из положения M в положе ние N, как показано на рис.1.4, и вектор ее скорости 1 (он направлен, как было   установлено выше, по касательной) изменился на  . Перенесем вектор  2 па  раллельно самому себе в точку М, т.е. вектор МD  1   . Очевидно, что    BD . 14 Рис.1.4. Ускорение материальной точки Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t   до t+∆t называется вектор acp , равный отношению вектора  к промежутку времени ∆t    acp  t  (1.9) Очевидно, что вектор acp совпадает по направлению с вектором изменения  скорости  , для прямолинейного движения. Мгновенным ускорением точки в  момент времени t называют векторную величину a , равную пределу, к которому стремится среднее ускорение этой точки в промежутке времени (t+∆t) при неограниченном уменьшении ∆t      d a  lim acp  lim  t  0 t  0 t dt (1.10) С учетом выражения (1.7) имеем: 2  d r a 2 dt (1.11) Таким образом, ускорение точки равно первое производной от ее скорости   или второй производной от ее радиуса-вектора r по времени.  15 ЛЕКЦИЯ 2 УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ  Для определения численного значения и направления ускорения a рассмотрим подробнее криволинейное движение материальной точки (рис.1.4) на участке МN ее траектории. Отложим на прямой МД отрезок МС, численно рав  ный 1 . Как видно из рис.1.4, вектор  может быть представлен как геометрическая сумма двух векторов      К  Н , (2.1)  где К – характеризует изменение величины скорости за время ∆t  К  1  2   (2.2) Если величина скорости во время движения не меняется, то   0 и  К  0 .  Вектор  Н характеризует изменение направления вектора скорости за время ∆t и направлен в сторону вогнутости кривой. Если с течением времени   направление движения не меняется, то векторы  и  2 направлены вдоль од ной и той же прямой и H  0 Подставляя (2.1) в (1.10), получаем:      K H  a  lim  lim  aK  aH t  0 t t  0 t (2.3) При ∆t→0 угол ∆α при вершине равнобедренного треугольника МВС   стремится к нулю, и направление вектора  2 и  стремится к направлению,     вектора  , поэтому вектор аК  lim K / t также направлен вдоль вектора 1 , т.е. по направлению касательной к траектории. Численное значение этого вектора, согласно выражению (2.2), равно aK  lim t  0  d  t dt (2.4)  Таким образом, ускорение аК , называемое касательным или тангенциальным, характеризует быстроту изменения величины скорости при движении.  Для определения величины и направления второго вектора а Н или второй  составляющей ускорения а восстановим в точках М и N перпендикуляры к касательным до пересечения в точке O. Будем считать промежуток времени ∆t бесконечно малым. Тогда малая дуга ∆S=MN будет практически отрезком окружности с центром O и радиусом R≈OM≈ON. Угол между линиями ОМ и 16 ON также равен углу ∆α (со взаимно перпендикулярными сторонами). Величина R связана с ∆α соотношением: R S  Для произвольной пространственной кривой величина R определена как предел S   0  R  lim (2.5) и называется радиусом кривизны траектории в данной точке. Величина, обратная R, называется кривизной траектории в данной точке.  Проведя на рис.1.4, рассмотренном выше, отрезок перемещения r , соединяющий точки M и N, мы получим два равнобедренных треугольника ОМN и ВМС. Из пропорциональности сходственных сторон получаем:    r r 1 1   R  r    , или  H  R R  H 1  Имея в виду выражение (2.3), найдем численное выражение вектора aH :     H r 12 1 r 1 aH  lim  lim   lim  t  0 t t  0 R t R t 0 t R Опуская индекс 1 ввиду произвольности выбора начальной точки, получаем окончательное выражение для нормальной составляющей в виде: aH  2 R (2.6) В пределе, ∆α при вершине равнобедренного треугольника МСВ стремится  к нулю, а углы при основании стремятся к 90°. Следовательно, в пределе, H   перпендикулярен к 1 и вектор aH перпендикулярен к вектору скорости и направлен по нормали к центру кривизны (О) данной кривой. Поэтому вектор  aH называется нормальным ускорением. Величина нормального ускорения равна, согласно выражению (2.6), отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке. Касательное и нормальное ускорение взаимно перпендикулярны (рис.2.1), и их геометрическая сумма равна:    a  aK  aH Рис.2.1. Ускорение материальной точки при криволинейном движении 17  Модуль полного ускорения вектора a определяется по формуле: a  aK2  aH2 (2.7) Рассмотрим некоторые виды движения материальной точки. 1. Равномерное прямолинейное движение.    const; aK  aH  0; S  t (2.8) Зависимость пути от времени графически изображается прямой линией, проходящей через начало координат (рис.2.2.). Рис.2.2. График зависимости пути от времени 2. Неравномерное прямолинейное движение: aH  0; aK  0. Вектор скорости не изменяется по направлению, но его численное значение изменяется. Простейшим видом неравномерного движения является равнопеременное прямолинейное движение, при котором a  aК  const , или a d   0  , dt t (2.9) где υ0 – начальная скорость (при t = 0), υ – скорость в момент времени t. Из формулы (2.9) следует: υ=υ0+at (2.10) Если a > 0 – ускоренное движение; a < 0 – замедленное. Графики скорости таких движений изображены на рис.2.3. 18 Рис.2.3. Графики скорости при равноускоренном и равнозамедленном движении Чтобы найти выражение для координаты (случай одномерного движения) через ускорение, время и начальную скорость υ0 при равнопеременном прямолинейном движении, воспользуемся формулой   х  х0 , t откуда получим: x = x0 + t Рис.2.4. График зависимости скорости от времени На графике (рис.2.4) видно, что среднее значение скорости равно средней ординате, т.е.   1 / 2(0   ) мгновенной скорости для времени t/2:   0  at . 2 Подставляя это выражение в предыдущее, получаем x  x0  (0  at at 2 )t  x0  0 t  . 2 2 Для случая x0 = 0 получим x  0 t  19 at 2 2 На рис. 2.5 построена зависимость координаты от t в соответствии с последним уравнением. В общем случае формула пути при равнопеременном прямолинейном движении имеет вид: S  0 t  at 2 2 (2.11) Рис.2.4. График зависимости координаты от времени 3. Равномерное криволинейное движение:    const; aK  0; a  aH  2 R  const .  Вектор нормального ускорения aН при движении материальной точки по  окружности направлен к центру окружности. Поэтому aН называют также центростремительным ускорением. Нередко бывает удобно записать центростремительное ускорение через радиус R и T, где T - период обращения, т.е. время полного оборота. Скорость движения частицы равна длине окружности, деленной на период: υ=2πR/T Подставив это выражение в предыдущем для aН , получим: aН  (2R / T )2 4 2  2 R R T (2.12) Пример. Чему равно центростремительное ускорение тела на экваторе, обусловленное вращением Земли вокруг своей оси? Решение: В данном случае Т=1 сут=8,64·104 с, R = R3=6370 км. Подставляя данные значения в (2.12), получаем: aН  4  3,14 2 (6,37 10 6 ) 2 (8,64 10 ) 4 2 20 м / с 2  0,034 м / с 2 Это всего лишь 0,35% от величины g = 9,8 м/с2. Таким образом, если бы Земля идеально была сферической, то на экваторе человек был бы на 0,35% легче, чем около полюса. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ В связи с рассмотрением равномерного движения по окружности, остановимся на вращении искусственных спутников Земли. Люди, изучающие физику, часто задают вопросы: что удерживает спутники Земли от падения? Не должен ли спутник после прекращения работы ракетного двигателя падать к центру Земли с ускорением свободного падения g? Ответ является утвердительным: да, спутники, летающие по околоземной орбите, испытывают ускорение 9,8 м/с2, направленное к центру Земли. В противном случае они бы улетели по касательной к поверхности Земли. Любое тело движется по окружности с ускорением υ2/R. Если окружностью является околоземная орбита, то ускорение обеспечивается силой тяжести и, следовательно, g=υc2/R3, (2.13) где υc - орбитальная или первая космическая скорость; R3= 6370 км - радиус Земли. Из выражения (2.13) находим: с  gR3  (9,8 м / с 2 )(6,37  106 м)  7,90км / с Это минимальное значение скорости, необходимое для выхода тела на околоземную орбиту. Период вращения Т (или время одного оборота вокруг Земли), равен окружности Земли, деленной на скорость спутника υ, тогда Т 2R3 c  40000 км  5060 с  84 мин. 7,9 км / с Это значение согласуется с хорошо известным временем обращения многочисленных околоземных искусственных спутников, начиная с первого (советского). Впервые подобные вычисления выполнил (около 300 лет тому назад) Исаак Ньютон. Он предлагал выстрелить из огромной пушки с вершины горы. Ньютон предсказал, что если когда-либо удастся достичь начальной скорости пушечного ядра, равной 8 км/с, то ядро будет вращаться вокруг Земли. Для вывода на орбиту совсем не обязательно иметь скорость, точно совпадающую с υс. Если υ>υс , то в этом случае спутник первоначально удаляется от Земли. Спустя какой-то промежуток времени у его скорости появляется радиальная составляющая, направленная от центра Земли. Под влиянием силы тя21 жести эта составляющая будет убывать и, в конце концов, спутник возвратится на Землю. При этом точной траекторией движения будет эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли. Если спутник движется по круговой орбите на значительном расстоянии h от поверхности Земли, то необходимо учитывать экспериментальный факт, что ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли (рис.2.5). Рис.2.5. Движение спутника около Земли На расстоянии (R3+h) от центра Земли ускорение свободного падения дается выражением: g  g R32 ( R3  h) 2 Приравнивая друг другу g' и υ2/(R3+h), получим   g R3 R3 R3  c R3  h R3  h (2.14) 2 R3  h g R32 , откуда ( R3  h) 2 (2.15) Таким образом, в этом случае скорость на расстоянии (R3+h) от центра Земли меньше первой космической. ДИНАМИКА Одна из основных задач физики – это вычисление координат и скоростей взаимодействующих между собой частиц в любые прошлые или будущие моменты времени. Выше было показано, что если известна зависимость ускорения каждой из частиц от времени, то в принципе можно предсказать положение любой частицы в будущем. Далее мы увидим, что для нахождения ускорения 22 необходимо знать действующую на частицу силу и массу частицы. Таким образом, эта задача физики сводится частично к изучению сил и их происхождения. Все силы природы можно разделить на четыре основные типа: 1) гравитационные, 2) слабые, 3) электромагнитные, 4) ядерные. Гравитационные силы действуют на любые массы и порождаются массой, действуя на расстоянии. Электромагнитные силы действуют на заряды и токи, и их источниками являются заряды и токи. Поскольку атомы состоят из заряженных электронов и протонов, то силы, действующие между атомами, по существу также относятся к электромагнитным. Более того, обычное вещество построено из атомов, и поэтому большинство сил, с которыми нам приходится иметь дело в повседневной жизни, являются электромагнитными. Это и реакция растянутой или сжатой пружины, и другие силы, возникающие при соприкосновении тел. Ядерные и слабые силы имеют малый радиус действия (они не проявляются на расстояниях свыше 10-14 м). Именно ядерные силы скрепляют ядро, несмотря на сильное электростатическое отталкивание между протонами. Движение тел под действием внешней силы можно изучать, не зная природы этой силы или ее происхождения. Здесь мы рассмотрим влияние сил в общем случае, а позднее перейдем к изучению конкретных особенностей гравитационных, электромагнитных, слабых и ядерных сил. Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта, наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики общества и специально поставленных экспериментов. Чтобы предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных к нему сил, необходимо знать основной "закон", т.е. иметь теорию, дающую нужные представления. Фундаментальная теория, позволяющая предсказать движение тел, основана на трех уравнениях, называемых законами Ньютона, которые были сформулированы им в конце XYII в. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: 23 Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названные состояния характерны тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной (в частности, равной нулю), пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет ее изменения. Математически этот закон записывается в виде:  а  0, если  Fрез.  0, (2.16)  где Fрез. - векторная сумма всех сил, действующих на тело. В науке до Ньютона господствовала точка зрения, восходящая к учению Аристотеля. Основное положение системы Аристотеля состоит в утверждении, что в отсутствие внешних сил все тела должны приходить к состоянию покоя. На первый взгляд, это совпадает с нашим повседневным опытом. Мы привыкли к тому, что если движущиеся тела перестать тянуть или толкать, то они останавливаются, а не продолжают двигаться с постоянной скоростью. Например, после выключения двигателя автомобиль тормозится до полной остановки. Согласно же первому закону Ньютона, если автомобиль замедляется, действующая на него результирующая сила не может быть равна нулю. В данном случае существуют сопротивление воздуха и сопротивление дорожного покрытия. Из первого закона следует важный физический принцип: существование инерциальной системы отсчета. Разумеется, движущемуся с ускорением наблюдателю первый закон кажется нарушенным. Смысл первого закона состоят в том, что если на тело не действуют внешние силы, то существует система отсчета, в которой оно покоится. Но если в одной системе тело покоится, то существуют множество других систем отсчета, в которых тело движется с постоянной скоростью. Эти системы называются инерциальными. Именно в этих системах выполняется первый закон Ньютона, Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета (гелиос – по-гречески – солнце). Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, будет инерциальной. 24 МАССА И ИМПУЛЬС ТЕЛА Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т.е. сообщает данному телу ускорение. Опыт показывает, что одинаковое воздействие сообщает разным телам разные по величине ускорения. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Масса – это количество вещества, содержащегося в теле. Такое понятие массы, данное Ньютоном, является достаточно общим, но не вполне строгим. В действительности же масса одного и того же тела может, как мы увидим в дальнейшем, меняться при движении. Чтобы определить массу некоторого тела, нужно сравнить ее с массой тела, принятого за эталон массы. Можно также сравнить массу данного тела с массой некоторого тела с уже известкой массой (определенной ранее путем сравнения с эталоном). Операцию сравнения масс m1 и m2 двух материальных точек (частиц) можно осуществить следующим образом. Поставим эти частицы в такие условия, что их взаимодействием с другими телами можно пренебречь. Система тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с другими телами, называется замкнутой. Следовательно, мы рассматриваем замкнутую систему двух частиц. Если заставить эти частицы взаимодействовать (например, посредством столкнове  ния друг с другом), их скорости получат приращения 1 и 2 . Опыт дает, что эти приращения всегда имеют противоположные направления, т.е. отличаются знаком. Отношение же модулей приращения скоростей не зависит от способа и интенсивности воздействия данных тел. Это отношение принимается равным обратному отношению масс рассматриваемых тел:  1 m2   2 m1 (2.17) Таким образом, тело с большей массой претерпевает меньшее изменение    скорости. Приняв во внимание, что 1 и 2 имеют разные знаки (если 1  имеет знак плюс, то 2 имеет знак минус), соотношение (2.17) можно написать в виде:   m1 1  m2 2 25 (2.18) В ньютоновской механике (т.е. механике, в основу которой положены законы Ньютона) масса тела предполагается постоянной величиной, не зависящей от скорости тела. При скоростях, малых по сравнению со скоростью света (при  C ), это предположение практически выполняется. Воспользовавшись постоянством массы, представим равенство (2.18) следующим образом:   (m11 )  (m22 ) (2.19) Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела.  Обозначив импульс буквой Р , получим:   P  m (2.20) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА   Заменив в (2.19) произведение m импульсом P , придем к соотношению     P1  P2 . Откуда ( P1  P2 )  0 . Равенство нулю приращения величин означает, что сама величина остается неизменной. Таким образом, мы пришли к выводу, что полный импульс замкнутой системы двух взаимодействующих частиц остается постоянным:    P  P1  P2  const . Этот вывод нетрудно обобщить на случай замкнутой системы, состоящей из n частиц. Если нет внешних сил, то: n  P  const  1 j 1 j (2.21) или: P  P j  j (2.22) j j  где P – импульс в начальный момент времени, P 1 – импульс в один из последующих моментов времени. Приведенное выше утверждение составляет содержание закона сохранения импульса. В основе этого закона лежит однородность пространства, т.е. одинаковость законов физики во всех точках пространства. Пример. На рис. 11 изображено трехкилограммовое ружье, из которого со скоростью 600 м/с вылетает пуля массой 10 г. Какова будет скорость отдачи ружья, если оно свободно, т.е. не прижато к плечу? Решение. В соответствии с законом (2.2) имеем (см. рис. 2.6):     Pа  Рв  Ра  Рв 26 Рис.2.6. В этом выражении слева стоят импульс ружья (а) и пули (в) до выстрела, а справа – после выстрела. Начальные импульсы ружья и пули равны нулю, т.е.        Pа  Рв  0 . Следовательно: 0+0= Ра  Рв , т.е. Pа  Рв  0 или maa  mвв . Откуда находим: а / в  mв / ma Знак минус свидетельствует о том, что скорости направлены в противоположные стороны. Из последнего выражения находим: а  (mв / ma )в  (0,01/ 3)(600 м / с)  2 м / с Рассмотренный пример иллюстрирует принцип действия ракетного двигателя. Если ружье рассматривать как ракету, а пулю – как порцию топлива, выброшенную со скоростью υ'в, то ясно, что при каждом выбросе порции топлива с массой mв скорость ракеты будет увеличиваться на υ'а. 27 ЛЕКЦИЯ 3 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Второй за кон Ньютона гласит, что скорость изменения импульса тела во времени равна результирующей силе, действующей на тело:   dP Fрез.  dt (3.1) Уравнение (3.1) называется уравнением движения тела.   Заменив согласно (2.20) P произведением m и учитывая, что в ньютоновской механике масса предполагается постоянной, получим:     dP d (m ) d  m  ma , поэтому dt dt dt   Fрез.  ma (3.2) Таким образом, мы пришли к другой формулировке второго закона: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело результирующей силе. Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на это тело со стороны других тел. Эта векторная величина определяется численно величиной или модулем  F  F , направлением в пространстве и точкой приложения. Динамическое про- явление силы состоит в том, что под действием ее материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела деформируются, газы сжимаются и т.д. Необходимо подчеркнуть, что во второй закон Ньютона входит результирующая (равнодействующая) сила. Поэтому, прежде, чем применять этот закон, нужно найти векторную сумму всех сил, действующих на данное тело. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами – влияние других тел на характер движения данного тела. Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть, по сути, обоюдным. Этот факт отражается третьим законом Ньютона. 28 Третий закон утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.  Если, например, тело 1 действует на тело 2 с силой F21 , то и тело 2 в свою  очередь действует на тело 1 с силой F12 (рис.3.1). Рис.3.1. Используя приведенное здесь обозначение сил, содержание третьего закона можно представить в виде равенства:   F12   F21 По своему характеру силы взаимодействия могут быть гравитационными, электрическими или контактными (если тела 1 и 2 соприкасаются друг с другом). Из третьего закона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным. Рис.3.2. Рассмотрим в качестве примера игрушечный поезд из трех вагонов, кото рый тянут с внешней силой F (рис.3.2). Взаимодействие передается между вагонами с помощью нитей, не имеющих массы. На тело m1 со стороны m2 дей  ствует сила F12 , а на тело m2 со стороны m1 – сила F21 . По третьему закону Нью  тона сумма F12  F21  0 . Ускорение поезда можно найти, применяя к каждому вагону второй закон Ньютона и затем складывая следующие выражения: 29   F12  m1 a ,    F21  F23  m2 a ,    F32  F  m3 a ,       F12  F21  F23  F32  F  (m1  m2  m3 )a ;   F  (m1  m2  m3 )a .   F . a m1  m2  m3     Суммы в квадратных скобках обращаются в нуль благодаря третьему закону Ньютона. Контактные силы (силы реакции) Если создать контакт между двумя телами, например, прижав брусок к столу или к стене, то возникают силы взаимодействия (силы реакции). При этом не только брусок действует на стол, но в соответствии с третьим законом Ньютона возникает сила, действующая на брусок со стороны стола. В конечном счете эти силы обусловлены отталкиванием атомов. Если электронные оболочки двух атомов начинают перекрываться, между атомами возникает отталкивание, и чем сильнее сближаются атомы, тем больше это отталкивание. Сила отталкивания атомов имеет электромагнитную природу и может оказаться очень большой по сравнению с силой гравитационного взаимодействия. Рис.3.3 Если прижать брусок к столу, то атомы на поверхности бруска будут сближаться с атомами на поверхности стола до тех пор, пока результирующая сила отталкивания, направленная навстречу приложенной силе, не окажется 30 равной ей по величине. Подобные силы отталкивания между поверхностями называются контактными.  На рис.3.3 изображен брусок массой m, прижатый к стенке силой F . Если   в этом случае автоматически применять уравнение F  ma , то мы получим   ускорение a  F / m , которое отлично от куля. Однако совершенно очевидно, что  брусок не испытывает ускорения под действием силы F . Более тщательный  анализ показывает, что атомы стенки отталкивают брусок с силой F1 , равной        F . Поэтому Fрез.  F  F1  F  ( F )  0 .   Если на брусок действует сила тяжести Fg , то возникает сила реакции F2 ,  направленная вверх и равная  Fg . В этом случае результирующая сила равна сумме всех четырех сил (рис. 3.3):          Fрез.  F  F1  Fg  F2  F  ( F )  Fg  ( Fg )  0 По мере дальнейшего изучения физики мы постепенно осознаем величие простоты и изящества законов Ньютона. Однако иногда правильное их применение может оказаться весьма хитроумным. Своего рода "предупреждением" может служить следующий парадокс. Два бруска с массами mg и mγ расположены на абсолютно гладкой поверхности (рис.3.4). Рис.3.4  Сила F прилагается к бруску a и передается им бруску б. Согласно третьему закону Ньютона, брусок б должен оказать на брусок а такую же по вели чине, но противоположно направленную силу  F . Результирующая сил, дей  ствующих на брусок а равна сумме силы F и силы реакции  F бруска б, т.е.    Fрез  F  ( F )  0 .   Согласно второму закону это означает, что a  Fрез / ma . Мы вынуждены сделать вывод, что брусок a не удастся сдвинуть с места, как ни была велика   сила F . Ошибка состоит в предположении, что сила F полностью, передается бруском (a) и, таким образом, прилагается и к бруску (б). Законы Ньютона во31 все не утверждают, что должно быть именно так. От этого предположения следует отказаться и допустить, что сила реакции, действующая на (б) со стороны  (а), принимает какое-то иное значение F  . Общий подход к решению задач динамики состоит а применении второго закона Ньютона к каждой массе, в от дельности. На массу ma, помимо силы F , будет действовать сила реакции со стороны массы mб, направленная в противоположную сторону, которая по тре тьему закону Ньютона равна  F . Тогда результирующая сила, действующая на      а, равна F  F  и второй закон Ньютона принимает вид F  F   ma  a . Для mб   второй закон записывается следующим образом F   mб  a . Складывая оба эти уравнения, получаем:   F  (ma  mб )a ,   а  F /( ma  mб ) или Следует заметить, что этот же результат можно получить, рассматривая оба бруска как одно тело массой (ma  mб ) . ТРЕНИЕ До сих пор мы рассматривали контактные силы, направленные перпендикулярно (по нормали) к поверхности контакта между двумя телами. Эти силы мы назвали силами реакции. Кроме того, контактная сила может иметь составляющую вдоль поверхности. Сила взаимодействия, параллельная поверхности, называется силой трения. Рассмотрим, например, брусок А, поставленный на брусок В (рис.3.5). Мо жет оказаться, что при действии на брусок А небольшой боковой силы F , он  останется неподвижным. Это означает, что сила F уравновешивается силой  трения FТ , показанной на рисунке. Таким образом:   FТ   F (3.4) Рис. 3.5 Рис. 3.6  При увеличении силы F наступит момент, когда брусок А начнет двигать- ся. Чем более гладкой является поверхность, тем раньше он придет в движение. 32  Обозначим это предельное значение силы трения через FТS (индекс S означает   "статическая". Отношение FТS к силе реакции FH , (рис.3.6) характеризует статический коэффициент трения:  FTS S   FN (3.5) Экспериментально установлено, что для большинства сухих поверхностей   μS почти не зависит от FN и от площади соприкосновения. Если F больше, чем  FТS , то брусок будет двигаться; однако в противоположном направлении на него  по-прежнему будет действовать сила трения FТD (индекс "D" означает "динами- ческая"). Соответствующий динамический коэффициент трения определяется выражением:  FTD D   FN (3.6) Для большинства веществ величина μD несколько меньше, чем μS. В случае  сухих поверхностей она почти не зависит от FN , площади соприкосновения тел и скорости. При трении между гладкими деревянными поверхностями S  D  0,3. Коэффициент трения резиновых шин по бетону может достигать единицы. Во многих задачах с трением коэффициент трения задается. При этом предель ную силу трения вычисляют, умножая μ на силу FN . В рассмотренном примере   (см.рис.3.6) FN обусловлена силой тяжести Fg . УПРУГИЕ СИЛЫ Под действием сил всякое реальное тело деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела предел (так называемый предел упругости). Рассмотрим деформацию пружины, один конец которой закреплен неподвижно. Удлинение пружины будем рассматривать как координату X другого конца, отсчитываемую от его положения, отвечающего недеформированной пружине (рис.3.7). 33 Рис.3.7. Опыт дает, что при небольших деформациях удлинение пружины оказывается пропорциональным растягивающей силе. Соответственно упругая сила оказывается пропорциональной удлинению пружины  Fупр  kx , (3.7) где k - коэффициент жесткости пружины; знак минус в (3.7) появляется потому, что направление упругой силы и координаты X противоположны по знаку. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука. СИЛА ТЯЖЕСТИ И ВЕС ТЕЛА. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое обычно обозначается буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массы m действует сила:   Р  mg (3.8)  где Р называется силой тяжести. Когда тело покоится относительно поверхности Земли, сила уравновеши вается реакцией подвеса или опоры (  Fr ), удерживающих тело от падения:   Fr   P (3.9) По третьему закону Ньютона тело в этом случае действует на подвес или   опору с силой G , равной (  Fr ), т.