Дискретная случайная величина. Ряд и функция распределения дискретной случайной величины

ЛЕКЦИЯ 4 ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, РЯД И ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Пусть Ω - множество исходов опыта, -некоторая алгебра событий для Ω , R – множество действительных чисел . Определение: Функция: ξ = f (ω ) , где ω ∈ Ω , f (ω) ∈ R называется случайной величиной, если множество {ω: a < f (ω) < b} является событием в алгебре , где a < b – произвольные действительные числа или +∞,-∞. = { Ω , ∅, Α, A }. На рис. 5 а) Пример 1. Рассмотрим представлена графиком функция f1(ω) , не являющаяся случайной {ω : f1 (ω ) ∈ (α , β )}∉ (множество величиной, так как {ω : f1(ω) ∈(α, β)} заштриховано). На рис. 5б) 1, ω ∈ A f 2 (ω ) =  2, ω ∈ A Имеем: Таким образом, при любом ( α , β ) это множество принадлежит алгебре и следовательно f 2 (ω ) является случайной величиной. , то Если ξ = f (ω ) - случайная величина и Р – вероятность на P(ξ ∈ (α , β )) = P{ω : f (ω ) ∈ (α , β )}. Имеем: 1. Р (− ∞ < ξ < ∞) = Р(ω : −∞ < f (ω) < ∞) = P(Ω) = 1 2. 0 ≤ P(ξ ∈ (α , β )) ≤ 1 по определению вероятности. 3. Покажем, что P(ξ ∈ (α1 , β1 ) ∪ (α 2 , β 2 )) = P(ξ ∈ (α1 , β 2 )) + P(ξ ∈ (α 2 , β 2 )) если (α1 , β1 ) ∩ (α 2 , β 2 ) = ∅. Из рис. 6 видно, что если f (ω ) - функция (имеется в виду однозначная функция), то непересекающимся интервалам (α1 , β1 ) и (α 2 , β 2 ) соответствуют непересекающиеся множества A1 и A2 (заштрихованы). Согласно аксиоме 3 (лекция 1) получим указанное соотношение. Определение. ξ = f (ω ) называется дискретной случайной величиной , если она определена на пространстве элементарных событий (исходов) Ω , представляющего собой конечное или счетное множество. Пусть ξ = f (ω ) - дискретная случайная величина. Так как Ω содержит конечное или счетное число элементарных событий, то ξ - принимает дискретные значения ξ1 ...ξ k ... с вероятностью: P(ξ = ξ k ) = P{ω : f (ω ) = ξ k } = p k Определение. Рядом распределения дискретной величины называется таблица, в верхней строчке которой расположены все возможные значения случайной величины, а в нижней соответствующие им вероятности. ξ ξ1 ξ2 … ξn … p p1 p2 … pn … Из определения ряда следует что ∞ ∞ i =1 i =1 ∑ pi = ∑ P(ξ = ξ k ) = P(−∞ < ξ < ∞) = 1 . Основные дискретные распределения 1) Распределение Бернулли (биномиальное распределение). Имеется n независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом, равной р, q = 1- p . Случайная величина ξ – число успехов. Составим ряд распределения: ξ 1 … k … n p qn npq n −1 … Cnk p k q n − k … pn P(ξ = k ) = Cnk p k q n − k (задача Бернулли). n ∑P = q n + npq n−1 + ... + Cn p k q n−k + ... + p n = ( p + q) n = 1 k k k =0 Здесь использована формула бинома Ньютона. 2) Распределение Пуассона с параметром λ > 0 - это распределение, где ξ принимает целые значение от 0 до ∞ , с вероятностями: P(ξ = k ) = λn k! e −λ . То есть ряд распределения имеет вид: ξ p e 1 −λ ∞ ∑ Pk λe = ∞ ∑ k =0 k … −λ λk k! e λk … −λ =e −λ k! ∞ λk k =0 k! ∑ … e−λ = e − λ ⋅ e λ = 1. … 3) Геометрическое распределение (неусеченное). Пусть вероятность успеха в каждом опыте равна p , испытания продолжаются до первого успеха. Случайная величина ξ - число опытов до первого успеха. Очевидно, ξ принимает натуральные значения от 1 до ∞ , если число опытов не ограничено и P(ξ = k ) = p ⋅ q k −1 , q = 1 – p . ξ 1 2 … k … р p pq … pq k −1 … ∞ ∞ 1 k =1 ∑ pk = ∑ pq k −1 ∞ = p∑q k =1 k −1 ∞ = p ∑ qk = p k =0 1 =1 1− q Распределения 1)-3) являются основными в нашем курсе, но разумеется они не исчерпывают всех возможных распределений. Функция распределения Определение: Функцией величины ξ называется функция Свойства Fξ ( x ) . 1) Fξ ( x ) - неубывающая 2) Fξ (∞ ) = 1, Fξ (− ∞ ) = 0 распределения Fξ (х) = P(ξ < x) . случайной lim Fξ ( x ) = Fξ (x0 ) . 3) Fξ ( x ) - непрерывна слева, то есть x→ x0 −0 Доказательство: 1) Рассмотрим полуинтервал: [a, b ) ; a < b . Покажем, что: Р (a ≤ ξ < b ) = P(ξ < b ) − P(ξ < a ) ; для доказательства рассмотрим события A = {ξ < b}; B = {ξ < a} ; тогда событие C = {a ≤ ξ < b} равно разности событий A \ B и так как A ⊇ B , то по второму свойству вероятности (лекция 1) P(C ) = P( A) − P(B ) , или P (a ≤ ξ < b ) = Fξ (b ) − Fξ (a ) ; эта разность представляет собой вероятность, и, следовательно, неотрицательна. Отсюда и следует, что Fξ (x ) - неубывающая. 2) Для доказательства свойства 2) применим одну из аксиом непрерывности: пусть имеется последовательность вложенных друг в друга событий: A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... ⊃ An ⊃ An +1 ⊃ ... и A= ∞ P ( An ) = 0 ∩ An = ∅, тогда nlim →∞ n =1 Рассмотрим последовательность событий: A1 = {ξ < −1}; A2 = {ξ < −2}; …; An = {ξ < −n}; … очевидно: A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... и ∞ P (ξ < − n ) = 0 = F (− ∞ ) . ∩ Ai = ∅ ⇒ lim n →∞ i =1 Учитывая, что: P (− ∞ < ξ < ∞ ) = Fξ (∞ ) − Fξ (− ∞ ) = P (Ω ) = 1 . Получим, что: Fξ (∞ ) = 1 . 3) свойство без доказательства проиллюстрируем на примере, построив функцию распределения дискретной случайной величины ξ . Пример 2. Имеется ряд распределения ξ : ξ ξ1 ξ2 … ξn p1 p2 … pn Рассмотрим интервалы: изображена на рис. 7, откуда видно, что она имеет ступенчатый вид и непрерывна слева. Fξ (x)