Финансовая математика

Финансовая математика Со ставитель к.ф.-м.н., Мейханаджян Л.А. Тема 1. −Основные понятия финансовых методов расчета −Простые и сложные проценты −Типы процентных ставок −Эффективная процентная ставка −Учетная ставка −Процентные ставки в условиях инфляции Лекция №1. 2 Время как фактор в финансовых расчетах ❑Деньги могут эффективно использоваться, как финансовый актив, приносящий доход, то есть их можно инвестировать и тогда они будут приносить доход. ❑Инфляционные процессы обесценивают деньги во времени, то есть сегодня на рубль можно купить товара больше чем завтра. ❑Неопределенность будущего и связанный с этим риск повышают ценность имеющихся денег. Имея рубль сегодня его уже можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра – еще вопрос. Лекция №1. 3 Основные понятия финансовых операций −P – первоначальная сумма долга (present value); −I – проценты за весь срок ссуды; −S – наращенная сумма в конце срока; −i – ставка простого процента (в годовом начислении); −T – срок ссуды; −t – период начисления; −n = T / t – количество периодов начисления процентов. Тогда P · I – начисленные проценты за один период. Лекция №1. 4 Основные понятия финансовых операций −Процент – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой ее форме; −Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби; −Период начисления – интервал времени, к которому приурочена процентная ставка; −Капитализация процентов – присоединение начисленных процентов к основной сумме; Лекция №1. 5 Основные понятия финансовых операций −Наращение – увеличение первоначальной суммы в связи с капитализацией; −Дисконтирование – приведение стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, обычно более ранний, период времени (операция обратная наращению); −Реальная стоимость денег – то количество потребительских благ, которое можно приобрести в обмен на определенную денежную сумму; −Индекс инфляции – среднегодовой индекс прироста потребительских цен. Лекция №1. 6 Наращение капитала по процентной ставке Долю 𝑖 величины капитала 𝑎 называют процентной ставкой. Процент 𝑝 связан с процентной ставкой формулой 𝑝 = 100 ⋅ 𝑖. За один период времени (например год) капитал может увеличится на 𝑝%. Тогда наращенный капитал вычисляется по формуле 𝑝 𝑎+ 𝑎 = 𝑎 + 𝑖𝑎 = 𝑎(1 + 𝑖) 100 Лекция №1. 7 Простые процентные ставки −Проценты за весь срок рассчитываются по формуле I = P · i · n. −Сумма, образованная к концу срока, будет следующей: S = P + P · i · n = P · (1 + i · n). −Формула S = P · (1 + i · n) называется формулой простых процентов, множитель (1 + i · n) – множитель наращения простых процентов Лекция №1. 8 Сложные проценты В принятых нами обозначениях наращенная сумма будет равна: 𝑆 = 𝑃 · 1 + 𝑖 · 1 + 𝑖 · … · 1 + 𝑖 = 𝑃 · 1 + 𝑖 𝑛, где P – первоначальная сумма долга, i – процентная ставка, n – количество периодов начисления. Формула 𝑆 = 𝑃 · 1 + 𝑖 процентов, 1 + 𝑖 Лекция №1. 𝑛 𝑛 называется формулой сложных – множителем наращения по сложным процентам. 