е. с силой:    G  P  mg (3.10)  Сила G , с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. 34  Эта сила равна mg лишь в том случае, когда тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли. В случае их движения с некоторым ускорением  a вес тела будет равен:    G  m( g  a ) (3.11)  В зависимости от направления движения модуль G равен: G  m( g  a) .   Следует помнить, что P приложена к самому телу, сила G приложена к подве- су или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле сил земного   притяжения. Кроме того, сила P всегда равна mg , независимо от того, движет ся тело или покоится, сила же веса G зависит от ускорения, с которым движут ся опора и тело, причем она может быть как больше, так и меньше mg ; в частности, в состоянии невесомости она обращается в нуль. Эта ситуация реализуется в космическом корабле, летящем вокруг Земли с выключенными двигате   лями с ускорением g . В этом случае a  g , вследствие чего тела внутри корабля не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела, т.е. находятся в состоянии невесомости. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА. При решении задач о движении тела под действием сил полезно применять следующий порядок действий. 1. Выделить рассматриваемое тело. 2. Найти все силы, действующие на тело, включая силы реакции и силы трения. 3. Сложить векторно все силы. При этом полезно нарисовать диаграмму сил, наглядно изображающую суммирование векторов.   4. Применить второй закон Ньютона Fрез  ma к рассматриваемому телу. 5. Если останутся еще неизвестные величины, то следует повторить эту процедуру для других тел системы. Мы воспользуемся этим подходом при рассмотрении следующих трех случаев: аттракциона "американские горки", ускорения на наклонной плоскости и машины Атвуда. 35 Американские горки. В тележке, совершающей мертвую петлю радиусом R (рис.3.8), находится человек, масса которого m. Скорость тележки в верхнем положении равна υ. Рис.3.8 Рассматривая в предыдущей лекции равномерное движение по окружности, мы установили, что a=υ2/R. Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила дается выражением Fрез  mа  m 2 / R и направлена вниз. Эта сила складывается из направленных вниз силы тяжести и контактной силы – силы реакции, действующей на человека со стороны сиде    нья ( FN ) , т.е. Fрез  mg  FN . Таким образом: m 2 / R  mg  FN , откуда  FN  m ( 2 / R)  g  Согласно третьему закону Ньютона, это сила, которая прижимает человека к сиденью (по определению, это вес тела человека; если  2 / R  g , то человек оказывается "невесомым"). Наклонная плоскость Вычислим ускорение тела массой m, скользящего по наклонной поверхности, которая образует угол θ с горизонтальной плоскостью (рис.3.9). Рис.3.9 36  На рисунке показаны три действующие на массу силы: сила реакции FN ,  направленная по нормали к поверхности вверх, сила трения FТР , направленная   против движения, и сила тяжести P  mg , направленная вниз.  Сила Fрез обеспечивающая скольжение тела, складывается из силы трения    FТР и составляющей ( FX ) силы тяжести P в направлении движения (в нашем     случае оси Х), т.е. Fрез  FX  FТР  ma . С учетом направления движения и направления векторов, второй закон Ньютона для тела перепишется в виде: ma  FX  FТР . Из треугольника сил, приведенного на рисунке, следует, что FX  mg sin  , следовательно: ma  mg sin   FТР . При отсутствии трения имеем: a  g sin  . В случае, когда имеется трение, FТР следует заменить на (   FN ) . Из этого же треугольника следует, что FN  Fy  mg cos  , таким образом, имеем: ma  mg sin    mg cos  , или a  g sin    g cos  . Из этого выражения следует, что наклонную плоскость можно использовать для уменьшения ускорения тела, возникающего благодаря силе тяжести. Пусть брусок скользит по наклонной плоскости, не ускоряясь. Тогда в последнем выражении нужно положить а = 0, и тогда можно записать: g sin    g cos ; откуда tgθ=μα. При этом значении угла наклона тело будет двигаться без ускорения. Машина Атвуда В механике встречается много задач, связанных с движением тел, соединенных приводными ремнями или нитями, переброшенными через вращающиеся без трения блоки. Обычно предполагают, что ремни, нити и блоки не имеют массы. Поэтому даже при ускорении нити сила, приложенная к одному ее концу, целиком передается на другой конец. Например, на рис.3.10 результирую- 37 щая сила равна (F2-F1), поэтому нить приобретает ускорение вправо. Если масса нити m, то F2 – F1=ma. Но если m = 0, мы имеем F2 – F1 = 0 или F2 = F1. Рис.3.10 На рис. 3.11 сила, действующая на любое тело со стороны нити, является натяжением и обозначается Т. По третьему закону Ньютона ее величина равна силе, действующей со стороны висящего на нити тела; используя равенство F2=F1, получаем T1 =T2. Рис.3.11 Mы видим, что натяжения на обоих концах нити с нулевой массой одинаковы, и поэтому обозначим, их одной буквой Т. Нам нужно найти ускорение а и натяжение Т такой системы (именуемой машиной Атвуда). Чтобы решить эту задачу, нам потребуется система двух уравнений. Эти уравнения можно получить с помощью второго закона Ньютона, применяя его отдельно для каждой массы. Иными словами, мы имеем здесь две диаграммы сил. Для m1: F1рез =Т – m1g, или m1a=T-m1g (3.12) Аналогично для m2 : F2рез=m2g-Т или m2a=m2g-T. При этом мы выбрали направление ускорения a за положительное так, что силы, совпадающие по направлению с a, будут положительными. Если направление a выбрано неправильно, то a окажется отрицательной величиной. Складывая оба уравнения, получаем: 38 m1a+m2a=m2g-m1g а m2  m1 g m2  m1 (3.13) Мы видим, что при m1≈m2 ускорение мало. Чтобы найти натяжение, нужно подставить выражение (3.13) для ускорения a в (3.12)  m  m1 m1  2  m2  m1 T    g  T  m1 g ,  2m1  m2 g m1  m2 39 (3.14) ЛЕКЦИЯ 4 ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ  Обсудим теперь более подробно один из возможных источников силы F в    уравнении F  ma . Силу F можно рассматривать как причину, вызывающую  ускорение a . Повседневно мы встречаемся с примерами действия сил гравитационного притяжения Землей различных тел, характеризуемых массой m, сил притяжения магнитом куска железа, притяжения или отталкивания между двумя магнитными или заряженными телами, сил, вызываемых пружиной или полоской резины, наконец, контактными силами и т.п. В один из дней 1665 г, Ньютон обратил внимание на падающее вниз яблоко. Он спросил себя, что заставило упасть это яблоко? Если между Землей и яблоком существует притяжение, то такая же сила должна существовать и между любыми двумя телами с массами m1 и m2. Поскольку сила пропорциональна массе яблока, она должна быть также пропорциональна по отдельности каждой из двух масс m1 и m2; иными словами, F~ m1 · m2 (знак ~ означает пропорциональность). Ньютон заинтересовался также тем, будет ли убывать сила F, действующая на тела m1 и m2 при увеличении расстояния между ними. Сравнивая ускорение свободного падения на Луне с величиной этого ускорения на поверхности Земли, Ньютон предположил, что Земля ведет себя так, как если бы вся ее масса была сконцентрирована в центре. Ньютон догадался, что такое поведение справедливо в случае сил, изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако ему удалось получить строгое доказательство лишь 20 лет спустя. Возможно, именно эта задача была одной из тех, которая привела Ньютона к созданию интегрального исчисления. Он предложил универсальный закон гравитационного притяжения между любыми двумя телами: F  m1  m2 r2 (4.1) Согласно этому закону, сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис.4.1). 40 Рис.4.1 В выражении (4.1) γ - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Воспользуемся выражением (4.1) и для вычисления величины силы, действующей на тело массой m при удалении его на расстояние rm от центра Земли. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила должна равняться ma , причем если тело находится вблизи поверхности Земли, то a=g и rm=R3, где R3 радиус Земли, получим F  mg   m  M3 ; R32 откуда   g R32 M3 Таким образом, искомая сила равняется: F  m1  m2 R 2 mM R2  g 3  2 3  gm 23 r2 M 3 rm rm Первой успешной попыткой определения величины γ были измерения, осуществленные Кавендишем в 1798 г. В настоящее время наиболее точным из определенных разными способами считается значение γ = 6,670·10-11 м3/кг·с2. Формула (4.1) выражает закон всемирного тяготения, поскольку один и тот же закон применим во всех случаях действия гравитационной силы. Этот закон, объясняющий падение тел на Землю, описывает также орбиты планет и комет, движущихся вокруг Солнца, и даже движение гигантских звездных галактик относительно друг друга. Он позволил вычислить массы Земли, Солнца и большинства планет, а также периоды их обращения. Пример. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Каково расстояние такого спутника до центра Земли? Решение. Для того, чтобы спутник "завис" над данной точкой экватора, он должен иметь тот же период обращения, что и Земля, т.е. 24 ч. Из выражения (4.1) следует, что сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна F  mс  M 3 , где mc - масса спутника, M3 - масса Земли, r - искомое расстояние. r2 В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила должна равняться mca, где a - центростремительное ускорение спутника, определяемое выражением (см. 2.11); а 4 2 Т2 r 41 Таким образом: mc  4 2 T 2 r  mc  M 3 r2 откуда r3   M 3  T2 4 2 Полагая M3 = 5.98·1024 кг, T = 24 ч = 86400 с, имеем r = 4,2 · 107 м. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. Строго говоря, закон всемирного тяготения определяет гравитационную массу тела. Обозначим гравитационную массу через m'. При этом сила гравитационного притяжения между двумя телами F=γ·m'1·m'2/r2. Масса, входящая в уравнение F = ma, – это и инертная масса; она будет обозначаться буквой m без штриха. При свободном падении вблизи поверхности Земли инертная масса m1 движется с ускорением a1. Таким образом, можно записать: m1  а1   M 3  m1 R32 (4.2) Тело массой m2 из другого вещества может иметь несколько иное ускорение a2: m2  а2   M 3  m2 R32 (4.3) Разделив (4.2) на (4.3), получим m1 а1  m1   m2 a2 m2 (4.4) Мы видим, что если все тела падают с одним и тем же ускорением a1=a2=g, то отношения инертных масс будут равны отношениям гравитационных масс. Таким образом, если у какого-либо тела эти массы равны друг другу, то они будут равны и для всех других тел. Иными словами, если m1=m'1, то m2=m'2. Ньютону удалось установить равенство a1 = a2 с точностью до 10-3. В 1901 г. венгерский физик Этвеш получил такое совпадение с точностью до 10 -8, а в 1964 г. Дикке из Принстонского университета получил точность до 10 -11. Наконец, в 1971 г. В.Б.Брагинский и В.И.Панов получили постоянство указанного отношения с точностью до 10-12. Эти результаты убедительно доказывают, что для всех веществ инертная и гравитационная массы точно совпадают. Этот факт называется принципом эквивалентности. Он является фундаментальным законом природы, подтвержденным, как и другие законы, экспериментально. 42 Следствием принципа эквивалентности является то, что не существует способа отличить, движется ли сама лаборатория с ускорением или же на нее действует гравитационное поле. Если поместить физическую лабораторию внутри движущегося с ускорением большого лифта, то внутри лифта мы не можем осуществить эксперимент, который позволил бы ответить на следующий вопрос: движется лифт с ускорением или лифт покоится, но "включен" какой-то источник гравитационного поля. Принцип эквивалентности является основополагающим в общей теории относительности Эйнштейна. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. Проблема энергии стала предметом заботы каждого гражданина. Энергия, которую удается без особого труда получать на Земле, имеет свой предел, и мы почти достигли его. Благосостояние людей непосредственно связано с потреблением энергии. Например, объем валового национального продукта страны почти пропорционален потребляемой энергии. Производство и распределение энергии при ограниченных ресурсах и очень высоких запросах становится социальной и экономической проблемой, затрагивающей множество технологических вопросов. Вряд ли можно принимать мудрые и справедливые решения без ясного понимания того, что такое энергия; необходимо также четко представлять себе, как производится и распределяется энергия. По-видимому, наиболее важным принципом с точки зрения всех физических применений энергии является закон сохранения энергии. Этот закон налагает строгие ограничения на возможности преобразования и использования энергии. В механике закон сохранения энергии позволяет успешно описывать движение тел под действием различных типов взаимодействий. Во многих случаях благодаря этому закону мы можем обойтись без применения закона Ньютона и провести простым и быстрым способом анализ движения тел. Работа и мощность Сила, действующая на движущееся тело, совершает над ним работу. Работа является одной из форм проявления энергии. Говорят, что работа, совершаемая силой F, приложенной к телу или системе тел, увеличивает энергию этой системы на величину, численно равную работе. Количественно совершаемая силой работа равна произведению составляющей силы в направлении движения на пройденное расстояние. Работа, совершаемая постоянной силой, равна: 43 А = Fs · S, (4.5)   где FS – составляющая силы F в направлении S . Поскольку Fs =F·cosα, где α – угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы, выражение (4.5) можно записать в виде: А=F·S·cosα (4.6) Так как правая часть выражения представляет собой скалярное произведе      ние векторов F и S , т.