Эконометрические модели

Литература 1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. 2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для вузов / под ред. Н.Ш.Кремера. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. 3. Костюнин В. И. Эконометрика: учебник и практикум для прикладного бакалавриата М. : «Юрайт», 2015. 4. Новиков А. И. Эконометрика: Учебное пособие. Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. 5. Елисеева И.И. Эконометрика: учебник / под ред. И. И. Елисеевой. М.: ИД «Юрайт», 2012. Общие понятия. Корреляция. Определение эконометрики Эконометрика — это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С. Фишер и др.) Основная задача эконометрики — наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения (Лоуренс Клейн). Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов (Э.Маленво). Эконометрика есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики (Рагнар Фриш). Эконометрика объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математикостатистического инструментария придавать количественные выражения качественным зависимостям (С.А. Айвазян). 4 Основные даты • 29 декабря 1930 г. по инициативе И. Фишера, Р. Фриша, Я.Тинбергена, Й.Шумпетера, О. Андерсона и других учёных создается эконометрическое общество. • 1933 г. Р. Фриш основывает журнал «Эконометрика» (Econometrics). • 1941 г. появляется первый учебник по эконометрике, написанный Я.Тинбергеном (Econometric Business Cycle Research) • 1969 г. Р.Фриш и Я.Тинберген становятся первыми исследователями, получившими Нобелевскую премию по экономике «за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов». • 1980 г. вторую эконометрическую Нобелевскую премию «за создание экономических моделей и их применение к анализу колебаний экономики и экономической политики» получает американский экономист Лоуренс Клейн. • 1990 г. Нобелевской премией по экономике в отмечены Д.Хэкман и Д.Макфадден - пионеры эконометрического метода в микроэкономике. 5 Эконометрика в лицах Рагнар ФРИШ Ян ТИНБЕРГЕН Лоуренс КЛЕЙН Нобелевские премии в области эконометрики (1969) «за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов» Рагнар Фриш, Ян Тинберген (1980) «за создание экономических моделей и их применение к анализу колебаний экономики и экономической политики» Лоуренс Клейн (1981) «за анализ состояния финансовых рынков и их влияние на принятие решений в области расходов, занятости, производства и цен» Джеймс Тобин (1989) «за разъяснения в основах теории вероятностей и анализ одновременных экономических структур» Трюгве Хаавельмо (1995) «за развитие и применение гипотезы рациональных ожиданий, трансформацию макроэкономического анализа и углубление понимания экономической политики» Роберт Лукас (2000) «за развитие теории и методов анализа дискретного выбора» Джеймс Хекман, Дэниел Макфадден 7 Нобелевские премии в области эконометрики (2003) «за разработку метода анализа временных рядов в экономике на основе математической модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (ARCH)» Роберт Ингл, «за разработку метода коинтеграции для анализа временных рядов в экономике» Клайв Грэнджер (2010) «за анализ рынков с моделями поиска-"трение"» Питер Даймонд, Дэйл Мортенсен, Кристофер Писсаридес (2011) «за эмпирические исследования причинно-следственной связи в макроэкономике» Томас Сарджент, Кристофер Симс 8 Типы данных в эконометрических исследованиях Пространственные (cross-sectional data) — характеризуют ситуацию по конкретной переменной (или набору переменных), относящейся к пространственно- разделенным сходным объектам в один и тот же момент времени. Временные (динамические) ряды (time-series data) — отражают изменения (динамику) какой-либо переменной на промежутке времени. Панельные данные — разновидность пространственно-временных данных (насчитывают три измерения: признаки – объекты – время). Состоят из наблюдений одних и тех же экономических единиц или объектов на протяжении нескольких периодов времени. Позволяют проводить анализ как временных рядов, так и пространственных выборок. 