9 Сложные проценты При плавающих, или переменных, процентных ставок наращенная сумма рассчитывается так 𝑆 = 𝑝 · 1 + 𝑖1 𝑛1 · 1 + 𝑖2 𝑛2 · … · 1 + 𝑖𝑘 𝑛𝑘 , где 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 – последовательные во времени значения процентных ставок, 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 – длительность периодов, в течении которых используются соответствующие ставки. Лекция №1. 10 Простые процентные ставки В коммерческой практике применяются три вида процентов: −Точные проценты с точным числом дней в году и точным числом дней ссуды 𝑡 𝑛= , 𝑇𝑇 где 𝑡 − точное число дней ссуды и 𝑇𝑇 = 365 или 366 дней Лекция №1. 11 Простые процентные ставки −Коммерческие проценты с точным числом дней ссуды 𝑡 𝑛= , 𝑇0 где 𝑇0 = 360 дней −Коммерческие проценты с приближенным числом дней ссуды 𝑡0 𝑛= , 𝑇0 где 𝑡0 − продолжительность ссуды определяется числом месяцев, когда все месяцы содержат по 30 дней, и дней ссуды. Лекция №1. 12 Кратное начисление процентов Наращенная величина при S𝑡,𝑚 при условии, что проценты начисляются 𝑚 раз в год (например, 𝑚 = 4 ежеквартально, 𝑚 = 12 ежемесячно). В случае простых процентов S𝑡,𝑚 Лекция №1. 𝑖 = 𝑃 ⋅ 1 + 𝑚𝑡 = 𝑃 1 + 𝑖𝑡 . 𝑚 13 Номинальная ставка процентов −Пусть годовая ставка сложных процентов равна 𝑖, а число периодов начисления в году 𝑚. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке 𝑖/𝑚. −Ставка 𝑖 − называется номинальной. −Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле 𝑁 𝑖 𝑆 =𝑃⋅ 1+ , 𝑚 где 𝑁 − число периодов начисления (𝑁 = 𝑚 ⋅ 𝑛, может быть и дробным числом). Лекция №1. 14 Непрерывное начисление процентов Если частота начисления сложных процентов неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. Наращенная величина вычисляется с помощью второго замечательного предела 𝑚𝑡 𝑖 𝑆𝑡,∞ = lim 𝑃 ⋅ 1 + = 𝑃𝑒 𝑖𝑡 𝑚 →∞ 𝑚 Процентную ставку называют силой роста и обозначают через . Формула непрерывного начисления процентов 𝑆 𝑡 = 𝑃𝑒 𝑡 Лекция №1. 15 Момент начисления процентов ❑Антисипативный (предварительный) — начисление процентов происходит в начале расчетного периода. ❑Декурсивный (последующий)— начисление процентов происходит в конце расчетного периода. Лекция №1. 16 Эквивалентность процентных ставок Схемы начисления процентов называются эквивалентными, если коэффициенты наращения по этим схемам одинаковы. Исследуем эквивалентность простой и сложной формул начисления процентов, исходя из условия 𝑆𝑛,пр = 𝑆𝑛,сл 𝑃 1 + 𝑛𝑖𝑛𝑝 = 𝑃 1 + 𝑖сл 𝑛 𝑖пр Лекция №1. 1 + 𝑖сл = 𝑛 𝑛 −1 17 Эффективная процентная ставка Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую ставку сложных процентов 𝑖эфф , начисление по которой эквивалентно начислению по первоначальной схеме. Ставка 𝑖эфф называется эффективной процентной ставкой. Лекция №1. 18 Эффективная процентная ставка Обозначим через 𝑗 номинальную процентную ставку при p-кратном начислении процентов. Тогда 𝑝 𝑗 𝑖эфф = 1 + −1 𝑝 В случае непрерывного начисления процентов с силой роста  𝑖эфф = 𝑒  − 1 Лекция №1. 19 Эффективная процентная ставка Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или сравнить различные схемы начисления процентов. Лекция №1. 