Дискретные случайные величины

ЛЕКЦИЯ N 41 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ПЛАН I. Случайная величина. Закон распределения. II. Числовые характеристики дискретной случайной величины. III. Виды дискретных распределений. I. Случайной называют величину, которая в результате испытаний может принять одно из возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Если задано пространство Ω элементарных исходов , то случайной величиной называют функцию от элементарных исходов: Х = Х () ,  є Ω . Дискретной называют случайную величину, которая принимает конечное или счетное (бесконечное) число различных значений с соответствующими вероятностями. Следовательно, для задания случайной величины необходимо знать ее возможные значения Х () = х1, х2, х3,…, хn, … и соответствующие этим значениям вероятности Р (Х = хi), i=1,2,3,…,n,… Пример 1 Число родившихся мальчиков на 100 новорожденных есть дискретная случайная величина с возможными конечными значениями от 0 до 100. Пример 2 Пусть ведется стрельба до первого промаха, тогда число выстрелов есть дискретная случайная величина, принимающая счетное число значений, которое заранее нельзя ограничить. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически или графически. Иными словами, закон распределения есть функция Р(х), связывающая возможные значения случайной величины x с соответствующими им вероятностями P. Закон распределения удобно задавать в виде таблицы: Значение Х х1 х2 … хт Вероятность P p1 p2 … pn События Х = х1 , Х = х2, … , Х = хn образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей равна 1, т. е. р1 + р2 +… + рп = 1. Пример 3 В группе из 50 человек организована лотерея. Разыгрываются два выигрыша по 10 рублей и один выигрыш в 30 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша (выигрыш минус стоимость билета) по одному билету стоимостью в 1 руб. Случайная величина может принимать три значения –1, 9 и 29 руб. Первому значению благоприятствует 47 случаев из 50, второму 2 из50 и третьему один из 50. Следовательно, Р(Х= -1) = 0,94; Р(Х=9) = 0,04, Р(Х=29) = 0,02. Закон распределения имеет вид: Сумма выигрыша -1 9 29 Вероятность 0,94 0,04 0,02 Контроль: ΣРi= 0,94 + 0,04 + 0,02 = 1. Пусть Х – дискретная случайная величина. Рассмотрим событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньше какого-либо произвольного числа х, т.е. Х < х. Это событие будет иметь определенную вероятность Р (Х < х). При изменении х будет меняться и вероятность, т.е. вероятность можно рассматривать как функцию переменной х, которую обозначим F(х). Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется функция, определяющая для каждого х вероятность того, что Х примет значение меньшее х, т.е. F(х) = Р (Х < х) (1) Рассмотрим свойства функции распределения. 1. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей функцией, т.е. F(х2) ≥ F(х1), если х2 > х1. 2. Значения функции распределения заключены между 0 и 1 при изменении х от - ∞ до +∞. 3. Вероятность того, что случайная величина примет какое либо значение, принадлежащее интервалу (а, в), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(а ≤ х < в) = F (в) – F (а). (2) Отметим, что функция распределения – это аналитический способ задания случайной величины. Зная ряд распределения, можно найти функцию распределения и построить ее график. Пример 4 Дискретная случайная величина задана рядом распределения Значение X 2 4 7 Вероятность P 0,5 0,2 0,3 Найти функцию распределения и построить ее график. Если значения случайной величины х < 2, то F(х). = Р (Х < 2) = 0, так как Х не имеет значений, меньших 2. Если значения Х принадлежит интервалу 2 ≤ х < 4, то F(х) = 0,5, так как Х может принимать только значение 2 с вероятностью 0,5. Если 4 ≤ х < 7, то F(х) = 0,7. Действительно, Х может принимать значение 2 с вероятностью 0,5 или значение 4 с вероятностью 0,2. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий вероятность такого события есть 0,5 + 0,2 = 0,7, Если х ≥ 7, то F(х) = 1. Действительно, событие Х ≥ 7 достоверно, так как Х при этом может иметь любое из возможных значений, и вероятность его равна 1. Функцию распределения принято записывать в следующем виде: F(х) = 0 при х ≤ 2 0,5 при 2 < х ≤ 4 0,7 при 4 < х ≤ 7 1 при х >7 График этой функции имеет вид (рис.5): Рис.5 II. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он не всегда бывает известен или им не всегда удобно пользоваться. В ряде случаев случайные величины лучше описывать числами, которые описывают их суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу таких числовых характеристик относят математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: (3) Если случайная величина X принимает счетное множество значений, то ее математическое ожидание есть ряд, причем МX существует, если ряд сходится абсолютно. Таким образом, математическое ожидание есть величина неслучайная (детерминированная). Пример 1 Дан ряд распределения случайной величины X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 Найти ее математическое ожидание. Решение: М (Х) = 2 · 0,3 + 3 · 0,1 + 5 · 0,6 = 3,9. Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими свойствами: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М (С) = С. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) = СМ (Х). 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М (Х1+ Х2) = М (Х1) + М (Х2). 4. Математическое ожидание произведения двух случайных независимых величин равно произведению их математических ожиданий: М (Х1 Х2) = М (Х1) М (Х2). Пример 2 Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения: X1 1 2 P 0,2 0,8 X2 2 4 P 0,3 0,7 Найти математические ожидания произведения Х1 · Х2. Задачу можно решить двумя способами: 1 способ. Можно составить закон распределения новой случайной величины Х1·Х2. и найти ее математическое ожидание. Возможные значения новой величины есть все возможные произведения значений величины Х1 на все возможные произведения величины Х2. Так как эти величины независимы, то вероятности появления значений величины Х1Х2 есть произведение соответствующих вероятностей величины Х1 и Х2 . Перемножив значения Х1 и Х2 получим 2, 4, 8. Перемножив вероятности, имеем 0,06; 0,24; 0,14; 0,56. Так как у новой случайной величины есть два совпадающих значения 4, то их объединяем в одно, а, следовательно, соответствующие вероятности складываем (по теореме сложения вероятностей для независимых событий). Тогда имеем следующий ряд распределения X1X2 2 4 8 P 0,06 0,38 0,56 и искомое математическое ожидание равно М(Х1Х2) = 2·0,06 +4·0,38+8·0,56=6,12. 2 способ. Используя свойства математического ожидания, найдем математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин, подсчитав отдельно М(Х1 ) и М(Х2 ) М(Х1) = 1·0,2+2·0,8=1,8: М(Х2)=2·0,3+4·0,7=3,4: М(Х1 · Х2)=1,8 3,4 = 6,12. Отметим, что математическое ожидание суммы двух и более случайных величин можно также подсчитывать двумя способами: либо образуя новую случайную величину Х1 + Х2 + Х3 + + Хn , либо используя свойство 3. При образовании новой случайной величины вероятности появления ее возможных значений есть произведение соответствующих вероятностей слагаемых. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Отклонение Х - М(Х) есть, в свою очередь, тоже случайная величина, математическое ожидание которой равно 0, т.е. М[Х-М(Х)] = 0. Это легко доказать, воспользовавшись свойствами математического ожидания. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания D (Х)=М[Х-М(Х)]2 . Дисперсией, как характеристикой случайной величины, удобно пользоваться в тех случаях, когда необходимо знать рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения (математического ожидания). Дисперсию удобно вычислять по следующей формуле D (Х) = М (Х2)- [М(Х )]2 , т.е. как разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания. Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения Х 2 3 5 P 0,1 0,6 0,3 Сначала найдем математическое ожидание М(Х) = 2· 0,1+ 3 · 0,6 + 5 · 0,3 = 3,5. Запишем закон распределения величины Х2 Х2 4 9 25 P 0,1 0,6 0,3 и найдем М(Х2) = 4·0,1+9·0,6+25·0,3=13,3. Тогда дисперсия равна D(Х)=М(Х2 )-[М(Х)] 2 =13,3-(3,5) 2 = 1,05. Перечислим основные свойства дисперсии. 