9 Задачи, решаемые эконометрикой • • • • • • описания данных; проверки гипотез; восстановления зависимостей; классификации объектов и признаков; прогнозирования; принятия статистических решений и др. 10 Основные этапы эконометрического моделирования 1-й этап (постановочный). Формируется цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных. 2-й этап (априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной информации. 3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели (вида функции f(X) в модели Y = f(X) + ɛ), выявление входящих в нее связей. 4-й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации – наблюдаемых значений переменных (xi1, …, xip; yi1, …, yiq), i = 1, …, n. 5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров. 6-й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели. 11 Проблема выбора переменных модели При выборе экономических переменных необходимо: • теоретическое обоснование каждой переменной; • число переменных должно быть не очень большим и, как минимум, в несколько раз меньше числа наблюдений; • объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной или тесной корреляционной зависимостью, так как это может привести к явлению мультиколлинеарности. 12 Проблема спецификации Весьма важной проблемой этапа параметризации и предыдущих этапов является проблема спецификации ‒ выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений; установление состава экзогенных и эндогенных переменных; формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От успешного решения этой проблемы в значительной степени зависит успех всего эконометрического моделирования. 13 Переменные эконометрической модели Результирующая (зависимая, эндогенная) переменная Y — характеризует результат или эффективность функционирования экономической системы. Ее значение формируются внутри системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации, управлению и планированию. В регрессионном анализе результирующая переменная (результативный признак) играет роль функции, значение которой определяется значениями объясняющих переменных. По своей природе всегда случайны (стохастичны). 14 Переменные эконометрической модели Объясняющие (независимые, экзогенные) переменные X — поддаются регистрации и описывают условия функционирования реальной экономической системы. Определяют значения результирующих переменных. Обычно поддаются регулированию и управлению. Их значения могут задаваться вне анализируемой системы. В регрессионном анализе объясняющие переменные (факторные признаки) — это аргументы результирующей функции Y. По своей природе могут быть как случайными, так и неслучайными. 15 Переменные эконометрической модели Переменные, выступающие в системе в роли фактороваргументов, или объясняющих переменных, называют предопределенными. Множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных и лаговых эндогенных переменных. Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы измеренными в прошлые моменты времени, а следовательно, являются уже известными, заданными. 16 Три основных класса эконометрических моделей • модели временных рядов; • регрессионные модели с одним уравнением; • системы эконометрических уравнений. Модели временных рядов представляют собой модели зависимости результативного признака от времени. К ним относятся адаптивные модели, модели кривых роста (трендовые) и модели авторегрессии и скользящего среднего. 17 Регрессионные модели с одним уравнением В регрессионных моделях с одним уравнением зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f(X1, X2, …, Xk), где X1, X2, …, Xk — независимые (объясняющие) переменные, или факторы; k — количество факторов. В зависимости от вида функции f(X1, X2, …, Xk), модели делятся на линейные и нелинейные, а в зависимости от количества включенных в модель факторов X — на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии). 18 Примеры задач с регрессионными моделями • исследование зависимости заработной платы Y от возраста X1, уровня образования X2, пола Х3, стажа работы X4: y = a0 + a1x1 + а2x2 + a3x3 + a4x4; • прогноз и планирование выпускаемой продукции по факторам a a производства (производственная функция Кобба–Дугласа Y = a 0 K 1 L 2 означает, что объем выпуска продукции Y является функцией количества капитала K и количества труда L); • прогноз объемов потребления продукции или услуг определенного a0 y= вида (кривая Энгеля, где Y – удельная величина спроса; 1 + a1e −a x X – среднедушевой доход). 