Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ Дисперсионный анализ позволяет оценить влияние несколько неизмеримых факторов на измеряемую величину. Рассмотрим двухфакторный анализ. Имеется 2 фактора, каждый из которых имеет несколько значений, они называются уровни фактора. Для каждого из пар уровней проведено несколько (рассмотрим только одинаковое количество) измерений величины Y. Дисперсионный анализ оценивает случайно ли получены такие значения измерений Y или их можно объяснить влиянием одного из факторов или их совместным влиянием. Пример 1. В четырех лабораториях (фактор B) испытывались три опреснителя морской воды (фактор A). Чтобы выбрать лучший опреснитель, сначала нужно убедиться, что фактор значим, т.е. полученные различия не случайны. Кроме этого, нужно убедиться, что значимо различие в лабораториях (например, различие условий, тип морской воды). Кроме этого, нужно оценить взаимодействие факторов, т.к. хороший опреснитель для одной лаборатории может оказаться плохим для другой. A1 A2 A3 B1 3,6 3,8 4,1 2,9 3,1 3,0 2,7 2,5 2,9 B2 4,2 4,0 4,1 3,3 2,9 3,2 3,7 3,5 3,6 B3 3,8 3,5 3,6 3,6 3,7 3,5 3,2 3,0 3,4 B4 3,4 3,2 3,2 3,4 3,6 3,5 3,6 3,8 3,7 Несколько наблюдений в каждой клетке таблицы нужно только для проверки значимости взаимодействия, для проверки отдельно значимости факторов A и B достаточно в ячейках таблицы поместить средние значения. Итак, у фактора A 3 уровня (m=3) , у фактора B 4 уровня (k=4), кроме этого имеется n параллельных наблюдений. На первом этапе вычисляется сумма квадратов по всей таблице. , k=3; m=4; n=3 Q=431,32 Больше параллельные наблюдения не понадобятся, строится новая таблица, в каждой клетке находится среднее значение по n параллельным наблюдениям. В последней колонке суммы по строкам, в последней строке суммы по столбцам Пусть xsij, i=1,m; j=1,k - матрица средних значений в каждой клетке таблицы. 1. Вычисляется сумма квадратов всех средних значений. Q1=143,58 2. В последней строке вычислены суммы средних значений. Для вычисления суммы квадратов, относящихся к фактору A, следует вычислить сумму этих квадратов, деленную на число уровней фактора B (число слагаемых в колонке m=4) Q2= (14,832+13,232+13,22)/4 Q2 =142,34 3. Числа в последнем столбце определяют сумму квадратов, связанных с фактором B. Эта сумма делится на число слагаемых в строке (k=3) Q3=(9,532+10,832+10,432+10,462)/3 Q3=142,21 4. Вычисляется квадрат всей суммы, деленной на произведение mxk Q4=41,26 2/ 12 Q4=141,91 5. Вычисляется дисперсия воспроизводимости s2. s2=0,023 6. Вычисляется совместная дисперсия воспроизводимости и взаимодействия. s02=0,155 7. Проверка гипотезы о значимости взаимодействия фактора типа опреснителя и фактора лаборатории. Гипотеза H0 - взаимодействие незначимо. По теореме: Если взаимодействие незначимо, то величина: подчиняется закону распределения Фишера с числом степеней свободы f1=(k-1)(m-1)=6; f2=km(n-1)=24 F=19,7 Критическое значение распределение Фишера Fk вычисляется следующим образом: import scipy.stats as st …….. alfa=0.95 # уровень доверия n1=(k-1)*(m-1) n2=k*m*(n-1) Fk=st.f.ppf(alfa, n1, n2) ….. Fk=2,5 Если H0 подтверждается, F подчиняется распределению Фишера и с вероятностью 0,95 должно быть меньше Fk. Т.к. F>Fk гипотеза H0 о незначимости взаимодействия факторов отвергается, т.к. либо произошло событие вероятность которого 0,05, либо гипотеза неверна и тогда F не подчиняется закону распределения Фишера и может быть любым. Логичнее отвергнуть нулевую гипотезу, чем верить в такие вероятности. Далее проверяется значимость каждого из факторов A, B по отдельности. 8. Оценка влияния фактора A. Вычисляется sA2=(Q2-Q4)/(k-1) sA2=0,217 В предположении, что фактор A незначим, отношение Fa= sA2 / s02 подчиняется закону распределения Фишера со степенями свободы: f1=k-1; f2=(k-1)(m-1) Fa=1,40 Критическое значение Фишера: alfa=0.95 n1=k-1 n2=(k-1)*(m-1) Fk=st.f.ppf(alfa, n1, n2) Fk=5,1 Fa