е. F · S , работа постоянной силы F на пути S определится формулой   А= F · S (4.7) Если сила не постоянна, то производимое при движении приращение рабо ты на бесконечно малом отрезке пути d S запишется в виде:   dА= F  d S . Полная работа, производимая при перемещении тела из точки А в точку B (рис.4.2), равна: А=    F dS   ( F j j j S ) j dS j j Для бесконечно малых dSj сумма превращается в определенный интеграл от FS·dS в пределах от А до B (знак интегрирования можно понимать, как видоизмененный знак суммы). Таким образом, имеем: D А   FS  dS A Это выражение можно записать в виде: B   А   F  dS (4.8) A Рис.4.2 Пример: Для того, чтобы растянуть пружину на длину Х, требуется приложить силу F=k·x. Какая работа совершается при растяжении пружины на длину Х0? 44 Решение. Подставим в выражение (4.8) вместо силы F величину (k·х) и заменим dS на dX. Таким образом: А Х0  X0 X2 1 k  x dx  k  xdx  k    k  x02 2  2  0 X0 При интегрировании мы использовали табличный интеграл: 1  x dx  n  1 x n n 1  Пример. Снаряд летит со скоростью  параллельно поверхности Земли на высоте h. В точке В он падает на Землю. Какую работу (рис.4.3) совершает сила тяжести? Рис.4.3 B   Решение. Вычислим интеграл А   F  dS в случае, когда угол между вектоA рами непрерывно меняется. Заметим, что элементарная работа дается выраже  нием F  dS  m  g (dS  cos  ) . Из рисунка видно, что (dS  cos  )  dy . Совершив эту подстановку и вычислив интеграл, получим: B  A B   B FdS   (mg )dy  mg  dy  mgh . A A Следовательно, A  mgh – работа, которую совершает сила тяжести. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время dt совершается работа dA , то мощность равна: P dA dt (4.9)  Учитывая, что элементарное перемещение d S может быть представлено как:       dS  dt , т.е. dA  F  dS  ( F  )dt , получим выражение для мощности:   P  F  45 (4.10) Таким образом, мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в IH на пути в 1 м. В системе СИ единицей мощности является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с). В МКГСС - системе единицей мощности служит лошадиная сила (л.с), равная 75 кгс·м/с; 1 л.с. = 736 Вт. Кроме указанных единиц измерения, применяются кратные и дольные единицы. Кинетическая энергия Определим кинетическую энергию тела массой m следующим образом: Т 1 m 2 2 (4.11) Покажем теперь, что кинетическая энергия тела увеличивается точно на величину работы, которую совершает действующая на нее результирующая сила. Эта работа при перемещении тела из точки А в точку B записывается в виде:   А   Fрез  dS B A    Заменим теперь Fрез на m(d )dt ) , a dS – на dt :   B B    d d  A Fрез  dS  A (m dt )  (dt )  mA ( dt )   dt B Для дальнейших рассуждений нам необходимо знать, что производная по времени от скалярного произведения двух векторов имеет вид:    dв  da d  . (aв )  a в dt dt dt (4.12) Кроме того, под квадратом вектора всегда подразумевают скалярное произведение вектора на самого себя, т.е.:    (a )2  a  a  a  a  cos   a 2 (4.13) (т.к. α = 0), следовательно:      d  d  d d 2  d d  d d ( )     2  ( )  2 , т.е.   dt dt dt dt dt dt dt dt B   Теперь выражение под интегралом  FрезdS можно переписать так: A 46 (4.14)  B B d  d d m ( )  dt  m ( )dt  m (  dt ) dt dt dt A A A B Величина (d / dt )dt равна d , поскольку для малого интервала времени ∆t мы имеем: ( / t)t   . Таким образом: B B   1 1 1 2  2 2 F  d S  m  ( d  )  m  A рез A  2   2 m B  2 m A A B В окончательном виде получаем:  A   Fрез  dS  TB  TA B (4.15) A Таким образом, работа, совершаемая результирующей силой при перемещении тела из точки А в точку В, равна разности кинетических энергий в точках В и А. Иными словами, кинетическая энергия возрастает на величину работы, совершаемой результирующей силой. Это соотношение называется теоремой о связи энергии и работы. Из (4.15) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа. В соответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. Пример. Чему равна скорость снаряда на рис.4.3 в момент, когда он падает на Землю в точке В? Решение. Заметим, что сила F = mg является результирующей. Поэтому B   интеграл  Fрез  dS совпадает со случаем, рассмотренным в предыдущем примеA ре; следовательно, он равен (mgh). Подставляя в левую часть соотношения (2.15) эту величину, получаем 1 1 (mgh)  mB2  m А2 ; В2  2 gh   A2 2 2 (4.16) Отметим преимущества использования понятия энергии при решении задач такого типа. В рассмотренном примере не было необходимости вычислять траекторию или скорость как функцию времени. Пример. 30-метровый водопад расходует 10 кг воды в секунду. С какой скоростью увеличивается кинетическая энергия падающей воды? Решение. Подставим в левую часть соотношения (4.15) величину (mgh). Тогда можно записать mgh=∆T. 47 Поток падающей воды ежесекундно приобретает кинетическую энергию равную: Т=(10 кг) (9,8 м/с2) (30 м)=2,9 кДж. Если эти 2,9 кДж преобразовать в электричество с КПД 100%, то мы могли бы получить 2,9 кВт электроэнергии. Из этого примета следует, что приличный водопад мог бы обеспечить от 2 до 3 кВт мощности для домашних нужд. В действительности мы потребляем большее количество электроэнергии. Здесь как в капле воды отразилось то, что становится одной из крупнейших мировых проблем, а именно: потребности общества в энергии растут столь быстро, что обычные источники на Земле уже не могут их обеспечить. Так, в США ГЭС удовлетворяют потребности в энергии лишь на 4%; в CCCР эта доля составляет ~ 20%. Потенциальная энергия. Консервативные силы Кроме кинетической энергии - энергии движения, существует еще один вид механической энергии, обусловленной взаимным расположением тел, действующих друг на друга. Эта энергия носит название потенциальной энергии. Потенциальную энергию можно представить себе как энергию, запасенную для дальнейшего использования. Во многих случаях при желании ее можно преобразовать в другие полезные формы энергии. Потенциальная энергия определяется как взятая с обратным знаком работа сил взаимодействия. Изменение потенциальной энергии равно положительной работе, которую следует совершить нал телом, чтобы (медленно) переместить его из одной точки (А) в другую (В) при наличии сил взаимодействия: B   П В  П А    FdS , (4.17) A где ПВ и ПА – потенциальная энергия тела в точке В и А соответственно:  F - сила взаимодействия, т.е. сила, действующая на данное тело со стороны другого (других тел), например, сила гравитационного взаимодействия или электромагнитная сила. В формуле (4.17) могут быть использованы лишь силы определенного типа, а именно консервативные силы. Следующий рис.4.4 иллюстрирует опреде ление консервативных сил. Если F – консервативная сила, то: B    B   В   FdS   FdS   FdS . A ( путь 1) A ( путь 2 ) 48 А ( путь 3) Рис.4.4 т.е. B    FdS имеет одно и то же значение для любого пути. A Таким образом, работа, совершаемая действующей на тело консервативной силой, не зависит от пути, по которому тело перемещается из произвольной точки А в точку В. Математически это эквивалентно следующему утверждению: интеграл   F  dS вычисленный по любому замкнутому контуру, должен быть равен нулю. Следовательно, в случае консервативных сил нельзя непрерывно приобретать (или терять) энергию, повторяя один и тот же замкнутый путь. Все четыре типа фундаментальных взаимодействий (фундаментальных сил) - сильное, электромагнитное, слабое, гравитационное, – действующих между элементарными частицами – консервативные.   Примером неконсервативной силы является трение. В этом случае F и dS ,   всегда направлены в противоположные стороны и интеграл  FdS по замкнутому контуру (пути) всегда отрицателен (тело непрерывно теряет энергию). Здесь уместно было бы спросить, как вообще может возникнуть консервативная сила, если все силы построены из фундаментальных, а те в свою очередь являются консервативными? Ответ состоит в том, что если мы рассматриваем потенциальную и кинетическую энергии каждой элементарной частицы, то неконсервативных сил не существует. Такой подход называется микроскопическим. Однако трение – это макроскопическое явление, при котором можно пренебречь тем, что происходит с определенными частицами. Сила трения обусловлена происходящей в среднем передачей импульса частицам тела, что проявляется в возрастании его температуры. Таким образом, по мере уменьшения кинетической энергии испытывающего трение тела возрастает кинетическая энергия входящих в его состав частиц (тело нагревается). Любая сила, действие которой приводит к возникновению теплоты, оказывается неконсервативной. 49 ЛЕКЦИЯ 5 Гравитационная и потенциальная энергия Определим потенциальную энергию массы m, находящейся на расстоянии h над поверхностью Земли (рис.5.1). В предыдущей лекции было выяснено, что согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила, действующая на массу m на расстоянии rm от центра Земли, равна F  mg( R32 / r 2 ) , где RЗ - радиус Земли (знак минус указывает направление силы). Подстановка этого выражения в (4. 17) дает: rm   mgR32  dr , П  П3      r2   R3  где П3 - потенциальная энергия на поверхности Земли. Проведя интегрирование, получаем: rm r m  1 П  П3  mgR  r dr  mgR    r  R3 R3 2 3 2 2 3 Таким образом, гравитационная потенциальная энергия на расстоянии rm от поверхности Земли равняется: П  П3  mgR32  ( 1 1  ). R3 rm (5.1) Выражение (5.1) описывает работу, необходимую для перемещения тела массой m на высоту h над поверхностью Земли, причем h=rm-R3. Вблизи поверхности Земли R3/rm≈1 и в этом случае мы имеем выражение П  П3  mgR32  ( Рис. 5.1 rm  R3 R )  mg 3  h  mgh R3  rm rm Положив П3 = 0, получим: П≈mgh (5.2) Следует отметить, что положение в пространстве, в котором потенциальная энергия принимается равной нулю, является произвольным, так-же, как мы принимаем за нулевое значение начало отсчёта координат. Физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии. 50 Потенциальная энергия пружины На рис.5.2 показана нерастянутая пружина. Совместим начало координат с концом пружины. Согласно закону Гука (выражение 3.7), создаваемая пружиной консервативная сила равна F= - kx. Знак минус указывает на то, что при растяжении пружина тянет влево. Если же пружину сжать, то х окажется отрицательной величиной и пружина будет давить вправо. Положим П = 0 при х = 0 и используем формулу (4.17): х x П     kх dx  k  xdx . Рис.5.2 Таким образом, потенциальная энергия пружины определяется выражением: П kx2 2 (5.3) На рис.5.3 показаны: а) зависимость изменения потенциальной энергии построенная в соответствии с выражением (5.3); б) график изменения силы. Рис.5.3 Закон сохранения механической энергии Рассмотрим случай, когда на тело действует единственная консервативная  сила F . Тогда эта консервативная сила является результирующей, и мы можем применить формулу (4.15): B    FdS  TB  TA A В соответствии с определением потенциальной энергии выражение (4.17): В   П В  П А    FdS левая часть последнего выражения равна -(ПВ – ПА), т.е. равна А изменению (со знаком минус) потенциальной энергии. Поэтому: - (ПВ-ПА) = ТВ – ТА или 51 (ТА+ПА) = (ТВ + ПВ). (5.4) Уравнение (5.4) выражает закон сохранения механической энергии применительно к телу, находящемуся под действием консервативной силы, которой соответствует потенциальная энергия П. Из него следует, что сумма кинетической и потенциальной энергий такого тела остается постоянной, если на тело не действуют другие силы. Перепишем (5.4) следующим образом: Т + П = Е = const (5.5) Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией. Формула (5.5) является математическим выражением закона сохранения (и превращения) энергии. Закон сохранения механической энергии был получен нами для системы, содержащей только одно тело или одно тело и "неподвижную" Землю. Однако этот закон носит гораздо более общий характер и применим для всех замкнутых консервативных систем. Под замкнутой мы понимаем систему, в которой отсутствуют любые внешние силы, тогда как консервативность означает, что все силы взаимодействия в системе консервативны и могут быть, следовательно, выражены через потенциальную энергию. Закон сохранения энергии - один из основных законов всей физики и техники. Этот закон налагает строгие ограничения на возможности извлечения энергии и ее преобразования из одной формы в другую. Закон сохранения энергии запрещает существование вечных двигателей такого типа, в которых замкнутая система непрерывно "поставляет" механическую энергию наружу. Закон сохранения механической энергии можно использовать для нахождения конечных (или начальных) скоростей в системах, где зависимость силы от времени оказывается сложной или ее трудно вычислить. Пример. Масса m подвешена на нити длиной l (рис.5.4). Какую скорость нужно сообщить этой массе, чтобы она смогла достичь только верхней точки траектории? ?Решение. Обозначим верхнюю точку траектории B. При прохождении этой точки центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободного падения g : υB2/l=g или υB2=gl. Тогда: TB=(1/2)mυB2=(1/2)mgl и ПВ = mg(2l). Сумма этих энергий должна быть равна начальной кинетической энергии (1/2) mυ02 (начальная потенциальная энергия равна нулю). Таким образом: 52 (1/2)mυ02=(1/2)mgl +2mgl, откуда υ02=5gl, или 0  5gl . Рис.5.4 Сохранение гравитационной энергии Вторая космическая скорость. Пусть снарядом, масса которого m, произведен выстрел вертикально вверх со скоростью υ1 На какую высоту поднимется снаряд? Сможет ли он покинуть Землю и уйти на бесконечность. Пусть на максимальной высоте расстояние снаряда до центра Земли равно r2, при этом его кинетическая энергия обратится в нуль, т.