20 Дисконтирование Дисконтирование означает приведение стоимостного показателя, относящегося к будущему, на некоторый, более ранний момент времени, т.е. это процесс нахождения сегодняшней стоимости будущего платежа, по величине S определяется P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом. Величину P, найденную с помощью дисконтирования, называют современной капитализированной стоимостью. Лекция №1. 21 Дисконтирование Математическое дисконтирование− решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑛𝑖 ), то в обратной находится 1 𝑃 =𝑆⋅ 1 + 𝑛𝑖 Здесь 1 1+ 𝑛𝑖 − дисконтный множитель, показывающий, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен 𝐷 = 𝑆– 𝑃 Лекция №1. 22 Дисконтирование Из формулы простых процентов получим 𝑆 𝑃 = , 1 + 𝑛 · 𝑖 1/(1 + n · i) – дисконтный множитель, D = S – P – дисконт. Из формулы сложных процентов получим 𝑃 = 1/ 1 + 𝑖 Лекция №1. 𝑛 𝑆 , 1+𝑖 𝑛 – дисконтный множитель, D = S – P – дисконт. 23 Банковский учёт Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств по цене меньшей номинальной. Примером может служить вексель ─ долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определённую денежную сумму (номинал) в определённый срок. В случае покупки денежного обязательства из номинальной стоимости удерживается дисконт 𝐼𝑡 так что 𝑃 = 𝑆𝑡 − 𝐼𝑡 Лекция №1. 24 Банковский учёт Дисконт вычисляется с помощью учётной ставки 𝑑 Различают простую и сложную учётную ставку. В случае простой учётной ставки 𝐼𝑡 = 𝑆𝑡 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑡 𝑃 = 𝑆𝑡 (1 − 𝑡𝑑) Для сложной учётной ставки 𝑃 = 𝑆𝑡 1 − 𝑑 Лекция №1. 𝑡 25 Эффективная учётная ставка Пусть 𝑑эфф ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтирования) при кратности начисления 𝑚. Эффективная ставка определяется исходя из принципа эквивалентности 𝑛𝑚 𝑚 𝑑 𝑑 𝑛 𝑃 1 − 𝑑эфф = 𝑃 1 −  𝑑эфф = 1 − 𝑚 𝑚 Обратно учётная ставка выражается через эффективную учётную ставку 𝑑эфф 𝑑 =𝑚 1− Лекция №1. 𝑚 1 − 𝑑эфф 26 Количество лет для увеличения начальной суммы в N раз −Для простых процентов −Для сложных процентов 𝑁−1 𝑛= 𝑟 𝑇 ln 𝑁 𝑛= = 𝑇0 ln(1 + 𝑟) ln 𝑁 m(ln(1 + 𝑟/𝑚)) Лекция №1. 27 Процентная ставка в условиях инфляции Если имеется инфляция, то для сохранения заданной доходности необходимо учитывать темп инфляции и расчеты проводить по процентной ставке, учитывающей инфляцию. В некоторых странах для компенсации инфляции используется метод индексации первоначальной суммы платежа. Эта сумма индексируется периодически с помощью заранее оговоренного коэффициента. Лекция №1. 28 Учёт инфляции Темп инфляции равен 𝑆1 − 𝑃 =𝛼 𝑃 𝑆1 − стоимость товара через период, например, через год 𝑃 − стоимость товара в начале периода. Очевидно, что из-за инфляции на ту же сумму денег можно купить меньше. Для того, чтобы купить такое же количество товара нужна сумма 𝑆1 = 𝑃(1 + 𝛼) Лекция №1. 29 Учёт инфляции Говорят, что инфляция составляет долю α в год. Если стоимость товара за год увеличивается в (1+α) раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в 1+α раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы 𝑆1 = 𝑃(1 + 𝑖) будет в (1+α) меньше. Лекция №1. 