Экономико – математические модели в сфере производства

МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МВД РОССИИ им. В.Я. КИКОТЯ РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ Кафедра экономической безопасности КОРОЛЕВ Г. И. МАТЕМАТИКА ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Тема 29. Экономико – математические модели в сфере производства 29.1. Экономико-математическое исследование производственных функций Лекция по курсу « МАТЕМАТИКА» Для специальности 38.05.01 – Экономическая безопасность Рязань - 2017 СОДЕРЖАНИЕ 1. 2. 3. 4. 5. Введение……………………………………………………………. Понятие производственной функции………………………….. Типы производственных функций…………………………….. Свойства производственных функций…………………………. Показатели использования ресурсов Применение эконометрических моделей в сравнительном экономическом анализе………………………. 2 3 6 9 12 16 Введение Любая экономическая система может рассматриваться как преобразователь ресурсов в конечный, потребляемый обществом, продукт. При анализе системы в первую очередь должна быть изучена производственно – технологическая структура, включающая в себя технологические способы производства (технологические блоки) и материально – вещественные связи между ними. Математическими моделями технологических блоков являются производственные функции, а производственно – технологические связи изучаются с помощью балансовых моделей. Способность технологической системы преобразовывать поступающие в нее ресурсы характеризуется производственным потенциалом системы. Его оценивают по взаимодействию факторов, под которыми понимают определенный вид ресурса, вовлеченного в производство (отсюда и название факторов – производственные). Производственно – технологические ресурсы многообразны. Охватить, учесть их все в отдельности даже в условиях одного предприятия исключительно сложно. Поэтому ресурсы и их влияние на производство конечного продукта чаще всего оценивают обобщенно, агрегируя (объединяя) их в группы (типы, классы) по определенным признакам. В экономическом анализе обычно выделяют три группы ресурсов, которые не сводятся друг к другу: природные ресурсы, средства производства и рабочая сила. Эти производственные факторы лежат в основе описания технологической зависимости результатов деятельности производственного объекта от затрат ресурсов. Описание осуществляется с помощью производственных функций. Таким образом, назначение производственных функций как математических моделей состоит в обобщенном описании технологической стороны производства, его ресурсно – технологических возможностей. Анализ матема2 тической модели типа производственной функции дает экономисту обобщенную оценку ресурсно – технологической эффективности производства. Производственные функции применяются для экономических систем различного масштаба, поскольку анализ по принципу “затраты – выпуск” применим как на микро – так и на макроуровне. На микроэкономическом уровне моделями типа производственных функций достаточно успешно описываются проблемы анализа, планирования и прогнозирования отдельных предприятий, небольших отраслей и межотраслевых производственно – хозяйственных комплексов. На макроэкономическом уровне с помощью производственных функций описываются взаимосвязи затрат и конечного выпуска продукции в масштабе крупных отраслей, регионов и страны в целом. При этом на микроэкономическом уровне величины затрат и выпуска могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных показателях, а на макроэкономическом уровне, как правило, только в стоимостных. 1.Понятие производственной функции Поскольку между затратами ресурсов и результатом производства существует связь, то эта связь, выявленная и математически выраженная, и представляет собой производственную функцию. Ей можно дать такое определение: производственная функция – это количественное соотношение, описывающее технологическую зависимость между затратами производственных факторов и результатами деятельности производственного объекта. Производственная функция является экономико – статистической моделью процесса производства продукции в данной экономической системе и выражает устойчивую, закономерную Если обозначить через xi ресурсы производства (производственные факторы), а через V - объем выпуска (валовый или конечный продукт