2 19 Системы эконометрических уравнений Применяются в том случае, когда: • экономические явления настолько сложны, что невозможно адекватно описать их с помощью только одного соотношения (уравнения); • одно уравнение не отражает взаимосвязей между объясняющими переменными или их связей с другими переменными; • некоторые переменные оказывают взаимные воздействия и трудно однозначно определить какая из них является зависимой Выделяют три вида эконометрических систем: • системы независимых уравнений; • системы рекурсивных уравнений; • системы взаимосвязанных уравнений. 20 Системы независимых уравнений В системах независимых уравнений каждая зависимая переменная yi (i = 1, …, n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных xj (j = 1, …, m):  y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ε 1 ,  y = a x + a x + ... + a x + ε ,  2 21 1 22 2 2m m 2  ......................................................  y n = an1 x1 + an 2 x2 + ... + anm xm + ε n . Каждое уравнение системы можно рассматривать самостоятельно. Коэффициенты регрессии могут быть найдены с помощью МНК (метод наименьших квадратов). 21 Системы рекурсивных уравнений В системах рекурсивных уравнений зависимые переменные yi (i = 2, …, n) представлены как функции независимых переменных xj (j = 1, …, m) и определенных ранее зависимых переменных y1, y2, ..., yi–1, …, yn–1:  y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ε 1 ,  y = b y + a x + a x + ... + a x + ε ,  2 21 1 21 1 22 2 2m m 2  ...................................................................................................  yn = bn1 y1 + bn 2 y 2 + ... + bnn −1 y n −1 + an1 x1 + an 2 x2 + ... + anm xm + ε n . 22 Пример  P = a0 + a3W + u1 ,   P ′ = b0 + b1 P + b4T + u 2 , Q = c + c P + c P ′ + c W + u . 1 2 3 3  P – цена на хлопок; Р´ – цена на хлопковые продукты; Q – количество проданных хлопковых товаров; W – индекс погодных условий; Т – налоговые тарифы на хлопковые товары. 23 Системы одновременных уравнений В системах взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений каждая зависимая переменная yi (i = 1, …, n) представлена как функция остальных зависимых переменных yk (k ≠ i) и независимых переменных xj (j = 1, …, m):  y1 = b12 y 2 + b13 y3 + ... + b1n y n + a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ε 1 ,  y = b y + b y + ... + b y + a x + a x + ... + a x + ε ,  2 21 1 23 3 2n n 21 1 22 2 2m m 2  .......... .......... .......... .................... .......... .......... .................... .........  y n = bn1 y1 + bn 2 y 2 ... + bnn−1 y n −1 + an1 x1 + an 2 x2 + ... + a nm xm + ε n . В отличие от предыдущих двух систем для нахождения параметров bik и aij (структурных коэффициентов модели) простой МНК неприменим. 24 Пример Ct = a0 + a2 I t + a3Yt + a4 Ct −1 + a5 Rt + u1t ,   I t = b0 + b1 M t + b3Yt + b5 Rt + u 2 t , Y = C + I + G . t t t  t Ct – совокупное потребление; It – полные капитальные вложения; Yt – валовой национальный продукт (ВНП); Rt – краткосрочная процентная ставка; Mt – объем, денежного обращения; Gt – правительственные расходы. Ct, It, Yt – эндогенные переменные, Ct‒1, Mt, Rt, Gt, – объясняющие. 25 Зависимости между признаками • функциональные ‒ характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака; • корреляционные ‒ между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака. 26 Классификация взаимосвязей между признаками o по направлению связи: • прямые (направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора); • обратные (направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака фактора). o по форме связи (виду функции): • линейные (прямолинейные); • нелинейные (криволинейные). o по количеству факторов, действующих на результативный признак: • однофакторные (парные); • многофакторные. 27 Корреляционный анализ Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем: • точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции; • вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. С помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: • отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак; • обнаружение ранее неизвестных причинных связей. 