Динамика машин

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра механики и машиностроения Конспект лекций по курсу "Динамика машин" Новокузнецк 2017 Динамика машин Литература. 1. Конструирование машин: Справочно-методическое пособие. В 2 т. Под общей редакцией К.Ф.Фролова – М.: Машиностроение, 1994.-258 с. 2. Механика машин: Учебное пособие для втузов/ И.И.Вульфсон, М.Л. Ерихов, М.З.Козловский и др.; Под ред. Г.А.Смирнова. – М.: Высш. шк., 1996 – 511 с. 3. Вейц В.Л., Кочура А.Е., Мартыненко А.М. Динамические расчеты приводов машин. Л.: «Машиностроение», 1971. 4. Динамика машин и управление машинами: Справочник/ В.К.Асташев, В.И.Бабицкий, И.И.Вульфсон и др.; Под ред. Г.В.Крейнина. – М.: Машиностроение, 1988 – 240 с. 5. Уалиев Г. Динамика механизмов и машин. – Алматы. – 2000. 282 с. 6. Головин А.А., Костиков Ю.В., Красовский А.Б. и др. Динамика механизмов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 190 с. 1.Структура машин При составлении динамической модели механизма необходимо учитывать влияние функциональных элементов машины (рис.1). Привод Параметры управления работой машины Механическая система Система управления Обрабатываемая среда Контроль параметров работы машины Рисунок 1. 2. Характеристики источников и стоков 2.1. Характеристики движущих сил. В общем виде механические характеристики представляют собой зависимость силы от положения, скорости и времени. Различают статические и динамические характеристики двигателей. Статические характеристики получаются при постоянной скорости вращения вала двигателя. Двигатели разных типов имеют различные по виду статические характеристики. При больших динамических нагрузках в модели необходимо учитывать динамическую характеристику двигателя(т.е. инерционность звеньев). 2.2. Модели электрических двигателей. Рассмотрим характеристики различных приводов. 2.2.1. Модель электродвигателя постоянного тока. Величина магнитного потока в зазоре между полюсами и якорем определяется формулой Ф = Кфiв, (2.1) где iв –ток в обмотке возбуждения; кф – постоянный коэффициент, зависящий от конструкции двигателя. В зависимости от схем соединения обмотки возбуждения и обмотки якоря двигатели постоянного тока делятся на четыре типа: - с независимым возбуждением – у которых обмотка ОВ и обмотка якоря питаются от различных источников (рисунок 3); - с параллельным возбуждением; - с последовательным возбуждением; - со смешанным возбуждением. + ОВ + _ Рисунок 3 В основе математических моделей двигателей постоянного тока лежат три уравнения: - уравнение движения якоря двигателя (2.2) I(dω/dt) = Mд - Мс - уравнение, связывающее движущий момент с током якоря Mд = СФiя (2.3) -уравнение, описывающее электромагнитные процессы в двигателе (уравнение Лагранжа-Максвелла) (2.4) Lя(diя/dt) = U – Rяiя - СФω. В этих уравнениях: I – момент инерции якоря двигателя и жестко связанных с ним вращающихся деталей, который в данном случае считается постоянной величиной; ω - угловая скорость якоря или вала двигателя; Мд, Мс – соответственно движущий (электромагнитный) момент и момент сопротивления, приложенный к валу; Lя, Rя – индуктивность и сопротивление якоря; U - напряжение питания обмотки якоря; С – постоянный коэффициент. Член СФω представляет собой э.д.с., возникающую в цепи якоря. В период запуска и торможения машины, а также в случае существенных колебаний, необходимо пользоваться динамическими характеристиками двигателей. Для получения динамической характеристики двигателей обратимся к уравнениям (2.2) – (2.4). Уравнение, описывающую динамическую модель двигателя (2.12)  d 2 ω  I  dω  CM2 UCM M C dM c , + ω = − − I 2  +      dt  TЭ  dt  LM LM TЭ dt 2.2.2. Модель асинхронного электродвигателя. Двигатель состоит из неподвижного статора с трехфазной обмоткой и подвижного ротора. Необходимым условием для возникновения тока в обмотке роторы является неравенство скоростей вращения ротора и магнитного поля. Отставание ротора от магнитного поля оценивается безразмерным коэффициентом s (2.14) S = (ωc - ω)/ωc, который называется скольжением двигателя. Статическая механическая характеристика асинхронного двигателя представляется в виде зависимости момента на валу ротора от скольжения Мд(s) или в виде зависимости момента от угловой скорости вала Мд(ω). Статические характеристики двигателя при описании формулой Клосса: 2M K s K ωC (ωC − ω ) (2.15) M= (ωC − ω )2 + s K2 ωC2 Линейное дифференциальное уравнение, динамическую модель двигателя, имеет вид  d 2ω  M dM c I  dω  I 2  + + 2М К ω = 2М К ωС − C −  dt  T  dt  T dt Э Э   описывающее (2.17) Математическая модель асинхронного двигателя для его рабочего участка может быть получена в виде MH M dω (2.18) I + ω = H − MC . dt ωC s H sH 2.3. Модели гидравлических двигателей. 2.3.1. Устройство гидропривода. Гидроприводы подразделяются на объемные или гидростатические и гидродинамические. В объемном гидроприводе механическая энергия, поступаемая от вала электрического или какого-либо другого двигателя, преобразуется в статическое давление потока жидкости путем ее вытеснения из рабочих объемов. В гидродинамическом приводе механическая энергия преобразуется в кинетическую энергию потока жидкости. В зависимости от способа изменения скорости эти приводы делятся на приводы с дроссельным регулированием и с объемным регулированием. Гидропривод машины обычно состоит из гидродвигателя и гидростанции, обеспечивающей подачу рабочей жидкости к гидродвигателю. Гидродвигатель может быть роторного типа (гидромотор) или линейного типа (гидроцилиндр). 2.3.2. Характеристики гидродвигателей. Мощность, развиваемая гидроприводом при постоянном давлении, возрастает при увеличении рабочего объема насоса, скорость выходного звена возрастает, а сила на штоке или момент на валу гидродвигателя остаются постоянными (рисунок 8,а). Если насос работает при постоянной частоте вращения и давлении, то регулирование гидропривода осуществляется при постоянной мощности насоса (рисунок8,б). Ргп Ргп М М Pгп Мм Pгп Мм nM а nм б Рисунок 8 – механические характеристики гидропривода с объемным регулированием При дроссельном регулировании возможны два принципиально разных способа включения регулирующего дросселя: последовательно с гидродвигателем и параллельно гидродвигателю. Механические характеристики гидропривода при последовательном включении дросселя представляют семейство падающих парабол, каждая и которых соответствует своей степени открытия дросселя S = Sдр/Sдр max. Vn S=1 0,75 0,5 0,25 F Рисунок 9 – механические характеристики гидропривода при последовательном включении дросселя При параллельном включении дросселя исключается возможность регулирования при совпадении направления силы сопротивления, приложенной к поршню и его скорости. Механические характеристики привода представлены на рисунке 10. Vn 0,25 0,5 0,75 S=1 F Рисунок 10 – механические характеристики привода при параллельном включении дросселя 2.3.3. Характеристики гидростанции. Машина с гидроприводом включает в себя приводной электродвигатель, насос, гидродвигатель и исполнительный механизм. Модель может быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией, состоящей из двух ветвей. Ветвь 2 соответствует работе станции с закрытым переливным клапаном, а ветвь 1 – с открытым. рн Рк 1 Pc,Qc Рном 2 Qном Qm QH Рисунок 12 – характеристика гидростанции 2.3.4. Динамическая модель гидропривода. Полная модель гидропривода может быть построена на основе четырех уравнений: уравнения движения ротора гидродвигателя (2.25) Iω′ = Mд – Мс, Уравнения неразрывности потока жидкости в напорной магистрали QH = QД +QY1 +QСЖ1 (2.26) Уравнения неразрывности потока жидкости в сливной магистрали Q2 = QД +QY2 -QСЖ2 (2.27) Уравнения движения жидкости в сливной магистрали (2.28) m2u2′ = (p2 - ∆p2)S2. 