е. TZ = 0. Но в любой момент времени сумма (T+П) должна оставаться постоянной. Таким образом, можно записать: (1/2)mυ12+П1=0+П2; (1/2)mυ12=П2-П1. Используя выражение (5.1) для П, получаем (1/ 2)m12  mgR32 ( 1 1  ). R3 r2 Отсюда находим максимальное расстояние, на которое улетит снаряд от центра Земли: r2  ( 1 2  1 2 ) 1. R3 2 gR3 (напомним, что R3 - радиус Земли). Из предыдущего выражения следует, что если υ1 достаточно велика, то r2 может стать бесконечным; Минимальная скорость, при которой тело массой m достигает бесконечности, называется второй космической скоростью (υ0). Полагая в предыдущем выражении r2 = ∞, находим 02 / 2  gR32 ( 1  0). R3 Следовательно, вторая космическая скорость равняется: 0  2gR3 В соответствии с (2.12) величина gR3 характеризует первую космиче- скую скорость, необходимую для выхода на низкую круговую орбиту. Таким 53 образом, υ0 в 2 раз превышает первую космическую скорость. Так как последняя равняется 8 км/с, вторая космическая скорость υ0 =11,2 км/с. Вычисляя ее, мы не учитываем гравитационное поле Солнца. Пример. Чему должна быть равна вторая космическая скорость, чтобы тело вышло из солнечной системы с расстояния R0=155 млн км от Солнца (расстояние между Землей и Солнцем)? Выразите ответ через R0 и Т0 (T0 - время обращения Земли вокруг Солнца). Решение. Скорость, с которой спутник движется вокруг Солнца на расстоянии R0 от него, равна υ0 = 2πR0/T0. Земля также является одним из спутников Солнца, причем T0 = 1г = 3,15·107 с. Таким образом, с  2  155  106 км / с  30км / с 3,15  107 Вторая космическая скорость должна быть в 2 раз больше, т.е. с  2 2  R0  42км / с T0 Энергия движения по круговой орбите. Рассматривая в начале лекции вопрос о гравитационной потенциальной энергии, мы исходили из того, что она измеряется относительно поверхности Земли. Это не очень удобно, если речь идет о других планетах или о Солнце. Для отсчета гравитационной потенциальной энергии необходимо найти общую точку в пространстве. Поэтому условились заменить в формуле (5.1) величину R3 на ∞ (бесконечность). Тогда гравитационная потенциальная энергия тела массой m, расположенного на расстоянии r от тела массой M принимает вид r r r   Mm  1 2 П   FdS    ( 2 )dr  Mm r dr  Mm  . r  r     r Таким образом, гравитационная потенциальная энергия относительно бесконечности дается выражением: П   Mm . r Это есть работа по перемещению тела m из бесконечности на расстояние r от M. С другой стороны, она равна взятой с обратным знаком работе по перемещению тела m из точки r на бесконечность. В случае, когда тело малой массы m движется вокруг тела с большей массой M по круговой орбите радиусом R, потенциальная энергия П=-γMm/R. Для центростремительного ускорения имеем γ2/R=F/m=γMR2, откуда υ2=γM/R. 54 Умножая обе части последнего равенства на m/2, получаем кинетическую энергию mυ2/2=γMm/2R. Заметим, что в этом случае кинетическая энергия по абсолютной величине составляет половину потенциальной. Полная механическая энергия дается выражением Е Т  П  Mm Mm Mm .  ( )   2R R 2R Таким образом, полная энергия E равна по величине кинетической, но противоположна ей по знаку. С аналогичной ситуацией мы встретимся при изучении боровской модели атома водорода. Сохранение полной энергии Рассмотрим более общий случай, когда помимо консервативной силы, за висящей только от положения тела, могут действовать сила трения F f и внеш  няя сила FВНЕШ . Обозначим консервативную силу через FС . При этом результирующая сила записывается в виде:     Fрез  Fc  Ff  FВНЕШ Применение теоремы о связи работы и энергии (выражение (4.15)) определяет приращение кинетическое энергии ∆Т: В     ( Fc  Ff  FВНЕШ )dS  Ti А B  B    B    FВНЕШ  dS  T  ( Fc  dS )   ( Ff )dS . A A A В правой части последнего равенства второе слагаемое по определению равно изменению потенциальной энергии ∆П. Таким образом, В  А B     FВНЕШ  dS  T  П   Ff  dS . A  где Ff - сила, обусловленная трением, т.е. сила, с которой тело действует на   шероховатую поверхность. Заметим, что Ff  dS - это работа тела, идущая на нагрев самого себя и окружающей среды. Физически это тепло представляет собой работу, совершаемую при передаче дополнительных кинетической и потенциальной энергий отдельным частицам тела (атомам и молекулам). С макроскопической точки зрения это – внутренняя энергия тела ПВНУТР, которая представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий, сообщаемых составляющим тело частицам и не входящих в энергии Т и П тела как целого. Следовательно, закон сохранения энергии запишется в виде: 55 В    FВНЕШ  dS  T  П  П ВНУТР (5.6) А Согласно (5.6) любая работа, совершаемая над телом извне, равна сумме приращений кинетической, потенциальной и внутренней энергий. В этом уравнении учтены все виды энергии – ничто не потеряно! Оно выражает закон сохранения полной энергии. Энергия в биологии Химическая энергия – одна из форм потенциальной энергии. Когда из атомов образуется молекула, то существующая между атомами сила притяжения совершает работу и высвобождает энергию, которая, как правило, выделяется в виде тепла. В живых организмах источниками химической энергии служат углеводы (молекулы различных соединений углерода с водородом). Соединяясь с кислородом, углеводы образуют Н2О и СО2 с высвобождением энергии. Типичное количество высвобождающейся энергии составляет 20 000 Дж на 1 г углеводов. Почти вдвое больше химической энергии на 1 г запасено в жире животных. При сжигании углеводного "топлива" в клетках мышц около 25% энергии может перейти в механическую работу. У лошади "топливо" сгорает со скоростью 2000 Вт, что позволяет ей в течение продолжительного времени совершать механическую работу, причем с мощностью 500 Вт. В течение более коротких промежутков времени лошадь способна вырабатывать 700-800 Вт мощности. Эти данные и привели к "лошадиной силе", равной мощности 736 Вт. Организм человека слабее и в лучшем случае может совершать в единицу времени механическую работу около 100 Вт. Даже во время сна лишь для поддержания нормальных функций организма у взрослого человека "топливо" сгорает со скоростью около 80 Вт. Эта величина называется основной скоростью обмена веществ. Такую же мощность потребляет электрическая лампочка средней величины. В бодрствующем состоянии, например, на лекции по физике, студент расходует около 150 Вт, в том числе 80 Вт плюс около 40 Вт затрачивается на работу мозга и 15 Вт на работу сердца. При умеренных физических нагрузках, например, во время езды на велосипеде со скоростью около 20 км/ч или во время плавания со скоростью 2 км/ч, человек затрачивает около 500 Вт. Более тяжелые нагрузки, например, игра в баскетбол, требуют затрат до 700 Вт. Наконец, при еще большем возрастании нагрузок (скажем, во время скоростной велосипедной гонки) человек в хорошей физической форме может расходовать 56 свыше 1000 Вт, однако, лишь около 100 Вт из них приходится на внешнюю механическую работу. Пример. Насколько хватит 450 г жира для поддержания умеренных нагрузок (50 Вт)? Иными словами, сколько времени должен выполнять физические упражнения человек с избытком веса, чтобы избавиться от 450 г жира? Решение. В одном грамме жира, как "топливе", запасено около 40 000 Дж энергии. Таким образом, 450 г жира имеют энергию 450 · 40 000 Дж, или 18 · 106 Дж. Поскольку мощность Р связана с энергией соотношением, Р=Е/Т, отсюда находим: t 6 E 18  10 Дж   3,6  104 с  10ч. P 500 Вт Следовательно, проделывая в течение 10 ч физические упражнения, можно сбросить 450 г жира, но при этом появится сильный: аппетит. Другой способ уменьшить избыточный вес состоит в полном отказе от пищи. Тогда для поддержания жизни человеку придется ежедневно расходовать около 300 г жирового запаса. Энергия и автомобиль Используем основные принципы, с которыми мы познакомились выше, для оценок потребностей мощности и расхода топлива автомобилей. Хорошим показателем легкового автомобиля считается, если с места его можно разогнать до скорости 100 км/ч за 10 с. Это соответствует постоянному ускорению а =υ/t = 100 км/ч / 10 с ≈ 2,8 м/c2≈g/4. Оценим, достаточно ли силы трения между покрытием шоссе и шинами автомобиля для достижения этого ускорения. Необходимая сила трения Ff=ma=mg/4. При этом на задние шины действует сила реакции ~mg/2, так что отношение силы трения к силе реакции составляет примерно 1/2. Следовательно, коэффициент трения должен быть не менее 0,5. Это близко к максимально достижимому значению коэффициента трения шин, применяемых в легковых автомобилях. Поэтому для легковых автомобилей практически нельзя рассчитывать, что время разгона станет значительно меньше 10 с. Большего ускорения удается достичь в гоночных и спортивных автомобилях за счет специальных шин и большей нагрузки на задние (ведущие) колеса. Ответим на вопрос, какую мощность должен развивать двигатель для того, чтобы использовать предельную силу трения. Автомобилю массой m = 103 кг 57 нужно преодолеть силу Ff=ma=(103 кг)·(g/4) ≈ 2,5·103 Н. Если достигнута скорость 100 км/ч, то в соответствии с (4.10), развиваемая двигателем мощность должна составлять P = Fυ= (2,5·103 Н)·(28 м/с) = 70·103 Вт ≈ 90 л.с. Таким образом, двигатель автомобиля, имеющего массу 103 кг, должен развивать на скорости 100 км/ч мощность 90 л.с, чтобы можно было обеспечить его "предельные" характеристики. Дополнительные лошадиные силы бесполезны, т.к. они приведут лишь к более быстрому вращению колес без какого-либо улучшения характеристик. Заметим, что когда автомобиль трогается с места, Fυ = 0; в этот момент времени необходима нулевая мощность и не следует раскручивать колеса при старте. Вычислим теперь мощность, необходимую для преодоления сопротивления воздуха при движении автомобиля с постоянной скоростью. Воздух, находящийся непосредственно перед автомобилем, приобретает кинетическую энергию (1/2)(∆m)υ2 , где ∆m - масса воздуха, увлекаемого за интервал ∆t, и υ – скорость автомобиля. Как видно из рис.5.5, ∆m=ρ·S·υ·∆t, где ρ=1,3 кг/см3 – плотность воздуха; S – среднее значение площади поперечного сечения автомобиля. Потеря энергии за интервал времени ∆t дается выражением: ∆E=(1/2)(∆m)υ2=(1/2)(ρSυ∆t)υ2, а потеря мощности, обусловленная сопротивлением воздуха, равна: Е 1  S 3 t 2 (5.7) Поскольку Р=Fυ, сила сопротивления воздуха записывается в виде Fсопр=(1/2)ρSυ2 (5.8) Таким образом, сила сопротивления воздуха возрастает пропорционально квадрату скорости и, следовательно, преобладает при высоких скоростях. Другие источники трения, такие, как трение в подшипниках или тепловые потери в шинах, зависят главным образом от Рис.5.5 числа оборотов двигателя; эти потери остаются пример1 но постоянными (в расчета на километр пути) при любой скорости. Заметим, что S – среднее значение площади поперечного сечения воздушной массы, которая движется со скоростью, равной или близкой скорости автомобиля. Предположим, что для автомобиля S≈1 м2. Тогда в соответствии с выражением (5.7) потеря мощности, обусловленная сопротивлением воздуха, для автомобиля, движущегося со скоростью υ = 100 км/ч (28 м/с), равна: 58 Р = (1/2) (1,3)(1)(28)3 = 14300 Вт = 19 л.с. Заметим, что требуемая (на преодоление сопротивления воздуха) мощность возрастает пропорционально кубу скорости. В случае, когда автомобиль движется со скоростью 145 км/ч, его двигатель должен развить мощность в (145/100)3 = 3,05 раз больше. Иными словами, для преодоления сопротивления воздуха при такой скорости требуется 57 л.с. Оценим теперь количество горючего, необходимое для преодоления сопротивления воздуха при скорости 100 км/ч. Для поездки на 100 км, чтобы преодолеть сопротивление воздуха, потребуется энергия ∆E = Р∆t = (14300 Вт) (3600 с) = 52·106 Дж Энергосодержание бензина – 31·103 Дж/см3, это соответствует 3,1·107 Дж/л. Хороший автомобильный двигатель имеет КПД = 25%, так что каждый литр обеспечивает около 8·106 Дж механической энергии. Таким образом, автомобиль расходует около 6 л горючего на 100 км пути, «тс соответствует приблизительно 17 км/л. Действительный расход топлива может оказаться еще больше из-за других потерь. Пример. Автомобиль движется со скоростью 100 км/ч, расходуя горючее из расчета 8 км/л. Какая мощность расходуется на поддержание движения с постоянной скоростью? Решение. В час автомобиль расходует 12 л бензина. Поскольку каждый литр бензина содержит 3·107 Дж энергии, фактически расходуется мощность Р 13  3  107 Дж 1ч  3,6  108 Дж 3,6  10 с 3  105 Вт  100кВт Таким образом, расход энергии стандартным автомобилем эквивалентен потребности в электричестве примерно 50 жилых квартир. Именно поэтому автомобили заслуживают упрека в расточительстве энергии. 