Двойной интеграл

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ КАФЕДРА № 1 «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА» ЛЕКЦИЯ № 22 Двойной интеграл по дисциплине Математика. Математический анализ. Раздел: Функции нескольких переменных Тема : Интегральное исчисление функции нескольких переменных Учебная цель: формировать знания о двойном интеграле, его геометрическом и физическом смысле, простейших свойствах и вычислении в декартовых координатах. Учебные вопросы: 1. Интегральные суммы функции 2-х переменных. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл. 2. Простейшие свойства двойного интеграла. 3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Санкт – Петербург 2020 Вопрос 1. Интегральные суммы функции 2-х переменных. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл. Пусть на плоскости Оху дана замкнутая и ограниченная область D и пусть функция z  f  x, y  непрерывна в этой области. 1. Разобьем область D произвольным образом на n частей с площадями S1, S2 ,...Sn и диаметрами d1, d2 ,..., dn (диаметром области называется x наибольшее расстояние между двумя точками этой области). частичной области произвольную точку у Pk D 2. Выберем в каждой Pk  xk , yk  , k  1,2,..., n . 3. Вычислим значение функции f  Pk   f  xk , yk  , k  1,2,..., n . в n n k 1 k 1 этих 4. Составим сумму Vn   f  Pk  Sk   f  xk , yk  Sk точках, т.е. , которая называется интегральной суммой для функции z  f  x, y  по области D. Геометрический смысл интегральной суммы – объем ступенчатого тела (цилиндрическое тело заменено на сумму прямых цилиндров, объем каждого, из которых равен Vk  f  xk , yk  Sk ). 5. Будем неограниченно увеличивать число разбиений  n    так, что наибольший из диаметров частичных областей d  0 , тогда получим последовательность интегральных сумм Vn1,Vn 2 ,...,Vnk ,... Определение. Если при d  0  n   существует предел интегральных n сумм lim  f  xk , yk  Sk , не зависящий от способа разбиения области D на d 0 n k 1 частичные области и от выбора точек Pk  xk , yk  в частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции z  f  x, y  по области D и обозначается символом  f  P  dS или  f  x, y  dxdy . D D Здесь dS  dxdy – элемент площади в декартовых координатах. Итак: n  f  P  dS  lim  f  P  S D d 0 n k 1 2 k k . Функция f  x, y  при этом называется интегрируемой в области D, f  x, y  – подынтегральная функция, f  P  dS – подынтегральное выражение, dS – дифференциал или элемент площади (выражается по разному в разных системах координат), область D – область интегрирования. Теорема (достаточное условие интегрируемости). Всякая функция f  x, y  , непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области. Геометрический смысл двойного интеграла. z S D x Пусть z  f  x, y   0 . Тогда двойной интеграл от функции z  f  x, y  по области D равен объему z=f(x,y) цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z  f  x, y  , с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Оz, а направляющей служит контур L y области D, снизу – областью D плоскости Оху: L V   f  P  dS или V   f  x, y  dxdy . D D Если в области D функция z  f  x, y  меняет знак, то формула примет вид V   f  P  dS или V   f  x, y  dxdy . D D Механический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции z  f  x, y   0 по области D представляет собой массу фигуры D, если подынтегральную функцию f  x, y  считать плотностью этой фигуры в точке P  x, y  . 3 Вопрос 2. Простейшие свойства двойного интеграла. Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функции одной переменной. 1. Свойство линейности. Если функции f  x, y  и   x, y  интегрируемы в области D, а  и  – любые вещественные числа, то функция f  x, y     x, y  также интегрируема в области D, причем   f  x, y    x, y  dS   f  x, y  dS     x, y  dS . D D D 2. Интегрирование неравенств. Если функции f  x, y  и   x, y  интегрируемы в области D и всюду в этой области f  x, y     x, y  , то  f  x, y  dS    x, y  dS , D D т.е. неравенства можно почленно интегрировать. В частности, интегрируя неравенство  f  x, y   f  x, y   f  x, y  , получим   f  x, y  dS   f  x, y  dS   f  x, y  dS , D D D или  f  x, y  dS   f  x, y  dS . D D 3. Площадь плоской фигуры (области). Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно: интегральная сумма для функции f  x, y   1 в области D имеет вид n 1  S k 1 k и при любом разбиении области D на частичные обла- сти равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т.е. двойной интеграл, равен площади S области D: S   dS . D 4. Оценка интеграла. Пусть функция f  x, y  непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и m – наибольшее и наименьшее значения функции f  x, y  в области D  m  f  x, y   M  и S – ее площадь, тогда mS   f  x, y  dS  MS . D 4 5. Аддитивность. Если функция f  x, y  интегрируема в области D и область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то f  x, y  интегрируема на каждой из областей D1 и D2 , причем  f  x, y  dS   f  x, y  dS   f  x, y  dS . D D1 D2 6. Если подынтегральная функция сохраняет знак в области интегрирования, то двойной интеграл имеет тот же знак, что и подынтегральная функция, т.