2.4. Характеристики сил технологического сопротивления. Под силами технологического сопротивления понимаются силы, действующие на рабочий орган машины со стороны обрабатываемого материала или объекта в процессе ее работы. Характеристику силы сопротивления внутри периода можно представить в виде (2.29) МС(t) = a0 + Σ(ancos nωt+bnsin nωt), Постоянные коэффициенты определяются по формулам T (2.30) 1 a0 = ∫ M (t )dt , T 2 M (t ) cos nωtdt , T (2.31) 2 M (t ) sin nωtdt . T (2.32) T an = ∫ T bn = ∫ 2.5. Характеристика сил трения. Силы трения покоя. Силой трения покоя называется составляющая полной реакции, лежащая в общей касательной плоскости к поверхности контакта. Величина предельной силы трения покоя определяется по приближенным формулам: - формуле Амонтона FT = fnF -формуле Кулона FT = А + fnF, где А – сцепленность, зависящая от площади контакта Силы трения скольжения. Силой трения скольжения называется составляющая полной реакции для трущихся тел, лежащая в общей касательной плоскости к поверхностям контакта, направленная в сторону, противоположную их относительному смещению. В зависимости от состояния взаимодействующих тел различают: чистое трение – внешнее трение при полном отсутствии на трущихся поверхностях каких-либо посторонних примесей; сухое трение – внешнее трение, при котором трущиеся поверхности покрыты пленками окислов или адсорбированными молекулами газов и жидкостей; граничное трение – внешнее трение, при котором между трущимися поверхностями есть тонкий слой смазки; жидкостное трение – трение, при котором поверхности трущихся тел отделены друг от друга слоем жидкости. 2.6. Характеристика сил упругости. Силы упругости, возникающие при деформации звеньев механизма выражаются зависимостью F = cx, где с – коэффициент жесткости; х – линейная деформация. При кручении имеем М = сϕ, где ϕ - угловая деформация. Линейная характеристика силы упругости для металлов сохраняется до определенного значения х. Переменный коэффициент жесткости , возрастающий с увеличением нагрузки F, наблюдается для резиновых элементов. Нелинейными являются характеристики типа зазор. В некоторых случаях деформация звеньев механизма сопровождается заметной диссипацией энергии, связанной с учетом сил неупругого сопротивления. Данный контур называется петлей гистерезиса. 3. Уравнения Лагранжа 3.1. Динамика несвободной системы. Для определения положения материальной системы в пространстве пользуются различными приемами: заданием декартовых координат, координаты полюса и величины эйлеровых углов, криволинейных координат и т.д. Любая совокупность независимых между собой параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. Связи, выражаемые аналитически выражениями вида (3.1) Фα (t; q1, q2,…,qr; •q1, •q2, … , •qr) = 0, носят название кинематических. Бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, зафиксированными в данный момент, называются возможными перемещениями системы. Бесконечно малое приращение функции f вследствие бесконечно малого приращения аргументов t,x,y,z определится следующим образом: ∂f ∂f ∂f ∂f (3.2) df = ∂t dt + ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz + ... Бесконечно малое изменение функции в предположении, что аргумент t является фиксированным параметром, называемое вариацией определится по формуле: δf = ∂f ∂f ∂f δx + δy + δz + ... ∂x ∂y ∂z С динамической стороны несвободную систему можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием задаваемых сил и реакций связей (принцип освобождаемости): (3.4) mi w i = Fi + R i . Обозначим через Ni равнодействующую реакций идеальных связей, приложенных к точке Мi системы, тогда условие идеальности связей: r (3.5)  n ∂x ∂y ∂z δW ∗ = ∑ ∑ (N ix i + N iy i + N iz i )]δq j = 0 . j =1 ∂q j  i =1 ∂q j ∂q j Выражение в квадратных скобках обозначим Qj* и назовем обобщенной реакцией. Статика несвободных систем основывается на принципе возможных перемещений: необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия. Аналитическое выражение принципа имеет одну из следующих форм: n (3.6) δW = ∑ F ⋅ δr i i = 0, i =1 δW = n ∑ (F ix ⋅ δx i + Fiy ⋅ δy i + Fiz δzi ) = 0, i =1 δW = n ∑ F ⋅ δs cosα i i =1 i i = 0, Выражение принципа возможных перемещений, составленное в обобщенных координатах, имеет вид: δW = r ∑Q (3.7) ⋅ δq j = 0, j j =1 где Q – обобщенная сила n Qj = ∂ri ∑ F ⋅ ∂q i =1 (3.8) . i j 3.2. Уравнения Лагранжа первого рода. Рассмотрим систему n материальных точек Мi с массами mi , починенную голономным s связям. Составляя вариации, найдем s уравнений, связывающих 3n возможных перемещения δxi, δyi, δzi: n (3.10) ∂Фα ∂Фα ∂Фα ∑ ( ∂х i =1 δx i + i ∂y i δy i + ∂z i δz i ) = 0 (α = 1,2,…s). •• n ∑ [(Fix − mi xi i =1 •• (Fiz − mi z i + S ∑ α = S + λα ∑ α = •• ∂Фα )δx i + (Fiy − mi y i + ∂х i ∂Фα )δz i λα ∂z i S λα ∑ α = ∂Фα )δy i + ∂y i (3.11) ]= 0  S  • • ∂Φ α , λα mi x i = Fix + ∂x i α =1   s ∂Φ α m y = F + , λα iy  i ∂y i = 1 α  S  ∂Φ α mi z = Fiz + , λα ∂z i  α =1  (i = 1,2,..., n). ∑ ∑ (3.12) ∑ Уравнения эти носят наименование уравнений Лагранжа первого рода или уравнений с множителями в декартовых координатах.  S  = N λα  ix α =1   s N = λα iy  α =1  S  N iz = λα  α =1   ∑ ∂Φ α , ∂x i ∑ ∂Φ α , ∂y i ∑ ∂Φ α , ∂z i (3.13) Абсолютная величина множителя связи в этом случае равна λ= N N = 2 2 2 gradΦ  ∂Φ   ∂Φ   ∂Φ  + +        ∂y   ∂x   ∂z    . (3.14) 3.2. Уравнения Лагранжа второго рода. Рассмотрим систему с к степенями свободы, починенную идеальным голономным связям. Положение системы в пространстве определяется к независимыми обобщенными координатами q1,…,qk. k (3.15) ∂r δri = ∑ i δq j . j =1 ∂q j Обратимся к общему уравнению динамики: n ∑ (F − m w )δr i i i i =0 i =1 перепишем его в виде ∑ F ⋅ δr − ∑ m ⋅ v i n n i k ∂ri δq j ) = ∂q j ∑ m V δr = ∑(m V ∑ i i i i i i =1 i =1 ⋅ δri = 0 . i j =1 i k (3.17) n ∂ri ∑(∑ m V ∂q i i j =1 i =1 )δq j . j 2 ∂r ∂r d ∂ miVi 2 d d ∂ri ∂ miVi ( )− ( ) miVi i = (miVi i ) − miVi = 2 2 ∂q j dt ∂q j dt ∂q j ∂q j ∂q j dt Окончательно получим n k ∂T ∑ m V δr = ∑( dt ⋅ ∂q i i i =1 d i j =1 j − ∂T )δq j . ∂q j Уравнение (3.17) теперь перепишется в виде (3.18) k ∑ (Q j − j =1 (3.19) d ∂T ∂T + ⋅ )δq j = 0 . dt ∂q j ∂q j Таким образом уравнение Лагранжа второго рода, составленное в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями: d ∂T ∂T (3.20) = Qj . − ⋅ dt ∂q j ∂q j 3.3. Уравнение движения механизмов машины. Составим общее уравнение механизмов машин, пользуясь для этого уравнением Лагранжа второго рода. Кинематическая энергия механизма, состоящего из ведущего звена и ведомых звеньев, определится по формуле 2 2 (3.21) n n V k  ω 1 T = T0 + Тогда ∑T k = k =1 2 ω 2 {I0 + ∑ [I k =1 T = k C k   + mk  C  ] }  ω   ω  1 I n (ϕ )ω 2 . 