59 ЛЕКЦИЯ 6 Вращательное движение Изучение систем взаимодействующих частиц значительно упрощается, если рассматривать вращательное и поступательное движение порознь. Для этого необходимо ввести определение двух новых величин: момента импульса* и момента силы. В замкнутых системах момент импульса, подобно импульсу и энергии, сохраняется. Закон сохранения момента импульса – это закон того же уровня, что и законы сохранения импульса и энергии. Он позволяет относительно просто вычислять необходимые величины, не имея детальных сведений о силах и движении отдельных частиц. Здесь мы изучим особый случай системы частиц, в которой все частицы сохраняют постоянное относительное расположение. Такая система называется твердым телом. Поскольку твердые тела повсеместно встречаются в окружающем нас мире, их изучение имеет большое значение. * - определение можно найти в глоссарии. Кинематика вращательного движения Угловым аналогом линейного перемещения S является угловое перемещение φ, а аналогом линейной скорости υ=dS/dt – угловая скорость dφ/dt. Обычно величину dφ/dt, представляющую собой мгновенную угловую скорость, обозначают греческой буквой ω (омега);  d dt (6.1) В случае движения по окружности между угловой ω и линейной υ скоростями существует простое соотношение. Рассмотрим частисти радиусом R (рис. 6.1). Рис. 6.1 60 цу, движущуюся по окружно- Согласно определению радиальной меры, расстояние, пройденное частицей вдоль окружности равно: S = Rφ. Продифференцируем обе части этого равенства по t dS/dt=Rdφ/dt. Таким образом, мы можем записать: Υ=Rω (6.2) Величины υ и ω могут меняться со временем, тогда как R остается постоянным. В случае равномерного движения по окружности величина ω называется также циклической или круговой частотой. Скорость υ - это расстояние, которое частица проходит за 1 с и которое равно длине окружности 2πR , умноженной на число оборотов в секунду n. Подставляя в соотношение (6.2) υ=2πRn, получим 2πRn=Rω, (6.3) Таким образом, ω = 2πn Символом n обозначается частота, измеряемая числом оборотов в секунду, а ω - частота, измеряемая числом радиан в секунду. По аналогии с линейным ускорением определим угловое ускорение:  d 2 (6.4) dt 2 Нетрудно видеть, что тангенциальное или касательное (aк) и нормальное (ан) ускорения при движении частиц по окружности могут быть выражены следующим образом; aн  aк  2  2 R2   2  R; aн   2  R; (6.5) d d (R) d  R ; aк    R. dt dt dt (6.6) R  R Ранее мы установили, что путь S и скорость υ при равноускоренном движении определяются выражениями: S  0 t  at 2 ; 2   0  at. Заменим теперь S на R φ, υ0 на R ω0 и а на ε R, тогда: R  R0 t  Rt 2 ; 2 R  R0  Rt ;   0 t  61 t 2 2 ; (6.7)   0  t . (6.8) Векторное произведение В определениях момента импульса и момента силы используется операция, называемая в векторном анализе векторным произведением. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:   A  B  AB cos  , (6.9) где точка как бы "заменяет" множитель cosα В векторное произведение входит множитель sinα, который в векторной записи заменяется на (*):    A  B  nAB sin  , (6.10)    где n - единичный вектор, нормальной плоскости, содержащей векторы A и B . Рис.6.2 Символически векторное произведение можно записать иным, в сравнении с (6.10), способом: A  B   nAB sin  (6.11)   Плоскость, содержащая векторы A и B , имеет два возможных направле- ния нормали. Поэтому, чтобы однозначно выбрать направление нормали, принято использовать "правило правой руки" или правило "буравчика" (рис.6.2). Используют пальцы правой руки, сгибая их в направлении от первого вектора   ( A ) ко второму ( B ); при этом большой палец указывает направление векторно го произведения, т.е. нормали n . Из формулы (6.10) или выражения (6.11) следует, что векторное произведение обладает следующими очевидными свойствами:   A А  0 62        A  (B  С)  A  B  А  С ;     A  B  B  А ;                i  i  j  j  k  k  0; i  j  k ; j  k  i , k  i  j ;    где i , j , k - единичные векторы соответственно вдоль осей X, Y и Z.         Пример. Чему равно A  B , если А  i Ax  j Ay и B  i Bx  j By ? Чему равен си     нус угла между A и B ?            Решение. А  B  (i Ax  j Ay )  (i Bx  j By )  i Ax  i Bx  i Ax  j By  j Ay  i Bx  j Ay  j By     A B Ax By  Ay Bx  k ( Ax  By  Ay Bx ) ; sin      . AB ( Ax2  Ay2 )( Bx2  By2 ) Векторное произведение участвует не только в определении момента импульса и момента силы, оно используется также в электромагнетизме для описания силы, действующей на движущийся заряд, а также при вычислении магнитного поля, создаваемого током. Момент импульса. Момент силы Частица может иметь момент импульса даже при движении по прямой. По  определению момент импульса L дается выражением:    L r P (6.12)   где P - импульс частицы, r - радиус-вектор, проведенный из начала си- стемы координат к частице. Рис.6.3 Например, на рис. 6.3а частица массой m, движущаяся в плоскости XOY, имеет величину момента импульса относительно точки 0 L = r m υ sinα.  Согласно правилу правой руки вектор L , направлен от читателя, или в отрицательном направлении. На рис. 6,3б искривленной стрелкой показано направление, в котором согнуты четыре пальца по правилу правой руки. Величина L зависит от выбора начала системы координат. 63 Рис. 6.4 На рис. 6.4 можно видеть, что и L  rp L  r p   где р – составляющая вектора p перпендикулярная r ; r – расстояние по нормали, опущенной из начала координат на траекторию частицы и называется плечом импульса. Физическая величина, представляющая собой вращательный аналог силы,  называется моментом силы N , определяемым по аналогии с моментом импуль  са L . Если на частицу действует сила F , то по определению соответствующий момент силы можно записать в виде (рис. 6.5) Рис. 6.5    N r F , (6.13)  где r – радиус-вектор, проведенный из некоторой начальной точки (0), относи- тельно которой определяется момент силы. Из рис. 6.5 видно, что модель момента силы можно представить в виде N  r  F sin   F  l (6.14) 64  где l = r·sinα – плечо силы относительно точки 0. Вектор N в случае, отображенном на рисунке, направлен за плоскость листа (от читателя). Для получения в случае вращательного движения уравнения, аналогичного   уравнению F  m  a , продифференцируем обе части выражения (6.12):      dL d   dr   dp   (r  p)   pr     p  r  Fрез . dt dt dt dt   Первый член равен нулю в силу параллельности векторов  и р . Второй член представляет собой по определенно результирующий момент сил. Таким образом,  dL   N рез dt (6.15) Отсюда следует, что результирующий момент сил ровен скорости изменения момента импульса аналогично ному, как результирующая действующая на частицу, равна скорости изменения импульса. Сохранение момента импульса Прежде, чем рассматривать общий случай замкнутой системы взаимодействующих частиц, обратимся к случаю одной частицы, находящейся под действием центральной силы, направленной в начало координат. Примером такой ситуации может служить движение планеты по орбите вокруг Солнца:     dL dr   dp     L  r  p,   pr   p  r  F . dt dt dt     Произведение   p равно нулю, поскольку векторы  и p параллельны    друг другу. Аналогично обращается в нуль и член r  F , т.к. F - центральная  сила, параллельная (или антипараллельная вектору r . Таким образом,   dL 0 или L  const . dt Мы доказали, что если на тело действует центральная сила любого происхождения, то момент импульса этого тела будет сохраняться. В случае системы из n частиц выражение (6.15) можно просуммировать по веем частицам: n  d n   d    L j   Lполн.   N j dt  j 1  dt j 1 65 (6.16)  где Lполн. – полный момент импульса всей системы. В случае замкнутой системы отсутствуют какие бы то ни было момента внешних сил, так что в правой части последнего выражения стоит сумма всех моментов внутренних сил, обусловленных силами взаимодействия между n частицами. Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия каждой пары частиц равны по величине и противоположны по направлению. Поскольку для сил взаимодействия пары частиц величина F имеет одно и то же значение, их моменты равны и противоположно-направлены. Поэтому правая часть выражения (6.16), представляющая собой сумму по всем парам частиц, обратится в нуль. Таким образом: d  Lполн.  0 , dt откуда получаем (6.17)  Lполн.  const. Мы получили закон сохранения момента импульса для замкнутой системы. Он является прямым следствием законов Ньютона. Существует множество различных задач, связанных с вращающимися системами, в которых конечные скорости или моменты импульса можно вычислить с помощью закона сохранения момента импульса, даже если неизвестны силы взаимодействия. Выражение (6.16) применимо как к системе, находящейся под действием моментов внешних сил, так и к замкнутой. При наличии моментов внешних сил моменты внутренних сил по-прежнему взаимно сокращаются, так что сумми  рование дает N внешн . , где N внеш . – векторная сумма всех моментов внешних сил, действующих на систему. Таким образом, соотношение (6.16) можно записать в следующей форме:  d  Lполн.  N внешн . dt (6.18) Пример 1. Студент на вращающейся скамье держит в вытянутых руках пару гантелей. Его подталкивают, пока он не начнет вращаться со скоростью ω1 = 0,5 рад/с. Затем студент сгибает руки и прижимает гантели к груди. Сколько при этом станет он совершать оборотов в секунду? Можно считать, что первоначально гантели находились на расстоянии 60 см от оси вращения, а после того, как они были прижаты к груди – на расстоянии 10 см. Масса гантелей такова, что моменты импульса студента и гантелей в первоначальном положении одинаковы. Решение. Начальный момент импульса гантелей дается выражением 66 Ld1=R1 (mυ1)=R1m(ω1R1)mω1R12, где m – масса двух гантелей. Начальный момент импульса системы равен L1=LS1+mω1R12, где LS1 – начальный момент импульса студента. Поскольку по условию LS1=Ld1, имеем LS1=mω1R12. Запишем момент импульса, когда гантели находятся на расстоянии R2:L2 =LS2+mω2R22. Применяя закон сохранения импульса системы, имеем LS2+mω2R22=LS1+mω1R12. Момент импульса студента прямо пропорционален скорости его вращения, поэтому можно записать: LS1 1  ; LS 2 2 поэтому LS 2  2 L . 1 S1 Подставляя этот результат в предпоследнее равенство, получаем: ( 2 LS1 )  m2 R22  LS1  m1 R12 . 1 Подставим теперь сюда выражение LS1  m1 R12 . В результате находим: 2  1 2(0,6) 2 2 R12 ,   ( , 5 ) c 1  0,97 рад / с. 2 2 2 2 2 R1  R2 (0,6)  (0,1) Мы видим, что угловая скорость вращения почти удваивается. Аналогичный принцип работает, когда вращающийся на коньках фигурист прижимает к себе руки и "группируется". Пример 2. Велосипедист может катиться под уклон с постоянной скоростью, если сила, действующая на заднее колесо со стороны дороги, равна F2= 4 Н (рис. 6.7). С какой силой F1 должна действовать велосипедная цепь на зубчатое колесо, если R2/R1=6? Рис. 6.7 Решение. Поскольку угловая скорость колеса остается постоянной, dL/dt=0 (т.к. L=r·m·υ=rmωr=mωR2), поэтому результирующий момент силы    будет равен N рез.  N1  N2 =0, откуда следует: 67   N1  N 2 . Используя соотношение (6.13), получим R1 F1  R2 F2 ; F1  ( R2 ) F2  (6)  (4 H )  24 H . R1 Центр масс Движение замкнутой системы взаимодействующих частиц оказывается, достаточно сложным. Однако в такой системе имеется точка, которая движется по прямой с постоянной скоростью или покоится. Эта точка называется цен тром масс (или центром инерции); эта точка задается радиусом-вектором rc , который определяется следующим образом:     mi ri  m1 r1  m2 r2  ...  mN rN  mi ri  rc    , (6.19) m1  m2  ...  mN M  mi  где mi – масса i-й частицы, ri – радиус-вектор, определяющий положение этой частицы, M – масса системы. По существу центр масс – это среднее положение системы, причем масса используется как весовой множитель при вычислении среднего. Если наблюда тель покоится по отношению к центру масс ( rc ), то он находится в системе центра масс. Продифференцируем обе части выражения (6.19) по времени:  drc  dt   m dr i i / dt M . Левая часть этого равенства по определению представляет собой скорость c центра масс. Таким образом,   c m  i M   i  p  i M  pполн.  М (6.20)  Поскольку в замкнутой системе импульс рполн. является постоянным, мы фактически доказали, что скорость центра масс замкнутой системы сохраняется постоянной по величине и направлению. Другое полезное свойство центра масс связано с вычислением полной кинетической энергии. Докажем, что полная кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, измеренной в системе центра масс, и величины  Мc2 / 2 :     Т полн.  (1/ 2) mi i2  (1/ 2) mi (c  i )  (c  i ), 68  где  i – скорость массы mi, измеренная в системе центра масс (или скорость относительно центра масс). Используя определение скалярного произведения, получаем:   Т полн.  (1/ 2)( mi )c2  c   (mi i )  (1/ 2) mi i2 .  Второй член обращается в нуль, поскольку сумма  mi i равна М, умно- женной на скорость центра масс, т.е. на величину, которая равна нулю. Следовательно, (6.21) Т полн.  (1/ 2)Mc2  T  , где T' – полная кинетическая энергия, измеренная в системе центра масс. В следующем разделе мы воспользуемся этим соотношением при рассмотрении динамики твердых тел. В системе центра масс твердое тело может обладать лишь вращательной кинетической энергией. При этом выражение (6.21) можно записать в виде (для твердых тел) Т полн.  (1/ 2)Mc2  Tвр , (6.22) где Tвр – вращательная кинетическая энергия, измеренная в системе центра масс. Пример 3. Обруч массой m катится по плоскости, как показано на рис. 6.8. Скорость центра обруча равна υ. Чему равна кинетическая энергия обруча? Рис. 6.8  )2 , где υ'об – линейная Решение. Из (6.22) имеем: Т полн.  (1/ 2)M 2  (1/ 2)m(об скорость обода в системе центра масс. Для наблюдателя, движущегося вместе с центром обруча, скорость точки соприкосновения обруча с плоскостью равна υ. Поэтому υ'об = υ. Таким образом, Т полн.  (1/ 2)M 2  (1/ 2)m 2  m 2 . Следует заметить, что энергия катящегося обруча вдвое превышает энергию тела с той же массой m, движущегося с той же скоростью, но без вращения, т.е. только поступательно. 69 Момент инерции твердого тела. До сих пор мы имели дело преимущественно с частицами или с точечными массами. Однако большинство тел в природе представляют собой протяженные твердые тела, которые могут не только перемещаться, но и вращаться. Твердое тело можно разделить на элементы массы ∆mi. Мы называем тело твердым, если расстояние между любой парой элементов тела остается неизменным по величине. Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг фиксированной оси в системе центра масс (рис. 6.9). Рис. 6.9 Если элемент массы ∆mj расположен на расстоянии rj от оси вращения, то его скорость υj=rjω, момент импульса дается выражением L   rj m j j   rj m j (rj  )  ( rj2 m j ) Величина, стоящая в скобках, называется моментом инерции J   rj2 m j . (6.23) j В случае непрерывного распределения массы имеем J   r 2 dm . (6.24) При этом L=J ω (6.25) Поскольку момент силы дается выражением N=dL/dt, мы можем записать NJ d  J  dt (6.26) В системе центра масс кинетическая энергия тела равна Т полн.  (1/ 2) m j 2j  (1/ 2) m j (rj  )2  (1/ 2) (m j rj2 ) 2 . Следовательно, Т  70 J 2 2 (6.27) Понятие момента инерции было введено нами при рассмотрении вращения твердого тела. Однако эта величина существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется она или находится в покое. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z Мz = Jz, где Мz – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;  – угловое ускорение; Jz – момент инерции относительно оси вращения. Моменты инерции некоторых тел массой т относительно оси z: а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню, и проходящей через его середину Jz  1 ml2 ; 12 б) обруча радиусом R (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и совпадающей с его осью J z  m  R2 ; в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска, и проходящей через его центр Jz  1 m  R2 . 2 Моменты инерции других тел можно найти в справочной литературе. Силы инерции Мы уже говорили о том, что законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное  тело движется с одинаковым ускорением а  . Любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением,  поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчета а будет отличаться  от а  . Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной  системах символом а :    а  а  а (6.28) 71 Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело  со стороны других тел, равна F . Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно:  1  а  F m (6.29) Ускорение же тела в неинерциальной системе можно в соответствии с выражением (6.28) представить в виде     1   а  а  а  F  a m (6.30) Отсюда следует, что даже при F  0 тело будет двигаться по отношению к  неинерциальной системе отсчета с ускорением – a , т.е. так, как если бы на него  действовала сила – ma . Сказанное означает, что при описании движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными взаимодействием тел друг на друга, учитывать так называе мые силы инерции Fin . Их следует полагать равными произведению массы на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системы отсчета:     Fin  m(а  а)  ma (6.31) Соответственно уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид    mа  F  Fin (6.32) Поясним это утверждение на следующем примере (рис.6.10).(вставить рис.40) Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик. Пока тележка покоится или движется без ускорения,  нить расположена вертикально и сила тяжести p уравновешивается реакцией   нити FH . Теперь приведем тележку в поступательное движение с ускорением a .  Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил p и   FH сообщила ускорение шарику, равное a . Относительно системы отсчета, свя- занной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сила   p и сила FH отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к   этой системе отсчёта можно формально объяснить тем, что кроме сил p и FH ,    равных в сумме ma , на шарик действует ещё и сила инерции Fin  ma . 72 Учёт сил инерции даёт возможность описание движения тел в любых системах отсчёта с помощью одних и тех же уравнений движения. Следует отчётливо понимать, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими силами, как силы упругости, гравитационные и трения, т.е. силами, обусловленными взаимодействием на тело со стороны других тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления. 73 ЛЕКЦИЯ 7 Элементы специальной теории относительности. В предыдущем изложении механики мы предполагали, что скорость движения тела (материальной точки) значительно меньше скорости света – с. Теперь, когда мы достаточно подробно осветили содержание механики,  объясним причину ограничения скорости,  много меньше с. Причина состоит в том, что механика Ньютона справедлива для малых скоростей. Механика больших скоростей, сравнимых со скоростью света с, называется релятивистской механикой, или специальной теорией относительности. Используя законы классической физики можно объяснить далеко ни все явления материального мира, например: 1. Свойства света для которого v = c; 2. Электромагнетизм, основанный на изучении теории электромагнитного поля, индукции, и т.д. 3. Физика элементарных частиц: фотонов, электронов, нейтрино, скорости которых близки или равны скорости света; 4. В современной астрономии приходится непрерывно сталкиваться с релятивизмом. Удаленные галактики движутся также со скоростями, близкими к скорости света. 5. Для углубления нашего понимания квантовой механики нужно использовать релятивистские соотношения между энергией, массой и импульсом. Принцип относительности Галилея. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с  постоянной скоростью  0 (рис. 7.1). Одну из этих систем, обозначенную на рисунке буквой К, будем условно считать неподвижной. Тогда как вторая система К' будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси х, у, z системы К и оси x', у', z' системы К' так, чтобы оси x и x' совпадали, а оси y и у', а также z и z' были параллельны друг другу. Рис. 7.1 Найдем связь между координатами х, у, z некоторой точки р в системе К и координатами x', у', z' той же точки в системе К'. Если начать отсчет времени с 74 того момента, когда начала координат обоих систем совпадают, то, как следует из рисунка, х=х'+υ0t', у=у', z=z'. Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, т.е. что t=t'; получим совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея: х  х  0 t   y  y   z  z   t  t (7.1) Продифференцировав соотношения (7.1) по времени, найдем связь между скоростями точки р по отношению к системам отсчета К и К' х  х  0 у  у  z  z  x   x  0  или  y   y  z   z     (7.2) Три скалярных соотношения (7.2) эквивалентны следующему соотноше нию между вектором скорости  по отношению к системе отсчета К и векто ром скорости   по отношению к системе К':    (7.3)      0  Продифференцируем по времени соотношение (7.3). Учитывая, что 0 постоянно, получим:     или (7.4)     a  a Таким образом, ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одинаковым (одним и тем же). Отсюда согласно второму закону Ньютона вытекает, что силы, действующие на тело в системах К и К', также будут одинаковыми. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны: ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Впервые это обстоятельство было выяснено Галилеем. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, носит название принципа относительности Галилея. 75 Уравнение (7.3) выражает закон сложения скоростей. Этот закон, как и вся классическая механика, основанная на законах Ньютона, справедлив только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в пустоте (С). Постулаты Эйнштейна. Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейн создал релятивистскую механику, т.е. механику, учитывающую требования специальной теории относительности. Основу этой теории образуют два постулата, которые носят название принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света. Принцип относительности формулируется следующим образом: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны (т.е. неизменны) по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой. Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея на все без исключения физические явления. Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света (с) в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. Экспериментально это было доказано в опытах, выполненных в 80-х гг. прошлого века Майкельсоном и Морли. До того, как в 1905 г. была опубликована теория относительности Эйнштейна, большинство физиков считало, что световые волны должны распространяться в особой среде, точно такой же, какой в случае распространения звуковых волн является воздух. Эту гипотетическую среду назвали эфиром. Если бы эфир существовал, то покоящаяся по отношению к нему система отсчета была бы выделенной. Только в этой системе отсчета скорость света св действительно была бы равной с. Для наблюдателя, движущегося со скоростью относительно эфира, скорость света была бы равной (с + υ), если бы наблюдатель двигался по направлению к источнику света. Эфир мыслился как "физическая", но лишенная массы среда. Представить себе такой объект было довольно трудно. В 80-х гг. прошлого века были выполнены опыты, результаты которых свидетельствовали о независимости скорости распространения света от скорости источника или наблюдателя. Эти опыты продемонстрировали, что во всех случаях св = с, и тем самым противоречили гипотезе эфира. Сторонники эфира утверждали, что, поскольку Земля движется вокруг Солнца со скоростью υ = 30 км/с, в течение года должны существовать периоды, когда Земля и эфир будут двигаться друг относительно друга со скоростью не менее 30 км/с. Тогда для наблюдателя на Земле свет, распространяющийся В том же направлении, что и движущийся эфир, должен иметь скорость (с + υ) относительно Земли, а свет, распространяющийся В противоположном направлении – скорость (с - υ), где υ составляет по крайней мере 30 км/с. 76 Майкельсон и Морли придумали эксперимент, постановка которого позволила бы проверить гипотезу об эфире. Они осуществили эксперимент в так называемом интерферометре Майкельсона. Речь шла о наблюдении интерференционной картины, реализуемой в процессе распространения света (интерференция – усиление или ослабление света). Самые тщательные опыты Майкельсона и Морли не позволили наблюдать ожидаемый эффект. Одно из объяснений состояло в том, что эфир случайно обладает той же скоростью 30 км/с относительно солнечной системы и движется в том же направлении, что и Земля. Однако Майкельсон и Морли повторили свой эксперимент шесть месяцев спустя, когда вектор скорости движения Земли вокруг Солнца сменил свое направление на обратное. Однако и в этом случае не удалось наблюдать ожидаемый эффект. Таким образом была доказана инвариантность скорости света (т.е. то, что скорость света имеет одно и то же значение для всех наблюдателей). Преобразования Лоренца Закон сложения скоростей, описываемый выражением (7.3), находится в противоречии с принципом постоянства скорости света. Действительно, если в  системе К' световой сигнал распространяется в направлении вектора 0 со скоростью с , то, согласно (7.2), В системе К скорость сигнала окажется равной (с + 0 ), т.е. превзойдет величину с. Отсюда вытекает, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами. Для рассматриваемого нами случая (см. рис. 7.1) адекватные формулы имеют следующий вид: х   0 t    1  02 / c 2   y  y   z  z  2 t   (0 / c ) x   t 1  02 / c 2  х (7.5) По формулам (7.5) осуществляется переход от координат и времени, отсчитанных в системе К', к координатам и времени в системе К. Переход от системы К к системе К' производится по аналогичным формулам: х  0 t   1 / c   y  y   z  z  t  (0 / c 2 ) x   t  1  02 / c 2  х  2 77 2 (7.6) Как и следовало ожидать, учитывая полную равноправность систем К и К', формулы (7.6) отличаются от (7.5) только знаком при υ0. Формулы (7.5) и (7.6) носят название преобразований Лоренца. Легко видеть, что в случае υ0<<С преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. При υ0>С выражения (7.5) и (7.6) для х, х' и у, у' становятся мнимыми. Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света, в пустоте невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью с, т.к. при υ0=с в знаменателях формул для х и t получается нуль. В теории относительности время иногда называют четвертым измерением. Точнее говоря, величина сt имеющая ту же размерность, что и x, y, z, ведет себя как четвертая пространственная координата. 78 ЛЕКЦИЯ 8 Следствия из преобразований Лоренца Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения классической механики следствий, рассмотрим эти следствия. Сокращение длины и замедление времени. 1. Длина тел в разных системах. Пусть l'0=(x'2 - x'1) – длина стержня, покоящегося в системе К' (рис. 8.1),  l0=(x2 - x1) – длина стержня в системе К, 0 – скорость движения системы К', а, следовательно, и стержня относительно системы К. Для определения длины стержня в этой системе, т.е. для установления соотношения между l'0 и l необходимо воспользоваться преобразованиями Лоренца. Это приводит к выражению  l  l0 1  02 / c 2 (8.1) Таким образом, у движущихся тел размеры в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения (Лоренцево сокращение). Рис. 8.1 2. Длительность событий в разных системах. Пусть в точке, покоящейся относительно системы К', происходит событие, длящееся время ∆t0=t'2–t'2. В системе к это событие длится ∆t=t2–t1. В соответствии с преобразованиями Лоренца t  t 0 1   02 / с 2 (8.2) В этой формуле ∆t0 – длительность события, измеренная по часам системы, движущейся с той же скоростью, что и тело, в котором происходит процесс (тело в этой системе покоится). Иначе, ∆t0 определено по часам, движущимся вместе с телом. Промежуток ∆t измерен по часам системы, относительно которой  тело движется со скоростью 0 . Иначе, ∆t определено по часам, движущимся  относительно тела со скоростью 0 . 