30 Формула Фишера Формула ставки процента с учётом инфляции, называемая формулой Фишера 𝑖−𝛼 𝑖𝛼 = 1+𝛼 При малой инфляции реальная процентная ставка меньше номинально (примерно на величину инфляции). Лекция №1. 31 Формула Фишера При достаточно высокой инфляции реальная ставка 𝑖𝛼 может стать отрицательной. В такой ситуации кредитор будет работать себе в убыток, а заемщик обогащаться. Чтобы этого не произошло, необходимо скорректировать номинальную процентную ставку 𝑖, по которой происходит наращение. Она должна по крайней мере не быть ниже ставки инфляции 𝑖≥𝛼 Лекция №1. 32 Формула Фишера Такая процентная ставка обеспечивает реальную эффективность кредитных операций. Полученная зависимость номинальной процентной ставки от темпа инфляции может быть проверена статистическими методами, например, построить регрессионную модель. Такая проверка была проведена. Предсказанная линейная зависимость подтвердилась. Лекция №1. 33 Темп инфляции за несколько периодов Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 равны 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 соответственно. Найдём темп инфляции за период 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡𝑛 . Ввиду того, что уровень цен вычисляется исходя из цен предыдущего, а не начального периода, темп инфляции за период 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡𝑛 равен 𝛼 = 1 + 𝛼1 1 + 𝛼2 … 1 + 𝛼𝑛 − 1 Лекция №1. 34 Темп инфляции за несколько периодов Как видим суммарный темп инфляции не равен сумме инфляций. Для равных темпов инфляции 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 общий темп вычисляется по формуле 𝛼 = 1 + 𝛼1 𝑛 −1 Зная суммарный темп инфляции 𝛼, можно вычислить темп инфляции 𝛼1 за малый период 𝛼1 = Лекция №1. 𝑛 1+𝛼−1 35 Учет налогов ❑Проценты по вкладу в банке не облагаются налогами, если они не превышают ставку рефинансирования Банка России +5% (𝑖0 ). В противном случае с процентов, превышающих 𝑖0 взимается налог t = 35%. Эффективную процентную ставку можно найти из соотношения 𝑆 = 𝑃 1 + 𝑖 − 𝑡 𝑖 − 𝑖0 = 𝑃(1 + 𝑖эфф ) Отсюда 𝑖эфф = 𝑖 1 − 𝑡 + 𝑡𝑖0 Лекция №1. 36 Учет налогов ❑Проценты за кредит исключаются из налогооблагаемой базы, если они не превышают 𝑖 ∗ . ▪Если кредитная процентная ставка не превышает 𝑖 ∗ , то эффективная ставка по взятому кредиту D равна 𝑖эфф = 𝑖 1 − 𝑡 ▪Если кредитная процентная ставка превышает 𝑖 ∗ , то эффективная ставка равна 𝑖эфф = 𝑖 1 − 𝑡 + 𝑡𝑖 Лекция №1. 37 Тема 2 ❑Денежные потоки ❑Приведенная стоимость потока ❑Ренты Лекция №2. 38 Потоки платежей Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Лекция №2. 39 Финансовые потоки Платёж 𝑃, произведённый в момент времени 𝑡, называется финансовым событием и обозначается упорядоченной парой (𝑃, 𝑡) или 𝑡, 𝑃 . Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий 𝑃0 , 𝑡0 , 𝑃1 , 𝑡1 , 𝑃2 , 𝑡2 , … , 𝑃𝑛 , 𝑡𝑛 называется дискретным финансовым потоком. Лекция №2. 40 Финансовые потоки Финансовые потоки обозначатся символом CF (cash flow) 𝐶𝐹 = { 𝑃0 , 𝑡0 , 𝑃1 , 𝑡1 , 𝑃2 , 𝑡2 , … , 𝑃𝑛 , 𝑡𝑛 } Современная величина потока платежей (А,РV) - сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр. Лекция №2. 