2 Пусть Fik –задаваемая сила, приложенная к точке Mik,, представляющей некоторую i-тую точку к-го звена механизма. (3.22)  n nk  n nk Vk δА = ∑∑ (Fi k ⋅Vi k )]δt = ∑∑ (Fi k ⋅ i )]δϕ . k =0 силу: k =0 i =1 i =1 ω Выражение в квадратных скобках представляет обобщенную  n Q= k =0 nk ∑∑(F i i =1 k ⋅ Vi k ω ) = Mn , (3.23) 3.4 Уравнение Лагранжа второго рода с множителями. Обратимся к общему случаю уравнений Лагранжа второго рода с обобщенными координатами q1,q2,…qr, подчиненными совокупности идеальных голономных и неголономных связей вида (3.24) Фα = (t; q1, q1,… , qr) = 0 (α = 1,2,…s). r (3.25) C β 0 + ∑C βj q j = 0 (β = 1,2…,s). j =1 Возможные перемещения в этом случае подчинены s+s′ уравнениям: k ∂Ф ∑ ∂qα δq j =1 =0 i (α = 1,2,…s). (3.26) i r ∑C β δq j j =0 (β = 1,2…,s′). (3.27) j =1 Запишем общее уравнение динамики в виде k ∑ (Q − j j =1 d ∂T ∂T ⋅ + )δq j = 0 . dt ∂q j ∂q j (3.28) получим равенство: r ∑ j =1 S′ S (Q j − ∂T ∂Φ d ∂T ⋅ + + λα + λ β′ C βj )δq j = 0 .  dt ∂q j ∂q j α =1 ∂q j α =1 ∑ ∑ Таким образом мы приходим к совокупности r уравнений Лагранжа с множителями: S S′ (3.29) ∂Φ α ∂T d ∂T ⋅ + = Q j + ∑ λα + ∑ λ β′ C βj , dt ∂q j ∂q j α =1 ∂q j α =1 которая может служить для определения неизвестных величин q1, q1,… , qr; λ1… λS; λ′1… λ′S . Рассмотрим плоское движение тела (рисунок 14), при котором его центр тяжести С может иметь скорость только в заданном по отношению к телу направлении Сξ. будем считать, что к центру тяжести приложена равнодействующая задаваемых сил F направленная также по Сξ и некоторый момент М. Неголономное условие будет выражаться соотношением: (3.30) x C tgϕ − y C = 0 , Вычислим кинетическую энергию тела G 2 2 1 (3.31) T = ( xC + y C ) + JC ϕ 2 . 2g 2 Обобщенные силы найдем составляя элементарную работу задаваемых сил и момента δW = FXδxC + FyδyC + Mδϕ = FcosϕδxC + FsinϕδyC + Mδϕ; Y ξ VC M F ϕ C O X Рисунок 14 – плоское движение тела Дифференциальные уравнения движения тела в форме уравнений Лагранжа с множителями будут: G  xC = f cos ϕ + λ ′tgϕ , g (3.32) G  y C = F sinϕ − λ ′, g JC ϕ = M . получим: G  λ′ ( xC tgϕ − yC ) = g cos 2 ϕ x ϕ xC tgϕ − yC = − C2 cos ϕ , G xCϕ . g Fg xC + ϕ x C tgϕ = cos ϕ . G (3.33) (3.34.) λ′ = − (3.35) Решение получим в виде x C = [Ψ(t ) + VC 0 ]cos ϕ , t xC = ∫ [Ψ(t ) + VC 0 ]cosϕdt ; y C = x C tgϕ = [Ψ(t ) + VC 0 ]sinϕ , t yC = ∫ [Ψ(t ) + VC 0 ]sinϕdt . (3.36) 4. Динамический анализ механизмов с жесткими звеньями. 4.1. Режимы движения и коэффициент полезного действия механизмов. В общем случае время движения механизмов состоит из трех частей: а) времени разбега; б) времени установившегося движения; в) времени выбега. На рисунке 15 показана тахограмма механизма ω=ω(t). Энергетическая характеристика режимов движения может быть записана в виде (4.1) Ад – Ас =∆Т, где Ад – работа движущих сил за цикл; Ас – работа всех сил сопротивления; ∆Т – приращение кинетической энергии машинного агрегата за цикл. ω ωуд tp t tуд tв Рисунок 15 - тахограмма механизма В период пуска (разбега) происходит постепенное возрастание скорости ведущего звена, поэтому Ад > Ас. При установившемся движении скорость ведущего звена колеблется относительно среднего значения: Ад = Ас. Период выбега характеризуется убыванием скорости: Ад < Ас. Для элементарных работ имеем (4.2) dAD – dAnc – dAmp ± dAu ± dAG = 0. Для цикла установившегося движения приращение кинетической энергии: ∑ mV 2 − 2 ∑ (4.3) mV02 =0 , 2 т.е. вся работа движущих сил идет на преодоление сил полезных сопротивлений и сил трения: Ад = Апс + Атр. Критерием, характеризующим степень механического совершенства машины, является понятие механического коэффициента полезного действия. 4.2. Приведенные массы и силы В общем случае машинный агрегат представляет собой сложную систему, для исследования которой необходимо составить несколько дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для упрощения выбирают одно из звеньев (звено приведения), к которому приводят все силы и массы. Приведенной массой mn называется условная величина, кинетическая энергия которой равна кинетической энергии всего механизма. Тогда приведенная масса или приведенный момент инерции может быть определен по формулам: n (4.6) V ω m n = ∑ [ISi ( i ) 2 + m i ( Si ) 2 ] , Vnp i =1 n In = ∑ [I i =1 Si ( Vnp V ωi 2 ) + mi ( Si ) 2 ωnp ωnp ]. (4.7) Приведение силы выполняют, использую принцип возможных перемещений. Для практических целей пользуются не элементарными работами, а мощностями. n m (4.8) V ω Fn = ∑ [Fi i cos α i + ∑ M j ( i ) . i =1 Vnp j =1 Vnp 4.3. Уравнения движения звена приведения. Основные уравнения движения машинного агрегата: - в форме уравнения моментов М д − МС = I n dω dI n ω 2 ⋅ + dt dϕ 2 -в форме уравнения кинетических энергий (4.9) ϕ2 ∫ ϕ2 М д dϕ − ϕ1 ∫ I n2 ω22 I n1ω12 − 2 2 M C dϕ = ϕ1 (4.10) . уравнение Лагранжа второго рода в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями: d ∂T ∂T (4.11) = Qj . ⋅ − ∂q j dt ∂q j Tk = 1 1 mkVS2 + IS ωk2 . 2 2 I K (ϕ ) δА = к ∑ ω2 2 . Q j ⋅ δq j , (4.12) j =1 где n Qj = ∑ i =1 Fi ⋅  n ∂ri ∂z ∂y i ∂x + Fiz i ) , =  (Fix i + Fiy qj q q ∂ ∂ ∂ ∂q j j j  i =1 ∑ Fi – равнодействующая заданных сил; ∂ri – действительное перемещение. Получим уравнение движения машиного агрегата в форме уравнения моментов dI (4.14) 1 I n (ϕ )ϕ(t ) + ϕ 2 (t ) n = M n . dϕ 2 Движение звена приведения описывается различным уравнением в зависимости от задания функций mn, In,Mn, Pn. 1.4. Определение закона движения звена приведения для различных случаев задания приведенных моментов инерции сил. 1.4.1. Случай, когда In = const, Mn(ϕ), Mn(t), Mn(ω) d 2ϕ а) In = const, Мп= Mn(ϕ), I n dt 2 = M n (ϕ ) dω dω dϕ = M n (ϕ ) , I n = M n (ϕ ) , dt dϕ dt dω I nω = M n (ϕ ) dϕ или I n In ω2 2 − In ω02 2 = ϕ ∫ M n (ϕ )dϕ , (4.20) отсюда ω = ω(ϕ). б) I n dω dω = M n (ω ) , dt = I n , dM n (ω ) dt ω t − t0 = In в) In dω , n (ω ) ∫M отсюда t = t(ω) (4.21) dω 1 = M n (t ), dω = M n (t )dt , dt In ∫ I n (ω − ω0 ) = ∫ t t0 M n (t )dt , (4.22) отсюда определяем закон движения звена приведения ω= ω(t). 2. Если в состав машинного агрегата входит электродвигатель, развиваемый момент которого зависит от угловой скорости Мq(ω), момент сопротивления от времени Мс(t), In = const, то имеем следующее уравнение dω (4.23) In = M q (ω ) − M c (t ) . Тогда имеем, In dt MH dω = M0 − ω − M c (t ) dt ωc − ω H M − M c (t ) MH MH 1 dω ω M 0 − M c (t ) или + = = p, 0 = q(t ) dt ωc − ωH I n In ωc − ω H I n In (4.24) dω + pω = q(t ) . dt Помножив уравнение на интегрирующий множитель ерt, имеем: dω + e pt pω = e pt q(t ) , dt d (e pt ω ) = e pt q(t )dt ; e pt интегрируя, получим tk e ptk ωk − e pti ωi = ∫e pt q(t )dt . (4.25) ti При данной ωI интеграл можно представить в конечном виде, когда q(t) является тригонометрической или алгебраической функцией. 1.4.2. Случай, когда In (ϕ), Mn(ϕ) Теперь рассмотрим случай, когда In (ϕ), Mn(ϕ). Движение описывается уравнением вида In d 2ϕ dt (4.26) 1 2 dI n ϕ = M n (ϕ ), dϕ 2 t = 0, ϕ = ϕ 0 , + 2 2ϕ ⋅ ϕ = u ′(ϕ )ϕ (t ), если ϕ ≠ 0 (4.27) , 2 ⋅ ϕ = u ′(ϕ ) , dI 1 1 I n u ′(ϕ ) + u(ϕ ) n = M n (ϕ ), 2 2 dϕ I′ 2M n (ϕ ) u ′(ϕ ) + n u(ϕ ) = In I n (ϕ ) Решение имеет вид ϕ − u(ϕ ) = e I ′ ∫ Inn dϕ ϕ (C + ∫ =e −ln I n (C + ∫ 2M n (ϕ ) −e I n (ϕ ) I (4.28) ′ ∫ Inn dϕ dϕ ) = I n′ ∫I dϕ = ln I n , e ln In = I n = n 2M n ln In 1 e dϕ ) = (C + 2M n (ϕ )dϕ ) In I n (ϕ ) ∫ Допуская С=0, имеем u(ϕ ) = ∫M n (ϕ )dϕ I n (ϕ ) , ω= ∫ (4.29) 2 M n (ϕ )dϕ I n (ϕ ) ω = ω(ϕ ) . Учитывая ω = dϕ dϕ , имеем t − t 0 = , dt = dt ω(ϕ ) t=t(ϕ). 1.4.3. Случай, когда In (ϕ), Mn(ϕ,ω,t) ϕ dϕ ∫ ω(ϕ ). ϕ (4.30) Когда массы звеньев, движущихся с большими скоростями велики применяются численные и графические методы. Рассмотрим численный метод решения уравнения: dω 1 2 dI n (4.32) In = M q (ω ),−M c (ϕ ) dϕ dω dω = ⋅ω dt dϕ dω 1 2 dI n ω ⋅ I n (ϕ ) + ω = M q (ω ), dϕ 2 dϕ dt + 2 dω = dϕ ω M q (ω ) − M c (ϕ ) − I n (ϕ ) ⋅ ω ω 2 dI n 2 dϕ (4.33) 1.