79 Из выражения (8.2) следует, что промежуток времени ∆t0, измеренный по часам, неподвижным относительно тела, оказывается меньше, чем промежуток времени ∆t, измеренный по часам, движущимся относительно тела. Поскольку замедление времени – это свойство самого времени, то замедляют свой ход не только движущиеся часы, но и все процессы (в том числе химические реакции). Жизнь включает комплекс химических реакций, поэтому течение жизни при движении также замедляется в соответствующее число раз. Замедление физических процессов при движении должно сказываться и на периоде полураспада радиоактивных веществ. Этот эффект наблюдается с точностью до 10-4 на пучке нестабильных частиц, движущихся со скоростью, близкой к световой. Период жизни таких частиц возрастает в ( 1/ 1  02 / с 2 ) раз. Одна из самых распространенных нестабильных частиц называется пионом. Пион имеет период полураспада около 1,8·10-8 и легко образуется при бомбардировке любого материала пучком, ускоренным до высоких энергий. В связи с рассмотрением замедления времени интересно рассмотреть так называемый парадокс близнецов. Парадокс близнецов называют еще парадоксом часов. Он имеет долгую историю. Те, кто следит за программой исследований космоса, могли обратить внимание на то, что космические путешественники будут стареть не так быстро, как их собратья на Земле. Но поскольку реальная скорость космического путе шественника 0 /с<<1, этот эффект будет пренебрежимо мал. Однако, если бы космический путешественник мог двигаться со скоростью света, то он бы не старел вообще. С точки зрения наблюдателя на Земле, ход часов и всех физических процессов (включая саму жизнь) в космическом корабле, движущемся со скоростью 0 , замедлился бы в 1  02 / с 2 . Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если космический корабль не достиг кинетической энергии, соизмеримой с его энергией покоя. Даже энергия, высвобождающая при реакциях деления или синтеза ядер, все еще в 1000 раз меньше необходимой для проявления этого эффекта. Человечество пока не имеет возможности использовать эффект замедления времени в практическом плане для совершения далеких путешествий к звездам. Парадокс близнецов был подтвержден в ряде экспериментов. Например, эксперимент I960 г., основанный на наблюдении эффекта Мессбауэра, а также эксперименты с атомными часами на пучке цезия, осуществленные в 1971 г. 3. Интервал. Какое-либо событие можно охарактеризовать местом, где оно произошло (координатами х, у, z) и временем t, когда оно произошло. Таким образом, событие можно описать четырьмя числами х, у, z, t. Введем воображаемое четырехмерное пространство, на координатных осях которого будем откладывать пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой точкой. Всякой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном 80 пространстве линия, называемая мировой линией (для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии параллельной оси t). Пусть одно событие имеет координаты х1, у1, z1, t1, другое событие – координаты х2, у2, z2, t2. Величину, определяемую формулой (8.3), называют интервалом между соответствующими событиями: (8.3) S12  C 2 (t2  t1 )2  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 Удобно ввести расстояние l12: (8.4) l12  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 Величина l12 – расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли оба события. Обозначим разность (t2 – t1) через t12; тогда выражение для интервала можно записать в виде: 2 (8.5) S12  с 2t12  l122 Квадрат интервала является инвариантом по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой:  )2 (S12 )2  ( S12 (8.6) Однако, как уже говорилось выше, промежуток времени t12 и расстояние l12 не являются инвариантами. 4. Преобразование скоростей. Рассмотрим движение материальной точки. В системе К положение точки определяется в каждый момент времени t координатами х, у, z. Выражения х  dx ; dt dy ; dt y  z  dz ; dt (8.7) представляют собой проекции на оси х, у, z вектора скорости точки относительно системы К. В системе К' положение точки характеризуется в каждый момент времени t' координатами х', у', z'. Проекции на оси х', у', z' вектора скорости точки относительно системы К' определяются выражениями  х  dx ; dt  y  dy ; dt  z  dz ; dt (8.8) Из выражений (7.5) вытекает: х  dx   0 dt  1   02 / с 2 ; dy  dy; dz  dz; dt  dt   ( 0 / с 2 )dx 1   02 / с 2 . (8.9) Разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой: х  y   y 1   02 / с 2 1   0 х2 / с 2 z  81  x   0 ; 1   0 х2 / с 2  z 1   02 / с 2 1   0 х2 / с 2 (8.10) В случае, когда 0 <<с, соотношения (8.10) переходят в формулы (7.2) сложения скоростей классической механики. Если тело движется параллельно оси х, его скорость относительно системы к совпадает с υ, а скорость  х относительно к' с   . В этом случае закон сложения скоростей имеет вид:     0 1   0  / с 2 (8.11) Пусть скорость υ'= с. Тогда  с  0 с 1  0 с / с 2 Этот результат является естественным, т.к. в основе преобразований Лоренца (а, следовательно, и формул сложения скоростей) лежит утверждение, что скорость света одинакова во всех системах отсчета. Положив в формуле (8. 11) υ'=υ0=с , получим для υ также значение, равное с. Таким образом, если складываемые скорости υ' и υ0 не превышают с, то результирующая скорость не может превысить с. Масса и энергия 5. Релятивистское выражение для энергии и массы. Релятивистское выражение для энергии имеет вид: Е mс 2 1  2 / с 2 (8.12) где m – масса покоя тела (материальной точки), υ – скорость тела (материальной точки), с – скорость света в пустоте. В случае, когда скорость частицы υ равна нулю, энергия принимает значение Е0 = mс2 (8.13) Величина E0 носит название энергии покоя частицы. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. Энергия E0 содержит в себе, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра инерции тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя E0, как и в полную энергию выражение (8.12) не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Кинетическую энергию частицы Т естественно определить, как разность Е и Е0: Т  Е  Е0    1  mс 2  mс 2   1  1  2 / с 2  1  2 / с 2   mс 2 (8.14) В случае малых скоростей (υ<<с) эту формулу можно преобразовать следующим образом:  1  1 Т  mC2 1  ( 2 / с 2 )  1  m 2  2  2 82 (8.15) Мы пришли к классическому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики переходят в соответствующие формулы классической механики. Обозначим в формуле (8.12) через m2 величину, равную: mr  m 12 / С2 (8.16) которая не является постоянной (инвариантной), а зависит от скорости. При этом величина m, называемая массой покоя – инвариантная величина, зависящая от скорости неинвариантная масса mr носит название релятивистской массы или массы движения. Воспользовавшись релятивистской массой mr, выражение для полной энергии можно записать в следующем виде: E=mr·с2 (8.17) Здесь необходимо привести еще одно выражение для полной энергии: (8.18) Е  с р 2  m2с 2 Положив в формуле (8.18) m = 0, получим соотношение: E=с·p (8.19) где р – релятивистский импульс, определяемый выражением p m 1  2 / с 2 (8.20) Таким образом, частица с массой покоя, равной нулю, всегда движется со скоростью света. К таким частицам принадлежит световая частица, называемая фотоном, а также элементарная частица, называемая нейтрино. Следует отметить, что в релятивистской теории законы сохранения импульса и энергии остаются в силе, однако классические определения импульса и энергии оказываются видоизмененными (см. выражения (8.12), (8.20). 6. Эквивалентность массы и энергии. Согласно полученному Эйнштейном соотношению (8.13), находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии E = mс2. В соответствии с этим выражением в каждом килограмме массы заключена энергия 9·1016 Дж. Столь большого количества энергии хватило бы для того, чтобы 100-ваттная электрическая лампочка светила, в течение 30 млн лет. Утверждение об эквивалентности массы и энергии было, бесспорно, чрезвычайно смелым. Оно получило разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Первое экспериментальное подтверждение правильности соотношения Эйнштейна между массой и энергией было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного: ядра и конечных продуктов. Для того, чтобы показать, как можно проверить соотношение E0 = mс2 в лабораторных условиях, рассмотрим простейший при83 мер распада, а именно бета-распад свободного нейтрона. Свободный нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино (с нулевой массой покоя): n →p+e-+ . При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов распада равна 1.25·10-13 Дж. Масса покоя нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на 13,9·10-31 кг. Этому уменьшению массы должна соответствовать энергия ∆E=(13,9·10-31)·(3·108)2=1,25·10-13 Дж. Она совпадает с наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада в пределах ошибок эксперимента. Другой пример огромной энергии, заключенный в массе покоя, представляет собой аннигиляция электрона и позитрона (рис. 8.2). Позитрон – это электрон с положительным зарядом. При столкновении электрона и позитрона они аннигилируют друг с другом и превращаются в два фотона (фотон – это квант электромагнитного излучения). В этом случае энергия покоя 2meс2 полностью переходит в энергию электромагнитного излучения (me - масса покоя электрона). Верно и обратное – кинетическая энергия может превращаться в массу покоя. Обычно при столкновении частицы, имеющей высокую кинетическую энергию, с ядром атома или отдельным протоном, рождаются новые частицы, при этом часть кинетической энергии переходит в энергию (массу) покоя новых частиц. Существуют строгие ограничения на величину энергий, которая может быть извлечена из массы покоя. В следующих разделах мы рассмотрим один из основных законов природы, называемый закоРис. 8.2 ном сохранения барионов. Согласно этому закону, полное число протонов и нейтронов в данном образце обычного вещества должно оставаться постоянным. Именно поэтому не существует способов, с помощью которых мы могли бы извлечь из килограмма песка, например, энергию 9·1016 Дж. Однако в случае тяжелых ядер, таких как уран, может происходить перераспределение протонов и нейтронов, при котором масса покоя уменьшается примерно на 0,1% с выделением соответствующего количества энергии. В таком процессе, называемом делением ядер, ядро (например, урана) спонтанно расщепляется на два примерно одинаковых ядра, и, кроме того, испускается несколько нейтронов. Полная масса покоя конечных продуктов приблизительно на 0,1% меньше начальной массы покоя ядра. Таким образом, массе покоя соответствует энергия покоя E0=mс2 и в тех случаях, когда масса покоя уменьшается (например, при электроннопозитронной аннигиляции или делении ядер), энергия покоя преобразуется в другие формы энергии, например, в кинетическую. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих основные положения специальной теории относительности. 84 Пример 1. Метровая линейка (рис. 8.3) движется мимо наблюдателя со скоростью, составляющей 60% скорости света. Какой покажется наблюдателю ее длина? Решение. Движущаяся линейка неподвижна в штрихованной системе. В соответствии с формулой (8.1) имеем: l  (100 см) 1  (0,6)2  (100 cм) 0,64  80 см Рис. 8.3 Пример 2. Нейтрон является не стабильной частицей и распадается на протон, электрон и антинейтрино: n→ р+ e-+ . Пусть электрон распада имеет скорость 0,8 с при условии, что нейтрино до распада находился в покое. Какой будет скорость электрона, если нейтрон распадается, двигаясь со скоростью 0,9 с в том же направлении, что и электрон? Решение. Наша система отсчета движется со скоростью υ0=0,9 с, а электрон в штрихованной движущейся системе отсчета – со скоростью υ' = 0,8 с. Из соотношения (8.11) находим:  0,8 с  0,9 с 1,7  с  0,988 с. 1  0,72 1,72 Пример 3. Рассмотрим пучок пионов, движущихся со скоростью υ = 0,99 с. а) Во сколько раз увеличивается время жизни пионов (измеренное в лабораторной системе отсчета)? б) За какое время половина пионов распадается? в) Как далеко они переместятся за это время? Решение. Множитель 1 1 / с 2 2  1 1  0,99 2  7,09 Период полураспада пионов увеличивается в 7,09 раза. Таким образом, он станет равным t =7,09·(1,8·10-8 с)=12,7·10-8 с. За это время пионы проходят путь x=υt=0,99 с (12,7·10-8 с)=37,9 м. Пример 4. Какая энергия содержится в 1г песка? Сравните ее с 7000 калориями, получаемыми при сгорании 1г угля (1кал=4,18 Дж). Решение: E=(10-3 кг) (3·108) м/с)2=9·1013 Дж. Энергия, получаемая при сгорании 1г угля, составляет 7000 кал·4,18 Дж/кал=2,9·104 Дж. Таким образом, собственная энергия в 3,1·109 раз превышает химическую энергию. Из этого примера следует, что если высвобождается лишь одна тысячная доля собствен- 85 ной энергии, то и это количество В миллионы раз больше того, что могут дать обычные источники энергии. Пример 5. Если взрыв 1т тринитротолуола (ТНТ) высвобождает 1015 кал, то какую массу надо преобразовать в энергию для получения эффекта мегатонной бомбы? Решение. При взрыве одной мегатонны ТНТ выделяется до 1015 кал, или 4,18·1015 Дж. Соответствующая этой энергии масса равна m 15 E 4,18 10   0,046 кг  46 г. с2 9 1016 Таким образом, при взрыве мегатонной бомбы масса ядерной "взрывчатки" должна уменьшиться на 46г. Полная масса ядерной "взрывчатки", необходимой для такой бомбы (основанной на реакциях деления и синтеза), примерно в 1000 раз больше. Следовательно, масса водородной бомбы, эквивалентной по мощности 1 мегатонне ТНТ, будет составлять порядка 50 кг. 86