производства), то производственная функция записывается в виде: V = f x1,x2,...xn  Измерение затрат ресурсов (значения переменных xi ) осуществляется стоимостными, натуральными или безразмерными показателями. Они могут быть абсолютными или относительными, такими как производительность труда, фондовооруженность, темпы роста и т. д. Исходными данными для определения параметров производственной функции являются статистические данные, технологическая информация, экспертные оценки. Поскольку любая производственная функция является экономико - статистической моделью, она характеризуется: а) объектом моделирования; б) системным описанием объекта; 3 в) целями построения модели; г) принципами моделирования; д) аппаратом моделирования; е) способами спецификации, параметризации и верификации модели. Кратко рассмотрим эти признаки модели применительно к производственной функции. Объект моделирования. Для производственной функции непосредственным объектом моделирования являются процессы производства продукции в реальных экономических системах. Это может быть предприятие, объединение, отрасль, регион или народное хозяйство в целом. Системное описание объекта. Производственная функция описывает производственный процесс системно, то есть потоки ресурсов, технологию их преобразования в продукцию, потоки готовой к реализации продукции. Цели моделирования. С помощью производственных функций решаются такие экономические задачи, как анализ, планирование и прогнозирование процесса производства. Таким образом, в общем виде цель построения производственной функции состоит в анализе факторов роста или прогнозировании объема выпуска продукции. Объемы выпуска определяются при постоянных значениях ресурсов, их изменении одновременно или поочередно. Принципы моделирования. При построении производственной функции предполагают, что связь между размерами ресурсов и объемом выпуска для рассматриваемой экономической системы устойчива и закономерна. Аппарат моделирования. Как правило, зависимость V = x1,x2,...xn  задается в явном виде, при этом используются вычислимые функции с числом переменных до 10. Иногда аппаратом моделирования являются задачи математического программирования. Спецификация, параметризация и верификация модели. Спецификация производственной функции состоит в выборе существенных факторов производства и аналитического вида производственной функции. Здесь должны быть учтены особенности взаимосвязей между выбранными факторами, особенности исходных данных и возможные сложности последующего определения параметров производственной функции. Параметры производственной функции часто оцениваются по данным временных рядов, то есть по статистическим данным по расходам ресурсов и объему выпуска за определенные промежутки времени. Если общий интервал времени, за который собраны статистические данные, равен Т лет, то прогнозирование по производственной функции можно проводить не более, чем на T/3 лет вперед. Промежуток времени, по данным которого производится оценка параметров производственной функции, называется базовым, а промежуток прогноза – экстраполяционным. Помимо количественного увеличения затрат ресурсов для роста объема выпуска большую роль играют факторы научно-технического прогресса: повышение квалификации персонала, совершенствование техники и технологии и пр. В производственной функции технический прогресс отражается в форме за4 висимости роста производства от времени, например, введением сомножителя e λt , где λ > 0. Верификация производственной функции является проверкой ее адекватности изучаемому процессу. Она оказывает существенное влияние на дальнейшую работу с моделью. По ее результатам могут быть изменены первоначальная спецификация производственной функции, объем необходимых исходных данных и параметры модели. Поскольку производственная функция описывает технологическую зависимость между затратами и выпуском, необходимо пояснить понятие технологии. Этот термин следует рассматривать не применительно к физическому преобразованию какого – либо ресурса в изделия (резка, точение, шлифовка металла, дерева, пластмассы и пр.), а применительно к совокупности приемов и способов преобразования ресурсов в готовую продукцию. Другими словами, технология понимается в широком смысле слова как комплекс технологий, реализуемый