Дифференциальная геометрия и топология

Знаменская О.В. Работин В.В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ Конспект лекций Красноярск 2007 Оглавление Часть I. Основы топологии и дифференциальной геометрии кривых и поверхностей 5 Раздел 1. Основные понятия общей топологии 6 Лекция 1. Понятие топологического пространства. Метрическая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Определение и простые примеры (6). Сравнение топологий (10). Отделимость (12). Метрика (13). Топология в метрических пространствах (16) Лекция 2. Непрерывное отображение топологических пространств . 19 Два определения непрерывного отображения (19). Примеры непрерывных отображений (21). Задачи о непрерывных отображениях (23). Свойства непрерывных отображений (24). Гомеоморфизм (26). Примеры гомеоморфных пространств (27) Лекция 3. Связность и компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Определение и примеры связных пространств (29). Свойства связных пространств (30). Связная компонента (32). Линейная связность (33). Понятие компактности (34). Свойства компактных пространств (35). Критерий компактности подмножеств в Rn , (n < ∞) (36). Компактность метрических пространств (37) Раздел 2. Кривые и поверхности в Rd Лекция 4. Кривые в n-мерном пространстве. Кривизна кривой . . . . 39 39 Лекция 5. Кривые в 3-мерном пространстве. Гладкие поверхности . . Сопровождающий трехгранник Френе 44 (44). Гладкие k- мерные поверхности в Rd (46) Лекция 6. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Скалярное произведение на линейном пространстве (48). Примеры римановых метрик (50) Лекция 7. Основы римановой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Длина кривой и угол между кривыми (53). Задача о локсодромии (54). Площадь поверхности (55) Лекция 8. Расстояние на римановом многообразии. Уравнения Эйлера-Лагранжа Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (59). Простейшая задача вариационного исчисления (60) Часть II. Геодезические, теория кривизны поверхностей и элементы тензорного анализа Лекция 9. Геодезические на римановом многообразии 63 . . . . . . . . 64 Лекция 10. Кривизна кривой на 2-мерной поверхности. Вторая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ориентация поверхности 68 (68). Вторая квадратичная форма (69). Нормальная и геодезическая кривизны (71). Линии на поверхности (74) Лекция 11. Теоремы Эйлера и Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Гауссова и средняя кривизны. Теорема Эйлера (75). Деривационные формулы. Теорема Гаусса (78) Раздел 3. Элементы тензорного анализа Лекция 12. Криволинейные системы координат. 82 Тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Системы координат (82). Тензорные поля (85) Лекция 13. Операции над тензорными полями . . . . . . . . . . . . . 88 Алгебраические операции над тензорными полями (88). Ковариантное дифференцирование (91) Лекция 14. Риманова связность. Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Риманова связность (94). Паралельный перенос (95) Лекция 15. Тензор кривизны Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Лекция 16. Теоремы Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Теорема Гаусса (104). Теорема Гаусса–Бонне (105) Лекция 17. Некоторые элементы современных представлений о геометрии реального мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Литература 112 Предметный указатель 115 Часть I Основы топологии и дифференциальной геометрии кривых и поверхностей Раздел 1. Основные понятия общей топологии Лекция 1 Понятие топологического пространства. Метрическая топология Топологические пространства: определение, примеры (евклидова, Зариского, дискретная, антидискретная, относительная топологии). Замкнутые множества, их свойства. Окрестность, аксиомы отделимости, колмогоровские и хаусдорфовы пространства. Примеры. Метрические пространства, примеры. Метрическая топология. 1. Определение и простые примеры Определение 1.1. Пусть X — произвольное множество и τ = {Uα }α∈A — множество его подмножеств. Семейство τ определяет топологию (топологическую структуру) на X, если оно удовлетворяет следующим аксиомам: (1) Само множество и пустое множество при- ∅ ∈ τ, X ∈ τ; надлежат семейству τ . (2) Объединение любо- го числа множеств из τ Uα ∈ τ ⇒ U = τ; S Uα ∈ α есть множество из τ . (3) Пересечение конечного числа множеств из τ есть множество из τ . U1 , . . . , U m ∈ τ ⇒ U = m T Uk ∈ τ. k=1 Дифференциальная геометрия и топология 7 Подмножества Uα называются открытыми в топологии τ . Определение 1.2. Множество X с заданной в нем топологией τ , т.е. пара (X, τ ) называется топологическим пространством X. В дальнейшем, если ясно, о какой топологии идет речь, топологическое пространство (X, τ ) будет обозначаться одной буквой X. С понятием открытого множества тесно связано двойственное ему понятие замкнутого множества1 . Определение 1.3. Подмножество F ⊂ X называется замкнутым в то- пологии τ , если его дополнение X \ τ открыто в τ . X X \U U из аксиом открытых множеств и теоретико-мноx 1.1: Свойства замкнутых множеств нетрудно вывести жественных результатов о дополнениях пересечений Рис. и объединений, согласно которым   если U \ [ \ [ X \ Fα = X \ Fα . Fα , X \ Fα = X \ открыто в X, то α α α α X \ U — замкнуто Пример 1.1 (Естественная топология τR на R). В математическом анализе доказывается2 , что всякое открытое множество на числовой прямой R есть объединение конечного либо счетного числа попарно непересекающихся интервалов. Из этого факта вытекает, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из нее конечного либо счетного числа непересекающихся интервалов. И в самом деле, вполне естественно, что интервал (a, b) вещественной прямой 1В силу двойственности открытых и замкнутых множеств, в определении топологии можно стартовать с замкнутых множеств, задавая аксиоматически их свойства, а множества, дополнительные к замкнутым, называть открытыми. Таким образом, все равно как вводить топологию: указанием совокупности открытых или замкнутых множеств. 2 Доказательство приведено в кн. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 8 О.В. Знаменская, В.