Дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов

Лекция N 19 Анализ дисперсионного уравнения для поверхностных поляритонов на границе реальных кристаллов 1.Введение На прошлой Лекции N 18 мы получили дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов в безразмерном виде: ∥ = ⋅ + − − ⋅ (1) Здесь введены безразмерные величины: ∥ = ∥ , = , = = Ω (2) Мы проведем совместный анализ дисперсионных кривых поверхностных и объемных поляритонов для реальных кристаллов: LiF, SiO2-1, SiO2-2. Для этого, напомним дисперсионное уравнение для объемных поляритонов, полученное нами ранее: = ( ) (3) − − (4) где ( )= Приведем дисперсионное уравнение (3) к безразмерному виду: = ⋅ − 1− (5) Здесь: = (6) Мы применим полученные результаты для анализа дисперсионных кривых для реальных кристаллов. 2.Анализ дисперсионных кривых поверхностных и объемных поляритонов для кристалла LiF Для этого кристалла резонанс происходит на частоте остальные параметры: = 9.27 , = 1928 , = 1.92. На приведенных ниже графиках по оси абсцисс отложена относительная частота u= , а вдоль оси ординат – величина n= объемного поляритона и ∥ = ∥ для случая – для поверхностного. На Рисунке 1 показаны дисперсионные кривые для кристалла LiF. Рассчитанные значения параметров и приведены в Таблице 1: Таблица 1 uL 2,197299 uS 1,8754 12 10 8 6 n|| n 4 2 0,47 0,64 0,81 0,98 1,14 1,31 1,48 1,65 1,82 1,99 2,16 2,33 2,49 2,66 2,83 3,00 3,17 3,34 3,51 3,68 3,84 4,01 4,18 4,35 4,52 4,69 4,86 5,03 Рисунок 1. Дисперсионные кривые для поверхностных и объемных поляритонов для кристалла LiF. Анализ дисперсионных кривых Мы видим из Рисунка 1, что поверхностный поляритон (для него дисперсионная кривая на Рисунке 1 имеет синий цвет) на границе данного кристалла с воздухом существует в области частот: =1< < = 1,8754 (7) Здесь = =1 Это условие (7), как мы показали ранее, обеспечивает, во-первых, отрицательность диэлектрической проницаемости ( ) кристалла, во- вторых, выполнение условия, при котором модуль диэлектрической проницаемости превышает единицу: | ( )| > 1 (8) Следовательно, наш расчет полностью подтверждает проведенный ранее теоретический анализ дисперсионных характеристик поверхностных поляритонов. Теперь переходим к анализу дисперсионной кривой объемных поляритонов для данного кристалла. Как мы знаем, для них существует запрещенная зона =1< < = 2,197299 (9) Из Рисунка 1 видно, что действительно в этом диапазоне частот мы имеем нулевые значения для n, что как раз и говорит о том, что в этой области частот объемный поляритон не существует. ⟹Замечательной особенностью приведенных на Рисунке 1 дисперсионных характеристик объемных и поверхностных поляритонов является то, что поверхностные поляритоны существуют в запрещенной для объемных поляритонов области. Этот вывод носит общий характер и справедлив для всех кристаллов, имеющих фононный или экситонный резонанс. 3.Анализ дисперсионных кривых поверхностных и объемных поляритонов для кристалла SiO2-1 Для этого кристалла резонанс происходит на частоте остальные параметры: = 4.6 , = 399 , = 1.9. На Рисунке 2 показаны дисперсионные кривые для кристалла SiO2-1. Рассчитанные значения параметров и приведены в Таблице 2: Таблица 2 uL 1,555973 uS 1,389617 12 10 8 n 6 n|| 4 2 0,35 0,47 0,60 0,72 0,85 0,97 1,10 1,22 1,35 1,47 1,60 1,72 1,85 1,97 2,10 2,22 2,35 2,47 2,60 2,72 2,85 2,97 3,10 3,22 3,35 3,47 3,60 3,72 Рисунок 2. Дисперсионные кривые для поверхностных и объемных поляритонов для кристалла SiO2-1 Анализ дисперсионных кривых Мы видим из Рисунка 2, что поверхностный поляритон (для него дисперсионная кривая на Рисунке 2 имеет синий цвет) на границе данного кристалла с воздухом существует в области частот: =1< Это условие проницаемости (10) < = 1,389617 обеспечивает, отрицательность (10) диэлектрической ( ) кристалла, а также выполнение условия, при котором модуль диэлектрической проницаемости превышает единицу. Теперь переходим к анализу дисперсионной кривой объемных поляритонов для данного кристалла. Как мы знаем, для них существует запрещенная зона =1< < = 1,555973 (11) Из Рисунка 2 видно, что действительно в этом диапазоне частот мы имеем нулевые значения для n, что опять говорит о том, что в этой области частот объемный поляритон не существует. Интересно отметить, что ⟹в области частот = , < < = , (12) не существует ни объемного, ни поверхностного поляритона. Причина заключается в том, что в этой области диэлектрическая проницаемость кристалла ( ) остается отрицательной и поэтому объемный поляритон не существует. Для поверхностного поляритона первое условие его существования выполнено ( ( ) < 0) , однако второе | ( )| > 1 - нарушено. Поэтому его также не будет в этой области. 4.Анализ дисперсионных кривых поверхностных и объемных поляритонов для кристалла SiO2-2 Для этого кристалла резонанс происходит на частоте остальные параметры: = 4.03 , = 450 , = 3.17. На Рисунке 3 показаны дисперсионные кривые для кристалла SiO2-2. Рассчитанные значения параметров и приведены в Таблице 3: Таблица 3 uL 1,127516 uS 1,098287 12 10 8 6 n|| n 4 2 0,27 0,37 0,47 0,57 0,67 0,77 0,87 0,97 1,07 1,16 1,26 1,36 1,46 1,56 1,66 1,76 1,86 1,95 2,05 2,15 2,25 2,35 2,45 2,55 2,65 2,75 2,84 2,94 Рисунок 3. Дисперсионные кривые для поверхностных и объемных поляритонов для кристалла SiO2-2 Анализ дисперсионных кривых Мы видим из Рисунка 3, что поверхностный поляритон (для него дисперсионная кривая на Рисунке 3 имеет синий цвет) на границе данного кристалла с воздухом существует в области частот: =1< Это условие проницаемости (13), < обеспечивает = 1,098287 отрицательность (13) диэлектрической ( ) кристалла, а также выполнение условия, при котором модуль диэлектрической проницаемости превышает единицу. Теперь переходим к анализу дисперсионной кривой объемных поляритонов для данного кристалла. Как мы знаем, для них существует запрещенная зона =1< < = 1,127516 (14) Из Рисунка 3 видно, что действительно в этом диапазоне частот мы имеем нулевые значения для n, что опять говорит о том, что в этой области частот объемный поляритон не существует. Следует отметить, что для кристалла SiO2-2 запрещенная область и область существования поверхностных поляритонов значительно уже, чем для предыдущих кристаллов LiF и SiO2-1. ⟹ В области частот = , < < = , (15) не существует ни объемного, ни поверхностного поляритона. Таким образом, в настоящей Лекции был проведен полный анализ дисперсионных кривых поверхностных и объемных поляритонов в кристаллах LiF, SiO2-1, SiO2-2. Представленный материал показывает особенности этих возбуждений в конкретных кристаллах.