Экономико-математические модели.Введение в экономико-математические модели

М.В.Облаухова Экономико-математические модели конспект лекций (модуль 1) Тема 1. Введение в экономико-математические модели 2 1.1. Модель и моделирование: основные понятия 2 1.2. Классификация экономико-математических моделей. 5 1.3. Особенности экономико-математического моделирования. 7 Вопросы для повторения 16 Литература 17 Тема 1. Введение в экономико-математические модели Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Однако методология моде­лирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. 1.1. Модель и моделирование: основные понятия Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Мы будем рассматривать только такие «модели», которые являются инструментами получения знаний. В научных исследованиях под моделью понимают материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Главная его особенность состоит в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания. Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно (когда объект недосягаем, как, например, ядро Земли и глубины Вселенной, либо еще реально не существует: будущее состояние экономики, будущие потребности общества и т.п.), или же это исследование требует много времени и средств. Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (иссле­дователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Сущность процесса моделирования схематически отображена на рисунке 1.1. Пусть имеется некоторый объект А, который необходимо исследовать. На первом этапе изучения мы конструируем или находим в реальном мире другой объект В – модель объекта А. Построение модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. При этом в модели должны быть отражены наиболее существенные черты оригинала. Следует отметить, что вопрос о степени сходства модели и оригинала является отдельной темой для исследования. Однако очевидно, что недопустимо ни полное копирование предмета исследования (зачем тогда модель?), ни слишком сильные различия. Любая модель замещает оригинал в ограниченных рамках, поскольку в ней обычно сконцентрировано внимание на отдельных сторонах (свойствах) объекта ценой отказа от исследования других сторон. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих его свойства с разных точек зрения. На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм исследования может быть проведение «модельных» экспериментов, при которых систематизируются данные о «поведении» модели в разных условиях функционирования. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели R. На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал – формирование множества знаний S. При этом знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств оригинала, которые не были отражены (либо были изменены) в модели. Иными словами, те результаты, которые связаны с отличием модели от оригинала, неправомерно использовать в дальнейших исследованиях. Четвертый этап – практическая проверка получаемых с помощью модели знаний и их использование в дальнейшем изучении объекта или управлении им. Этап 1 построение модели Этап 4 Этап 2 Этап 3 перенос знаний с модели на оригинал Рисунок 1.1.Схема процесса моделирования. Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания. Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточня­ются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Метод моделирования может применяться для исследования объектов любой природы. Все множество моделей делится на два класса: модели материальные (предметные) и модели идеальные (мысленные). Среди материальных моделей наибольшее распространение получили физические модели, представляющие собой материальные объекты той же природы, что и объект-оригинал. Физические модели широко используются в технических и естественных науках, однако в экономике возможности их применения (то есть – экспериментирование на реальных объектах) существенно ограничены. Класс идеальных моделей объединяет довольно разнообразные модели, среди которых наибольший интерес представляют знаковые модели, использующие определенный формализованный язык. В свою очередь, важнейшим видом знаковых моделей являются логико-математические модели, представляющие собой определенную систему математических отношений и логических выражений (функций, уравнений, неравенств, алгоритмов, и др.), отражающих существенные свойства исследуемого объекта. Именно логико-математические модели широко применяются в экономических исследованиях. Математическое моделирование в широком смысле — метод исследования, основанный на аналогии процессов и явлений, различных по своей природе, но описываемых одинаковыми математическими зависимостями. В современной научно-технической творческой деятельности математическое моделирование является, безусловно, важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления — доминирующей формой. Математическая модель любого объекта (процесса, явления) включает три группы элементов: • характеристики объекта, которые нужно определить - вектор Y = (Yi); • характеристики внешних, изменяющихся условий – X = (Xi); • совокупность внутренних параметров объекта – А. Множество условий и параметров (X и А) могут рассматриваться как экзогенные величины (определяемые вне модели), а величины Y - как эндогенные (определяемые с помощью модели). Таким образом, математическую модель можно интерпретировать как особый преобразователь внешних условий объекта («входа») в искомые характеристики объекта («выхода»). По способам выражения соотношений между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками математические модели делятся на два основных типа: • структурные, отражающие внутреннюю организацию объекта – его составные части, внутренние параметры, связи с входом и выходом; • функциональные, нацеленные на познание сущности объекта через важнейшие проявления этой сущности – деятельность, функционирование, поведение; внутренняя структура при этом не изучается (то есть – не используется информация об А), объект представляет собой по сути «черный ящик», о котором известны только значения «входа» и «выхода». 1.2. Классификация экономико-математических моделей. Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания. По целевому назначению экономико-математические модели делятся на: • теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов; • прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления). По исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить: • комплексные модели развития национальной экономики и ее отдельных подсистем — отраслей, регионов и т.д.; • модели развития отдельных секторов и сфер национальной экономики - модели производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д. Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования. В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Примерами функциональных моделей могут служить модели поведения потребителей и фирм, модели равновесия на отдельных рынках на микро- и макроуровне. Один и тот же объект может описываться и структурной, и функциональной моделью, в зависимости от целей исследования. По характеру использования модели подразделяются на: • дескриптивные (описательные); • нормативные (предполагающие целенаправленную деятельность). Примером дескриптивной модели являются некоторые виды производственных функций, функции покупательского спроса, а типичными примерами нормативных моделей выступают оптимизационные задачи. Следует отметить, что в зависимости от условий использования, одна и та же модель может быть и дескриптивной, и нормативной. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода или же для экстраполяционного прогноза. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития национальной экономики. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель (балансовая или оптимизационная) может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании. По характеру отражения причинно-следственных связей различают: • жестко детерминистские модели; • модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и не­определенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования. По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на: • статические, в которых все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени (например, году); • динамические, которые характеризуют изменения экономических процессов во времени; при этом по длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10—15 и более лет) прогнозирования и планирования; само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно (например, с шагом в один год). Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по типу математического аппарата, используемого в модели. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с матема­тической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличе­нии производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория «линейной экономики» существенно отличается от теории «нелинейной экономики». От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят аналитические выводы. Кроме того, по данному признаку можно выделить: матричные модели; модели линейного и нелинейного программирования; корреляционно-регрессионные модели; модели сетевого планирования; модели теории игр. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модели, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных пе­ременных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от «среды», т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости). По степени детализации элементов и взаимосвязей модели народнохозяйственного уровня подразделяются на агрегированные и детализированные. Для моделей с очень высокой степенью детализации моделируемых процессов часто используется краткий термин «микромодель», а для агрегированных моделей — термин «макромодель». В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные (территориальные) факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные. Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. 1.3. Особенности экономико-математического моделирования. В настоящее время математические модели экономики, отражающие с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем. Но так было не всегда, поэтому оглянемся назад, и вспомним историю сотрудничества математики и экономики. В хозяйственной практике человека математика используется с момента своего зарождения. На протяжении тысячелетий арифметика и геометрия использовались человеком для разнообразных хозяйственных измерений и вычислений. Долгое время развитие математики как науки было связано с потребностями естественных наук: физики, химии, астрономии. Лишь с выделением политической экономии и экономических наук в самостоятельную область исследований математические методы нашли для себя новое применение. Широкое использование математических методов в экономической науке стало возможным сравнительно недавно – с внедрением электронно-вычислительной техники, однако это не означает, что экономисты предшествующих поколений игнорировали этот богатый инструмент исследований. Первая в мире модель народного хозяйства была создана французским ученым Ф.Кенэ (1694-1774), который в 1758 году опубликовал первый вариант своей знаменитой «Экономический таблицы». «Экономическая таблица» Кенэ представляет собой схему процесса общественного воспроизводства: она раскрывает основные стадии воспроизводства, движение составных частей общественного продукта, взаимоотношение основных классов по поводу производства и распределения продукции и доходов. Опыт Кенэ был развит К.Марксом, разработавшим более развернутые схемы общественного воспроизводства, содержащие условия простого и расширенного воспроизводства в виде алгебраических уравнений и неравенств. Теоретические построения Кенэ и Маркса впоследствии легли в основу целого класса воспроизводственных моделей, к которым относятся: модель межотраслевого баланса, широко использовавшаяся в СССР; а также метод «затраты-выпуск», разработанный в США экономистом русского происхождения, Нобелевским лауреатом В.Леонтьевым, и применяемый в зарубежных экономических исследованиях. Наибольшее развитие экономико-математические исследования получили в конце XIX века. Родоначальником математической школы в политэкономии (экономической теории) считается французский ученый О.Курно (1801-1877), выпустивший в 1838 году книгу «Исследование математических принципов теории богатства». Видными представителями математической школы были также Г.