В. Работин (−∞, a) a (b, ∞) b R a b Рис. 1.2: [b, c] c R примеры открытых и замкнутых множеств на R является открытым, а отрезок [a, b] — замкнутым множеством. Описанная выше топология τR называется стандартной или естественной топологией на R. Замечание 1.1. При рассмотрении множеств, открытых в естественной топологии прямой, становится ясно, почему в аксиоме (3) существенно требование конечности -1 − 12 − 13 Рис. 1.3: 1 −n 1 n 1 1 4 3 1 2 1 R бесконечное пересечение интер- валов (−1/n, 1/n) замкнуто пересечения. ствительно, конечного Дей- пересечение бесчисла открытых множеств может и не быть открытым. Например, интервалы вида (−1/n, 1/n) на вещественной прямой открыты, а их пересечение, состоящее из одной точки {0}, не является открытым. Согласно определению 1.1., чтобы превратить некоторое множество в топологическое пространство, достаточно указать, какие подмножества в X будут считаться открытыми. Ясно, что в одном и том же множестве можно вводить разные топологии, превращая его тем самым в разные топологические пространства. Легко выделить два крайних случая возможных совокупностей τ подмножеств в X: когда τ содержит все возможные подмножества множества X, и когда τ не содержит никаких множеств, отличных от самого X. Оба эти семейства определяют топологии на любом непустом множестве X (выполнение аксиом (1) – (3) очевидно). Таким образом, сразу получается два примера топологических пространств, правда не очень интересных. Дифференциальная геометрия и топология 9 Пример 1.2 (Дискретная топология τd = {все подмножества X}). Пусть X — произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Пространство (X, τd ) называется дискретным топологическим пространством. Пример 1.3 (Тривиальная топология τt = {∅, X}). Пусть X — произвольное множество и τt состоит только из двух множеств — самого X и пустого множества. Полученное пространство (X, τt ) можно назвать "пространством слипшихся точек". Топология τt крайне бедна открытыми множествами. Она называется тривиальной или антидискретной. Приведем более интересные примеры топологических пространств. Пример 1.4. Пусть X = {a, b} — множество, состоящее из двух точек. Пусть τ = {X, ∅, {b}}. Нетрудно проверить выполнение аксиом (1) – (3). Пространство (X, τ ) часто называют "связным двоеточием". Пример 1.5 (Топология конечных дополнений). Пусть τ состоит из X, ∅ и тех подмножеств X, дополнения которых конечны. Если X само конечно, то это в точности дискретная топология на X. Если X бесконечно, то нужно проверить, что совокупность τ удовлетворяет трем аксиомам топологии. Первая выполняется тривиально. Для проверки второй предположим, что U1 , U2 ∈ τ , так что X \U1 и X \U2 A конечны. Тогда (X \ U1 ) ∪ (X \ U2 ) A O O B тоже B D D C X \V ∈τ Рис. 1.4: C конечно, но оно равно X \ (U1 ∩ U2 ) и, таким образом, V = {A, B, C, D, O} U1 ∩ U2 ∈ τ . Для проверки третьей открытые и замкну- аксиомы воспользуемся тем, что тые множества в топологии конечных дополнений на плоскости  X \  [ j∈J Uj  = \ j∈J (X \ Uj ) . 10 О.В. Знаменская, В.В. Работин Пример 1.6 (Относительная топология на Y ⊂ X ). Пусть (X, τ ) — тополо- гическое пространство, Y ⊂ X — фиксированное множество. Топология τ естественым образом определяет топологию на подмножестве Y следующим образом. Рассмотрим семейство подмножеств τY в Y : X τY = {V = U ∩ Y : U ∈ τ }. U2 U1 Y По определению, в топологию τY x∈ Y входят подмножества из Y , которые получаются пересечением Y Рис. 1.5: относительная топология на с τ -открытыми (т.е. открытыми подпространстве Y ⊂ X в топологии τ ) подмножествами в X. Покажем, что τY топология на Y . Очевидно, что Y = X ∩ Y ∈ τY , ∅ = ∅ ∩ Y ∈ τY . Далее, пусть Vα ∈ τY , α ∈ A, т.е. Vα = Uα ∩ Y , где Uα ∈ τ . Теперь, так как ∪ Uα ∈ τ для α ∈ A, то  [  [ [ Vα = Uα ∩ Y = Uα ∩ Y ∈ τY . α∈A α∈A α∈A Выполнение аксиомы (3) доказывается аналогично. Топология τY на Y называется относительной топологией (или топологией, индуцированной из X с помощью τ ), а подмножества пространства X, наделенные относительной топологией, называются его подпространствами. Замечание 1.2. Изучая топологические свойства подмножеств простран- ства Y ⊂ X, необходимо указывать, относительно какой топологии (τ или τY ) эти свойства рассматриваются. Так, например, полуоткрытый интервал (a, b] открыт на полупрямой (−∞, b], но не является открытым на всей прямой R. 2. Сравнение топологий Дифференциальная геометрия и топология 11 Подчеркнем еще раз, что свойство подмножества быть открытым относительное — в одну топологию подмножество может входить (и поэтому называться открытым), а в другую — нет. Например, любая точка плоскости открытое множество в дискретной топологии не открытое в тривиальной. Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество. Пусть в произвольном множестве X заданы две топологии τ1 и τ2 , и тем самым определены два топологических пространства (X, τ1 ) и (X, τ2 ). Определение 1.4. Говорят, что топология τ1 слабее (грубее) топологии τ2 (и пишут τ1 ≺ τ2 ), если τ1 ⊂ τ2 , т.е. если из того, что U ∈ τ1 следует, что U ∈ τ2 . Топология τ2 в этом случае сильнее (тоньше) топологии τ1 . Любая топология τ на X сильнее дискретной и слабее тривиальной топологии (τt ≺ τ ≺ τd ). Однако существуют и несравнимые топологии. Две топологии несравнимы в том случае, если каждая из них содержит лишь часть множеств, принадлежащих другой. Например, если X состоит из двух элементов p и q, а τ1 = {X, ∅, {p}}, τ2 = {X, ∅, {q}}, то ни одно из включений τ1 ⊂ τ2 , τ2 ⊂ τ1 не выполняется. 12 О.В. Знаменская, В.В. Работин 3. Отделимость Определение 1.5. Пусть A — подмножество топологического простран- ства X = (X, τ ). Окрестностью множества A называется всякое подмножество U ∈ τ , содержащее A. Определение 1.6. Окрестностью точки x топологического простран- ства (X, τ ) называется всякое подмножество U ∈ τ , содержащее x. Ясно, что открытое множество U ∈ τ является окрестностью любой своей точки. Окрестности используют для отделения точек друг от друга. Рассмотрим дополнительные ограничения на топологию, связанные с возможностью отделить точки пространства окрестностями3 . Определение 1.7. Топологическое пространство X называется колмо- горовским, если для любых двух различных точек из X найдется окрестность одной из них, не содержащая другую. Не трудно убедиться, что все рассмотренные выше топологические пространства, за исключением пространства с тривиальной топологией, являются колмогоровскими. Пример 1.7. Пространство X = (R, τ ), где τ = {∅, R, (0, ∞)} не является колмогоровским, X поскольку для точек {1} и {2} не найдется y окрестности, которая бы содержала лишь одну из них. U (x) x U (y) Требование колмогоровости является минимиальным для того, чтобы топология представ- Рис. 1.6: ляла интерес для исследования. Топологии, в ровское пространство которых точки нельзя отделить окрестностями, X. Точка x ̸∈ U(y) Колмого- рассматриваются лишь как экзотические примеры. 3 Условия, которые рассматриваются в этом пункте, называются аксиомами отделимости. Вообще известно более десятка аксиом отделимости, подробнее см. в кн. РОХЛИН В.А., ФУКС Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977, или в кн. АЛЕКСАНДРОВ П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977. Дифференциальная геометрия и топология 13 Определение 1.8. Топологическое пространство X называется хаусдор- фовым, если любые две различные точки из X обладают непересекающимися окрестностями, т.е. если ∀ x ̸= y ∈ X ∃ U (x) ∈ τ , U (y) ∈ τ : U (x) ∩ U (y) = ∅. Пример 1.8. Любое дискретное топологическое X пространство является хаусдорфовым, посколь- y ку любые две его точки x и y, x ̸= y имеют непересекающиеся окрестности {x} и {y}. U (x) x U (y) Условие хаусдорфовости часто накладывается на топологическую структуру и приближает Рис. 1.7: свойства топологического пространства к при- фово пространство X. вычным свойствам подмножеств пространства Здесь U(x) ∩ U(y) = ∅ Хаусдор- Rn . Метрические пространства являются важным и широко применяемым в математике классом топологических пространств. Эти пространства характеризуются тем, что топология в них определяется через понятие расстояния между точками множества. 