системой при определенных организационно- экономических ограничениях, в котором есть возможность комбинировать, сочетать “физические” технологии и, следовательно, гибко управлять потоками ресурсов и готовой многономенклатурной продукцией. Производственные процессы, несмотря на появление новых материалов, машин и технологий, обладают относительно устойчивыми характеристиками. Существуют устойчивые группы продукции и, следовательно, устойчивые группы ресурсов. Групповые характеристики ресурсов и продукции позволяют говорить о групповой (агрегированной) технологии. Если агрегированную технологию рассматривать с учетом организационно – экономических ограничений системы, то можно говорить об агрегированной экономической технологии. Любая экономическая система постоянно развивается, в частности, за счет изменения технологии. Скорость этого изменения различна. Она может быть незначительной, когда доля сменяемых технологий невелика и не очень влияет на агрегированную экономическую технологию. В этом случае в заданном промежутке времени ее можно считать стабильной. В другом случае происходит значительное планомерное изменение технологических процессов, существенно влияющих на агрегированную экономическую технологию. Она приобретает динамику в форме так называемого технологического дрейфа. В третьем случае перестройка технологий осуществляется за короткий срок, резко и существенно изменяя номенклатуру продукции, состав ресурсов и качество агрегированной экономической технологии. Это случай технологического скачка. В моделировании экономических систем с помощью производственных функций период моделирования выбирается так, чтобы на него не приходились технологические скачки и агрегированная экономическая технология могла бы рассматриваться как постоянная. Если система находится в условиях технологического дрейфа, то агрегированную экономическую технологию можно рассматривать как постоянную, если только ввести в выражение производственной функции дополнительную переменную, учитывающую этот дрейф. Аналогично 5 можно учесть и технологический скачок. Необходимо только помнить, что в любом из этих случаев надо соблюдать неизменность или согласованное изменение показателей, используемых для измерения ресурсов и выпуска. 2.Типы производственных функций Производственные функции в первую очередь различают с точки зрения соотношения ресурсов (факторов): допускает ли рассматриваемая система взаимозаменяемость ресурсов, или нет. Если система допускает взаимозаменяемость ресурсов, то это означает, что уменьшение расхода одного из них может компенсироваться увеличением расхода другого. При этом объем выпуска сохраняется постоянным. Производственные функции, описывающие такие системы, называются функциями со взаимозаменяемыми ресурсами. Если производственная функция формируется в условиях фиксированных видов технологий с жесткими пропорциями между затратами и выпуском, то ресурсы не являются взаимозаменяемыми. Производственные функции для таких условий называются функциями с не взаимозаменяемыми ресурсами. По количеству переменных, то есть по числу учитываемых ресурсов, производственные функции делят на однофакторные, двухфакторные и многофакторные. Однофакторные производственные функции выражают зависимость выпуска только от одного ресурса, например, только от стоимости основных фондов, только от количества рабочих и т. д. Двухфакторные производственные функции выражают зависимость объема выпуска от двух факторов, двух видов ресурсов. Чаще всего этими факторами являются показатель основных производственных фондов и показатель затрат живого труда. Эти функции используются наиболее часто. Многофакторные производственные функции выражают зависимость объема выпуска от трех и более факторов. Например, в отраслевых моделях часто учитывают: а) уровень производства в предыдущем периоде (для краткосрочного и среднесрочного прогнозирования); б) воздействие технического прогресса, которое выражается определенным типом трендовой переменной (при анализе, среднесрочном и долгосрочном прогнозировании); в) переменные, корректирующие действие основных факторов, например, индекс использования основных средств производства или индекс квалификации рабочей силы; г) влияние производства смежных отраслей, влияние импорта; д) влияние специфических