Эффективная ставка процентов.Непрерывное начисление процентов.Учетная ставка. Вексель.

ДИСЦИПЛИНА «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» 1 Лекция № 4 Эффективная ставка процентов. Непрерывное начисление процентов. Учетная ставка. Вексель. Эффективная ставка процентов – это ставка простых процентов, которая в течение года дает тот же доход, что и ставка сложных процентов при mначислениях. при n = 1 Р*(1+i*1) = Р*(1+j/m)1*m 1+i = (1+j/m)m iэф = (1+ j/m)m – 1 2 Пример. Выбрать наиболее эффективный вариант вложения средств: А) 9,5% годовых, ежеквартальное начисление процентов Б) 9% годовых, ежемесячное начисление процентов В) 8,5% годовых, ежедневное начисление процентов (принять 360 дней в году) Решение: А) iэф = (1+0,095/4)4-1= 0,098, т.е. 9,8% Б) iэф = (1+0,09/12)12-1= 0,094, т.е. 9,4% В) iэф = (1+0,085/360)360-1= 0,089, т.е. 8,9% Ответ: вариант А 3 В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Рассмотренные в предыдущих лекциях в задачах проценты являлись дискретными, поскольку их начисление осуществлялось за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. 4 Поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j: lim (1 +j/m) n · m = е j · n при m →∞, где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. Таким образом, при непрерывном начислении процентов используется следующая базовая формула: S = P · e nδ Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ (дельта), в отличие от ставки дискретных сложных процентов ( j ). 5 Пример. Определите сумму начисленных процентов на вклад в размере 50000 рублей, положенный на счет на 2 года под 10% годовых при непрерывной капитализации. Решение: S = 50000* 2,71820,1*2 = 61069,77 руб. 61069,77 – 50000 = 11069,77 руб. Решите самостоятельно! Определите будущую стоимость для вклада в размере 75000 рублей, который хранился в банке 2 года под 14% годовых, для следующих ситуаций: 1) при начислении процентов раз в год 2) при полугодовом начислении процентов 3) при ежеквартальном начислении процентов 4) при непрерывном начислении процентов. 6 Решение: 1) S = 75000*(1+0,14/1)1*2 = 97470 руб. 2) S =75000*(1+0,14/2)2*2 = 98309,7 руб. 3) S =75000*(1+0,14/4)4*2 = 98760,68 руб. 4) S =75000* 2,71820,14*2 = 99233,9 руб. 7 В финансовых расчётах наряду с процентными ставками, которые рассчитываются как надбавки к текущей стоимости, используются ставки, которые определяются как скидки к наращенной сумме. Их называют учётные ставки. Они используются для операций по учёту векселей. Вексель – это ценная бумага (долговой документ), удостоверяющая право векселедержателя требовать от векселедателя (простой вексель) или иного указанного в векселе плательщика (переводной вексель) уплаты обусловленной денежной суммы при наступлении предусмотренного векселем срока платежа. 8 Таким образом, вексель – это разновидность долгового обязательства, документ, удостоверяющий имущественное право векселедержателя на получение обозначенной в нем денежной суммы. Вексель должен быть составлен с соблюдением установленной формы и содержать обязательные для векселя реквизиты. Реквизиты векселя:  вексельная метка «вексель» в тексте документа;  безусловный приказ или обязательство уплатить определённую сумму;  наименование плательщика и первого держателя;  срок и место платежа;  дата и место составления векселя и подпись векселедателя. 9 Расчеты с использованием векселей (вексельная форма расчетов) являются одной из неденежных форм расчетов. Вексельные отношения в Российской Федерации регулируются специальным вексельным законодательством и общими нормами гражданского законодательства. Основным нормативным актом, регулирующим вексельные отношения в Российской Федерации, является Федеральный закон от 11.03.1997 г. № 48-ФЗ «О переводном и простом векселе» (в текущей редакции). 10 Осуществление имущественных прав по векселю, как и по любой другой ценной бумаге, возможно только путем его предъявления. Предметом вексельного обязательства могут быть исключительно деньги. Документ, хотя и названный векселем, но содержащий обязательство плательщика по передаче векселедержателю каких-либо материальных ценностей, не имеет вексельной силы. Вексель удостоверяет безусловное денежное обязательство. Это означает, что обязательство произвести платеж по векселю не может быть поставлено в зависимость от наступления либо не наступления какого-либо условия. 11 Учётная ставка используется для расчёта дисконта в денежном выражении, который определяется как разница наращенной суммы (номинальной стоимости векселя) и учетной стоимости векселя. Учетная стоимость будет тем ближе к номинальной стоимости, чем меньше период до срока погашения векселя. Обозначается учётная ставка - d. Как правило, если срок менее 1 года, то расчет ведется по простым %, если больше, то по сложным %. 12 Простая учетная ставка где S – номинальная стоимость векселя (в задачах обозначается Sн); Р – учетная стоимость векселя (в задачах обозначается Ру); d – учетная ставка (учитывается в виде коэффициента); n – период до погашения векселя (в годах). 13 Пример. Рассчитайте сумму, выданную на руки при учете векселя за 28 дней до срока погашения, если номинал векселя составил 90000 руб. Учетная ставка 14% годовых. Принять 360 дней в году. Ру = 90000*(1-0,14*28/360) = 89020 руб. Пояснения: Поскольку векселедержатель решил погасить вексель на 28 дней раньше срока погашения, учетная стоимость векселя составила 89020 рублей, что ниже номинальной стоимости на 980 руб. (дисконт). Если бы он подождал еще 28 дней, то получил бы на руки всю номинальную стоимость векселя, т.е. 90000 руб. 14 Сложная учетная ставка Пример. Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Дисконтирование по сложной учетной ставке производится 4 раза в год. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя. Pу = 500 * (1 – 0,2 / 4)4*1,5 = 367,55 тыс. руб. Дисконт банка составит: 500 – 367,55 = 132,45 тыс. руб. 15