1. Дисперсия неслучайной величины С равна нулю: D(С)=0. 2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: D(СХ)=С2 D(Х). 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна суммы дисперсией этих величин D (Х1 + Х2)= D (Х1 ) +D (Х2 ). Это свойство распространяется и на сумму нескольких независимых случайных величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D (Х1 – Х2 ) = D [ Х1 + (-1) Х2 ] = D (Х1 ) + D [ (-1)Х2 ] = = D (Х1)+(-1) 2 D (Х2) = D (Х1)+ D(Х2). Так как дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то это не всегда удобно. Например, при оценке рассеяния величины денежного выигрыша вокруг его среднего значения, мы получим величину, выражающуюся в квадратных рублях. Более удобной числовой характеристикой для оценки рассеяния является среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое определяется как корень квадратный из дисперсии . Пример 4. Случайные величины Х1 и Х2 независимы. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 3Х1 - 2Х2 +5, если D (Х1 ) = 1 и D (Х2 ) = 4. Воспользовавшись свойствами дисперсии, имеем D (Z) = D (3Х1 - 2Х2 +5) = D(3Х1) + D[Х1 (-2)] + D(5) = 9D(Х1 ) + 4D(Х2 ) = 9+16=25, =5. III. Биноминальное распределение Определим числовые характеристики биномиального распределения. Число k появлений события А в серии из n независимых испытаний можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую возможные значения из интервала . Вероятности, с которыми могут появиться эти возможные значения, подсчитываются по формуле Бернулли. Такое распределение называют биномиальным, так как формула для вероятности есть формула общего члена в формуле бинома Ньютона . Рассмотрим случайную величину Х - число появлений события А в одном испытании. Легко видеть, что эта случайная величина принимает два возможных значения: 0 - если события А не произошло с вероятностью q = ²-р и 1 - если событие А с вероятностью p появилось. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид Х 1 P q р Теперь легко подсчитать математическое ожидание М(Х) = 0·q+1·р = р Дисперсия найдется по формуле D(Х)=М(Х2)-М2(Х). Закон распределения величины Х2 совпадает с законом распределения Х и, следовательно, D(Х) = М(Х2)-М2(Х) = р-р2 = р(1-р) = рq. Случайную величину k можно рассматривать как сумму независимых одинаково распределенных величин Х1 , Х2 , Хn , т.е. k =Х1 + Х2 + +Хn. Число таких слагаемых равно числу испытаний. По свойствам математического ожидания и дисперсии имеем: М(Х1 + Х2+ Хn) = М (Х1 ) + М(Х2 ) + +М(Хn ) = nр, D(Х1 + Х2 + +Xn) = D (Х1) + D(Х2) + +D(Хn) = nрq. Распределение Пуассона Пуассоновским называется закон распределения дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений, в котором вероятности возможных значений определяются по формуле Пуассона , где - параметр распределения. Числовые характеристики распределения Пуассона равны между собой М(Х)=D(Х)=l=n·р. Геометрическое распределение Пусть Х есть дискретная случайная величина, представляющая собой число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Её возможные значения - это натуральные числа х1 = 1, х2 = 2, … Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k-ом появилось. По теореме умножения вероятностей Р(Х=k) = qk-1 р. Последняя формула представляет собой члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом р и знаменателем q (0< q <²) р, рq, рq2 , ,рq i, По этой причине распределение называют геометрическим. Сумма вероятностей равна сумме членов прогрессии . Пример 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Составить закон распределения случайной величины - числа произведенных выстрелов. Число выстрелов есть счетная дискретная величина. Вероятность попадания при k - ом выстреле есть Р(Х=k) = 0,4 k-1 · 0,6, а закон распределения имеет вид k 1 2 … k … P 0,6 0,24 … 0,4k-10,6 … Контроль: (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Гипергеометрическое распределение Пусть имеется партия из N деталей, среди которых М деталей каким-либо образом помечены (М