4. Метрика Определение 1.9. Пусть X — непустое множество. Метрикой (функ- цией расстояния) на множестве X называется неотрицательная вещественная функция ρ : X × X → R, которая ∀ x, y, z ∈ X удовлетворяет следующим аксиомам: 1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (симметричность); 3) ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(y, z) (неравенство треугольника). Значение функции ρ(x, y) называется растоянием от x до y, а множество, наделенное метрикой, т.е. пара (X, ρ) называется метрическим пространством. 14 О.В. Знаменская, В.В. Работин Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, Y ⊂ X — непустое подмножество в X. Сужение метрики ρ на подмножество Y определяет метрику ρY в Y : ρY = ρ Y ×Y −→ R, ρY (x, y) = ρ(x, y) ∀ x, y ∈ Y. Очевидно, что для ρY выполняются все аксиомы метрики. Полученное метрическое пространство (Y, ρY ) называется подпространством метрического пространства (X, ρ), а метрика ρY называется индуцированной в Y из X. Приведем классические примеры метрических пространств. Пример 1.9 (Естественная метрика на R). Во множестве действительных чисел R зададим метрику по формуле: ρR (x, y) = |y − x| ∀ x, y ∈ R. Первые две аксиомы вытекают из определения модуля действительного числа |y − x|. Докажем аксиому 3). После переобозначения y − x = a, z − y = b, неравенство треугольника примет вид |a + b| 6 |a| + |b|. Последнее неравенство вытекает из правил сложения действительных чисел: если числа a и b одного знака, то |a + b| = |a| + |b|, а если разных знаков, то |a + b| = |a| − |b| < |a| + |b|. Метрическое пространство X, ρR называется действительной прямой с естественной (или стандартной) метрикой. Название продиктовано тем, что это принятый в анализе способ измерения расстояния между точками числовой прямой. Как показывают следующие два примера, в одном и том же множестве можно ввести несколько различных метрик. Пример 1.10 (Евклидова (шаровая) метрика в Rn ). Фундаментальным при- мером метрического пространства служит стандартное, известное из курсов математического анализа и аналитической геометрии n-мерное евклидово пространство Rn . Это множество n-членных вещественных числовых Дифференциальная геометрия и топология 15 последовательностей {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ Rn }, в котором расстояние между элементами x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn и y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn определяется следующим образом: v u n uX ρe (x, y) = t (yk − xk )2 . k=1 Выполнение аксиом 1) и 2) очевидно. В доказательстве нуждается неравенство треугольника 3), которое для точек x, y и z = (z1 , . . . , zn ) примет вид v v v u n u n u n uX uX uX t (yk − xk )2 6 t (xk − zk )2 + t (yk − zk )2 . k=1 k=1 (1.1) k=1 После переобозначения yk − xk = ak , zk − xk = bk , оно превращается в неравенство v v v u n u n u n X X u u uX 2 t (ak + bk )2 6 t ak + t b2k , k=1 k=1 (1.2) k=1 в свою очередь вытекающее из известного неравенства Коши – Буняковского4 n X v v u n u n uX uX 2 t ak bk 6 ak · t b2k . k=1 Действительно, n X k=1 2 (ak + bk ) = n X a2k k=1 + n X k=1 b2k +2 v k=1 v k=1 u n u n n n X X X u uX 2 2 2 t ak · t b2k = 6 ak + bk + 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n X ak bk 6 k=1 v v !2 u n u n uX uX t a2k + t b2k . k=1 k=1 Извлекая квадратный корень из правой и левой частей последнего неравенства, получаем неравенство ( 1.2), а, следовательно и неравенство (1.1). 4 Неравенство Коши – Буняковского можно получить из очевидного неравенства n P (ai bj − i,j=1 aj bi )2 > 0, см. кн. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 16 О.В. Знаменская, В.В. Работин Пример 1.11 (Чебышевская (прямоугольная) метрика в Rn ). Рассмотрим сно- ва множество Rn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R}. Для x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn и y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn положим ρch (x, y) = max |yk − xk | 16k6n и покажем, что ρch (x, y) удовлетворяет всем аксиомам метрики. Как и в предыдущих примерах, нетривиальна лишь аксиома 3), которая в данном случае имеет вид max |yk − xk | 6 max |yk − zk | + max |zk − xk | . 16k6n 16k6n 16k6n (1.3) Неравенство (1.3) получается из примера 1.9. следующим образом:  max |yk − xk | 6 max |yk − zk | + |zk − xk | 6 max |yk − zk | + max |zk − xk |. 16k6n 16k6n 16k6n 16k6n 5. Топология в метрических пространствах Пусть X = (X, ρ) — метрическое пространство, x0 — некоторая точка X, а r — положительное действительное число. Определение 1.10. Открытым шаром с центром в точке x0 радиуса r называется множество  Br (x0 ) = x ∈ X : ρ(x0 , x) < r . Теорема 1.1. Совокупность открытых шаров в метрическом простран- стве X образует базу топологии в X. Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием базы (теорема ??). Неравенство треугольника показывает, что если открытый шар с центром в точке x0 и радиусом r0 содержит точку x, то он содержит открытый шар с центром в x и радиусом r = r0 − ρ(x0 , x). Следовательно, в любом метрическом пространстве пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой некоторый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме того, открытые шары покрывают пространство X, то они составляют базу некоторой топологии. Дифференциальная геометрия и топология 17 Тем самым в любом метрическом пространстве (X, ρ) вводится структура топологического пространства. Определение 1.11. Топология τ на метрическом пространстве (X, ρ), базой которой является семейство открытых шаров    B = Br (x0 ) = x ∈ X : ρ(x0 , x) < r : x0 ∈ X, r > 0 называется метрической топологией на X. Ясно, что любой открытый шар есть множество, открытое в метрической топологии, в силу того, что он является элементом базы топологии. Из способа задания базы следует также Определение 1.12. Открытыми множествами в метрическом про- странстве X называются подмножества X, содержащие каждую свою точку вместе с некоторым открытым шаром, т.е. такие G ⊂ X, что ∀ x ∈ G ∃ r > 0 : Br (x) ⊂ G. Не удивительно, что метрическое пространство (X, ρd ) из упражнения ??. называется дискретным метрическим пространством. Определение 1.13. Замкнутым шаром с центром в точке x0 радиуса r называется множество  B r (x0 ) = x ∈ X : ρ(x0 , x) 6 r . В дальнейшем метрические пространства будут рассматриваться как топологические, имея в виду метрическую топологию. В частности, это относится к пространствам Rn и l2 . Следующее предложение дает достаточное условие для сравнения двух метрических топологий. Предложение 1.1. Пусть τ и τ ′ — две метрические топологии на мно- жестве X, определяемые, соответственно, метриками ρ и ρ ′ . Если существует такое положительное число α, что ρ(x, y) 6 αρ ′ (x, y) ∀ x, y ∈ X, 18 О.