41 Приведённая величина финансового потока Для того, чтобы вычислить величину потока в какой то момент времени 𝑡 необходимо каждый платёж привести к этому моменту времени по некоторой процентной ставке 𝑖, которая предполагается известной и неизменной для всего потока, и затем суммировать эти дисконтированные платежи. Обычно дисконтирование происходит по схеме сложных процентов. Лекция №2. 42 Приведённая величина финансового потока Сумма всех платежей денежного потока, приведенных к некоторому моменту времени 𝑡, называется текущим или приведенным значением потока в момент времени 𝑡 и обозначается 𝑃𝑉𝑡 (𝐶𝐹, 𝑖) (present value) или или просто 𝑃𝑉𝑡 𝑃0 𝑃1 𝑃𝑉𝑡 = + +⋯ 𝑡 −𝑡 𝑡 −𝑡 1 1+𝑖 1+𝑖 При 𝑡0 = 0 приведенное значение потока называется современной величиной и обозначается 𝑃𝑉. Лекция №2. 43 Будущее накопленное значение Величина потока в момент времени 𝑡 𝑃 = 𝑃0 1 + 𝑖 𝑡−𝑡0 + 𝑃1 1 + 𝑖 𝑡−𝑡1 + ⋯ + 𝑃𝑛 1 + 𝑖 𝑡−𝑡𝑛 = 𝑛 = ෍ 𝑃𝑘 1 + 𝑖 𝑡−𝑡𝑘 𝑘=0 Лекция №2. 44 Будущее накопленное значение Заменяя 𝑡 − 𝑡𝑘 и 𝑡 − 𝑡𝑛 + 𝑡𝑛 − 𝑡𝑘 и вынося общий множитель 1 + 𝑖 𝑡−𝑡𝑛 за скобки, получим связь между величинами потока в моменты времени 𝑡 и 𝑡𝑛 𝐹𝑉𝑡 = 𝐹𝑉𝑡𝑛 1 + 𝑖 Лекция №2. 𝑡−𝑡𝑛 45 Наращенная сумма потока платежей Наращенная сумма потока платежей (S, FV) − это сумма всех членов последовательности платежей R с начисленными на них процентами к концу срока ренты. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма задолженности Лекция №2. 46 Наращенная сумма потока платежей Логика финансовых операций по определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена Лекция №2. 47 Средний срок финансового потока Для финансового потока 𝐶𝐹 = { 𝑃1 , 𝑡1 , 𝑃2 , 𝑡2 , … , 𝑃𝑛 , 𝑡𝑛 } можно рассчитать средний срок по приближенной формуле 𝑃1 𝑡1 + 𝑃2 𝑡2 + ⋯ + 𝑃𝑛 𝑡𝑛 𝑡= 𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑛 Лекция №2. 48 Дюрация Дюрация потока платежей величина 𝑡1 , 𝑃1 , 𝑡2 , 𝑃2 , … , 𝑡𝑛 , 𝑃𝑛 − это 𝑛 𝐷 = ෍ 𝑤𝑘 ⋅ 𝑡𝑘 , 𝑘=1 где 𝑤𝑘 = 𝑃𝑘 1+𝑖 −𝑡𝑘 −𝑡𝑙 . σ𝑛 𝑃 1+𝑖 𝑙=1 𝑙 𝑃1 1 + 𝑖 −𝑡1 ⋅ 𝑡1 + ⋯ + 𝑃𝑛 1 + 𝑖 −𝑡𝑛 ⋅ 𝑡𝑛 𝐷= 𝑃1 ⋅ 1 + 𝑖 −𝑡1 + ⋯ + 𝑃𝑛 ⋅ 1 + 𝑖 −𝑡𝑛 Лекция №2. 49 Дюрация потока платежей Формула среднего срока потока платежей является приближенной, так как не учитывает срока поступления каждого платежа. Если все платежи привести к начальному моменту времени (или любому одинаковому моменту времени), то по аналогии со средним сроком потока платежей получим точную среднюю продолжительность потока, называемую дюрацией (duration). Лекция №2. 50 Пример Найти средний срок потока 𝐶𝐹 = {(0,100),(1,200),(2,400),(3,100)} По предыдущей формуле 𝑃1 𝑡1 + ⋯ + 𝑃𝑛 𝑡𝑛 100 ⋅ 0 + 200 ⋅ 1 + 400 ⋅ 2 + 100 ⋅ 3 𝑡= = = 1,625 𝑃1 + ⋯ + 𝑃𝑛 100 + 200 + 400 + 100 Если все платежи положительные, то 𝑡1 < 𝑡 < 𝑡𝑛 в общем же случае средний срок потока может лежать вне временного интервала платежей. Лекция №2. 51 Обыкновенные ренты Поток положительных платежей, разделённых равными временными интервалами, называется финансовой рентой, или просто рентой. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется периодом ренты (rent period, payment period). Считается, что каждый платёж производится либо в начале соответствующего периода, либо в конце. Лекция №2. 