факторов, например, погодно – климатических условий и т. д. Поскольку параметры производственной функции определяются по статистическим данным, выбор количества переменных очень важен. При их большом числе резко возрастает число необходимых наблюдений для обеспе6 чения точности и надежности моделирования, так как число наблюдений должно превышать число переменных не менее, чем в 5 – 6 раз. Именно поэтому предпочтение отдается двухфакторным производственным функциям, реже – трехфакторным. Выбор тех или иных производственных факторов зависит от цели исследования, но в любом случае должны соблюдаться требования: а) выбранные факторы дают возможность оценить их влияние на объем выпуска количественно; б) выбираются лишь те факторы, по которым есть достаточно полная и достоверная статистическая информация. В зависимости от масштабов моделируемой экономической системы применяют различные виды производственных функций. На практике хорошо зарекомендовали себя двухфакторные производственные функции следующих видов. 1. Линейная производственная функция: V = a1x1 + a2 x2 , где x1 и x2 - ресурсы производства (производственные факторы); a1 и a2 - постоянные коэффициенты. Линейная производственная функция применяется главным образом для моделирования крупномасштабных экономических систем – народное хозяйство в целом, отрасль, регион и пр. Системы, моделируемые линейными производственными функциями, должны иметь большое количество одновременно функционирующих технологий. 2. Степенная производственная функция: a V = a0 x1a1 x2 2 Если в качестве x1 выступает фактор производственных фондов, а x2 фактор рабочей силы, то степенную производственную функцию называют функцией Кобба-Дугласа по именам американских ученых, впервые предложивших ее для экономического анализа. Частным случаем функции КоббаДугласа является функция 1 a V = a0 x1a1 x2 1 , то есть случай, когда соблюдается условие a1 + a2 = 1. Эта производственная функция в основном используется для описания среднемасштабных хозяйственных объектов – крупных предприятий, производственных объединений, небольших отраслей. Моделируемая система должна функционировать стабильно, устойчиво. 3. Функция Аллена: V = a0 x1x2  a1x12  a2 x22 . 7 При a1 > 0, a2 > 0 функция Аллена используется для моделирования мелкомасштабных производственных систем, когда возможности переработки ресурсов ограничены. Производственный процесс в таких системах очень чувствителен к чрезмерному росту любого из факторов, причем этот рост отрицательно сказывается на объеме выпуска продукции. 4. Функция CES (с постоянной эластичностью замены факторов): a 4 a a V =  a1 x1 3 + a2 x2 3    Функция CES используется для моделирования экономических систем любого уровня, причем в тех случаях, когда нет точной информации об уровне взаимозаменяемости производственных факторов, но известно, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов используемых ресурсов. 5. Функция LES (с линейной эластичностью замены факторов): V = x1 0 a1 x1 + a2 x2 a3 a Функция LES используется в случаях, когда с общим расширением производства связан рост ресурса x1 и существует множество технологий с большими возможностями их комбинирования. Производственный процесс при этом осуществляется так, что возможность замещения факторов существенно зависит от их соотношения. 6. Функция Солоу: a 5 a a V =  a1 x1 3 + a2 x2 4    Эта функция моделирует системы любого уровня, когда изменение каждого из факторов влияет на объем выпуска по – разному. Приведенные функции являются наиболее распространенными в практике моделирования. Часто они упрощаются и модифицируются. Появляются более сложные функции и для анализа экономических систем с их помощью используются современные компьютерные технологии. Для экономико – математического моделирования большой интерес представляет функция Кобба-Дугласа. Она принадлежит к классу так называемых мультипликативных производственных функций и применяется для моделирования экономических процессов и на микро – и на макроуровне. Ее активное использование объясняется тем, что она проста по своей структуре и удобна при математической обработке. В качестве ресурсных переменных обычно выбирают основные фонды K (объем основного капитала) и затраты живого труда L. Поскольку в функции Кобба-Дугласа a1 + a2 = 