В. Знаменская, В.В. Работин то τ слабее, чем τ ′ . Рассмотренные выше примеры вызывают естественный вопрос, не определяется ли каждая топология некоторой метрикой? Ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы показать это, заметим, что для любых двух точек x и y из X открытые шары Br (x) и Br (y) радиуса r < 1/2ρ(x, y) не пересекаются. Поэтому справедливо Предложение 1.2. Всякое пространство X с метрической топологией является хаусдорфовым. В то же время, например, множество, содержащее бесконечное число элементов с заданной на нем топологией конечных дополнений, не является хаусдорфовым пространством, следовательно, эта топология не определяется никакой метрикой. Пространство, топология которого является метрической по отношению к некоторой метрике, называется метризуемым топологическим пространством. В связи с вышесказанным, можно сформулировать проблему5 метризации топологического пространства: пусть (X, τ ) — топологическое пространство. При каких условиях в X существует метрика такая, что определяемая ею топология совпадает с τ ? 5 Проблема метризации топологических пространств существенно стимулировала развитие топологии. Первые теоремы о метризации были получены одними из основателей общей топологии — советскими математиками П.С. Александровым и П.С. Урысоном, см. кн. АЛЕКСАНДРОВ П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. Дифференциальная геометрия и топология 19 Лекция 2 Непрерывное отображение топологических пространств Два определения непрерывного отображения. Теорема об эквивалентности этих определений. Примеры. Свойства непрерывных отображений (композиция, ограничение). Гомеоморфизм, примеры гомеоморфных пространств. 1. Два определения непрерывного отображения Введем понятие непрерывного отображения топологических пространств так, чтобы в случае числовых функций f : R −→ R оно совпадало с понятием непрерывной функции, которое используется в курсе математического анализа. Для этого проанализируем определение непрерывной функции вещественного переменного. Определение 2.1. Функция f : R −→ R называется непрерывной в точ- ке x0 ∈ R, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, таких, что |x − x0 | < δ, выполняется |f (x) − f (x0 )| < ε. Итак: f : R → R непр. в x0 := ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ R (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε) . Не трудно распространить это определение на метрические пространства, достаточно заметить, что множество {x ∈ X : |x − x0 | < δ} есть ни что иное, как шар Bδ (x0 ) в R с центром в точке x0 и радиусом δ. Условие же “|f (x) − f (x0 )| < ε для всех x, таких, что |x − x0 | < δ” эквивалентно тому, что образ f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )). Поэтому определение 2.1 можно переформулировать так: f : R → R непр. в x0 := ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )). В таком виде определение непрерывности применимо для любых метрических пространств. 20 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение 2.2. Пусть (X, ρX ) и (Y, ρY ) — метрические пространства. Отображение f : X −→ Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если для любого шара Bε (f (x0 )) ⊂ Y с центром в точке f (x0 ) найдется шар Bδ (x0 ), δ > 0, с центром в точке x0 ∈ X такой, что образ f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )). Как теперь перейти к определению непрерывного отбражения произвольных топологических пространств? Ведь не всякое топологическое пространство метризуемо, и в нем нет понятия шара. Заменив шар с центром в данной точке на окрестность этой точки, мы получим общее определение непрерывного отображения. Определение 2.3. Отображение f : X → Y топологического простран- ства X = (X, τX ) в топологическое пространство Y = (Y, τY ) называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если для любой окрестности V(f (x0 )) ⊂ Y точки f (x0 ) ∈ Y найдется окрестность U(x0 ) ⊂ X точки x0 ∈ X, образ которой f (U(x0 )) содержится в V(f (x0 )). Итак: f : X → Y непр. в x0 := ∀ V(f (x0 ))∃ U(x0 ) : f (U(x0 )) ⊂ V(f (x0 )). Определение 2.4. Отображение f : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства X. Данное нами определение носит "локальный" характер: непрерывность отображения на всем множестве определяется через непрерывность в каждой точке. Оказывается понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологий этих пространств. А именно, имеет место следующий критерий непрерывности: Теорема 2.1. Для того, чтобы отображение f : X → Y топологическо- го пространства (X, τX ) в топологическое пространство (Y, τY ) было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого множества в Y был открыт в X. Дифференциальная геометрия и топология Итак: f : X → Y непрерывно ⇐⇒ 21 ∀ V ∈ τY U = f −1 (V) ∈ τX . Поскольку прообраз f −1 (Y \ V) дополнения Y \ V равен дополнению X \ f −1 (V) прообраза f −1 (V), из теоремы 2.1. сразу получается двойственная к ней Теорема 2.2. Для того, чтобы отображение f : X → Y топологическо- го пространства (X, τX ) в топологическое пространство (Y, τY ) было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого замкнутого множества в Y был замкнут в X. 2. Примеры непрерывных отображений Рассмотрим несколько простых примеров непрерывных отображений. Пример 2.1. Для любого топологического пространства X = (X, τX ) тож- дественное отображение Id : X → X, определяемое формулой Id(x) = x, является непрерывным. Пример 2.2. Для любых двух топологических пространств X = (X, τX ) и Y = (Y, τY ) постоянное отображение p : X → Y , определяемое формулой p(x) = y0 , где y0 — фиксированная точка в Y , является непрерывным. Пример 2.3. Вложение i : Y ,→ X, i(x) = x, подпространства Y с индуци- рованной топологией также непрерывно. Непрерывность указанных отображений проще всего проверять с помощью теоремы 2.1. Так, в примере 2.1. прообраз Id−1 (U) всякого открытого множества U равен самому U и потому открыт. В примере 2.3 прообраз каждого открытого множества U ⊂ X равен Y ∩ U и, значит, открыт в Y в индуцированной топологии. Большое количество содержательных примеров непрерывных отображений можно получить, обращаясь к функциям f : R → R, или, более общо, к отображениям f : Rn → Rm . Такие функции изучаются в курсе 22 О.В. Знаменская, В.В. Работин математического анализа; при этом, как отмечалось в упражнении ??. и в переходе от определения 2.1. к определению 2.2., применяемое в анализе понятие непрерывности равносильно общему определению 2.3. В различных математических дисциплинах часто приходится рассматривать вещественнозначные отображения, т.