Покажем как уравнение (4.33) можно решить численным методом. ∆ω = M q (ωi ) − M c (ϕ i ) − ωi 2 dI n 2 dϕ I n i ⋅ ωi Так как In(ϕ), то dI n (ϕ ). Пусть dϕ ∆ϕ угловая скорость звена приведения ω=1,ε=0. In = I1 + I2 ⋅ω22 + m2V2S2 + m3V2C dI dI dI n 1 = n⋅ = n dt dϕ1 dt ω1 dVS 2 dVC dω2 dI n = 2 I 2 ω2 + 2 m2VS 2 + 2 m3VC dt dt dϕ1 dt можно определить величину ωк для средней точки ϕi - ϕm, ωk = ωI +0,5∆ω. 2. В самом общем случае M(ϕ,ω,t) уравнение (4.32) может быть интегрировано численным методом, предложенным проф. Г.Г.Барановым Ii ( d 2ϕ dt 2 ω − ωi ∆ω dω dω = I i ωi i +1 ) = I i ωi ( ) i = I i ωi ∆ϕ ∆ϕ dϕ dt − I I ∆ dϕ 2 dI I ( ) i ( ) i = ωi2 ( ) i = i +1 i ⋅ ωi2 , ∆ϕ ∆ϕ dt dϕ ) = Ii ( − I i ωi2 + I i ωi −1ωi + I i +1ωi2 − , I i ωi2 = M n ⋅ ∆ϕ , 2 I i +1ωi2 3 − I i ωi2 = M n ⋅ ∆ϕ , 2 2 M n (ϕ i ,ωi ,t i )∆ϕ 3I i − I i +1 = + ωi . I i ωi 2I i I i ωi ωi +1 + ωi +1 2 ⋅ ∆ϕ + ti ωi +1 + ωi ∆ω ωi +1 − ωi dω dω Из ε = = ωi = ωi = ωi определяется ε(ϕ). ∆ϕ ∆ϕ dt dt ti +1 = 1.5. Метод графиков «энергия – масса» в исследовании движения механизмов. Пусть дан механизм с одной степенью свободы, с абсолютно жесткими звеньями, массы которых являются постоянными величинами. Требуется определить закон движения этого механизма под действием известных сил (движущих сил, сил сопротивления, сил тяжести звеньев). Строятся графики зависимостей In = In(ϕ), Mn = Mn(ϕ). Закон движения звена приведения механизма описывается уравнением: I n (ϕ )ϕ(t ) + ϕ 2 (t ) 2 I n′ (ϕ ) = M n (ϕ ) с начальными условиями t=0, ϕ=ϕ0, ω=ω0 график изменения кинетической энергии Т = Т(ϕ). 2T I ni Для каждого положения ωi = . Ti = пл(00 ′i ′i ) ⋅ µϕ ⋅ µ M + T0 построим график Т = Т (In). Для точки i 2 µT ωi = µI tgΨi t=t(ϕ), ti = t0 + ∫ dϕ ω(ϕ ) Таким образом, получим зависимость t=t(ϕ).Ускорение звена приведения определится ε (ϕ ) = d dω dω ω(ϕ ) = ω = ω(ϕ ) dt dϕ dϕ . Затем из ε(ϕ) получим ε=ε(t). 1.6. Уравнения движения механизмов и их общие решения. Согласно закону сохранения энергии приращение кинетической энергии системы равно элементарной работе действующих сил. I n (ϕ ) d 2ϕ dt 2 + ϕ 2 dI n = M n (ϕ ,ω,t ) 2 dϕ m( x ) dx 2 m0V0 ( ) − 2 dt 2 x 2 ∫ = F ( x.V ,t )dx . x I n (ϕ ) dϕ 2 I0 ω0 ( ) − = M (ϕ ,ω,t )dϕ 2 dt 2 2 ∫ dϕ = dt ∫ 2 Mdϕ I (ϕ ) I 0 ω0 I (ϕ ) 2 + d 2ϕ dt 2 d dϕ ( ) dt dt = dϕ ∫ ω(t ) t= 1. F – const, m – const. dx = dt t= ∫ 2 Fx + V02 m dx 2 Fx + V02 m , dt = dx 2 Fx + V02 m m 2 Fx [ + V02 − V0 ] m F = m V0 ) 2 F mV02 F − x= 2m 2F dx Ft Если V0 = 0 = , t= dt m m F (t + V0 ) dx F ; =V = dt m 2 mx Ft 2 . ,x = F 2m (t + . 2. m – const. F(x), M(ϕ). dϕ = dt ∫ 2 M ϕ dϕ ϕ1 I М + ω20 = t= ϕ1I M ϕ2 ϕ1 I ϕ ln + ω02 , dt = dϕ Mϕ 2 + ω02 ϕ1I Mϕ 2 M + ω02 + ϕ1I ϕ1I ω0 при ω0 =0, t = ∞, следовательно без начальной скорости движения не будет. Для скорости звена имеем dϕ ω0 (e 2 ta + 1) . = dt 2 e at Если при t =0, ω0 =0, то возникновение начала движения требует дополнительного условия : при ϕ=0, М≠0. 3. m – const. M(ω). Момент может быть выражен в виде М (ω ) = М ω1 − ω , М – ω1 наибольший приведенный пусковой момент, ω1 – наибольшая скорость. dϕ М (ω )dϕ ( )2 = 2 = dt I n (ϕ ) ∫ d 2ϕ dt 2 = M (ω1 − ω ) ω1I t ∫ ϕ = ω1 (1 − e − tM jω1 2M ω1 − ω ϕ ω1 I tM ; − dϕ = ω1 (1 − e Jω1 ) dt tM ) = ω1t + Iω12 − Iω1 − 1) (e M 4. m – const. M(t). Например при разгоне двигателя с контакторным управлением. t t1 Пусть М (t ) = М (1 − ) , М – максимальный момент, t1- время разгона. t ) t1 d 2ϕ M dϕ 2 t ( ) = , 2 = (1 − ) , dt I I t1 dt M dϕ M t t 2 ω= = (1 − )t , ϕ = (1 − )t 2t1 2I dt I 3t1 2M (1 − 5. М-const, J(ϕ). J (ϕ ) = J 0 i 2 = 2Mϕ12 dϕ = dt ϕ t= i0 ∫ϕ ϕ =3 J 0 i 02ϕ 1 J 0 i 02ϕ 2 ϕ12 J 0 i 02ϕ , dt = 2Mϕ12 J0ϕ 2i dϕ = 0 2M 3ϕ1 9Mϕ12 t 2 2 J 0 i 02 , ω= 2 3 3 dϕ J0ϕ 3 2M 9Mϕ12 2 J 0 i 02 t . 1.7. Неравномерность движения машин и задача о маховике при динамическом расчете. 1.7.1. Неравномерность хода машин. Рассмотрим машинный агрегат, состоящий из двигателя и вентилятора. Моменты движущих сил и сил сопротивления являются функциями угловой скорости. Например, Мд = М0-bω, Mc =a+b1ω2. Дифференциальное уравнение звена приведения М0-bω- a-b1ω2 = Jdω/dt. Момент инерции не влияет на скорость установившегося движения, он определяет только продолжительность времени пуска агрегата. Ад − АС = Аизб = Ι( Ι= δ= δ= или δ = 2 ωмах 2 − 2 ωмин 2 2 Аизб 2 ωмах ωмах − ωмин . ωср 2 − ωмин ) . ω 2 мах − ω 2 мин 2ωср µТ tgΨmax − tgΨmin . 2 µΙ ωcp 2. Уравновешивание машин. 5.1. Основные понятия. При движении механизмов возникают переменные силы. действующие на стойку. Для уравновешенности механизма в соответствии с принятым определением необходимо и достаточно выполнение условий: (5.1) ∑Ri =0; ∑MOi = 0. (5.2) ∑Fi +∑Fui =0; ∑MOi +∑MOui = 0, Если активные силы уравновешены, то задача уравновешивания механизма сводится. к выполнению условий (5.3) ∑Fui =0; ∑MOui = 0. В быстроходных машинах уравновешивание механизмов не решает полностью задачу снижения виброактивности. 5.2. Уравновешивание сил инерции механизмов. Условие ∑Fui =0 эквивалентно условию аS =0 или VS =const, Для того, чтобы центр масс механизма оставался неподвижным, к его звеньям присоединяются дополнительные массы, называемые противовесами. Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рисунок 5.1). A S2 S1 O B yII YS2 xII A S2 mII XS2 O B x A m2+m3+mII S1 O y1 xI B m1 Центр масс Зв. 2 и 3 при наличии противовеса mII окажется в точке А, если будут выполнены следующие условия: m2xc2 + m3l + mIIxII = 0; (5.4) m2yc2 + mIIyII = 0. m x + m3 l m y (5.5) , y II = − 2 c 2 . xII = − 2 c 2 mII mII На втором этапе вводится противовес mI (рисунок 6.1,в), связанный со звеном 1. (m2+m3+mII)r +mxc1 + mIxI = 0; (5.6) m1yc1 + mIyI = 0. Рассмотрим механизм, обладающий двумя неподвижными точками (рисунок 6.2). Центр масс одной части приведем, используя противовесы, к точке О1, а центр масс другой – к точке О2 S2 mA S3 l2 a2 r1 mB r3 S1 a1 a3 O1 O2 aI mII mI Тогда aII Рисунок 6.2. mA+mB = m2, mAa2 = mB(l2- a2) , или mA = m m2 (l 2 − a2 ), mB = 3 a2 . l2 l2 должны выполняться условия m А r1 + m1а1 − mI aI = 0 mB r3 + m3 а3 − mII aII = 0 (5.9) (5.10) из которых определяют а1 и а!!.Чаще всего ограничиваются частичным уравновешиванием по одной из следующих схем. а) Уравновешивание одной из составляющих главного вектора сил инерции. ∑mSy′′S =0. (5.11) ∑mSyS=m1a1sinϕ +m2(rsinϕ - a2sinϕ) –m1a1sinϕ = 0, где m1 – масса противовеса , подлежащая определению; а1 – расстояние от точки О до точки крепления противовеса. У А а2 m 2 m1 r a1 l C2 ϕ О Х ψ aI m3 mI Рисунок 5.3 получаем m1a1 + m2 (r − (5.12) a2 r ) − m1a1 = 0 , l откуда определяются параметры противовеса. б) Уравновешивание отдельных гармоник сил инерции. У А mA1+mA а2 m m1 a1 r l C2 ωt О K 2 aI Х ψ xB m3 mk Рисунок 5.4. заменим шатун точечными массами mA2 и mB2,.Аналогичным образом разнесем массу m1 в точки А и О. При этом m A1 = m1 r − a1 a1 , mO1 = m1 , r r (5.13) Ф = -(mA1 +mA2)aA – (mB2+m3)aD -mnaK, (5.14) где mn – масса противовеса; аК – ускорение точки его крепления к кривошипу. Ф Х = [(m A1 + m A2 )rω 2 + (mB2 + m3 )rω 2 − mn an ω 2 ] cos ωt − (mB2 + m3 )l d2 dt 2 1− r2 2l 2 + r2 2l 2 (5.15) cos 2ωt , ФУ = [(m A1 + m A2 )rω 2 − mn an ω 2 ] sin ωt . (5.16) Найдем Фmax = Ф Х2 + ФУ2 = ω 2 [(m A + mB )r − mn an ]2 + (m A r − mn an ) 2 , (5.17) где Отсюда mA = mA1+mA2; mB = mB2 +m3. (mA + mB)r – mnan +mAr – mnan = 0. m n an = (2 m A + mB )r 2 (5.18) . 