Электродинамика и распространение радиоволн

Лектор – доцент Яшнов Владимир Александрович Н. Новгород 2022 г. Излучение ЭМВ Плотность энергии ЭМП Уравнения Максвелла   D   rot H   j , (1) div D   , (3) t    B rot E   , (2) div B  0.(4) t  Вектор Пойнтинга       S  E , H , (7 ) Материальные соотношения     D   0 E , B  0 H ,  1   w  ED  HB , (6) 2    стор  j  E  E .(5) Векторный и скалярный потенциалы    B  rot A, (8)  A E    .(9) Подставим (8) и (9) в (1) t     A  rotrot A  0 j   0 0     , (10) t  t  2 Излучение ЭМВ Преобразуем уравнение (10)     A     A   0 0 2   0 j   divA   0 0 , (11) t t   2 Подставим (9) в (2)   A    div      , t   0       div A   , (12) t  0 Формулы (8) и (9) не позволяют однозначно определить потенциалы. Для упрощения уравнения (11) можно наложить на потенциалы условие   divA   0 0  0.(13) - калибровка Лоренца. t С учётом калибровки уравнения для потенциалов принимают вид  2    A A   0 0 2   0 j , (14) t  2     0 0 2   .(15) t  0 3 Излучение ЭМВ Функция Грина Компоненты векторного потенциала и скалярный потенциал удовлетворяют уравнению одного и того же вида  1  2   2 2   f r , t , (16) v t v2  1 .  0 0 2 1  Введём дифференциальный оператор Lˆ    2 2 v  t   Функция Грина G r , t ; r , t  является решением уравнения   ˆ LG   r  r  t  t .(17) Если функция Грина известна, то решение уравнения (16) может быть записано в виде       r , t    G r , t ; r , t  f r , t dr dt.(18) 4 Излучение ЭМВ Функция Грина для неограниченного пространства Дельта-функции могут быть представлены в виде интегралов Фурье    r  r  t  t   1 2   4 e    i k  r  r   t t    dkd.(19) Решение уравнения (17) также можно представить в виде интегралов Фурье. В результате получается выражение для функции Грина   1  t  r  r  / v  t  G r , t ; r , t   .(20)   4 r  r   Решение уравнения (16) может быть записано в виде  1  r , t   4       f r , t  r  r  / v  dr .(21)   r  r - запаздывающие потенциалы. 5 Излучение ЭМВ Скалярный потенциал диполя, изменяющегося во времени Используя формулу (21), можно записать   r , t   1 4 0    r0 , t  r  / c   dr .(22) r    Учитывая, что r   r  r0 , r   r 2  2rr0  r02 , можно выражение для r   разложить в ряд rr r  r  0   r Разложим в ряд подынтегральное выражение   r0 , t  r  / c  r      r0 , t  r / c  r r0    r0 , t  r / c  r   r   r0         r r r  r    r r  r    6 Излучение ЭМВ Скалярный потенциал диполя, изменяющегося во времени Тогда вместо (22) получаем   r , t    r  1  dV  r0 dV .(23)   4 0 r V 4 0 r r r V 1 1 Первый интеграл равен нулю, так как суммарный заряд диполя равен нулю. Второй интеграл есть момент диполя      t  r / c .(24) r  r , t  r / c dV  p 0 0 V Следовательно, потенциал диполя определяется выражением     1 pt  r / c   1 r   pt  r / c   или  r , t    div .(26)  r , t     .(25) 4 0 r 4 0 r r  r  7 Излучение ЭМВ Векторный потенциал диполя, изменяющегося во времени Из формулы (21) следует   0 Ar , t   4    j r0 , t  r  / c  dV .(27) r Разлагая в ряд подынтегральное выражение, получаем   0   0   Ar , t   j r , t  r / c dV  4r V 4   r r0   j  V r r  r dV .(28) Первый интеграл в (28) не равен нулю, так как токи не замкнуты.       pt  r / c  Ar , t   0  .(29) 4r t  r        j r , t  r / c dV  pt  r / c .(30) V 0 t 8 Излучение ЭМВ Векторный потенциал рамки с током  Линии тока в рамке замкнуты, следовательно divj  0 . Тогда первый интеграл в формуле (28) обращается в нуль. Таким образом      rr   j  Ar , t    0  0  dV .(31) 4 V r r  r  Учитывая, что     j r0 , t  r / c  1      j r0 , t  r / c        j r0 , t  r / c  2 r  r r cr t  из (31) получаем    Ar , t   0 4  r r0 V r 3 r           j r , t  r / c  j r , t  r / c  0 dV .(32) c t       r r0   pm t  r / c , r  . Интеграл в первом слагаемом  3 j r0 , t  r / c dV  3 r r V 9 Излучение ЭМВ Векторный потенциал рамки с током Магнитный момент элементарного тока вычисляется по формуле    1   pm   r0 , j dV .