1,ее можно записать и в таком виде, разделив обе части на L : 8 a a a a V a0 K 1 L 2 a0 K 1 K 1 = = = a0   1 a2 L L L L V K = z есть производительность труда, а = k - капиталовоВеличина L L оруженность труда. Таким образом, двухфакторную модель Кобба-Дугласа a можно свести к однофакторной z = a0 k 1 . Из этой формулы следует, что при неизменных условиях производительность труда растет медленнее, чем его капиталовооруженнсоть, т. к. 0 < a1 < 1. Если обе части функции Кобба-Дугласа разделить на К, получим: a a a a V a0 K 1 L 2 a0 L 2 L 2 = = = a0   a2 K K K K V Величина K называется производительностью капитала или капиталоK L отдачей. Обратные величины и соответственно называют капиталоV V емкостью и трудоемкостью. 3. Свойства производственных функций Производственные функции, если они являются функциями со взаимозаменяемыми ресурсами, обладают рядом общих свойств. 1. Если x1 = x2 = x3... = xn  0 , то V =0. Это свойство очевидно из самой аналитической формы записи производственной функции: без ресурсов нет выпуска. 2. Если совокупность ресурсов X A     превышает совокупность ресурсов X B , то V X A > V X B . Это свойство говорит о том, что при увеличении совокупности ресурсов (с ростом затрат хотя бы одного ресурса) увеличивается объем выпуска. 3. Если объем выпуска равен нулю при положительных затратах всех ресурсов, кроме одного, то этот ресурс абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах. Действительно, если V = 0 при xi  0,но при xs = 0, то ресурс s абсолютно необходим. 4. С ростом затрат одного ресурса при неизменных затратах других ресурсов объем выпуска растет. Математически это свойство указывает на положительность первой частной производной от производственной функции по изменяемому ресурсу xi: 9 V  X  > 0, где Х – совокупность ресурсов. xi 5. Закон убывающей эффективности. Нелинейные эконометрические модели типа производственных функций хорошо подтверждают закон убывающей эффективности производства с ростом величины затрачиваемого ресурса. Например, среди однофакторных моделей часто используется модель на базе X > 0, степенной функции V = axb , где a > 0, 0 < b < 1 - постоянные величины, параметры модели. Если изобразить эту модель графически (рис. 1), то нетрудно заметить,что с ростом величины затрачиваемого ресурса х объем выпуска V растет с замедлением. Другими словами, каждая дополнительная единица введенного в производство ресурса обеспечивает все меньший прирост объема выпуска: ΔV2 < ΔV1 . V ΔV2 ΔV1 Δx Δx x Рис. 1. К закону убывающей эффективности. Закон убывающей эффективности математически соответствует неположительности второй частной производной от производственной функции:  2V  X  xi2  0, X > 0 Это означает, что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве других ресурсов величина прироста выпуска не увеличивается. 6. Важнейшим свойством производственных функций является их однородность или неоднородность. Из математики известно, что функция y = f(x) называется однородной n -й степени, если выполняется соотношение: f λx  = λn f x  Применительно к производственной функции это означает, что при увеn личении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λ раз. Показатель n называют степенью однородности. Он характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат. Например, линейная производственная функция является однородной первой степени. 10 Действительно, если V x  = a1x1 + a2 x2 , то V λx  = a1λx1 + a2 λx2 = λa1x1 + a2 x2  = λV x  Здесь n = 1, функция однородная первой степени. Для степенной функции V x  = a0 x1a1 x2 a2 : a a a +a a +a V λx  = a0 λx1 a1 λx2 a2 = λ 1 2 a0 x1 1 x2 2 = λ 1 2V x  Таким образом, для степенной функции n = a1 + a2 и она является однородной степени a1 + a2 . Для частного случая функции Кобба-Дугласа, когда a1 + a2  = 1, функция является однородной первой степени. Аналогично проверяются на однородность и другие производственные функции. Теоретически возможны три случая. а) n = 1. Это означает, что эффективность производства при увеличении затрат ресурсов остается постоянной, прирост объема выпуска пропорционален приросту ресурсов в λ раз. б) n < 1. Эффективность производства при увеличении затрат ресурсов падает, прирост объема выпуска меньше прироста ресурсов и возрастает медленнее, чем в λ раз. Характерно для