Дискретизация аналоговых сигналов

Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ Г л а в а 2. Дискретизация аналоговых сигналов Equation Chapter 2 Section 1 Как уже отмечалось в первой главе, дискретизация – это переход от континуального сигнала x(t) к последовательности чисел – коэффициентам разложения сигнала по какому-либо ортогональному базису. С точки зрения организации обработки наиболее удобным способом дискретизации является представление сигналов в виде выборок их значений (отсчётов) в отдельных эквидистантно расположенных точках. Поэтому в качестве базисов дискретизации чаще всего используются сдвиговые базисные функции (функции отсчётов и прямоугольные функции), рассмотренные в п. 1.6. 2.1. Функция дискретизации. Модель дискретизованного сигнала В этой главе рассматриваются дискретные представления сигналов, основанные на использовании периодических моментов дискретизации. В таком случае процесс дискретизации эквивалентен амплитудной модуляции последовательности импульсов и иллюстрируется на рис. 2.1.1. Рис. 2.1.1. Дискретизация как амплитудно-импульсная модуляция В пределе дискретизатор можно рассматривать как периодически действующий прерыватель. При этом длительность импульсов  практически должна быть исчезающе мала по сравнению с периодом дискретизации t. Периодическую последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью  и периодом t представим в виде ряда Фурье по комплексным экспоненциальным функциям n (t )  e jn 2 t t :   y (t )  k   A П (t  k t )    cne n   jn 2 t t , где коэффициенты Фурье cn   /2 A n (t ) 2   /2 П (t ) e  jn 2 t t dt A  t В результате функция дискретизации представляется в виде 1  sin n n   n     t . t  Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ A y (t )  t  sin n n   n    t   e jn 2 t t . t  Устремляя к нулю и предполагая, что произведение A остаётся постоянным, например, ( A  t ) 0 , получаем lim[ y(t )]  Dt (t )   0   e jn 2 t t . n   Это есть ряд Фурье для периодической последовательности дельта-функций, следующих с периодом t, т. е. Dt (t )  t    (t  k t ). k  (2.1.1) Эту функцию мы будем называть функцией идеальной дискретизации. Дискретизованный сигнал можно рассматривать как результат модуляции последовательности дельта-функций Dt (t ) функцией x(t ) : xд (t )  x(t )  Dt (t )  t   x(kt ) (t  k t ), (2.1.2) k  Рис. 2.1.2 что иллюстрируется на рис. 2.1.2. При таком определении функции дискретизации размерности левой и правой части (2.1.2) совпадают. Рассмотрим ещё одну трактовку процесса дискретизации. Идеальный способ взятия отсчётов сигнала x(t ) основывается на фильтрующем свойстве дельта-функции: x(k t )       x(t )δ(t  k t )dt   x(t ) δ(k t  t )dt. (2.1.3) Последний интеграл есть интеграл свёртки. Отсюда вытекает, что устройством, осуществляющим измерение мгновенных значений x(k t ), является дискретизатор (фильтр) с бесконечно короткой импульсной характеристикой. Ясно, что в реальных дискретизаторах измерение величины x(k t ) будет тем точнее, чем короче их импульсная характеристика. Математическую модель (2.1.2) дискретного сигнала xд (t ) можно получить и другим способом. Возьмём формулу динамического представления сигнала 2 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ  x(t )   x( )  δ(t   )d . (2.1.4)  Поскольку дискретный сигнал определён лишь в точках tk  k t , (k  0,  1,  2, ние в (2.1.4) следует заменить суммированием по индексу k , а d на t, тогда xд (t )  t   x(k t )  δ(t  k t ) k   ), интегрирова-      x(t )   t  δ(t  k t )   x (t )  Dt (t ).  k    (2.1.5) Таким образом, операция дискретизации, т. е. переход от аналогового сигнала x(t ) к дискретному xд (t ) осуществляется умножением x(t ) на функцию дискретизации: Dt (t )  t    (t  k t ). k   Эту периодическую последовательность дельта-функций, следующих с периодом  t , называют ещё гребёнкой Дирака. В соответствии с (2.1.2) и (2.1.5) дискретизованный сигнал представляется бесконечно узкими импульсами с площадями t  x(k t ). Эти импульсы расположены в равноотстоящих точках tk  k t , k  0,  1,  2,  3, , как показано на рис. 2.1.2. 