Элементы теории массового обслуживания

4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ   4.1. Постановка задачи   При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны – обслуживаемая и обслуживающая. Примерами процессов этого типа являются: 1)  обслуживание покупателей в сфере розничной торговли; 2)  транспортное обслуживание; 3)  медицинское обслуживание населения; 4)  ремонт аппаратуры, машин, механизмов, находящихся в эксплуатации; 5)  обработка документов в системе управления; 6)  туристическое обслуживание. Неотъемлемой частью системы массового обслуживания является узел обслуживания, через который осуществляется взаимодействие входного и выходного потоков заявок. В случае транспортного обслуживания каналом может считаться отдельная единица транспортного средства. Вид графической модели зависит как от числа каналов n, так и от допустимой длины очереди m. По указанным признакам различается ряд типов СМО, перечисленных в табл. 4.1.  Таблица 4.1 - Типы систем массового обслуживания № п/п Параметры СМО Тип СМО n m 1 1 Одноканальная, без очереди 2 n > 1 Многоканальная, без очереди 3 1 1 < m <∞ Одноканальная, с ограниченной очередью 4 n > 1 1 < m <∞ Многоканальная, с ограниченной очередью 5 1 m = ∞ Одноканальная, с неограниченной очередью 6 n > 1 m = ∞ Многоканальная, с неограниченной очередью  По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО. Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием. Часть заявок, ожидающих обслуживания, образует очередь. В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СМО: 1) m = 0 – без очереди; 2) m > 0 – с очередью. Если число мест в очереди m является конечным, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СМО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m = 0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СМО. Таким образом, пропускная способность СМО этого типа всегда меньше 100 %. Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = , то соответствующая СМО называется системой с ожиданием. В СМО данного типа пришедшая заявка при отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.   4.2. Примеры решения задач систем массового обслуживания  Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 4.2–4.4. Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул: n – число каналов в СМО; λ – интенсивность входящего потока заявок Пвх; v – интенсивность выходящего потока заявок Пвых; μ – интенсивность потока обслуживания Поб; ρ – показатель нагрузки системы (трафик); m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок; i – число источников заявок; pк – вероятность k-го состояния системы; pо – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны; pсист – вероятность принятия заявки в систему; pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему; роб – вероятность того, что заявка будет обслужена; А  – абсолютная пропускная способность системы; Q – относительная пропускная способность системы; оч – среднее число заявок в очереди; об – среднее число заявок под обслуживанием; сист – среднее число заявок в системе; оч – среднее время ожидания заявки в очереди; об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам; сис – среднее время пребывания заявки в системе; ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;  – среднее число занятых каналов. Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени. Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок. При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности: 1)  определение типа СМО по табл. 4.1; 2)  выбор формул в соответствии с типом СМО; 3)  решение задачи; 4)  формулирование выводов по задаче. Вариант выбирается следующим образом: две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида. Задача 1. На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью 0,9 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава 0,7 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.2). Таблица 4.2 - Исходные данные для решения задачи 1 Показатель Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 λ 0,5 0,8 0,4 0,6 0,7 0,5 0,7 0,6 0,8 0,4 об 0,3 0,5 0,6 0,9 0,2 0,2 0,4 0,8 0,3 0,5 Решение. Сортировочную станцию можно рассматривать как одноканальную СМО с неограниченным ожиданием (т. е. с очередью). Таким образом, параметры системы: число каналов n = 1, число мест в очереди m = . Интенсивность входящего потока λ = 0,9 состава в час, среднее время обслуживания одной заявки об = 0,7 ч, интенсивность потока обслуживаний ,                                             (4.1) μ = 1/0,7 = 1,429. Таким образом, нагрузка системы ,                                         (4.2) ρ = 0,9/1,429 = 0,63, или ρ = 0,9 ∙ 0,7 = 0,63. Среднее число составов, ожидающих обслуживания, ,                                             (4.3) оч = 0,632/(1 – 0,63) = 1,073. Так как ρ < 1, то очередь составов на сортировку не может бесконечно возрастать, значит, предельные вероятности существуют. Вероятность того, что станция свободна p0, рассчитывается по следующей формуле: pk = ρk(1 – ρ); k = 0,1,2… p0 =1 – ρ.                                              (4.4) p0 = 1 – 0,63 = 0,37, тогда вероятность того, что станция занята pзан = 1 – – 0,37 = 0,63. Среднее число заявок (составов) в системе (на сортировочной станции) рассчитывается по следующей формуле: ,                                  (4.5) где ; сист = 0,63/1 – 0,63 = 1,703 или сист = 0,63 + 1,073 = 1,703. Среднее время пребывания заявки (состава) в очереди (в ожидании сортировки) ,                               (4.6) оч = 1,073/0,63 = 0,632/(0,9(1 – 0,63)) = 0,63/(1,429(1 – 0,63)) = 1,19. Среднее время пребывания заявки (состава) в системе (на сортировочной горке под обслуживанием в ожидании обслуживания) ,                 (4.7) сист = 0,7 + 1,19 = 0,63/(0,9(1 – 0,63)) = 1,703/0,9 = 1/(1,429(1 – 0,63)) = 1,89. Вывод. Очевидно, что скорость обслуживания составов на сортировочной станции невысокая, так как время на ожидание обслуживания (1,19 ч) превышает время на обслуживание (0,7 ч). Для повышения эффективности работы сортировочной горки необходимо уменьшить время обслуживания одного состава или увеличить число сортировочных станций. Задача 2. Интенсивность потока пассажиров в кассах железнодорожного вокзала составляет λ = 1,35 чел. в мин. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного пассажира об = 2 мин. Определить минимальное количество кассиров n = nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = nmin (вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, вероятность очереди, среднее число заявок находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число заявок, находящихся в системе, среднее время пребывания заявки в системе, доля занятых обслуживанием кассиров, абсолютная пропускную способность) (табл. 4.3). Таблица 4.3 - Исходные данные для решения задачи 2 Показатель Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 λ 1,37 1,62 1,42 1,83 1,75 1,55 1,4 1,65 1,7 1,3 об 2,3 2 1 2,5 1,5 1,7 1,2 2,6 1 2,5   Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t → , очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ < 1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ /n < 1, т. е. при n > ρ. Решение. n > 1, m = , т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию λ = 1,35 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): ρ = 1,35∙2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров nmin = 3. Найдем характеристики обслуживания СМО при nmin = 3. Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, определяется по формуле ,                      (4.8) р0 = (1 + 2,7 + 2,72/2! + 2,73/3! + 2,74/3! ∙ (3 – 2,7))–1 = 0,025, т. е. в среднем 2,5 % времени контролеры-кассиры будут простаивать. Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле ,                                        (4.9) Роч = (2,74/3!(3 – 2,7)) ∙ 0,025 = 0,735. Среднее число покупателей, находящихся в очереди, определяется по формуле ,                                        (4.10) оч = (2,74/3 ∙ 3!(1 – 2,7/3)2) ∙ 0,025 = 7,35. Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле ,                                          (4.11) оч = 7,35/1,35 = 5,44 мин. Среднее число покупателей в узле расчета определяется по формуле ,                                           (4.12) сист = 7,35 + 2,7 = 10,05. Среднее время нахождения покупателей  в узле расчета определяется по формуле ,                                     (4.13) сис = 10,05/1,35 = 7,44 мин. Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, определяется по формуле ,                                     (4.14)  = 2,7. Коэффициент  (доля)   занятых  обслуживанием  контролеров-кассиров  = ρ/n = 2,7/3 = 0,9. Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т. е. 81 покупатель в час. Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех кассиров. Задача 3. На грузовой станции имеется два выгрузочных фронта. Интенсивность подхода составов под выгрузку составляет 0,4 состава в сутки. Среднее время разгрузки одного состава – 2 суток. Приходящий поезд отправляется на другую станцию, если в очереди на разгрузку стоят более трёх составов. Оценить эффективность работы выгрузочных фронтов грузовой станции: вероятность, что выгрузочные фронты свободны, вероятность, что состав останется без разгрузки, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число поездов, ожидающих разгрузки, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.4). Таблица 4.4 - Исходные данные для решения задачи 3 Показатель Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 λ 0,5 0,9 0,5 0,3 0,6 0,8 0,9 0,4 0,6 0,5 об 2 1 1,5 1,4 1,3 1,2 1,5 2 1,9 1,4 Решение. По условию задачи n = 2, m = 3, т. е. грузовая станция представляет собой многоканальную систему с ограниченной очередью. Интенсивность потока обслуживаний определяется по формуле (4.1): μ =1/2 = 0,5. Интенсивность нагрузки канала (трафик) определяется по формуле (4.2): ρ = 0,4 ∙ 2 = 0,8. Вероятность того, что выгрузочный фронт свободен, определяется по формуле ,                     (4.15) р0 = 0,431. Вероятность того, что состав будет отправлен на другую станцию, определяется по формуле ,                                (4.16) ротк = 0,009. Относительная пропускная способность определяется по формуле ,                                         (4.17) Q = 1 – 0,009 = 0,991. Абсолютная пропускная способность определяется по формуле ,                                            (4.18) А = 0,4 ∙ 0,991 = 0,396, т. е. в среднем в сутки разгружается 0,4 состава. Среднее число составов, ожидающих разгрузки, определяется по формуле ,                       (4.19) где = 0,21. Среднее время ожидания разгрузки определяется по формуле (4.11): оч = 0,21/0,4 = 0,524. Среднее число занятых фронтов (среднее число заявок под обслуживанием) определяется по формуле ,                                    (4.20)  = 0,77. Среднее число составов, находящихся у разгрузочного фронта определяется по формуле ,                                      (4.21) сист = 0,21 + 0,77 = 0,98. Среднее время пребывания состава у разгрузочного фронта определяется по формуле (4.14): сис = 1,564/0,4 = 3,908. Вывод. Среднее время пребывания состава в ожидании разгрузки на другой станции невелико. Это говорит о нормальной работе выгрузочного узла.