экстенсивной экономики. в) n > 1. Эффективность производства возрастает при увеличении затрат ресурсов, прирост объема выпуска больше прироста ресурсов и возрастает более, чем в λ раз. Производственные функции могут задаваться не только в аналитическом виде, но и в виде таблиц и графиков. Для производственных функций со взаимозаменяемыми ресурсами существует понятие изоквант. Изокванта – это множество точек (кривая), соответствующих условию постоянного объема выпуска V(x) = const. Постоянство достигается различными комбинациями взаимозаменяемых ресурсов. Графически изокванты представляют собой семейство параллельных кривых в неотрицательном квадранте (для двухфакторной производственной функции). Они обладают следующими свойствами: а) изокванты никогда не пересекаются друг с другом; б) чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем большему объему выпуска она соответствует; в) если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. В качестве примера на рис.2 приведены изокванты для функции КоббаДугласа. Аналитически каждая из них описывается выражением: 1  V  a2  L= при V = const.  a K a1   0  11 L V3 > V2 > V1 V3 V2 V1 К Рис.2. Изокванты производственной функции. 4. Показатели использования ресурсов Использование ресурсов в решающей степени влияет на эффективность производства. Для анализа их использования применяются ряд показателей. Средняя эффективность ресурса: V x  i xi Средняя эффективность ресурса (иногда ее еще называют средней производительностью) определяется по каждому фактору как отношение объема выпуска к величине этого фактора. Она показывает среднюю отдачу (отсюда – производительность) каждой единицы i – го ресурса. Например, средняя эффективность ресурсов К и L для производственной функции Кобба-Дугласа: Px = a a a a a0 K 1 L 2 a0 L 2 L 2 PK = = = a0   a2 K K K a a a a a0 K 1 L 2 a0 K 1 K 1 PL = = = a0   a1 L L L Здесь PК является характеристикой фондоотдачи, а PL характеризует производительность труда. Предельная (маржинальная) эффективность ресурса: Mx = i 12 dV x  dxi Предельная эффективность ресурса вычисляется как частная производная от производственной функции по соответствующему фактору. Она показывает, насколько изменится объем выпуска при изменении i - го ресурса на единицу (предельный прирост объема выпуска). Например, для производственной функции Кобба-Дугласа: 2 dV L MK   a01   dK K 1 dV K ML   a0 2   dL L ; Соотношение объема выпуска, средней и предельной эффективности удобно изображать графически. На рис.3 представлены три типичные кривые, показывающие влияние увеличения i -го ресурса (при неизменности других ресурсов) на объем выпуска (кривая 1), среднюю эффективность (кривая 2) и предельную эффективность ресурса (кривая 3). Выпуск продукции при увеличении ресурса увеличивается, но рост постепенно замедляется. Средняя и предельная эффективности падают, причем предельная эффективность (кривая 3) располагается ниже кривой средней эффективности. 1 (V) 2 Pi  3 M i  xi Рис 3. Соотношение объема выпуска, средней и предельной эффективности. По-другому ведут себя эти кривые, когда с увеличением затрат одного ресурса возрастают затраты и других ресурсов. Эффективность использования ресурса возрастает, т. к. улучшаются условия его использования. То же самое происходит и при улучшении качества ресурсов. Эластичность производства. Влияние каждого ресурса на рост производства характеризуется также эластичностью выпуска от затрат ресурса. Коэффициент эластичности определяется как предел отношения относительного прироста выпуска к относительному приросту затрат i - го ресурса при неизменном объеме других ресурсов: dV xi M i Ei =  = dxi V Pi Другими словами, эластичность выпуска по i - му ресурсу можно рассчитать, поделив предельную эффективность этого ресурса на его среднюю эф13 фективность. Коэффициент эластичности является безразмерной величиной и обладает следующими свойствами. 