28 Ковариация Ковариация ‒ это статистическая мера взаимодействия факторов X = (x1, x2, …, xn) и Y = (y1, y2, …, yn). Ковариация является ненормированной величиной и рассчитывается следующим образом: 1 n Cov ( X , Y ) = ( x i − x )( y i − y ) ∑ n − 1 i =1 (1) где (х1, у1), (х2, у2), …, (xn, yn) ‒ фактические значения переменных X и Y; 1 n x = ∑ xi ; n i =1 1 n y = ∑ yi . n i =1 29 Коэффициент парной корреляции rx , y 1 n ( xi − x )( yi − y ) ∑ Cov ( X , Y ) n − 1 i =1 = = = Sx S y Sx S y n ∑(x i =1 i − x )( yi − y ) n n i =1 i =1 ( 2) 2 2 ( − ) ⋅ ( − ) x x y y ∑ i ∑ i где Sx2, Sy2 ‒ оценки дисперсий величин X и Y, которые характеризуют степень разброса значений x1, x2, …, xn (y1, y2, …, yn) вокруг своего среднего X (Y соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений. 30 Свойства и качественная оценка коэффициента корреляции • ‒1 ≤ rx,y ≤ 1; • rx,y = 0, если X и Y некоррелированны; • если rx,y = ‒1 или rx,y = 1, то между X и Y существует линейная функциональная (не случайная) связь. Для качественной оценки коэффициента корреляции применяется шкала Чеддока: 0,1‒0,3 ‒ слабая связь; 0,3‒0,5 ‒ заметная связь; 0,5‒0,7 ‒ умеренная связь; 0,7‒0,9 ‒ высокая связь; 0,9‒1,0 ‒ весьма высокая связь. 31 Дисперсия (оценка дисперсии) и среднеквадратическое отклонение Оценка дисперсии Sx2 переменной X характеризуют степень разброса значений x1, x2, …, xn вокруг среднего X или вариабельность (изменчивость) переменной на множестве наблюдений: n 1 S x2 = ( xi − x ) ∑ n − 1 i =1 (3) Среднеквадратическое отклонение Sx (стандартное отклонение, стандартная ошибка) переменной X характеризует степень разброса значений переменной в тех же единицах, в которых измеряется сама переменная: S x = S x2 . ( 4) 32 Проверка статистических гипотез Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения. Проверяемую гипотезу обычно принимают нулевой и обозначают H0. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную гипотезу H1, являющуюся логическим отрицанием H0. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого на основе проверки статистических гипотез. Для этого используется некоторая величина K, называемая статистическим критерием. Значение критерия зависит от выборочных данных x1, x2, …, xn и, будучи случайной величиной, критерий K подчиняется при выполнении гипотезы H0 некоторому известному закону распределения. В области возможных значений критерия K выделяют подобласть, называемую критической. 33 Проверка статистических гипотез Если вычисленное значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза H0 отвергается и принимается альтернативная H1. Возможны следующие ситуации: S1. Гипотеза H0 верна, и при проверке она не отвергается; S2. Гипотеза H0 верна, но при проверке она отвергается; S3. Гипотеза H0 не верна, и при проверке она отвергается (в пользу H1); S4. Гипотеза H0 не верна, но при проверке она принимается. Ситуации S1, S3 являются «правильными» ситуациями, S2, S4 ‒ «ошибочными». Ситуация S2 называется ошибкой I рода, и вероятность ее появления называется уровнем значимости (обозначается α). Обычно α = 0,025 ÷ 0,05. Ситуация S4 называется ошибкой II рода, и вероятность ее появления обозначают β. 34 Оценка значимости коэффициента корреляции Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием t-критерия Стьюдента: tнабл S x2 = ( n − 2). 2 1 − ry , x (5) Если tнабл > tтабл (α; n ‒ 2), то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым. И делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь. 35 Диаграмма рассеивания (корреляционное поле) 36 Пример 1. Вычисление коэффициентов корреляции. В таблице представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет. ТРЕБУЕТСЯ: 1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов». 2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции). 3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции. 37 Пример 1 (таблица 1) 38 Пример 1 (п.1, диаграмма рассеяния) 39 Пример 1 (таблица 2) 40 Пример 1 (расчет п.2) Средние значения случайных величин X2 и Y Дисперсии случайных величин X2 и Y Стандартные ошибки случайных величин X2 и Y 41 Пример 1 (расчет п.2 и п.3) Коэффициент парной корреляции случайных величин X2 и Y Оценим значимость коэффициента корреляции tтабл (α = 0,1; ν = n ‒ 2 = 14) = 1,7613; tрасч > tтабл . Следовательно, значение ry,x значимо, и индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объем продаж. 42