Доверительные интервалы для числовых характеристик.

Лекция 16 Доверительные интервалы для числовых характеристик. После получения точечной оценки параметра желательно иметь данные о надежности этой оценки, например, указать интервал , внутри которого с вероятностью находится точное значение параметра . Задачу получения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным. Пусть задана случайная выборка случайной величины с функцией распределения . Рассмотрим две статистики и такие, что для всевозможных реализаций случайной выборки выполняется неравенство , а для любых значений имеем , то есть случайный интервал накрывает неизвестный параметр с вероятностью или в случаев, которая не зависит от искомого параметра . Интервал называют доверительным интервалом для неизвестного параметра , вероятность – доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр покрывается интервалом , – уровнем значимости. Границы и доверительного интервала называются доверительными. На практике обычно выбираются значения , что соответствует 90 –, 95 – и 99 %-ным доверительным интервалам соответственно. Статистики и обычно задают так, чтобы . В прикладных статистических задачах длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина этого интервала велика, то ценность такой оценки незначительна. Рассмотрим некоторые примеры, когда доверительный интервал может быть найден. 1. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Выведем формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону , в данный интервал . Поскольку плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины есть , а вероятность попадания случайной величины в интервал равна , то искомая вероятность . Вводя замены , , , получим , где – функция Лапласа. В частности, если интервал симметричен относительно математического ожидания , то есть , то последняя формула в силу нечетности функции приводится к виду . Положив в последней формуле и пользуясь таблицей 4 значений функции , получаем . ▲ Таким образом, с вероятностью 99,7 % значение нормально распределенной случайной величины отклоняется от математического ожидания не больше, чем на . Другими словами, в среднем в трех опытах из 1000 отклонение случайной величины от математического ожидания будет более . Поэтому областью практически возможных значений нормально распределенных случайных величин считается обычно интервал . В этом и состоит «правило трех сигм». 2. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при известной дисперсии. Пусть задана случайная выборка такая, что , распределены по нормальному закону , причем дисперсия известна. Найдем доверительный интервал для математического ожидания . Случайная величина имеет нормальное распределение . Рассмотрим случайную величину . Так как и , то случайная величина имеет нормальное распределение . Следовательно, , где – квантили нормального распределения . Это равенство можно также записать в виде , которое справедливо для любого значения случайной величины . Следовательно, для любой выборки интервал с доверительной вероятностью накрывает неизвестное математическое ожидание случайной величины . Нетрудно показать, что , и тогда доверительный интервал можно записать в виде . 3. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии. Пусть требуется оценить математическое ожидание генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии . В этом случае для построения доверительного интервала применяют статистику , где – случайное значение выборочной дисперсии, то есть ; – случайное значение модифицированной (исправленной) выборочной дисперсия; – случайная выборка такая, что случайные величины , распределены по нормальному закону , в котором математическое ожидание и дисперсия неизвестны. Можно показать, что случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Тогда , где , – квантили распределения Стьюдента. Отсюда находим доверительный интервал с уровнем значимости для математического ожидания при неизвестной дисперсии : . Если учесть, что , то доверительный интервал можно записать в виде , где – выборочное среднее; – модифицированная выборочная дисперсия; . 4. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности при известном математическом ожидании. Найдем доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при известном математическом ожидании . В этом случае для построения доверительного интервала применяют статистику , где – объем случайной выборки ; . Случайная величина имеет - распределение с степенями свободы, и поэтому доверительный интервал находится из условия , где , – квантили - распределения. Таким образом, для любой реализации случайной выборки доверительный интервал , где , накрывает с вероятностью теоретическое значение дисперсии случайной величины . Извлекая квадратный корень из обеих сторон последнего неравенства, определяющего доверительный интервал для , получаем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения : . 5. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании. В этом случае для построения доверительного интервала применяют статистику , где – объем случайной выборки ; . Случайная величина имеет - распределение с степенями свободы. Тогда , где , – квантили - распределения. Отсюда для любой реализации случайной выборки находим доверительный интервал для дисперсии случайной величины и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения , где – модифицированная выборочная дисперсия; .