2.2. Спектр дискретизованного сигнала Найдём сначала спектр функции дискретизации (2.1.1). Периодическую последовательность дельта-функций можно представить рядом Фурье:Equation Chapter 2 Section 2 Dt (t )  t   δ(t  k t )  t k     n   cne j 2π nt t , где коэффициенты Фурье t 2 1 cn  t  t    (t  k t ) e k   j 2 nt t dt  1 t 2 одинаковы для всех n . Поэтому D t (t )  t   k   n     (t  k t )   Перейдем в частотную область и учтем, что e j 2 f 0 t e j 2 n t t . (2.2.1)   ( f  f 0 ). Тогда для спектра функции дис- кретизации получаем D fд ( f )    ( f n f n   д ). Рис. 2.2.1. Функция дискретизации и её спектр 3 (2.2.2) Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ Здесь f д  f  1/ t − частота дискретизации. Таким образом, спектр функции дискретизации представляется периодической последовательностью дельта-функций, период следования которых на частотной оси равен частоте дискретизации. Соответствие D t (t )  t   δ (t  k t )  D k   fд (f)   δ(f n f n   д ) (2.2.3) иллюстрируется на рис. 2.2.1. Найдём теперь спектр дискретизованного сигнала xд (t ). Пусть X ( f ) – спектр сигнала x(t ). Произведению функций в правой части (2.1.5) соответствует свертка их Фурье-образов в спектральной области, поэтому Xд( f )  X ( f )    n   δ( f  n f д )      n    X ( f  )δ(  n f д ) d . С учётом фильтрующего свойства дельта-функции получаем Xд( f )    n    X ( f  n f д )  X ( f )   X ( f  n f д ). (2.2.4) n 1 Таким образом, дискретизация аналогового сигнала по времени с шагом t приводит к периодическому повторению его спектра по оси частот с периодом, равным частоте дискретизации f д  f  1/ t. На рис. 2.2.2 изображён случай, когда спектр аналогового сигнала является финитной функцией и частота дискретизации выбрана так, что частичные спектры не перекрываются. Рис. 2.2.2. Спектр дискретизованного сигнала При этом любой из частичных спектров является неискажённой копией исходного спектра, поэтому, выделив с помощью фильтра один из них (например, при n  0 ), можно по нему точно восстановить сигнал. Возможность такого восстановления подтверждается теоремой Котельникова. 4 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ 2.3. Теорема Котельникова Equation Chapter 2 Section 3 В 1933 году В.А. Котельников доказал теорему, которая имеет фундаментальное значение в физике и технике. В соответствии с этой теоремой аналоговый сигнал x(t ) при определённых условиях однозначно представляется последовательностью своих отсчётов, взятых через равные промежутки времени. В зарубежной литературе эта теорема называется теоремой отсчётов. Сигналы с финитным спектром Рассмотрим сначала сигналы, которые характеризуются тем, что их ПФ существует на всём интервале частот (, ), но отлично от нуля только на конечном интервале   f в , f в  (рис. 2.3.1). Для сигнала x(t ) с финитным спектром X ( f ) запишем представление по функциям отсчетов (1.6.1):  sin 2π f в (t  k t ) x(t )   ck , (2.3.1) 2π f в (t  k t ) k   Рис. 2.3.1 где  ck  (x, φk ) sin 2π f в (t  k t ) 1  x(t ) dt  (φk , φk ) t  2π f в (t  k t ) (2.3.2) есть коэффициенты Фурье и t  1/ 2 f в . Спектр функции отсчётов   k (t ) e  j 2π f t  dt  П2 fв ( f ) exp( j 2π f k t ) имеет фазовый множитель из-за сдвига по времени на k t. Модуль этого спектра П2 f ( f ) являв ется прямоугольной функцией с единичной площадью. С учётом обобщённого равенства Парсеваля    x(t ) y (t )dt   X ( f )Y    (2.3.3) ( f )df  выражение для коэффициента ck можем записать в виде  ck  1  X ( f ) П2 f в ( f ) e t  j 2π f k t df . Произведение под интегралом X ( f ) П2 f в ( f )  X ( f ) 1  X ( f )t , 2 fв поэтому ck  x (k t ). (2.3.4) Отсюда вывод: если сигнал имеет спектр, ограниченный интервалом   f в , f в  и шаг дискретизации t  1/ 2 f в , то коэффициенты Фурье ck разложения сигнала по функциям отсчётов k (t ) являются выборками сигнала x(k t ) и для x(t ) имеет место представление рядом Котельникова:  sin 2π f в (t  k t ) x(t )   x(k t ) . (2.3.5) 2π f в (t  k t ) k   5 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ Справедливость точного равенства (2.3.5) для сигналов с финитным спектром по существу представляет собой формулировку теоремы Котельникова и вытекает из следующих соотношений:   k   x(k t )  k (t )    k    x(k t )  0 (t  τ)δ(τ  k t )d τ    1  0 (t )  [t  x( k  t ) δ(t  