5.3. Уравновешивание жестких роторов. Рассмотрим методы уравновешивания жесткого ротора. Ф = -maC, 2 ФX =m(ω XC + εYC), ФY = m(ω2YC -εXC) Ф = Ф X2 + ФY2 = m ε 2 + ω 4 x c2 + y c2 . (5.19) (5.20) (5.21) МиО = -∑ri×miaiz = (-Iyzω2+Ixzε)I + (Ixzω2+Iyzε)j - Izεk, где Ixz, Iyz – центробежные моменты инерции ротора; i, j, k –орты координатных осей. 2 (5.22) 2 2 4 2 2 М иО = М иО X + М иОY = ε + ω I xz + I yz ХС = 0, УС =0 (5.23) Ixz =0, Iyz =0. (5.24) Условие (5.23) означает, что центр масс ротора находится на оси вращения, ротор считается статически уравновешенным. При выполнении условия (5.24) ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции ротора. При совместном выполнении условий (5.23) и (5.24) ротор называется динамически уравновешенным. Балансировка ротора сводится к установке на ротор дополнительных масс. Для статической балансировки ротор устанавливают на опоры А и В, представляющие собой призматические линейки. Установкой балансира с массой mδ на расстоянии rδ от оси вращения выводят центр масс ротора на ось вращения Динамическая балансировка ротора производится двумя балансирами, установленными в двух произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных оси вращения (плоскости исправления). Плоскости испавления1 и 2, расстояние между ними – l. Пусть Fu и МиО- главный вектор и главный момент сил инерции отн-но точки О. Выделим составляющую МиО главного момента, лежащую в плоскости ОХУ, и составляющую МиОZ, не подлежащую устранению при балансировке. Момент МиО эквивалентен паре сил F1 F2, лежащих в плоскости перпендикулярной этому вектору. Определим геометрическую сумму F1и и Fu. – FС. Таким образом, система сил инерции жесткого ротора приведена к двум силам FС и F2, лежащим в плоскостях 1и 2 и моменту МиОZ. Установим в очках К1 и К2 балансиры m1 и m2 , создающие силы инерции –Fc и -F2. Определим массы m1 и m2, расстояния О1К1 и О2К2 из условий FC =m1O1K1ω12, F2 =m2O2K2ω12 При этом векторы О1К1 и О2К2 направлены противоположно векторам FС и F2. Тогда центробежные силы инерции балансиров будут уравновешивать силы инерции ротора. 6. Динамический анализ механизмов с учетом упругости звеньев. Учет упругих свойств звеньев при построении динамических моделей механизмов позволяет решать новый класс задач, решение которых преследует следующие цели: 1)устранение аварийных резонансных режимов; 2) обеспечение нормальных условий работы машины и ее обслуживания; 3)рациональное использование колебательных явлений для технологических и транспортных операций (вибротранспорт, виброинструмент). 6.1. Общие принципы построения динамических моделей При составлении модели звенья делятся на три категории: 1) звенья с большой массой (моментом инерции) при малой податливости в модели представляются в виде жестких недеформируемых масс; 2) звенья с малой массой и существенной податливостью в модели представляются в виде безинерционных упругих элементов; 3) звенья с достаточно большой массой при существенной податливости в модели представляются в идее ряда жестких масс, последовательно соединенных безинерционными упругими элементами, либо в виде элементов с распределенными параметрами. При параллельном соединении упругих элементов: (6.1) Спр = ∑Сi. При последовательном соединении (6.2) епр = ∑еi Рассмотрим пример. Необходимо составить динамическую модель механизма, состоящего из двигателя, ременной передачи и барабана В ней ротор IA, вал двигателя САВ, В и С, ремни передачи – СВС, ведомый вал - ССД, барабан –ID. Приведем характеристики этой модели к валу двигателя. I1 = IA, I2 = IB, c12 = cAB, c23 = cBC. Моменты инерции шкива С и барабана D (6.3) I3ω12/2 = ICω22/2; I3 = Ic/u122 = ICu212; I4ω12/2 = IDω22/2; I4 = ID/u122 = IDu212. С34 = ССD/U122= CCDU212. (6.5) Приведенный коэффициент податливости вала 2 с учетом (6.5) е34 =еCDU122 = еCD/U212. (6.6) В результате приведения характеристик звеньев к валу двигателя получена четырехмассовая модель. Модель может быть упрощена объединением масс 1 и 2 и масс 3 и 4. В результате получим двухмассовую модель (6.7) I1′= I1 + I2; I2′= I3 + I4; (6.8) e12′ = e12 + e23+ e34; c12′=1/e12, где е12′ - податливость упругой связи в двухмассовой модели. Для рассматриваемого примера приведенный к валу двигателя момент сопротивления определится по формуле (6.9) Мп = МСω2\ω1= МСU21. Порядок построения динамической модели механизма. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Составляем исходную подробную динамическую модель механизма. Определяем массы или моменты инерции масс всех звеньев механизма. Определяем коэффициенты жесткости или коэффициенты податливости звеньев. Если в модели между двумя соседними массами имеется несколько упругих элементов, соединенных последовательно или параллельно, заменяем эти элементы одним с приведенным коэффициентом жесткости. Приводим упругие и инерционные характеристики звеньев к единому звену – звену приведения (валу двигателя или звену, совершающему рабочее движение). Приводим силы и моменты сил, действующие на звенья, к звену приведения. Составляем полную модель механизма, приведенную к единому звену. По возможности упрощаем полную модель. аписываем уравнения движения механизма, соответствующие выбранной модели. 6.2. Определение упругих и инерционных характеристик звеньев механизма. 6.2.1. Коэффициенты жесткостей. Коэффициент линейной жесткости стержня определится по формуле С = ЕF/L, При кручении коэффициент угловой жесткости С =GI/L, где G – модуль сдвига материала стержня. I – полярный момент инерции поперечного сечения стержня. Коэффициент угловой жесткости зубчатого зацепления определится по формуле СЗ = bR12cosα/kЗ, где R1 – радиус начальной окружности колеса, расположенного на валу, к которому приводится жесткость; b – ширина колеса; кЗ – коэффициент, равный упругой деформации пары зубьев при действии единичного нормального давления на единицу ширины зуба. Для стальных прямозубых колес кз = 6*10-11 м2\Н, для стальных косозубых колес кз = 3,6*10-11 м2\Н, дл стальных шевроны колес кз = 4,4*10-11 м2\Н. Коэффициенты жесткости шпоночного и шлицевого соединений Сш = dc2 lC hz/kш, где dc – диаметр соединения; lC – длина соединения; h – активная высота шпонки (шлица); z – число шпонок (шлицев); kш – коэффициент, равный для шпоночного соединения с призматической шпонкой kш = 6,4*10-12 м3/Н, с сегментной шпонкой kш = 13,6 *10-12 м3/Н, для шлицевого соединения kш = 4*10-12 м3/Н. Коэффициент жесткости ременной предачи с предварительным натяжением ремня CP = 2EFr12\l, где r1 – радиус шкива на валу, к которому приводится жесткость передачи; Е – модуль упругости материала ремня; F,l – соответственно площадь поперечного сечения и длина ведущей ветви ремня. Для ремня без предварительного натяжения CP = EFr12\l. Коэффициент податливости цепной передачи e = kц lц /FtR2, где lц – длина ведущей ветви цепи, R – радиус начальной окружности звездочки на валу, к которому приводится жесткость, F = ld – площадь проекции рабочей поверхности шарнира, l –длина втулки, d – диаметр валика, t – шаг цепи; kц= (0,8…1,0) 10-12 м3\Н – для втулочно- роликовой цепи, kц= (2,0…2,5) 10-12 м3\Н – для зубчатой цепи. Для роликовых цепей жесткость можно определять по формуле Сц = (2,1…2,5) 1010F м3\Н. Коэффициенты жесткости резьбовых соединений Коэффициент податливости болта постоянного сечения eb = lb /Eb Fb где lb = l +0,3d – длина деформируемой части болта, l – толщина деталей, скрепленных болтом, d – диаметр резьбы. Для болта переменного сечения eb = (1 /E)∑(li/ Fi) li, Fi – длина и площадь поперечного сечения i- того участка болта. Для коротких болтов (l<6d) учитывается податливость резьбы и головки болта eb = (1 /E)∑(li/ Fi) + ер + ег. Податливость резьбы При d/p= 6…10 – ep = (0,95…0,80)/dE, При d/p= 10…20 – ep = (0,80…0,70)/dE, где р – шаг резьбы, Е - модуль упругости материала. Коэффициент податливости головки болта ег = 0,15/Еh. Коэффициент податливости промежуточной детали в общем случае определится по формуле е= 1 Еd 0 π tgα ln ( a + d 0 )( a + 2 l tgα − d 0 ) , ( a − d 0 )( a + 2 l tgα + d 0 ) d0 – диаметр отверстия под болт; а – радиус опорной поверхности гайки; l – толщина детали; α - угол конуса давления (tg α = 0,4…0,5). 