1. Значение эластичности производственной функции не зависит от масштабов измерения независимой переменной и функции. В функции V = f x  изменим масштабы измерения, увеличив x в a раз, а V - в b раз. Тогда Eax bV  = d bV  ax bdV ax dV x  =  =  = E x V  d ax  bV adx bV dx V 2. Если две производственные функции взаимно обратны, то взаимно обратны и их эластичности: 1 E x V  = EV x  Действительно, dV x 1 1 E x V  =  = = dx V dx  V EV x  dV x 3. Эластичность произведения двух производственных функций U = f x  и V =  x , зависящих от одного и того же аргумента, равна сумме их эластичностей: Ex UV = Ex U + Ex V  4. Эластичность частного двух производственных функций U = f x  и V =  x , зависящих от одного и того же аргумента, равна разности их эластичностей: U  E x   = E x U   E x V  V  5. Если производственная функция может быть представлена в виде суммы двух производственных функций U = f x  и V =  x , зависящих от одного и того же аргумента, то ее эластичность находится по формуле: U  E x U +V  E x V  U +V Коэффициент эластичности приближенно показывает, на сколько пунктов (процентов) изменится объем выпуска при изменении i - го ресурса на один пункт (процент). Например, эластичность производства для степенной производственной функции типа Кобба-Дугласа равна: а) по фактору основных фондов E x U +V  = 14 a a 1 dV K a0 L 2 a1K 1 Ek =  = K = a1 a1 a2 dK V a0 K L б) по фактору рабочей силы a 1 a dV L a0 L 2 a2 K 1 EL =  = L = a2 a1 a2 dL V a0 K L Таким образом, для степенной функции коэффициенты эластичности выпуска от затрат постоянны и равны показателям степеней факторов K и L. Если a1 > a2 , то есть эластичность выпуска по основным фондам выше, чем по трудовым ресурсам, то производственный процесс называют фондоинтенсивным. Если a2 > a1 , то есть эластичность по трудовым ресурсам выше, то трудоинтенсивным. Сумма Ex = EK + EL называется эластичностью производства. Для степенной производственной функции Ex = a1 + a2 . Предельная норма эквивалентной заменяемости ресурса: dV dx Rij = i dV dy Предельная норма эквивалентной замены i – го (замещаемого) ресурса j – м (замещающим) ресурсом определяется отношением производных от производственной функции по ресурсу i и по ресурсу j. Она приближенно определяет, во сколько раз нужно увеличить расход ресурса j , чтобы скомпенсировать уменьшение расхода ресурса i на единицу. При этом предполагается, что остальные ресурсы не изменяются. Графически нормы эквивалентной замены одного ресурса другим выражаются как тангенс угла наклона касательных к изоквантам. Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют кривые, называемые изоклиналями. Для производственной функции типа Кобба-Дугласа предельные нормы эквивалентной заменяемости ресурсов равны: a L RKL = 1  ; a2 K 15 a K RLK = 2  a1 L 5. Применение эконометрических моделей в сравнительном экономическом анализе В традиционном экономическом анализе осуществляется попарное сравнение одноименных показателей работы двух и более производственных структур (предприятия, цеха и пр.). Чаще всего применяется сравнение по таким показателям, как фондоотдача, производительность труда, материалоемкость. Рассчитывается экономия ресурсов за один и тот же период времени или за разные периоды, если анализируется работа одной производственной структуры. Показатель сравнительной экономии для двух структур определяют по формуле: V Эх = х А Б  х Б , VA где х А и хБ - количество используемого ресурса х структурами А и Б; VА и VБ - объемы выпуска продукции производственными структурами А и Б; Эх - показатель сравнительной экономии ресурса х структурой Б по сравнению со структурой А. Если Эх > 0,то эффективность использования ресурса х структурой Б выше, чем структурой А. Если Эх < 0, то эффективность использования ресурса х структурой Б ниже, чем структурой А. Недостаток такого сравнительного анализа состоит в том, что он проводится по каждому ресурсу в отдельности. Часто возникают ситуации, когда, например, на одном предприятии выше эффективность использования одного ресурса, но ниже, чем на сравниваемом предприятии, эффективность использования другого ресурса. В этом случае практически невозможно судить об эффективности работы предприятий в целом. Для оценки эффективности совокупного использования ресурсов целесообразно использовать эконометрические модели типа производственных функций. Расчетная формула имеет вид: Эх = 0,5VA xБ   VБ +VA  VБ х А , где VA xБ  - возможный объем выпуска (по производственной функции) предприятия А, если бы оно использовало ресурсы в объеме предприятия Б; VБ x А  - возможный объем выпуска (по производственной функции) предприятия Б, если бы оно использовало ресурсы в объеме предприятия А; 16