е. отображения вида f : X → R. Такие отображения мы будем называть функциями на X. Приведем теперь нетривиальный пример функции, не являющейся непрерывной. Пример 2.4. Функция f (x) = x2 , определенная на множестве веществен- ных чисел R с естественной топологией (база которой — интервалы вида (a, b)), непрерывна на R. Введем теперь на множестве вещественных чисел R топологию τ = {∅, {(−∞, x) : x ∈ R}}, превратив его тем самым в топологичеcкое пространство X = (R, τ ), и определим функцию f : X → R тем же равенством f (x) = x2 . Функция f не является непрерывной на X, поскольку f −1 ((−∞, y 2 )) = (−y, y) не принадлежит τ . Пример 2.4. и упражнение ??. подчеркивают, что непрерывность отображения — свойство относительное, — оно зависит не только от способа задания отображения, но и от введенной во множествах топологической структуры. Рассмотрим крайние случаи. Пример 2.5. Если в пространстве X введена дискретная топология τd , то любое его отображение в произвольное топологическое пространство Y непрерывно в силу того, что прообраз любого подмножества из Y открыт в X. С другой стороны, если X — произвольное топологическое пространство, а (Y, τt ) — пространство с тривиальной топологией, то любое отображение f : X → Y также непрерывно. Множество непрерывных отображений f : X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY ) Дифференциальная геометрия и топология 23 обозначают символом C(X; Y ). Анализируя предыдущие примеры, получим, что чем слабее топология τY и сильнее топология τX , тем больше в C(X; Y ) элементов (больше отображений являются непрерывными). Вместе с тем, независимо от выбранных топологий, в C(X; Y ) не меньше элементов, чем в Y (количество постоянных отображений). 3. Задачи о непрерывных отображениях В топологии и ее приложениях часто приходится решать задачи следующих трех типов. Задача 1. Пусть X = (X, τX ) и Y = (Y, τY ) — топологические пространства, а f — отображение X → Y . Верно ли, что f ∈ C(X; Y )? Эта задача рассматривалась выше для некоторых пространств и отображений. Для ее решения всегда требуется дополнительная информация о X, Y и f . Следующие две задачи можно решить без дополнительных предположений. Задача 2. Пусть X = (X, τX ) — топологическое пространство, Y — некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на Y топологию так, чтобы f ∈ C(X; Y ). Введем топологию на Y . Объявим открытыми в Y те и только те множества U ⊂ Y , прообразы f −1 (U) которых открыты в X (включая и случай пустого прообраза). Проверим, что совокупность {U} образует топологию на Y .В самом деле, само Y и ∅ принадлежат {U} так как f −1 (Y ) = X ∈ τX и f −1 (∅) = ∅ ∈ τX . Произвольное объединение ∪Uα множеств Uα ∈ {U} снова принадлежит α {U}. Действительно,

f −1 ∪Uα = ∪f −1 Uα ∈ τX α α в силу определения {U}, согласно которому каждое f −1 (Uα ) ∈ τX . Анало- 24 О.В. Знаменская, В.В. Работин гично, любые конечные пересечения k ∩ Uαi ∈ {U}, i=1 поскольку
k k f −1 ∩ Uαi ) = ∩ f −1 Uαi ∈ τX . i=1 i=1 Итак, τY = {U} — искомая топология на Y . Построенную топологию τY будем называть топологией, индуцированной отображением f . Задача 3. Y = (Y, τY ) — топологическое пространство, X — некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на X топологию так, чтобы f ∈ C(X; Y ). Зададим топологию τX на X, положив τX =  −1 f (U) U∈τY . Нетруд- но убедиться, что система τX удовлетворяет аксиомам топологии. Очевидно, что f непрерывно как отображение топологических пространств X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY ). 4. Свойства непрерывных отображений Композиция непрерывных отображений непрерывна. Более точно, имеет место Предложение 2.1. Пусть X, Y и Z — топологические пространства. Если f : X → Y и g : Y → Z — непрерывные отображения, то их композиция h = g ◦ f : X → Z, определяемая формулой h(x) = g(f (x)), также непрерывна. Доказательство. Сразу вытекает из теоремы 2.1., так как для всякого открытого множества U ∈ Z прообразы g −1 (U) и h−1 (U) = f −1 (g −1 (U)) открыты в Y и X соответственно. Сужение непрерывного отображения непрерывно. Более подробно, справедливо Предложение 2.2. Если f : X → Y — непрерывное отображение, X ′ ⊂ X — подпространство с индуцированной топологией, то сужение f |X ′ : X ′ → Y непрерывно. Дифференциальная геометрия и топология 25 Доказательство. Пусть U ⊂ Y — произвольное открытое множество. То(U) = f −1 (U) ∩ X ′ — открыто в индуцированной топологии ввиду гда f |−1 X′ непрерывности f . По теореме 2.1. заключаем, что f |X ′ непрерывно. Предложение 2.3. Если f : X → Y непрерывное отображение, A ⊂ X и x0 ∈ A, то f (x0 ) ∈ f (A). Доказательство. Пусть U = U(f (x0 )) — произвольная окрестность точки f (x0 ) ∈ Y . Ввиду непрерывности f в точке x0 найдется такая окрестность V = V (x0 ) точки x0 , что f (V ) ⊂ U. Но т.к. x0 — точка прикосновения для A, то в V есть точка y ∈ A, образ которой f (y) ∈ U ∩ f (A). Все это означает, что f (x0 ) ∈ f (A). Бывает полезно знать следующие факты о функциях на топологическом пространстве X. Предложение 2.4. Если X — топологическое пространство, а f, g : X → R непрерывные функции, то множества A = {x ∈ X : f (x) = 0}, B = {x ∈ X : f (x) > 0}, замкнуты, C = {x ∈ X : f (x) > g(x)} а множества B ′ = {x ∈ X : f (x) > 0}, C ′ = {x ∈ X : f (x) > g(x)} — открыты. Доказательство. Замкнутость множеств A и B вытекает из теоремы 2.2., поскольку A = f −1 (0), B = f −1 ([0, ∞)) — прообразы замкнутых множеств при непрерывном отображении. Аналогично, множество B ′ открыто согласно теореме 2.1. Доказательство замкнутости C и открытости C ′ сводится к соответствующим утверждениям для B и B ′ , если мы покажем, что функция h = f − g непрерывна. Для этого заметим, что h = ϕ ◦ ψ, где ψ : X → R2 , ψ(x) = (f (x), g(x)), а ϕ : R2 → R, ϕ(x1 , x2 ) = x1 − x2 . Здесь R2 рассматривается с “прямоугольной” метрикой. Непрерывность функции 26 О.В. Знаменская, В.В. Работин ϕ доказывается в курсе математического анализа. Теперь, согласно предложению 2.1., для непрерывности h осталось доказать непрерывность ψ. Пусть B = Bε (x01 , x02 ) — открытый шар в R2 с центром в точке (x01 , x02 ) ∈ R2 радиуса ε. В “прямоугольной” метрике B представляет собой произведение γ1 × γ2 интервалов γ1 = {x ∈ R : |x − x01 | < ε} и γ2 = {x ∈ R : |x − x02 | < ε}. Поэтому ψ −1 (B) = f −1 (γ1 )∩g −1 (γ2 ) открыты, поскольку открыты прообразы f −1 (γ1 ) и g −1 (γ2 ) открытых множеств γ1 и γ2 при непрерывных отображениях. Представляя произвольное открытое множество U ⊂ R2 в виде объединения базисных шаров U = ∪ B(z), получим, что ψ −1 (U) = ψ −1 (B(z)) — z∈U открыто. Непрерывность отображения ψ установлена, что завершает доказательство предложения 2.4. 5. Гомеоморфизм Сформулируем одно из важнейших определений. Определение 2.5. Отображение f : X −→ Y топологического простран- ства X на топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно, т.