(33) 2V Из формулы (32) получаем       0  pm t  r / c , r   0 1  pm t  r / c    Ar , t    , r .(34) 3 2  4 r 4 r c  t  Следует отметить, что поле магнитного момента мало по сравнению с полем электрического диполя. 10 Излучение ЭМВ Электрическое и магнитное поля линейного осциллятора Линейный осциллятор или вибратор – это диполь, момент которого меняется по закону   pt   p0 f t , (35) где f(t) – периодическая функция. Введём вектор Герца (поляризационный потенциал)   p0 f t  r / c    t , r    p0  t , r .(36) r Вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению   1  2   2 2  0.(37) c t 11 Излучение ЭМВ Электрическое и магнитное поля линейного осциллятора Воспользуемся следующими формулами:       1 r   pt  r / c  0   pt  r / c   r , t    Ar , t    .(25)  .(29) 4 0 r r  r  4r t  r  Выразим поля через потенциалы   0     0  B  rot A  rot  rot .(38) 4 t 4r t   2     A 1 E      div   0  2 t 4 0 4r t  2   1  1   1   div   2 2    rotrot .(39) 4 0  c t  4 0    1    r , p0 .(40) rot   rot p0  , p0   r r 12 Излучение ЭМВ Электрическое и магнитное поля линейного осциллятора Дальнейшие вычисления проведём в сферической системе  координат с осью z, направленной вдоль вектора p0 . r, p 0 r  r, p 0   0; Поэтому      rot r   rot   0; rot     sin  ; t Тогда  0  0  2 B  rot     sin  ; 41 Br  B  0; 4 t 4 tr  1 1  1 cos   Er  sin  rot     ; 42  4 0 r sin   2 0 r r    1 1  1 sin      E   r rot    r ; 43 4 0 r r 4 0 r r  r    E  0. 13 Излучение ЭМВ Электрическое и магнитное поля линейного осциллятора Если дипольный момент изменяется по гармоническому закону   p  p0 expit  , то вектор Герца имеет следующий вид:   e i  t  r / c    p0 ; (44) r Тогда 1 1  1 1  2  Er   2  i  2  sin  ; 46   2  i  cos  ; 45 E  2 0  r cr  4 0  r cr c   1   B  i 0   i  sin  ; 47  4  r c Поле осциллятора в волновой зоне ( k0 r  1 ) Er  E  0. Br  B  0. 1 2 E    sin  ; 48 2 4 0 c 0  2 B    sin  ; 49  4 c 14 Излучение ЭМВ Поле осциллятора в волновой зоне В формулах (48) и (49) в качестве можно взять вещественную часть выражения (44) cos  t  r / c    p0 ; (50) r Тогда 1 2 sin  E  cB   k0 p0 cos  t  r / c ; 51 4 0 r Поле осциллятора в волновой зоне - сферическая волна. Энергия, излучаемая осциллятором P S       E , H ds   E H  ds  S  2  4 p02 2 3   cos  t  r / c sin d  d  2 3  16  0 c 1 1  4 p02 2  cos  t  r / c ; 52 3 6 0 c 15 Излучение ЭМВ Энергия, излучаемая осциллятором Средняя за период мощность излучения равна 1 1  4 p02 P   Pdt  .53 3 T 0 12 0 c Излучение рамки с током Дипольный момент рамки с током равен нулю, следовательно, скалярный потенциал равен нулю. Поле определяется только векторным потенциалом.  T    A E   , B  rot A.(54) t Из формулы (34) следует, что в волновой зоне     0 1  pm t  r / c    Ar , t   , r .(55) 2  4 r c  t  16 Излучение ЭМВ Излучение рамки с током Напряжённость электрического поля определяется выражением    0 1   2 pm t  r / c    E , r .(56) 2  2 4 r c  t    Пусть pm t   pm 0 cos t.(57) Тогда из выражения (55) следует    0  sin  t  r / c     pm0 , r .(57) Ar , t   2 4 c r В сферической системе координат компоненты векторного потенциала равны Ar  A  0, 0  sin  t  r / c  A   pm 0 sin  .(58) 4 c r 17 Излучение ЭМВ Излучение рамки с током Компоненты вектора напряжённости электрического поля определяются выражениями Er  E  0, 0  2 sin  E  pm 0 cos  t  r / c .(59) 4 c r Компоненты вектора магнитной индукции имеют вид Br  B  0, 0  2 sin  B   pm 0 cos  t  r / c .(60) 2 4 c r Сравнение формул (59) и (60) показывает, что E  cB . 18 Излучение ЭМВ Излучение рамки с током Сравнение формул (59), (60) с формулой (51) показывает, что если взять pm 0  cp0 , то поля диполя и рамки с током связаны соотношениями E рамки   cB диполя , сВ рамки   E диполя . Мощность излучения рамки с током можно вычислить по формулам (52) и (53) с заменой p0  pm 0 / c . 19