6.2.2. Определение инерционных характеристик звеньев. Инерционные характеристики звеньев: массы и моменты инерции относительно осей вращения, координаты центров масс. Формулы для фигур, наиболее часто встречающихся в инженерных расчетах , можно найти в справочнике. Для тел сложной конфигурации можно пользоваться формулами для простых 6.3. Пример построении динамической модели механизма. Рассмотрим построение динамической модели привода механизма состоящего из двигателя, ременной передачи, зубчатой передачи и барабана, связанного с исполнительным механизмом. При составлении модели примем следующие положения: 1. Жесткость ротора двигателя, шкивов ременной передачи, зубчатого колеса и барабана намного больше жесткостей остальных звеньев и в модели эти звенья представляются как жесткие массы с определенными моментами инерции. 2. Шпоночные соединения, ремни передачи и контактная зона зубчатого зацепления представляются в модели безинерционными упругими элементами с определенной податливостью. 3. Валы обладают определенными моментами инерции и податливостью, которые должны быть учтены в модели. Определим инерционные и упругие характеристики элементов модели. Момент инерции ведущего шкива (6.10) Iш1 = π(dш14 – dд4) ρbш1/32. Момент инерции ведомого шкива (6.11) Iш2 = πρ [(dш24 – dво 4) bш2 +(dшс4 – d11 4)lшс]/32 dво – утренний диаметр обода. Момент инерции вала-шестерни определится как сумма моментов инерции его отдельных ступеней. (6.12) Iв1 = πρ (d114l11 + d124l12 + d134l13 + d144l14 + dк14bк1)/32. Момент инерции колеса 2: (6.13) Iк = πρ [(dк24 – d22 4) bк2 +(dс24 – d22 4)(bc2 –bk2) ]/32. Момент инерции вала 2: (6.14) Iв2 = πρ (d214l21 + d224l22 + d234l23 + d244l24 + d254l25 + d264l26)/32. Момент инерции барабана (6.15) Iб = πρ lб (dб4 – d2б 4)/32. Следующим этапом построения модели является приведение ее характеристик к валу двигателя по формулам (6.3)… (6.6). Тогда моменты инерции звеньев, приведенные к валу двигателя, определятся как: I1 = Iд, I2 = Iш1; I3 = Iш2 u1д2; I4 = Iв1 u1д2; I5 = Iк u2д2; I6 = Iв2 u2д2; (6.16) 2 I7 = Iб u2д ; приведенные коэффициенты податливости: е1 = ешд; е2 = ер; е3 = (еш1 +ев1)/U1д2; е4 = е3/ U1д2; (6.17) е5 = (еш2 +0,5ев2)/U2д2; е6 = (еш3 +0,5ев2)/U2д2. приведенный момент сил сопротивления: МС= Мд U2д. (6.18) 6.4. Упрощение динамической модели. Анализируя податливость и массу элементов модели, объединяя массы, податливость упругого элемента между которыми мала по сравнению с соседними элементами, и присоединяя массы с малыми моментами инерции к соседним массам получим трехмассовую модель, в которой первая масса представляет собой ротор двигателя с ведущим шкивом, вторая масса – ведомый шкив с валом 1, третья масса – вал 2 с барабаном. В двухмассовой модели Первая масса моделирует часть механизма до ременной передачи, а вторая масса – после нее. Трехмассовая модель описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка: I1ϕ1′′ + c1(ϕ1 - ϕ2) = MD (6.19) I2ϕ2′′ - c1(ϕ1 - ϕ2) + c2(ϕ2 - ϕ3) = 0 I3ϕ3′′ - c2(ϕ2 - ϕ3) = -MC. Двухмассовая модель наиболее проста и описывается системой двух дифференциальных уравнений: (6.20) I1ϕ1′′ + c1(ϕ1 - ϕ2) = MD I2ϕ2′′ - c1(ϕ1 - ϕ2) =- MC. Следует учесть, что при упрощении модели исключение из нее каждой массы приводит к потере одной собственной частоты колебаний. 6.4. Определение собственных частот и построение амплитудно-частотных характеристик механизма. 6.4.1. Метод подстановки. Допустим необходимо определить частоту и амплитуды собственных колебаний двухмассовой системы При свободных колебаниях системы уравнения ее движения принимают вид: (6.21) I1ϕ1′′ + c(ϕ1 - ϕ2) = 0 I2ϕ2′′ - c(ϕ1 - ϕ2) = 0 (6.22) ϕ2=( I1/с) ϕ1′′+ϕ1 получим (6.23) ϕ1iv+ к2ϕ1′′=0, где К2 = с/ I, I= I1 I2/( I1 + I2). Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (6.23) R4 + k2r2 = 0 имеет четыре корня. Общее решение дифференциального уравнения (6.23) в этом случае имеет вид (6.24) ϕ1 = Asinkt + Bcoskt +Ct +D. (6.25) ϕ2 =[1 – (I1k2/c)][ Asinkt + Bcoskt] +Ct +D. Система имеет одну собственную частоту колебаний к, которая определится корнями характеристического уравнения. Амплитуды собственных колебаний определяются начальными условиями. (6.26) ϕ1(0) = ϕ10; ϕ1′(0) = 0; ϕ2(0) = 0; ϕ2′(0) = 0 Подставляя решения (6.24), (6.25) в начальные условия, получим систему уравнений B + D = ϕ10, (6.27) Ak + C = 0, [1 – (I1k2/c)]B + D = 0, k[1 – (I1k2/c)]A + C = 0. А = 0, С = 0, В = ϕ10с/ I1k2, D = ϕ10 - ϕ10(c/ I1k2). C учетом найденных постоянных решения принимают вид (6.28) ϕ1 = ϕ10 - ϕ10(c/ I1k2)( 1 –coskt), 2 ϕ2 = ϕ10 [1- (c/ I1k )]( 1 –coskt). момент, возникающий в упругой связи масс определяется формулой (6.29) М = с(ϕ1 - ϕ2). (6.30) М = сϕ10 coskt. Если в задаче необходимо определить только упругий момент, то решение может быть получено более простым путем методом замены переменной. Введем новую переменную ψ = ϕ1 - ϕ2. Получим (6.31) ψ′+ к2 ψ=0. Общее решение уравнения записывается в виде (6.32) ψ = Asinkt + Bcoskt. Постоянные А и В находятся из прежних начальных условий (6.33) ψ(0) = ϕ1(0) - ϕ2(0) = ϕ10 , ψ′(0) = ϕ1′(0) - ϕ2′(0) = 0 Подставляя в них формулу (96.2), найдем А = 0 . В = ϕ10 и,следовательно ψ = ϕ10 coskt. Момент в упругой связи при этом определится как (6.34) М = сψ = сϕ10 coskt. 6.4.2. Построение и анализ характеристик механизма. амплитудно-частотных Построим амплитудно-частотные характеристики двух и трехмассовой моделей и проведем их анализ. Двухмассовая модель имеет одну частоту собственных колебаний. Зададимся значениями моментов инерции и жесткости упругой связи. М = сϕ0 = 395 ϕ0. Трехмассовая модель имеет две собственные частоты. Амплитуды отдельных гармоник для моментов определятся по формулам (6.41), (6.42). М1 = ϕ10(408,5cos458t – 13,5cos1044t), M2 = ϕ10(344,7cos458t – 50,5cos1044t). Из полученных выражений следует: М11 = 408,5ϕ10 Нм, М12 = 13,5ϕ10 Нм, М21 = 344,7ϕ10 Нм, М22 = 50,3ϕ10 Нм, где первый индекс в обозначении моментов соответствует номеру упругой связи, а второй – номеру собственной частоты. Амплитуда второй гармоники намного меньше, чем первой. Для первой упругой связи она составляет всего 3,3% от амплитуды первой гармоники, а для второй упругой связи – 14,6%. Собственная частота колебаний двухмассовой модели отличается от первой собственной частоты трехмассовой модели всего на 3%. Амплитуда упругого момента в двухмассовой модели отличается от амплитуды упругого момента первой гармоники в первой связи трехмассовой системы на 3,3%, а во второй упругой связи – на 12,6%. Проведенный анализ показывает, что в рассматриваемом примере для исследования динамики механизма можно использовать двухмассовую модель. 