Госсен (1810-1858), Л.Вальрас (1834-1910), У.Джевонс (1835-1882), Ф.Эджворт (1845-1926), В.Парето (1848-1923), В.Дмитриев (1868-1913). Представители математической школы первыми предприняли попытку исследовать математическими методами важнейшие положения экономической теории. Они утверждали, что «экономика - наука точная» и обосновать положения экономической теории можно только математически. Математическая школа внесла заметный вклад в разработку количественного аспекта многих экономических проблем. В современную экономическую науку вошли и широко используются предельные величины (затрат, дохода, производительности), понятия кривых безразличия и ядра экономической системы Ф.Эджворта, понятие многоцелевого оптимума В.Парето, модель общего экономического равновесия Л.Вальраса и др. На пороге XX века возникло статистическое направление, целью которого стало изучение экономических циклов и прогнозирование хозяйственной конъюнктуры на основе методов математической статистики. В рамках этого направления было разработано множество математико-статистических моделей экономических явлений, используемых для краткосрочного прогнозирования. Несмотря на то, что статистическое направление потерпело неудачу, не сумев предсказать «Великую депрессию», разработанные в его рамках методы обработки и анализа экономических данных широко используются и по сей день при разработке математических моделей для экономического анализа и прогнозирования. В 1930-х годах на базе математической школы и статистического направления возникло новое направление в экономической науке – «эконометрика». Основоположник эконометрики, норвежский ученый Р.Фриш (1895-1973) считал эту науку синтезом экономической теории, математики и статистики, однако до сих пор не существует общепринятого толкования этого термина. Ряд экономистов понимают под термином «эконометрика» использование статистических методов в экономических исследованиях: построение математико-статистических моделей экономических исследований, оценку параметров в экономико-математических моделях. Другие исследователи понимают эконометрику более широко – как совокупность различного рода экономических исследований, проводимых с использованием математических методов. В настоящее время использование математических методов в экономических исследованиях является основным направлением развития экономической науки. Среди Нобелевских лауреатов по экономике подавляющее большинство составляют экономисты, использующие в своих исследованиях экономико-математические методы: Р.Фриш, Я.Тинберген, П.Самуэльсон, Д.Хикс, К.Эрроу, В.Леонтьев, Т.Купманс. Важный вклад в развитие экономико-математических исследований внесли российские и советские ученые, среди которых особо следует отметить В.Дмитриева (1868-1913), Е.Слуцкого (1880-1948), Л.Канторовича (1912-1986), В.Новожилова (1892-1970), В.Немчинова (1894-1964). Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки. Сложность экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система. Поэтому одна из трудностей экономических исследований состоит в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). Кроме того, протекающие в экономической системе явления и процессы невозможно изолировать от окружающей среды и исследовать в чистом виде. Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования, поскольку именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. Особенности экономических наблюдений и измерений. Главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов моделей. В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних пара­метров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования. Методы экономических наблюдений и использования результатов этих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому отметим только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов. В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения. Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. Вследствие этого экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания. Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования, Поэтому необходимым условием эффективного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений. Дело в том, что для успешного применения математики в той или иной области наука должна уметь выделять достаточно однородные и простые элементы, могущие быть сделанными объектом счета. В экономике эта задача существенно затруднена. Здесь практически нет полностью однородных элементов (одинаковых предприятий, одинаковых по своим потребностям и вкусам потребителей и т д.), и установление относительной однородности (по некоторым признакам) требует серьезного исследования. Случайность и неопределенность в экономическом развитии. В экономических исследованиях различают два типа неопределенности: «истинную», обусловленную свойствами экономических процессов, и, «информационную», связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информации об этих процессах. Наличие случайности и неопределенности в экономических процессах существенно усложняет процесс их моделирования. На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись в основном модели жестко детерминистского типа. Впоследствии, в результате накопления опыта их использования были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающей стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость (адаптивность) экономических решений к вероятным и непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных процессов. Проверка адекватности моделей. Сложность экономических процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов. (В теории моделирования часто используется понятие «верификация».) В естественных науках достаточным (но не всегда необходимым) условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов исследования с наблюдаемыми фактами. В экономике и других общественных науках понимаемый таким образом принцип «практика - критерий истины» в большей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т.п.). Однако важным направлением моделирования экономических процессов является не только описание существующей действительности, но и создание прогнозных и даже нормативных моделей, используемых для целенаправленного преобразования экономической действительности. Верификация таких моделей с помощью реальной практики затруднена по объективным причинам. Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу, в том числе средствам самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации моделей, как доказательство существования решения в модели, проверка истин­ности статистических гипотез о связях между параметрами и переменны­ми модели, сопоставления размерностей величин и т.д., позволяют сузить класс потенциально «правильных» моделей. Внутренняя непротиворечивость предпосылок модели проверяется также путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий, а также со следствиями «конкурирующих» моделей. Оценивая современное состояние проблемы адекватности математических моделей, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания, по-прежнему является одной из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований. Основные этапы процесса моделирования рассматривались в 1.1. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического модели­рования. 1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулиро­вание гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта. 2. Построение математической модели. Это — этап формализации экономической проблемы (ситуации), выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.п.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой кон­струкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей), производится количественная оценка параметров и взаимосвязей. Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Неправильно полагать, что чем больше факторов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же самое можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта). Одна из важных особенностей математических моделей — потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется взаимоприспособление двух систем научных знаний — экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики. 3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент — доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения (асимптотические свойства) и т.д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. Знание общих (качественных) свойств модели имеет столь важное значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования. 4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики (организация выборочных обследований, оценка достоверности данных, определение вероятных значений параметров и т.п.). При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей. 5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ для вычислетельной техники и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию. 6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключи­тельном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения моделей (доказывается неразрешимость модели или не подтверждаются принятые статистические гипотезы) и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, использовавшейся информации. На основе этих результатов определяются направления совершенствования модели, ее информационного и математического обеспечения. Взаимосвязи этапов. На рис. 1.2 изображены связи между этапами одного цикла экономико-математического моделирования. Первые пять этапов более дифференцированно характеризуют процесс экономико-математического моделирования, чем общая схема моделирования (см. рис. 1.1): этапы 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, а этапы 3, 4, 5 - этапу II общей схемы. Наоборот, заключительный этап 6 включает этапы III и IV общей схемы (перенос знаний о модели на объект-оригинал, проверку и применение этих знаний). Рис. 1.2. Связи этапов экономико-математического моделирования Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вслед­ствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования. Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации. Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д. Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав иссле­дование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости. По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации. Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа (других уровней абстракции и идеализации). Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков (специалистов по экономической кибернетике) остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования. Вопросы для повторения 1. Что такое «модель», «моделирование»? 2. При исследовании каких объектов наиболее часто применяется метод моделирования? Приведите примеры. 3. Каковы основные этапы процесса моделирования? Дайте характеристику каждому из них. 4. Назовите основные типы и виды моделей. Какой вид моделей наиболее часто применяется в экономических исследованиях? 5. Выделите основные элементы математической модели. 6. Что такое экзогенные и эндогенные величины? 7. Чем различаются структурные и функциональные модели? 8. Назовите основные классы экономико-математических моделей. Какие критерии лежат в основе их классификации? 9. В чём состоят особенности экономико-математического моделирования? Какие трудности возникают при моделировании экономических процессов и явлений? 10. Выделите основные этапы экономико-математического моделирования, дайте им краткую характеристику. Литература 1. Багриновский К., Матюшок В. Экономико-математические методы и модели. - М., 1999, гл. 1. 2. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. - СПб, 2007. 3. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. - М., 1993. 4. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. – М., 1989, гл. 1,2 5. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. - М., 1999. 6. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. – М., 2006. 7. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З. Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. – М., 1982, гл. 2,4. 8. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М., 2005. 9. Федосеев В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда. - М., 2002 10. Экономико-математические методы и прикладные модели/ под ред. Федосеева В.В. - М., 2005. 11. Экономико-математическое моделирование. / Под ред. Дрогобыцкого И.Н. - М., 2003.