Определение и свойства двойного интеграла

1. Определение и свойства двойного интеграла Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных. Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область на плоскости, а z = f (x, y) — ограниченная функция, определенная в G . Разобьем область G произвольным образом на n частей G1 , . . . Gn , не имеющих общих внутренних точек, с площадями, соответственно равными ∆S1 , . . . ∆Sn (рис. 1.1). В каждой части Gk Рис. 1.1. выберем произвольную точку Pk (xk , yk ) и найдем значение функции f (xk , yk ) в этой точке. Составим сумму n X f (xk , yk )∆Sk . (1) k=1 Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x, y) в области G . Назовем диаметром dk области Gk наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через λ максимальный из диаметров частичных областей Gk : λ = max {dk } . 1≤k≤n Определение 1. Если существует предел при λ → 0 интегральных сумм (1), не зависящий от способов разбиения области G и выбора точек Pk , то этот предел 1 называется двойным интегралом в смысле Римана Z Z от функции ZfZ(x, y) по области G и обозначается одним из следующих символов: f (x, y)dS или f (x, y)dxdy , т. е. G lim λ→0 n X G ZZ f (xk , yk )∆Sk = k=1 f (x, y)dxdy. G В этом случае функция f (x, y) называется интегрируемой по Риману в области G , G — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, dS (или dxdy ) — элементом площади. 1 Риман Бернхард (1826–1866) — немецкий математик. 1 Замечание 1. В дальнейшем при изучении двойных интегралов Римана будем для краткости называть их просто двойными интегралами, а функции, интегрируемые по Риману, — интегрируемыми функциями. Выясним геометрический смысл двойного интеграла. Пусть в пространстве дано тело T , ограниченное сверху графиком непрерывной неотрицательной функции z = f (x, y) , которая определена в области G ; с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G , а образующие параллельны оси Oz ; и снизу — областью G , лежащей в плоскости xOy (рис. 1.2). Тело такого вида называют криволинейным цилиндром. Тогда интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований ∆Sk и высотами f (xk , yk ) , которую можно принять за приближенное значение объема тела T : V ≈ n X f (xk , yk )∆Sk . k=1 Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при λ → 0 получаем ZZ V = f (x, y)dxdy. G Таким образом, двойной интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра. Рис. 1.2. Замечание 2. Если положить f (x, y) ≡ 1 всюду в области G , то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади S области G в виде двойного интеграла: ZZ n X 1 · dxdy = lim 1 · ∆Sk = lim S = S. λ→0 G k=1 2 λ→0 Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция f (x, y) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но неинтегрируемые функции. Пример 1. Доказать, что функция ½ 1, если x и y рациональные числа, f (x, y) = 0, если x или y иррациональное число, определенная на квадрате G = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} , неинтегрируема. РЕШЕНИЕ. Зафиксируем произвольное разбиение G1 , . . . , Gn квадрата G . Если выбрать xk и yk (k = 1, 2, . . . , n ) рациональными, то при любом разбиении получим n X f (xk , yk )∆Sk = k=1 n X 1 · ∆Sk = 1 − площадь квадрата, k=1 а если взять xk или yk иррациональными, то n X f (xk , yk )∆Sk = k=1 n X 0 · ∆Sk = 0. k=1 Следовательно, не существует предела интегральных сумм λ → 0, и данная функция неинтегрируема по Риману. Один класс интегрируемых функций указывается в следующем утверждении. при Теорема 1. Функция f (x, y) , непрерывная в замкнутой ограниченной области G , интегрируема в этой области. Приведем основные свойства двойного интеграла. Заметим, что они аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не останавливаясь на их доказательствах. 1◦ . Линейность 1. Если k — произвольное число и функция f (x, y) интегрируема в области D , то функция kf (x, y) также интегрируема в D и ZZ ZZ kf (x, y)dxdy = k f (x, y)dxdy, D D т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 2◦ . Линейность 2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D , то их алгебраическая сумма и разность также интегрируемы в этой области и ZZ ZZ ZZ [f (x, y) ± g(x, y)]dxdy = f (x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy. D D D 3◦ . Аддитивность. Пусть область D является объединением областей D1 и D2 , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой из этих областей функция f (x, y) интегрируема. Тогда в области D функция f (x, y) также интегрируема и ZZ ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy. D D1 D2 3 4◦ . Монотонность. Если функции f1 (x, y) , f2 (x, y) в области D и в каждой точке (x, y) ∈ D f1 (x, y) ≤ f2 (x, y) , то справедливо неравенство интегралов ZZ ZZ f1 (x, y)dxdy ≤ f2 (x, y)dxdy, D непрерывны выполняется D Из свойства монотонности вытекает следующая оценка двойного интеграла: ZZ ZZ ZZ mS = m dxdy ≤ f (x, y)dxdy ≤ M dxdy = M S, D D D где m — наименьшее, M — наибольшее значения функции f (x, y) в D , а S — площадь области D . 5◦ . Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D , то найдется такая точка (x0 , y0 ) ∈ D , что ZZ f (x, y)dxdy = f (x0 , y0 )S, D где S — площадь фигуры D . 4