6.5. Упрощение динамических моделей на основе анализа собственных частот парциальных систем. 6.5.1. Парциальные системы и их собственные частоты. Математическую модель можно упростить, исключив из нее высокочастотные гармоники. Суть этого способа заключается в следующем. Из исследуемой много массовой системы выделяются «парциальные системы», состоящие из двух масс с расположенным между ними упругим элементом (система первого вида) или из двух упругих элементов с расположенной между ними массой (система второго вида). Можно выделить еще одну систему, состоящую из одной массы и одной упругой связи, называемой системой третьего вида. Для нахождения собственной частоты парциальной системы третьего вида предположим, что правый конец упругой связи жестко закреплен. Тогда уравнение ее движения запишется в виде (6.43) I1ϕ1′′ = -c1ϕ1 или ϕ1′′ + к2ϕ1 = 0, 2 где к = с1/I1 = 1/e1I1 – квадрат собственной частоты парциальной системы; с1,е1 – соответственно коэффициенты жесткости и податливости первой упругой связи; I1 – момент инерции первой массы. для второй системы (первого вида), содержащей две массы, (6.44) I1ϕ1′′ = - c(ϕ1 - ϕ2) , I2ϕ2′′ = c(ϕ1 - ϕ2) или ψ′+ к2 ψ=0, 2 где к = с1(I1 + I2)/I1I2 – квадрат собственной частоты второй парциальной системы. Уравнение движения системы третьего вида запишется в виде (6.45) I2ϕ2′′ = -c1ϕ2 – с2ϕ2, 2 ϕ2′′ + к ϕ2 = 0, где к2 = (с1+с2) /I2 - квадрат собственной частоты парциальной системы. общие формулы для определения собственных частот: парциальной системы первого вида K2 = (Ii + Ii+1)/eiIiIi+1; (6.46) парциальной системы второго вида K2 = (еi + еi+1)/ei ei+1Ii+1; (6.47) парциальной системы третьего вида к2 = 1/e1I1 или k2 = 1/en-1In, (6.48) где i – порядковый номер ассы или упругого элемента; n – количество сосредоточенных масс в цепной системе. 6.5.2. Методика упрощения модели на основе анализа собственных частот парциальных систем. . Если парциальная система, обладающую наибольшей частотой удовлетворяет условию (6.49) К2 >> (2πƒ)2, где ƒ - максимальная исследуемая частота в герцах, то парциальную систему с этой частотой можно исключить из модели, распределив ее параметры между соседними элементами. При исключении парциальной системы первого вида (обе массы объединяются в одну с моментом инерции (6.50) I1∗ = Ii + Ii+1, а коэффициент податливости ei делится на две составляющие ∆ei-1 и ∆ei+1, Число масс и упругих связей в модели при этом уменьшается на единицу. При исключении парциальной системы второго вида (рисунок 6.6,б) упругие элементы с податливостью ei-1 и ei объединяются в один с податливостью ei-1* = ei-1 + ei, (6.53) При этом количество масс и упругих элементов в модели уменьшается на единицу. 7. Учет сил кулонова трения в динамических моделях. 7.1. Учет сил кулонова трения через коэффициент полезного действия механизмов. В динамических моделях механизмов с постоянным передаточным отношением, например, в зубчатых передачах, силы кулонова трения можно приближенно учесть через кпд элементов передачи. Тогда М u (7.2) η = п 21 , MD где Мп, МД –соответственно моменты сил полезного сопротивления и движущих сил. Рассмотрим зубчатый механизм В кинематических парах механизма действуют кулоновы силы трения, Рассмотрим силы, действующие в зубчатых зацеплениях. ( M D − I 1ϕ1 )η 12 (7.3) F12 = r1 I1- приведенный момент инерции звена, учитывающий моменты инерции ротора двигателя, вала и зубчатого колеса 1; ϕ1 – угол поворота звена 1; η12 – кпд при передаче движения от звена 1 к звену 2, учитывающий потери энергии на трение в подшипниках; r1 – радиус начальной окружности колеса 1. Сила F12 уравновешивается силой F21: F21 = ( M 2 + I 21ϕ2 )η 12 r21 (7.4) ( M D − I 1ϕ1 )η 12 = ( M 2 + I 21ϕ2 )u21 . (7.5) Рассматривая аналогично силы, действующие в зацеплении колес 22 и 31, приходим к соотношению (7.6) ( M 2 − I 22ϕ2 )η 23 = ( M 3 + I 31ϕ3 )u32 . Для барабана с моментом инерции I32 (7.7) I 32ϕ3 = М 3 − М С . приходим к уравнению (7.8)  u u u 2 21 u 2 21 u 2 32   I 1 + I 2 ϕ1 = M D − M C 32 21 , + I3  η 12 η 12η 23  η 12η 23 где I2 = I21 +I22; I3 = I31 +I32. В общем случае при количестве звеньев в механизме равном к эти параметры определяются по формулам (7.9)  u 2 21 u 2 31 u2 k1  I n =  I 1 + I 2 + I3 + ...I K  ,  η 12 Mn = MC η 13 uk 1 η 1k η 1k  . 7.2. Примеры учета сил кулонова трения в переходных режимах движения механизмов. При остановке машины масса, моделирующая механизм, совершает колебания относительно остальной неподвижной части машины. При этом уравнение движения массы имеет вид: (7.11) Iϕ + cϕ = − M T sgnϕ , где ϕ - угол поворота массы. Функция sgn (сигнатура) учитывает изменение знака момента трения при изменении направления движения массы: sgnϕ = 1 при ϕ  0 ; sgnϕ = −1 при ϕ  0. Примем, что в начальный момент времени угол поворота массы равен 0, а ее скорость положительна и равна ω0. Тогда М (7.12) ϕ + к 2ϕ = − Т , I где к2= с/I – квадрат собственной частоты колебаний. Решением этого уравнения является функция ϕ = А1 cos kt + B1 sin kt − ( MT ). Ik 2 (7.13) Определяя постоянные А1 и В1 из начальных условий ϕ(0) = 0, получим ω (7.14) ϕ = ϕ С cos kt + 0 sin kt − ϕ С , ϕ ( 0 ) = ω 0 , к где ϕС = МТ/с – угол поворота массы при действии на нее статического момента МТ. Уравнение (7.14) можно представить в виде (7.15) ϕ = ϕ 0 sin( kt + θ ) − ϕ C , где ϕ 0 = ϕ С2 + ( ω0 к )2 - амплитуда колебаний; θ = arctg ( kϕ C ω0 ). ω = ϕ 0 к cos( kt + θ ) (7.16) Из полученного выражения следует, что в момент времени τ 1 = ( 0 ,5π − θ ) / к скорость движения массы равна 0, и в дальнейшем изменяется по знаку, а следовательно изменяется и направление момента трения. С момента времени τ1 а его решение приобретает вид ϕ = А2 cos kt + B2 sin kt + ϕ С . Получим (7.17) ϕ = ( ϕ 0 − 2ϕ С ) sin( kt + θ ) + ϕ C , (7.18) ω = ( ϕ 0 − 2ϕ С )к cos( kt + θ ) . С момента времени τ 2 = ( 1,5π − θ ) / к скорость массы вновь изменяется по направлению и ее движение описывается уравнением (7.12) с начальными условиями ϕ(τ2) = -ϕ0 +3ϕС, ϕ ( τ 2 ) = 0 . Решая это уравнение получим (7.19) ϕ = ( ϕ 0 − 4ϕ С ) sin( kt + θ ) − ϕ C , (7.20) ω = ( ϕ 0 − 4ϕ С )к cos( kt + θ ) . Можно записать общие формулы, определяющие угол поворота и скорость массы для I – того интервала времени: (i-1)π/2<(kt+θ)ti 3. передаточной функции ′ x = W* = Π* ω 2 (рисунок 8.3,а), то на участке tti частное решение ищем в той же форме, что и внешнее возмущение, т.е. в виде некоторой неизвестной константы (Y=C). Подстановка q = Y= C в дифференциальное уравнение (8.2) дает k 2 C = −W* . Отсюда (8.16) Y = −W* / k 2 = x / k 2 = −ω 2 Π *′′ / k 2 ; Y = 0 . А = − ∆Y = ∆x / k 2 = ω 2 ∆Π ′′ / k 2 ; B = 0 ; γ = π / 2 ; D = A ; (8.17) ∆q max = k 2 D = ∆x = ω 2 ∆Π ′′ Разрыв непрерывности третьей функции П′′′ («рывок»). Пусть Такая ситуация возникает, ∆x = 0 , ∆x = 0 , ∆x ′′ = 0 ; ∆x = ω 2 ∆Π ′′′ ≠ 0. например, при законе изменения ускорений, показанном на рисунке 8.3,б. Опуская промежуточные вычислении, покажем, что (8.18) A ≈ 0 ; B = − ∆Y = ∆x / k 3 = ω 3 ∆Π ′′′ / k 3 ; B = 0 ; γ = 0 ; D = B ; 4. передаточной ∆q max = k 2 D = ∆x = ω 3 ∆Π ′′′ / k Допустим, что при t=ti одновременно имели место разрывы ∆x , ∆x , ∆x; ∆x . Имеем (8.19) A = − ∆x + ∆x / k 2 ; B = − ∆x / k + ∆x / k 3 . Таким образом, (8.20) ∆q = k 2 ( ∆x − ∆x / k 2 + ...) 2 + ( ∆x / k − ∆x / k 3 + ...) 2 = max =k 2 ( ∆Π − ω 2 ∆Π ′′′ / k 2 + ...) 2 + ( ω∆Π ′ / k − ω 3 ∆Π ′′′ / k 3 + ...) 