k  t )]. t k   (2.3.6) Свертку (2.3.6) можно интерпретировать как отклик идеального фильтра нижних частот с импульсной характеристикой sin 2π f в t 1 h(t )  0 (t )  2 f в , t 2π f вt на вход которого поступает взвешенная последовательность дельта-импульсов с площадями t  x(k t ). Свертке (2.3.6) во времени соответствует произведение соответствующих Фурье-образов  n 2 f в П2 fв ( f ) X д ( f )  2 f в П2 fв ( f )  X ( f  )  X ( f ). t n   Отсюда, если взять обратное преобразование Фурье, следует (2.3.5). Таким образом, приведённые выше соотношения иллюстрируют возможность точного восстановления континуального сигнала x(t ) по его дискретным отсчётам. Замечание. Важно отметить, что любой ряд Котельникова вида (2.3.5) представляет функцию с финитным спектром. Теорема Котельникова относится к числу фундаментальных результатов и широко используется в теории и практике обработки сигналов. Так, например, чтобы передать по каналу связи непрерывное сообщение x(t ) с финитным спектром, можно поступить следующим образом:  взять отсчеты x(k t ), k  0,  1,  2,  3,   передать величины этих отсчетов; на приемном конце сформировать короткие импульсы с площадями t x(k t );  восстановить сообщение с помощью фильтра нижних частот с полосой   f в , f в  и постоян- ; ным в пределах этой полосы коэффициентом передачи, подавая на вход фильтра сформированные короткие импульсы. Сигналы с нефинитным спектром Реально, любой сигнал наблюдается в течение конечного интервала времени T . Спектр такого сигнала строго не является финитной функцией, т. е. будет неограничен по протяженности (рис. 2.3.2а). В этом случае выбор верхней граничной частоты f в является условным. Дискретизованный с некоторым шагом t  1 / 2 f в в соответствии с (2.2.2) будет иметь спектр X д ( f ), изображенный на рис. 2.3.2б. Таким образом, при дискретизации сигнала с неограниченным спектром периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией, будет сопровождаться эффектом наложения (“aliasing”) частичных спектров своими "хвостами". В силу неограниченной протяженности исходного спектра этот эффект принципиально неустраним при любом t (он может быть только ослаблен выбором малого t ). 6 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ а) б) Рис. 2.3.2 Рассмотрим один период спектра X д ( f ) в полосе   f с , f с  , где fс  f д / 2  1/ 2t – частота Найквиста. Он будет отличаться от исходного X ( f ), во-первых, тем, что не содержит спектральных составляющих выше частоты fс  f д / 2, а во-вторых, тем, что содержит "лишние" составляющие за счёт наложения. Пусть T  N t. Тогда восстановленный по отсчётам сигнал N /2 sin 2π f c (t  k t ) xˆ (t )   x(k t )  2π f c (t  k t ) k   N /2  N /2  x(k t ) k   N /2 sin π f д (t  k t ) π f д (t  k t ) по указанным двум причинам будет отличаться от исходного x(t ). Наилучшим способом дискретизации сигнала с нефинитным спектром является представление с помощью коэффициентов Фурье:  sin π f д (t  kt ) (x, φ k ) 1 ck   x(t ) dt , (2.3.7)  (φ k , φ k ) t  π f д (t  k t ) которые уже не равны отсчётам x(k t ). Действительно, применяя к (2.3.7) равенство Парсеваля (2.3.3), будем иметь  1 ck  X ( f ) П2 fc ( f )e j 2 f k  t df   t   fc  X ( f ) e j 2 f k  t df  x1 (k t ),  fc т. е. коэффициенты Фурье ck равны выборкам сигнала x1 (t ), имеющего финитный спектр при f  [ f c , f c ], X ( f ) X1 ( f )   f.  0 при других Восстановленный по этим коэффициентам сигнал  sin  f д (t  k t ) x1 (t )   ck  f д (t  k t ) k  (2.3.8) также будет отличаться от исходного x(t ). Среднеквадратическая ошибка определяется энергией отброшенных "хвостов" спектра с частотами f  f c : 7 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ   2 min     x(t )  x1 (t ) dt  2  X ( f )  X 1 ( f ) d f или 2   2 min   fc    X(f ) d f  2 f 2 X(f ) d f. (2.3.9) c Если вместо ck в (2.3.8) взять отсчёты x(k t ), то к ошибке (2.3.9) добавится ошибка за счет наложения частичных спектров: 2 2  2   min   доп , где  доп  2   fc 2   X( f  nf n 1 д ) df  fc 0 2   X( f  nf n 1 д (2.3.10) ) df зависит от интенсивности компонент спектра при f  f c . По- этому для ослабления эффекта наложения сигнал перед дискретизацией пропускают через фильтр нижних частот с целью подавления высокочастотных составляющих сигнала выше частоты f с  f д / 2  1/ 2t , чтобы не допустить их свертывание в информационную часть спектра   f с , f с . Можно перечислить основные причины, по которым восстановленный в соответствии с (2.3.5) сигнал будет отличаться от исходного:  спектры реальных сигналов ограничены по частоте приближенно;  невозможно измерить отсчёты сигнала за бесконечно малый промежуток времени;  отличие реальных фильтров восстановления от идеального фильтра нижних частот;  отличие импульсов отсчетов от  -функций ;  конечное число отсчетов. 