е. если 1. f : X −→ Y — биекция; 2. f — непрерывно; 3. f −1 : Y −→ X — непрерывно. Пространства X и Y при этом называются гомеоморфными. Замечание 2.1. Условие 3) не зависит от условий 1) и 2). Чтобы убедиться в этом, достаточно на любом непустом множестве X ввести две топологии, одна из которых сильнее другой, и рассмотреть тождественное отображение Id : X −→ X. Например, пусть τd — дискретная, а τ — естественная Дифференциальная геометрия и топология 27 топологии на R. Тогда Id : (R, τd ) −→ (R, τ ) непрерывно, а обратное отображение Id−1 не является непрерывным. Условия 2) и 3) о непрерывности f и f −1 вместе с критерием непрерывности 2.1. позволяют заключить следующее: при гомеоморфизме образы и прообразы открытых множеств также открыты, а значит f осуществляет взаимно однозначное соответствие между системами открытых множеств X и Y . Итак, гомеоморфизм между двумя топологическими пространствами — это биекция как между точками, так и между топологиями этих пространств. Отсюда следует, что гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми. Например, если V — окрестность точки x ∈ X, то f (V) — окрестность точки f (x) ∈ Y ; если {Uα } — база топологии τX , то {f (Uα )} — база топологии τY ; f (A) = f (A) и так далее. Поэтому с топологической точки зрения гомеоморфные пространства можно рассматривать как два экземпляра одного и того же пространства. 6. Примеры гомеоморфных пространств Пример 2.6. Отрезок [0, 1] и интервал (0, 1) в дискретной топологии гомео- морфны. Для доказательства достаточно построить взаимно однозначное соответствие между точками интервала и отрезка. Пример 2.7. Интервал (−1, 1) и числовая ось R гомеоморфны. Действи- тельно, функция y = tg (πx/2) : (−1, 1) −→ R, взаимно однозначно отображающая интервал (−1, 1) на всю числовую ось, непрерывна вместе с обратной функцией x = (2/π)arctg y. Пример 2.8. Аффинное невырожденное преобразование пространства Rn является гомеоморфизмом. Действительно, всякое такое отображение f : Rn → Rn задается в виде y = Ax + b, где A = (aij ) — невырожденная матрица (det (aij ) ̸= 0). В курсе математического анализа доказыватся, что линейное отображение y = Ax + b : Rn −→ Rn является непрерывным, а из курса линейной алгебры известно, что это отображение допускает 28 О.В. Знаменская, В.В. Работин обратное x = A−1 y − A−1 b, которое также линейно и потому непрерывно. Следовательно, f — гомеоморфизм. Из последнего примера следует, что фигуры на плоскости или в n– мерном пространстве, которые можно перевести друг в друга невырожденным линейным преобразованием (с помощью параллельного переноса, поворота вокруг точки, оси или плоскости, отражения, сжатия и т.д.), гомеоморфны. Так, например, окружность гомеоморфна эллипсу, сфера — эллипсоиду и т.д. Пример 2.9. Любое изометричное (сохраняющее метрику) отображение метрических постранств является гомеоморфизмом. Обратное неверно. Дифференциальная геометрия и топология 29 Лекция 3 Связность и компактность Связность: определение, свойства и примеры. Компактные пространства: лемма Гейне-Бореля и общее определение компактного топологического пространства. Свойства компактных множеств (компактность замкнутого подмножества, компактность образа компактного пространства при непрерывном отображении, теорема Вейерштрасса). Критерий компактности подмножества конечномерного евклидова пространства. 1. Определение и примеры связных пространств Определение 3.1. Топологическое пространство X называется несвяз- ным, если оно представимо в виде объединения двух непустых открытых непересекающихся подмножеств. Если X нельзя разложить в объединение непустых открытых непересекающихся подмножеств, то X называется связным. По определению X несвязно, если X = Φ1 ∪ Φ2 , где Φ1 и Φ2 непусты, открыты и Φ1 ∩ Φ2 = ∅. Так как Φ2 = X \ Φ1 , Φ1 = X \ Φ2 , то Φ1 и Φ2 являются также и замкнутыми. Поэтому определение (3.1) равносильно таким определениям: a) X несвязно ⇐⇒ X представимо в виде объединения двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств. b) X несвязно ⇐⇒ в X имеется собственное подмножество Y (т.е. Y ̸= ∅, X), которое одновременно замкнуто и открыто. Определение 3.2. Подмножество M топологического пространства X называется связным, если M — связное пространство в индуцированной топологии. 30 О.В. Знаменская, В.В. Работин Рассмотрим примеры. 1. Дискретное топологическое пространство, состоящее более чем из одной точки, несвязно, т.к. в нем любое подмножество открыто и замкнуто. 2. Отрезок [a, b] числовой прямой связен. Докажем это. Допустим, что [a, b] = Φ1 ∪ Φ2 , где Φi , i = 1, 2 — открыто-замкнутые непустые непересекающиеся подмножества. Без ограничения общности можно считать, что a ∈ Φ1 . В силу открытости Φ1 найдется такое ε > 0, что [a, a + ε) ∈ Φ1 . Пусть x∗ = sup{a + ε : [a + ε) ∈ Φ1 }. Из определения sup вытекает, что x∗ — предельная точка для Φ1 и ввиду замкнутости Φ1 точка x∗ ∈ Φ1 . Единственной возможностью для x∗ может быть только равенство x∗ = b, т.к. в противном случае из-за открытости Φ1 не имело бы места равенство x∗ = sup{a + ε}. Таким образом, Φ1 = [a, b] и Φ2 = ∅, что противоречит предположению. 3. Всякие интервалы (a, b), полуинтервалы [a, b) связны. Доказательство аналогично случаю отрезка. 4. Проколотый интервал (отрезок, полуинтервал) несвязен. Действительно, поколотый интервал имеет вид X = (a, b) \ {c}, где c ∈ (a, b). Отсюда X = Φ1 ∪ Φ2 , где Φ1 = (a, c), Φ2 = (c, b) — открыты, непусты и не пересекаются. 5. Подмножество рациональных чисел Q ∈ R несвязно, т.к. Q = Φ1 ∪ Φ2 , √ √ где Φ1 = {r ∈ Q; r < 2}, Φ2 = {r ∈ Q : r > 2}. 2. Свойства связных пространств Докажем несколько утверждений, помогающих выяснять связность топлогических пространств. Теорема 3.1. Пусть M — связное подмножество топологического про- странства X и M ⊂ G1 ∪ G2 , где G1 , G2 открыты и G1 ∩ G2 = ∅. Тогда M полностью лежит в одном из множеств G1 или G2 . Дифференциальная геометрия и топология 31 Доказательство. Предположив противное, мы получили бы, что множества Φ1 = M ∩ Gi , i = 1, 2, непусты, открыты в индуцированной топологии подпространства M ⊂ X и в объединении дают M . Это противоречило бы связности M . Теорема 3.2. Пусть {Mα } — семейство связных подмножеств тополо- гического пространства X, имеющее непустое пересечение: ∩Mα ̸= ∅. α Тогда объединение M = ∪Mα связно. α Доказательство. Допустим, что M = Φ1 ∪ Φ2 , где Φ1 , Φ2 непусты, открыты и Φ1 ∩ Φ2 = ∅. Т.к. все Mα ⊂ Φ1 ∪ Φ2 , то по теореме (3.1) каждое из Mα лежит в Φ1 , либо в Φ2 . Но поскольку их пересечение непусто, то все они лежат лишь в одном Φi , i = 1, 2, поэтому другое пусто вопреки предположению. Теорема 3.3. Если M — связное подмножество топологического про- странства X, то связным является любое множество M0 , лежащее между M и его замыканием: M ⊆ M0 ⊆ M . В частности, замыкание связного множества связно. Доказательство. Представим M0 в виде M0 = Φ1 ∪Φ2 , где Φi — открыты и Φ1 ∩ Φ2 = ∅. Т.к. M ⊂ M0 связно, то по теореме (3.1) оно лежит в одном из Φi , скажем, в Φ1 . В силу открытости Φ2 , имеем M ∩ Φ2 = ∅, откуда M0 ⊆ M ⊂ Φ1 , т.е. Φ2 = ∅. Теорема 3.4. Образ при непрерывном отображении связного постран- ства связен. Доказательство. Пусть f : X → Y = f (X) — непрерывное отображение. Если Y — несвязно, то Y = Φ1 ∪Φ2 , где Φ1 ∩Φ2 = ∅, Φ1 , Φ2 — открыты, непусты. Следовательно, X = f −1 (Φ1 ) ∪ f −1 (Φ2 ), где f −1 (Φi ) — непусты, открыты (в силу непрерывности f) и не пересекаются. Полученное противоречие со связностью X доказывает теорему. Из теоремы (3.4) и примера 4 вытекает важное 32 О.