2 Несмотря на малое значение скачка D, ускорения, вызванные этим скачком в силу большого значения к2 нередко не только оказываются соизмеримыми, но даже превосходят идеальное ускорение x . Чаще всего разрывы передаточных функций носят характер мягких ударов(∆П′′) или рывков(∆П′′′),Однако в подавляющем большинстве цикловых механизмов переход через зазор происходит лишь несколько раз за период кинематического цикла. Таким образом, зазор приводит к возникновению жесткого удара. Анализ динамического эффекта от резких изменений передаточной функции. Рассмотрим пример резкого изменения идеальных ускорений При достаточно мало значении ∆t система будет реагировать на резкое изменение x почти также, как на скачкообразное изменение этой функции. Сопровождающие колебания q~∗ , вызванные на участке t > ti+1 двумя скачками ∆Π′′′ при t = ti и при t = ti+1 определятся по формуле: q~∗ = D∗ exp[ − n( t − ∆t )] sin( kt + α ). (8.21) Здесь D* - эквивалентный скачок, определяемый следующим образом: (8.22) D* = W*χ/k2, где χ=|sinπν|/(πν); ν =∆t/T; T = 2π/k. Диаграмма коэффициента χ(ν) приведен на рис.8.4. Очевидно, что при малых значениях ∆t/T, соизмеримых с (0,25 -0,3), динамический эффект от безразрывного изменения передаточной функции эквивалентен эффекту от разрыва этой функции. Исходя из полученных результатов для механизмов циклического действия следует во-первых, обеспечить непрерывность функции положения и первых двух передаточных функций, а также функции h, характеризующей изменение внешней силы. Во-вторых, во избежание существенных дополнительных ускорений должно удовлетворяться условие ∆t>(1,5 – 2) Т, где Т – период свободных колебаний; ∆t – время нарастания или убывания ускорений. Ограничение коэффициента накопления возмущений µ. Коэффициент µ показывает, во сколько раз амплитуда сопровождающих колебаний на рассматриваемом цикле движения может измениться из-за колебаний, возбужденных на предыдущих циклах. При динамическом синтезе для ограничения уровня сопровождающий колебаний целесообразно ввести ограничение µ ≤ [µ], [µ] – допускаемое значение коэффициента накопления возмущений. Тогда 1 (8.23) − λN − 2 λN 1 − 2e cos 2πN + e ≤ [µ ]2 Это неравенство можно решить относительно частотного критерия N=k/ω. Примем [µ] = 1, тогда (8.24) 0,5е-λN≤ cos2πN. При λN→0 неравенство (8.24) удовлетворяется при N≤ j-(1/6) либо при N≥ j+(1/6), где j – целое число. В другом предельном случае (при λN→∞) имеем N≤ j-(1/4) либо N≥ j+(1/4). Полученная частотная настройка оказывается эффективной лиши при сравнительно малых значениях N(N≤4-6). При целых N частотный критерий оказывается недостаточно надежным. В подобной ситуации целесообразно потребовать µmax ≤ [µ], принимая [µ] = 1+∆µ, где ∆µ - малая положительная добавка (например, ∆µ≤0,05 -0,1), тогда N≥ 1 λ ln 1 + ∆µ ∆µ . При λN>3 имеем 0,96<µ<1,04; это означает, что колебания, возбужденные на границах участков, практически оказываются задемпфироваными за период одного оборота ведущего звена. Снижение виброактивности с помощью динамических гасителей. В тех случаях, когда закон движения ведомого звена близок к гармоническому. может быть использован динамический гаситель. При этом к основной массе ведомого звена с помощью упругой связи подсоединяется некоторая добавочная масса или момент инерции. Максимальное возмущение Q1 равно: Q1 = Hω2(m + mr), где Н – амплитуда гармонического движения ведомого звена. При сr ≠ ∞ на механизм передается максимальное возмущение Q2 = ξ Q1, где ξ - коэффициент неуравновешенности, определяемый зависимостью ξ= При c r ( m + m r ) − mm r ω 2 mm r ω 4 − [( m + m r )c r + m r c ] ω 2 + cc r ω= . c r ( m + mr ) mm r коэффициент ξ обращается в нуль, что свидетельствует о полной уравновешенности механизма в этом режиме. Снижение виброактивности механизмов установкой специальных разгружающих устройств. Ведомое звено – стойка. Разгружающее устройства располагается таким образом, чтобы при установившемся движении пружина была способна аккумулировать энергию в период выбега и возвращать ее системе в период разбега. Привод – стойка. В этом случае к приводному валу присоединяется специальный уравновешивающий механизм, динамической моделью которого может служить схема, показанная на рисунке 8.1. С помощью такого механизма может быть осуществлено выравнивание суммарных возмущений, действующих со стороны целого ряда исполнительных механизмов Привод – ведомое звено. Этот тип разгружателей занимает промежуточное место между двумя предыдущими случаями. В отличие от распространенных схем силового замыкания с помощью упругого элемента и контркулачка пружина должна деформироваться по заданному закону. При этом происходит некоторое перераспределение нагрузки между исполнительным механизмом и разгружающим устройством. Краткие сведения о методах расчета разгружающих устройств. Рассмотрим динамический синтез разгружающих устройств первого типа (рисунок 8.6). Запишем возмущающую силу, соответствующую правой части дифференциального уравнения (8.1.) в следующем виде: Q = Q1 + Q 2 , где Q1 = − F ( x ) − mω 2 Π ′′( ϕ ) ; Q2 = Q2 ( x ) . Здесь F(x) – заданная внешняя сила, зависящая от положения ведомого звена; Q2(x) – управляющее воздействие, осуществляемое разгружателем. Пусть функция Q2 помимо х зависит от ряда параметров β 1 ,..., β S с помощью которых мы хотим минимизировать полную возмущающую силу Q. В частности, если непосредственно к ведомому звену подсоединяется линейная пружина или торсион, то Q2 = −( β 1 + β 2 x ). Данная функция описывает двухпараметрическое семейство управляющих воздействий. Если между упругим элементом и ведомым звеном имеется передаточный механизм с функцией положения П2(х), то Q2 = −( β 1 + β 2 x )Π 2′ ( x , β i ). Здесь функция П′2 тоже может включать ряд неизвестных параметров β i . Для определения параметров β воспользуемся методом наименьших квадратов. Тогда ∂ 2 ∫ ( Q1 + Q2 ) dx = 0 . ∂β i Если функция Q1 различна на прямом и обратном ходе, то условия могут быть записаны следующим образом: − ∫ Q1 ходе. x max  ∂Q x max  ∂Q x max ∂Q2 ∂Q2 2 2 dx = − ∫ Q1 dx − ∫ Q1 dx = 2 ∫ Q2 dx , ∂β i ∂β i ∂β i ∂β i   где Q Q -функция Q1 соответственно на прямом и обратном Пусть, например Q2 = −( β 1 + β 2 x + β 3 x 3 ). Получаем линейную систему относительно неизвестных β 1 , β 2 , β 3 алгебраических уравнений 1 4 x max β 3 = − S 1 ; 2 2 3 2 5 x 2 max β 1 + x max β 2 + x max β 3 = − S2 ; 3 5 1 4 2 5 2 7 β 2 + x max β 3 = − S3 . x max β 1 + x max 2 5 7 2 2 x max β 1 + x max β2 + Здесь принято S1 = − ∫ Q1 dx , S 2 = − ∫ Q1 x dx , S 3 = − ∫ Q1 x 3 dx . При линейной зависимости Q2(x) имеем β3 = 0. Тогда решая систему уравнений с двумя неизвестными β1 и β2, получаем 2 S 1 x max − 3 S 2 ; 2 x max 3( 2 S 2 − x max S1 ) . β2 = − 3 x max β1 = − Рассмотрим частный случай, когда F(x)=0, а закон движения ведомого звена исполнительного механизма принят гармоническим. При этом Π = 0 ,5 x max ( 1 − cos ϕ ) ; Π ′ = 0 ,5 x max sinϕ ; Π ′′ = 0 ,5 x max cos ϕ ; 2π π ′ d′ ϕ = ; S 1 = mω 2 ∫ Π ′′ Π ′ dϕ = 2 mω 2 ∫ Π ′Π 2π π 1 2 ′ Π ′ dϕ = 2 mω 2 ∫ Π ′Π ′ Π d′ ϕ = − mω 2 x max . S 2 = mω 2 ∫ Π ′Π 6 В результате имеем β 1 = −0 ,5 mω 2 x max ; β 2 = mω 2 . В этом частном случае в любой момент времени Q=0.Закон движения должен быть задан строго в виде гармонической функции (без выстоев), а внешние силы должны быть пренебрежимо малыми. При проектировании механизмов создание подобных режимов работы иногда оказывается трудноосуществимой задачей из-за требований, предъявляемых циклограммой механизма.