е. если f  x, y   0 , то и  f  x, y  dS  0 . D 7. Теорема о среднем значении. Если функция f  x, y  непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна точка  ,  области D такая, что будет справедлива формула:  f  x, y  dS  f  ,   SD , (*) D где S D – площадь области D. Доказательство. Так как f  x, y  непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее М и наименьшее m значения. По свойству 4 имеем mS   f  x, y  dS  MS , D откуда m Таким образом, число 1 f  x, y  dS  M . S  D 1 f  x, y  dS S  D заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции f  x, y  в области D. В силу непрерывности функции f  x, y  в области D она принимает в некоторой точке  ,   D значе1 ние, равное этому числу f  ,    f  x, y  dS   f  x, y  dS  f  ,   S D . S D D Геометрический смысл теоремы: если в области D функция f  x, y   0 , то формула (*) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна S) и высотой H  f  ,  , объем которого равен объему цилиндрического тела. 5 Вопрос 3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Понятие правильной области (на плоскости). Область D называется правильной в направлении оси ох (оу), если любая прямая, параллельная оси ох (оу) и проходящая через внутренние точки области D пересекает границу области D в двух точках. у p1 – точка входа, р2 – точка выхода. p2 y2=2(x) Если область является правильной и в направлении оси ох и в направлении оси оу, то она называется просто правильной областью. D p1 y1=1(x) а b x Примеры: у у у D2 D1 D4 D3 х Рис. 1 х 0 Рис. 2 х Рис. 3 На рисунке 1 – область правильная в направлении оси ох и неправильная в направлении оси оу; на рисунке 2 – правильная область; на рисунке 3 – область неправильная. Замечание. Если область является неправильной, то прямыми, параллельными координатным осям, ее можно разбить на правильные части, а двойной интеграл рассматривать как сумму интегралов по этим частям. 6 Теорема (о вычислении двойного интеграла в декартовых координатах). Пусть в правильной области D заy дана однозначная и непрерывная d E функция z  f  x, y  . y  2  x  Известны: x  1  y  x  2  y  1) числа a, b, c, d ; А В 2) уравнение дуги ACB : y  1  x  ; D c y  1  x  3) уравнение дуги AEB : y  2  x  ; С 4) уравнение дуги CAE : x  1  y  ; a b x 5) уравнение дуги CBE : x   2  y  . Теорема Двойной интеграл по области D от непрерывной функции f  x, y  сводится к двукратному по формулам: b 2  x  a 1  x   f  x, y  dS   dx  f  x, y  dy , D если область D правильная в направлении оси Оу, или d 2  y  c 1  y   f  x, y  dS   dy  f  x, y  dx , D если область D правильная в направлении оси Ох. Вывод z Известно, что Vöò   f  x, y  dS . z=f(x,y) M c x  1  y  А D Проведем сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, x  const (параллельно плоскости Оуz), a  x  b , которая пересекает область D в двух точках Р и R. Точка Р – точка входа прямой x  const (в плоскости Оху) в область D, точка R – точка выхода прямой x  const из области D, P  x, y1  , R  x, y2  . N d а y y  1  x  y  2  x  b С P R Е x В x  2  y  Кривая, которая получилась от пересечения плоскости x  const с поверхностью будет иметь уравнение z  f  x, y  где x  const . Таким образом в сечении тела плоскостью x  const получим криволинейную трапецию, площадь которой определяется по формуле S  x   2  x   f  x, y  dy . 1  x  7 Из теории определенного интеграла известно, что объем цилиндрического b тела находится по формуле Vöò   S  x  dx , где S  x  – площадь поперечного a сечения тела плоскостью перпендикулярной оси Ох. 2  x  b  2  x  b  Тогда Vöò   f  x, y  dS     f  x, y  dy  dx   dx  f  x, y  dy .   D a  1  x  a 1  x   b Итак, 2  x   f  x, y  dS   dx  f  x, y  dy , D a если область D правильная в 1  x  направлении оси Оу. # Интеграл, стоящий в правой части называется двукратным или повторным, чтобы его вычислить, нужно сначала вычислить внутренний интеграл 2  x   f  x, y  dy    x  , считая х постоянным, затем вычислить внешний инте- 1  x  b грал    x  dx . a Внешние пределы всегда постоянны, внутренние – функции, за исключением случая, когда область D – прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, тогда пределы и внешнего и внутреннего интегралов – постоянные. Пример 1 Вычислить  xydxdy по области D, ограниченной линиями y  x , y  x2 . D Решение у yx yx 2 1 1 способ: область D правильная в направлении оси Оу, следовательно, можно применить формулу 1 x 1 y2 D xydxdy  0 dx 2 xydy  0 dx  x  2 x x x2  x2 x4    x    dx  2 2 0  1 1  x3 x5   x4 x6  1 1 1      dx        . 1 х 2 2 8 12 8 12 24   0 0 2 способ: область D правильная в направлении оси Ох, следовательно, можно применить формулу 1 y 1 y 1 x2 D xydxdy  0 dy y xydx  0 dy  y  2 y 1  y y2  1   y    dy    y 2  y 3  dy  2 2  20 0  1 1 1  y3 y 4  11 1 1 1 1           . 2 3 4  0 2  3 4  2 12 24 8 Пример 2 Расставить пределы интегрирования для одного и другого порядка: 2  f  x, y  dS , где область D ограничена линиями y  x и y  x  2 . D Решение у 1 1) 2 х 4 2) 4 x 1 x 2  f  x, y  dS   dx  f  x, y  dy   dx  f  x, y  dy ; D 0 1 -1 x  x 2 y 2 1 y2  f  x, y  dS   dy  f  x, y  dy . D Пример 3 1 x2 3 3 x 2 1 Изменить порядок интегрирования  dx  f  x, y  dy   dx Решение у y  0, y  x 2 ; 3 x y  x  3  2y ; 2 y  x2 2y  3  x тогда 1 1 2 3 х 1   dy 1 x2 3 3 x 2 3 2 y 1  f  x, y  dy .  dx  f  x, y  dy   dx  f  x, y  dy   f  x, y  dx . y Разработал: Доцент кафедры «Высшей математики механики» 9 Т.А. Черняк