52 Обыкновенные ренты В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity due), во втором ─ постнумерандо (ordinary annuity). Ренты с конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между началом первого периода и окончанием последнего называется сроком конечной ренты. Лекция №2. 53 Обыкновенные ренты Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, вечными или перпетуететами (perpetuity). Если же платежи равны между собой, ренту называют постоянной. Рента описывается следующими параметрами: • размером отдельного платежа (член ренты), • периодом и сроком ренты, • числом платежей в году p (p-срочные ренты). Существуют также непрерывные ренты, 𝑝 → ∞. Лекция №2. 54 Общая постоянная рента Последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты 𝑛 (число лет) с 𝑚-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке 𝑖 (десятичная дробь). Наращенная сумма S и современная величина А общей ренты составят 𝐴= 𝑖 1− 1+ 𝑚 𝑖 1+ 𝑚 Лекция №2. 𝑚 𝑝 −𝑚⋅𝑛 𝑅 ⋅ 𝑝 −1 и 𝑆= 𝑖 1+ 𝑚 𝑚⋅𝑛 −1 𝑅 ⋅ 𝑚 𝑝 𝑝 𝑖 1+ −1 𝑚 55 Коэффициенты приведения и наращения рент Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (𝑝 = 𝑚 = 1). В случае когда период постоянной ренты равен одному году рента называется годовой рентой или аннуитетом (annuity). Найдём текущую (приведённую) стоимость 𝐴 ренты постнумерандо {(0,0), (1, 𝑅), (2, 𝑅), … , (𝑛, 𝑅)} Лекция №2. 56 Коэффициенты приведения и наращения рент Вычислим приведённую величину по формуле 𝑅 𝑅 𝑅 𝐴= + + ⋯+ 2 1+𝑖 1+𝑖 1+𝑖 𝑛 Величина 𝐴 является суммой членов геометрической 𝑅 прогрессии с первым членом 𝑏1 = и знаменателем 1+𝑖 1 𝑞= . 1+𝑖 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝐴= ⋅𝑅 𝑖 Лекция №2. 57 Коэффициенты приведения и наращения рент Величина 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝑎𝑛|𝑖 ത = 𝑖 называется коэффициентом приведения ренты. Наращенная сумма определяется равенством 𝑛 1 + 𝑖 −1 𝑛−1 𝑛−2 𝑆 =𝑅 1+𝑖 +𝑅 1+𝑖 + ⋯+ 𝑅 = ⋅𝑅 𝑖 Лекция №2. 58 Коэффициенты приведения и наращения рент Величина 1+𝑖 𝑛−1 𝑠𝑛|𝑖 ത = 𝑖 называется коэффициентом наращения ренты. 𝑛 𝑠𝑛|𝑖 = 𝑎 ⋅ 1 + 𝑖 . ത ത 𝑛|𝑖 Лекция №2. 59 Коэффициенты приведения и наращения рент Содержательно величины 𝑠𝑛|𝑖 ത и 𝑎𝑛|𝑖 ത можно трактовать как соответственно приведенную величину или наращенную сумму единичной годовой ренты 𝐻 = 0,0 , 1,1 , 2,1 , … , 𝑛, 1 . Формулы для вычисления приведенной величины и наращенной суммы (на конец года 𝑛) годовой авансированной ренты вида 0, 𝑅 , 1, 𝑅 , … , 𝑛 − 1, 𝑅 , 𝑛, 0 получаются из соотношения для A и S умножением на коэффициент (1 + 𝑖). Лекция №2. 60 Расчет параметров ренты Рассмотрим параметры, характеризующие ренту: • срок ренты 𝑛, • размер отдельного платежа 𝑅, • процентную ставку 𝑖, • наращенную сумму 𝑆, • приведённую величину 𝐴. Лекция №2. 61 Расчет параметров ренты ❑ Если известны 𝐴, 𝑖, 𝑅, то 𝑛 вычисляется из уравнения 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝐴= ⋅𝑅 𝑖 1 𝐴⋅𝑖 =1− 𝑛 1+𝑖 𝑅 𝐴⋅𝑖 ln 1 − 𝐴⋅𝑖 𝑅 −𝑛 ln 1 + 𝑖 = ln 1 −  𝑛=− 𝑅 ln(1 + 𝑖) Лекция №2. 