2.4. Эффект наложения спектров («aliasing») при дискретизации синусоидальных сигналов Дискретизация сигнала x(t ) по времени с шагом  t приводит к периодическому повторению исходного спектра X ( f ) с периодом, равным частоте дискретизации fд  1/  t. Полезная информация содержится в полосе [ fд / 2, fд / 2]. Если не принять специальных мер, возникает эффект наложения, в результате которого все частоты в спектре сигнала, превышающие половинную частоту дискретизации, как бы отражаются от этой частоты и переносятся на более низкие частоты, искажая исходный спектр (рис. 2.4.1а.). Для устранения этого эффекта сигнал перед дискретизацией предварительно пропускают через низкочастотный фильтр, частота среза которого равна f c  1/ 2  t (рис. 2.4.1б). Частота fд / 2 в зарубежной литературе называется частотой Найквиста. Рис. 2.4.1 8 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ При дискретизации синусоидальных сигналов необходимо следить за тем, чтобы частоты синусоид не превосходили половину частоты дискретизации, как того требует теорема Котельникова. Несоблюдение этого условия приводит к парадоксальным результатам, например, при наблюдении восстановленных синусоид в цифровом осциллографе. Пусть сигнал x(t )  sin π f 0 t дискретизуется с частотой f д отсчетов в секунду, т. е. через равные интервалы времени  t  1/ fд . Для последовательности отсчетов можем записать x(к )  sin 2π f 0 k t  sin(2π f 0 k t  2 m)  sin 2π( f 0  m / k t )k t. Если выберем m кратным k, m  nk , мы можем заменить отношение m / k целочисленной переменной n , так что (2.4.1) x(k )  sin 2π f0 k t  sin 2π( f 0  n / t )k t  sin 2π( f 0  n fд )k t. Следовательно, частоты f0 и f0  nfд дают одинаковый результат. Это выражение показывает, что последовательность цифровых отсчетов x(k ) , представляющая синусоиду с частотой f 0 Гц, точно так же представляет синусоиды с другими частотами f0  n fд . Это одно из важнейших соотношений в области цифровой обработки сигналов. Вывод. При дискретизации с частотой f д отсчетов в секунду мы не можем различить дискретизованные значения синусоиды частотой f 0 Гц и синусоиды частотой (f 0  n f д ) Гц, если n любое положительное или отрицательное целое число. Рисунок 2.4.2. иллюстрирует эффект наложения спектров для синусоидальных сигналов. f s  fд =6 кГц Рис. 2.4.2 9 Дискретные преобразования сигналов; лекция 27 февраля 2018г. МФТИ На рисунке 2.4.2а рассмотрен процесс дискретизации синусоиды частотой 7 кГц с частотой дискретизации 6 кГц. Значения отсчетов не изменились бы вместо нашей синусоиды мы дискретизовали синусоиду частотой 1 кГц. В этом примере параметры в (2.4.1) равны: f 0 =7 кГц, f д =6 кГц и n 1 , так что f0  n fд =[7+( 1 )6]=1 кГц. На рисунке 2.4.2b рассмотрен процесс дискретизации синусоиды частотой 4 кГц с частотой дискретизации 6 кГц. И в этом случае f 0 >f д / 2 , т.е. условия теоремы Котельникова нарушены. Оба случая представлены на рисунке 2.4.2с. Рис. 2.4.3. Зубчатая структура: наложение синусоиды частотой 7 кГц на 1 кГц, 13 кГц, 19 кГц и т.д. Задачи к лекции 27 февраля 2018 г. 1. Гармонический сигнал x(t )  cos 2 f 0t , f 0  500 кГц дискретизован с частотой f д  2 MГц. Изобразить как функцию нормированной частоты   f / f д в диапазоне   2  модуль спектра исходного сигнала;  модуль спектра дискретизованного сигнала;  модуль спектра последовательности y (k )  x(k )  (1) k ;  модуль спектра последовательности z(k )  x(k )  2cos(k / 2). 2. Сигнал x(t ) имеет финитный спектр треугольного вида. Определить коэффициенты ряда 1 . Котельникова для этого сигнала, полагая, что t  2 fв 10