Дифференциальное уравнение упругой оси балки

ЛЕКЦИЯ №15 Дифференциальное уравнение упругой оси балки. Определение перемещений. Для определения прогибов балки при изгибе получим дифференциальное уравнение изогнутой оси. Ранее было получено уравнение, связывающее кривизну балки с изгибающим моментом: 1 ρ = M EI x . (15.1) С другой стороны, из математики известна зависимость 1 ρ =± d2y dz 2 3   dy  2  . 1 +      dz   (15.2) С учетом двух последних уравнений (13.1) и (13.2), получаем d2y dz 2 M =± 3 EI x   dy  2  . 1 +      dz   (15.3) Конструкции обычно проектируются таким образом, чтобы величина dy dz (угол наклонной касательной к линии прогибов) была мала, что дает возможность пренебречь квадратом этой величины по сравнению с единицей. При этом приближенное соотношение d2y M ± 2 ≈ dz EI x . (15.4) и дает дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Правило знаков для изгибающего момента установлено независимо от направления координатных осей, вторая же производная зависит от направления. Поэтому в формуле (13.4) нужно взять знак «+», если ось «y» направлена вверх. Функция прогибов находится интегрированием уравнения (15.4). Изгибающий момент М является функцией координаты z. Поэтому при последовательном интегрировании уравнения (15.4) получаем: EI x dy = M ( z ) dz + C ; dz ∫ ( ) EI x y = ∫ ( ∫ M ( z ) + C )dz + D = ∫ ∫ M (z )dz dz + Cz + D. Итак, уравнение для определения углов поворота сечений имеет вид: θ= dy 1 = dz EI x [∫ M ( z)dz + C ], (15.5) а уравнение для определения прогибов записывается в виде: y= 1 EI x [∫ dz ∫ M ( z)dz + Cz + D]. (15.6) Постоянные интегрирования C и D определяются из граничных условий. В качестве граничных условий используются перемещения в опорах (в шарнирных опорах прогибы равны нулю, в заделке и прогибы, и углы поворота сечений равны нулю). Дифференциальное уравнение (15.4) записывается для каждого участка нагружения и интегрируется. В результате, если участков нагружения n, подлежит определению из граничных условий 2n произвольных постоянных. Этого можно избежать, если при записи M ( z ) использовать прерыватель Бубнова. Прерыватель Бубнова – знак, указывающий, что функция, стоящая за ним, учитывается только при z > a , при z ≤ a эта функция принимается равной нулю. Тогда, записав выражение M ( z ) для сечения, расположенного на последнем участке нагружения и проинтегрировав его, получим всего две произвольные постоянные интегрирования. При использовании прерывателей Бубнова интегрирование выражения M ( z ) необходимо вести без раскрытия скобок. Также имеются некоторые особенности при записи M ( z ) от сосредоточенных моментов и распределенных нагрузок, не доходящих до конца балки. Эти особенности разберем при записи выражения для M ( z ) на конкретном примере. Выражение для изгибающего момента M(z) записывается в зависимости от приложенной нагрузки. Рассмотрим балку изображенную на рис. 15.1. Рис. 15.1 Выражение для изгибающего момента по длине балки запишется в виде: . При записи M ( z ) в прерывателях Бубнова распределенная нагрузка продолжена до конца балки и на участке продолжения приложена уравновешивающая нагрузка в противоположном направлении (построение, выполненное пунктиром на рис. 15.1); сосредоточенному моменту для указания места его приложения записывается плечо в нулевой степени. Пусть на некоторую конструкцию (рис. 15.2) действует система из двух групп сил (в рассматриваемом примере каждая из двух групп состоит из одной силы). Исследуем деформации конструкции, воспользовавшись принципом независимости действия сил. Рассмотрим два варианта нагружения конструкции. В первом варианте к конструкции сначала прикладывается первая группа сил, которая вызывает соответствующие деформации. Затем к деформированной конструкции прикладывается вторая группа сил, которая вызывает дополнительные перемещения. Рис. 15.2 Во втором варианте нагружения принимается обратный порядок приложения нагрузки (см. рис. 15.2). В первом варианте нагружения полная работа внешних сил равна A= 1 1 F1 y II + F2 y 22 + F1 y12 = A12 . 2 2 Во втором варианте A= 1 1 F2 y 22 + F1 y II + F2 y 21 = A21 . 2 2 Так как суммарная работа не зависит от способа приложения нагрузки, то A12 = A21 ; следовательно F1 y12 = F2 y 21 . Мы доказали теорему о взаимности работ, которая формулируется так: Работа сил первого состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния. В общем случае Aik = Aki . Вместо сил могут быть приложены и моменты, однако в этом случае необходимо рассматривать угловые перемещения. Из теоремы о взаимности работ как частный случай выводится весьма важная для практических приложений теорема о взаимности перемещений. При F1 = F2 = F Fy12 = Fy 21 . из теоремы Следовательно, о взаимности y12 = y 21 . работ получаем Полученное равенство означает, что перемещение точки 2 от силы, приложенной в точке 1, равно перемещению точки 1 от той же силы, приложенной в точке 2. Перемещение от единичной силы обозначим δ ik . Тогда при F1 = F2 получаем δ12 = δ 21. В общем случае δ ik = δ ki . Полученное соотношение известно как теорема о взаимности перемещений, которая обычно формулируется так: Перемещение в i–ом направлении от силы, приложенной в k-ом направлении, равно перемещению в k–ом направлении от той же силы, приложенной в i-ом направлении.