62 Расчет параметров ренты ❑ Если известны 𝑆, 𝑖, 𝑅, то 𝑛 вычисляется из уравнения 1+𝑖 𝑛−1 𝑆= ⋅𝑅 𝑖 𝑆⋅𝑖 𝑛 1+𝑖 =1+ 𝑅 𝑆⋅𝑖 ln 1 + 𝑆⋅𝑖 𝑅 𝑛 ln 1 + 𝑖 = ln 1 +  𝑛= 𝑅 ln(1 + 𝑖) Лекция №2. 63 Расчет параметров ренты ❑ Если известны 𝑛, 𝑖, 𝐴, то 𝑅 вычисляется из уравнения 1− 1+𝑖 𝐴= 𝑖 −𝑛 𝐴⋅𝑖  𝑅= 1− 1+𝑖 Лекция №2. ⋅𝑅 −𝑛 64 Вечные ренты Если рента выплачивается бесконечно долго, 𝑛 → ∞, то наращенная сумма не существует, (S → ∞ ). Однако приведённая величина существует. Можно вычислить сумму денег 𝐴, которую надо положить на счёт, чтобы из этой суммы ежегодно выплачивался платёж 𝑅. 𝑅 𝐴= . 𝑖 Лекция №2. 65 Основные модели и правила Модель мультисчета − ей соответствует финансовый поток, порождаемый открытием 𝑛 накопительных счетов. Коммерческое правило: все вложения и изъятия относят только к основному счету, а процентный счет при этом не изменяется. Актуарное правило: изъятие всегда начинается с процентного счета. Лекция №2. 66 Основные модели и правила Что делать, если снимаемая сумма больше основной? С формальной точки зрения можно выполнить все расчеты, если допустить отрицательные значения для основного капитала. Содержательно это означает, что вкладчик становится должником банка. Лекция №2. 67 Основные модели и правила На практике такая возможность реализуется в так называемом конкоррентном счете. Такой счет позволяет его владельцу иметь временный отрицательный баланс. Однако процентная ставка, которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше, чем ставка по положительному балансу, т. е. депозитной ставки. Лекция №2. 68 Основные модели и правила В общем случае определение текущей стоимости зависит от применяемой модели: современным эквивалентом всех будущих платежей потока является такая сумма А, что ее инвестирование сегодня в соответствии с выбранным правилом (актуарное, коммерческое, мультисчет) полностью обеспечивает все платежи потока. Лекция №2. 69 Основные модели и правила Так, для модели мультисчета текущая стоимость потока совпадает со стандартной текущей стоимостью А. Этот факт - естественное следствие полной независимости, которой обладают отдельные платежи потока в мультисчетной модели. Лекция №2. 70 Основные модели и правила Необходимость в определении современной величины ренты с простыми процентами возникает, например, во внешнеторговых операциях, когда оплата покупки производится с помощью портфеля векселей, сроки которых равномерно распределены во времени. Лекция №2. 71 Основные модели и правила В этой операции, отвечающей модели мультисчета, современная величина равна текущей стоимости этого портфеля и характеризует сумму, которую получит экспортер при одновременном учете всех векселей. Лекция №2. 72 Литература ❑Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В.,Финансовая математика. М., «Кнорус», 2013, 224 с. ❑Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Задачи по финансовой математике. М., «Кнорус», 2014, 285 с. ❑Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Математические методы финансового анализа. М. «Финуниверситет», 2011, 200 с. ❑Брусов П.Н., Филатова Т.В., Финансовый менеджмент. Финансовое планирование. М., «Кнорус», 2013, 226 с. 73