В. Знаменская, В.В. Работин Следствие 3.1 (Обобщение теоремы Коши). Действительнозначная непре- рывная функция f : X → R на связном пространстве X, принимающая значения a и b, принимает и все промежуточные значения между a и b. Упражнение 18. Доказать, что пространства R1 и R2 не гомеомеорфны. Упражнение 19. Доказать, что топологическое произведение связных пространств связно. 3. Связная компонента Если топологическое пространство X несвязно, то естественно его разбить в объединение связных подпространств. Определение 3.3. Cвязной компонентой топологического простран- ства X называется всякое максимальное связное подмножество в X. Например, в дискретном пространстве связными компонентами являются одноточечные подмножества и только они. Если x0 ∈ X — фиксированная точка, то по теореме (3.2) объединение K(x0 ) = ∪Mx0 всех связных подмножеств Mx0 ⊂ X, содержащих x0 связно. Нетрудно показать, что K(x0 ) не является собственным подмножеством никакого другого связного множества, т.е. K(x0 ) — связная компонента, содержащая точку x0 . При этом связные компоненты K(x0 ) и K(y0 ) различных точек x0 и y0 либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому мы приходим к такому утверждению. Теорема 3.5. Всякое топологическое пространство разбивается в объ- единение непересекающихся связных компонент. Каждая связная компонента замкнута. Замкнутость связной компоненты вытекает из теоремы о том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, определения (3.3), и теоремы (3.3). Дифференциальная геометрия и топология 33 Заметим, что связная компонента не обязана быть открытым подмножеством. Например, пусть X = {0} ∪ { n1 }n∈N — подмножество в R с индуцированной топологией. Здесь подмножество {0} ⊂ X образует замкнутую связную компоненту, но не является открытым. 4. Линейная связность Понятие связности пространства тесно связано с понятием линейной связности. Определение 3.4. Непрерывное отображение f : [0, 1] −→ X отрезка [0, 1] в топологическое пространство X называется путем. Точка a = f (0) называется началом пути, а точка b = f (1) — концом пути. Заметим, что путем мы назвали не множество точек в X, а отображение f . Образ пути f ([0, 1]) ⊂ X называется носителем пути f . Определение 3.5. Топологическое пространство X называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путем, т.е. для любых a, b ∈ X найдется путь f : [0, 1] −→ X, такой, что f (0) = a, f (1) = b. Теорема 3.6. Линейно связное пространство связно. Доказательство простое и предлагается в качестве упражнения. Обращение теоремы (3.6) не имеет места, т.е. связное пространство может не быть линейно связным. Приведем соответствующий пример. Пусть X — замыкание в R2 графика функции y = sin x1 (см. рис.) Очевидно, X = X− ∪ X0 ∪ X+ , где X− = {(x, y) ∈ X : x < 0}, X+ = {(x, y) ∈ X : x > 0}, X0 = {x = 0, −1 6 y 6 1} — отрезок на оси OY . Множества X− и X+ связные как образы при непрерывном отображении f : R1 −→ R2 , x → (x, sin x1 ) связных интервалов (−∞, 0) и (0, +∞) соответственно. Далее, по теореме (3.3) замыкания X − , X + также связны, 34 О.В. Знаменская, В.В. Работин и т.к. X − = X− ∪ X0 , X + = X+ ∪ X0 , то по теореме (3.2) множество X, равное объединению X = X − ∪ X + связно. Докажем, что X не является линейно связным пространством. Рассмотрим две точки: a = (− π1 , 0) и b = ( π1 , 0) в X. Предположим, что точки a и b можно соединить путем f : [0, 1] −→ X, f (0) = a, f (1) = b. Отображение f задается в виде f (t) = (x(t), y(t)), где x(t), y(t) — непре1 рывные функции и y(t) = sin x(t) , если x(t) ̸= 0. Т.к. x(0) = − π1 , x(1) = π1 , то найдется t ∈ [0, 1], для которого x(t) = 0. Пусть E = {t ∈ [0, 1] : x(t) = 0} и t0 = inf E. По определению точной нижней грани найдется последовательность {tn }, tn ∈ E, tn → t0 . Ввиду непрерывности x(t) имеем x(t0 ) = lim x(tn ) = 0. Таким образом, x(t) < 0 при t < t0 и x(t0 ) = 0, n→∞ но это противоречит тому, что функция y(t), равная на полуинтервале 1 [0, t0 ) функции sin x(t) , является непрерывной. 5. Понятие компактности Фундаментальную роль в анализе играет лемма Гейне-Бореля, которая состоит в следующем: из любого покрытия отрезка [a, b] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Другими словами, если [a, b] ⊃ ∪ (xα , yα ), то в множестве индексов A найдется конечное подα∈A n множество {α1 , . . . , αn } такое, что [a, b] ⊃ ∪ (xαk , yαk ). k=1 Т.к. любое открытое множество на числовой прямой является объединением непересекающихся интервалов, то утверждение леммы Гейне-Бореля остается верным в такой формулировке: из всякого покрытия отрезка [a, b] открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие. Это свойство отрезка леит в основе слдующего важного понятия. Договоримся покрытие σ = {Uα } топологического пространства X называть открытым, если все элементы Uα этого покрытия — открытые множества в X. Определение 3.6. Топологическое пространство X называется ком- пактным, если всякое его открытое покрытие σ = {Uα } содержит конечное подпокрытие {Uαk }k=1,N . Дифференциальная геометрия и топология 35 Подмножество A топологического пространства X называется компактным, если A — компактное в пространстве индуцированной топологии. Согласно лемме Гейне-Бореля отрезок [a, b] компактен. Позднее мы увидим, что в Rn (n < ∞) все замкнутые отрганиченные подмножества (и только они) компактны. Примером некомпактного пространства является ∞ числовая прямая R : R = ∪ (−n, n), но никакое конечное подсемейство n=1 покрытия {Un = (−n, n)}n=1,∞ не покрывает R. Точно также легко заключить, что не компактно любое неограниченное множество в R, а также — всякий интервал (a, b). Заметим, что если постранства X и X ′ гомеоморфны, то из компактности одного следует компактность другого, т.е. компактность является топологическим инвариантом. 6. Свойства компактных пространств Теорема 3.7. Всякое замкнутое подмножество F компактного про- странства X компактно. Доказательство. Если {Vα } — открытое покрытие множества F , то Vα = Uα ∩ F , где Uα открыты в X. Тогда семейство {{Uα }, X \ F } — открытое покрытие пространства X. В силу компактности X найдется конечное семейство {{Uαk }k=1,N , X \ F }, покрывающее X. Поэтому семейство {Vαk }k=1,N покрывает F . Теорема 3.8. Всякое компактное подмножество хаусдорфового про- странства замкнуто. Доказательство см. в [1]. Теорема 3.9. Пусть f : X −→ X ′ — непрерывное отображение компакт- ного топологического пространства X в топологическое пространство X ′ . Тогда образ f (X) компактен. Доказательство. Пусть σ = {Uα } — открытое покрытие образа f (X). Тогда {f −1 (Uα )} — открытое покрытие пространства X. Извлекая из это- 36 О.В. Знаменская, В.В. Работин го покрытия конечное подпокрытие {f −1 (Uαk )}k=1,N , мы получим, что {Uαk }k=1,N — конечное подпокрытие покрытия σ. Теорема 3.10. Пусть X — компактное топологическое пространство и f : X −→ R — непрерывная функция. Тогда f ограничена и достигает на X верхней и нижней граней. Доказательство. По теореме (3.9) образ f (X) компактен. Поэтому из хаусдорфовости числовой прямой R по теореме (3.8) получаем, что f (X) ⊂ R замкнут. Далее, в предыдущем пункте мы отмечали, что компактное подмножество в R ограничено. Итак, образ f (X) замкнут и ограничен, поэтому он содержит верхнюю и нижнюю грани. 7. Критерий компактности подмножеств в Rn, (n < ∞) Теорема 3.11. Подмножество A ⊂ Rn компактно тогда и только тогда, когда A замкнуто и ограничено. Доказательство. Пусть A компактное подмножество в Rn . По теореме (3.8) A замкнуто. Если {B1 (a)}a∈A — открытое покрытие A шарами радиуса 1 с центрами в точках a ∈ A, то и некоторое конечное семейство B1 (a1 ), . . . , B1 (aN ) покрывает A. Поэтому A ограничено. Обратно, пусть A ⊂ Rn замкнуто и ограничено. В силу ограниченности, A помещается в некоторый куб P = [−r, r] × · · · × [−r, r]. По теореме (??) куб P компактен, откуда с помощью теоремы (3.7) получаем компактность A. Дифференциальная геометрия и топология 37 8. Компактность метрических пространств Компактность метрических постранств можно выразить на языке последовательностей. Теорема 3.12. Метрическое пространство X компактно тогда и толь- ко тогда, когда из любой последовательности {xn } в X можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Приведем набросок доказательства теоремы (3.12). Необходимость. Пусть X — компактное метрическое пространство и {xn } — последовательность в X. Предположим, что {xn } не имеет сходящихся подпоследовательностей. Тогда {xn } состоит из изолированных точек и замкнута. Поэтому последовательность {xn } может быть покрыта семейством непересекающихся шаров {Bεn (xn )}, из которого нельзя извлечь конечного подпокрытия. Таким образом, подмножество {xn } ∈ X не компактно. Противоречие с теоремой (3.7). Достаточность. Применим лемму о числе Лебега, имеющую самостоятельный интерес. Пусть {Uα } — открытое покрытие метрического пространства X. Если число ε > 0 таково, что покрытие шарами {Bε (x)}x∈X вписано в покрытие {Uα }, то ε называется числом Лебега покрытия {Uα }. Другими словами, ε — число Лебега покрытия {Uα }, если каждый шар Bε (x) радиуса ε полностью лежит в некотором Uα . Лемма 3.1. Если метрическое пространство X таково, что каждая по- следовательность в нем имеет сходящуюся подпоследовательность, то свякое покрытие X имеет положительное число Лебега. Доказательство. Пусть σ = {Uα } — открытое покрытие X. Для каждой точки x ∈ X положим ε(x) = sup{δ : шар Bδ (x) лежит в некотором Uα ∈ σ}. Если точная нижняя грань ε0 = inf ε(x) > 0, то число ε0 /2 является числом x∈X Лебега покрытия σ. Если inf ε(x) = 0, то найдется последовательность x∈X {xn }, такая, что ε(xn ) −→ 0. По условию леммы существует сходящаяся последовательность {xnk } : xnk → x0 . Поэтому для достаточно больших 38 О.В. Знаменская, В.В. Работин номеров k имеем: B ε(x0 ) (xnk ) ⊂ B ε(x0 ) (x0 ) ⊂ Uα . 4 Это означает, что ε(xnk ) > 2 1 4 ε(x0 ); противоречие с тем, что ε(xnk ) → 0. Лемма доказана. Пусть {Uα } — открытое покрытие X. По лемме для этого покрытия найдется положительное число Лебега ε, т.е. покрытие {Bε (x)}x∈X вписано в {Uα }. Чтобы доказать компактность X, достаточно установить, что существует конечный набор шаров Bε (xk ), k = 1, . . . , N , покрывающий X. Пусть x1 ∈ X — произвольная точка. Если шар Bε (x1 ) не покрывает все X, то найдется x2 ∈ X такая, что ρ(x1 , x2 ) > ε. Если пара шаров Bε (x1 ), Bε (x2 ) не покрывает X, то найдется x3 ∈ X, такая, что ρ(x1 , x3 ) > ε, ρ(x2 , x3 ) > ε. Продолжая по индукции построение шаров Bε (xn ), мы либо построим конечное семейство шаров, покрывающих X, либо получим последовательность {xn } (xn — центры шаров) со свойством ρ(xn , xm ) > ε ∀ m, n, m ̸= n. Покажем, что вторая возможность исключается. Действительно, извлекая из последовательности {xn } сходящуюся подпоследовательность {xnk }, мы получим, что ρ(xnk , xnk+1 ) −→ 0 при k −→ ∞. Противоречие с тем, что ρ(xn , xm ) > ε. Теорема (3.12) доказана. Раздел 2. Кривые и поверхности в Rd Лекция 4 Кривые в n-мерном пространстве. Кривизна кривой Кривые в n-мерном пространстве. Определения, механическая интерпретация. Касательный вектор. Длина кривой. Определение натурального параметра. Теорема о возможности натуральной параметризации. Вектор кривизны. Кривизна кривой. Теорема о перпендикулярности вектора ускорения вектору скорости. Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесчисленых исключениях. Ф. Клейн Понятие кривой прошло более чем двухтысячелетний путь развития. В основу теории мы положим формализацию интуитивного представления о кривой как о траектории движущейся точки, которая в каждый момент времени имеет вполне определенную скорость. Пусть D — область в Rd . Определение 4.1. Параметризованной кривой γ в D называется глад- кое непостоянное отображение x̄ некоторого промежутка I ⊂ R в D; γ : x̄ = x̄(t), t ∈ I. Если I = [a, b], то x̄(a) называется началом кривой γ, а x̄(b) — ее концом. Параметризованая кривая называется регулярной, если x̄′ (t) ̸= 0, ∀t ∈ I. Определение 4.2. Связное множество γ в D называется гладкой кри- вой в D, если у каждой точки p̄ ∈ γ существует такая окрестность 40 О.В. Знаменская, В.В. Работин Up̄ , что γ ∩ Up̄ есть образ некоторой регулярной параметризованной кривой. Параметризовать гладкую кривую γ, значит найти такую параметризованую кривую x̄ = x̄(t), образ которой будет совпадать с γ. В определении 4.2 утверждается, что у каждой точки гладкой кривой имется окрестность, в которой кривая допускает параметризацию. Такую параметризацию иногда называют локальной. Пример 4.1. Окружность — гладкая кривая, граница квадрата — нет. (Докажите!) Очевидна механическая интерпретация параметризованной кривой γ. Промежуток I представляет в этом случае промежуток времени t, параметризация x̄ = x̄(t) — закон движения точки по траектории γ(I). Поскольку у всякой движущейся точки имеется вектор скорости и он касается траектории движения, то мы приходим к следующему определению. Определение 4.3. Касательным вектором или вектором скорости па- раметризованной кривой γ : x̄ = x̄(t) в точке x̄0 = x̄(t0 ) называется вектор v̄(x̄0 ) := dx̄ dt (x̄0 ) = x̄′ (t0 ). Механическая аналогия ведет нас и при определении длины кривой. Действительно, если бы движение происходило по прямой с постоянной скоростью, то длина пройденного пути вычислялась бы как произведение величины скорости на длину промежутка времени, l = |v̄| · ∆t. (4.1) Но так как траектория движения — криволинейная и скорость движения — переменна, то необходимо разбивать траекторию на достаточно малые участки, на которых мы могли бы приближенно считать длину участка по формуле (4.1), суммировать полученные величины по всем участкам и завершить вычисление предельным переходом, устремляя к нулю длины Дифференциальная геометрия и топология 41 участков. Тем самым мы воспроизвели стандартное определение интеграла Римана, объяснив естественность следующего определения длины дуги кривой. Определение 4.4. Длиной дуги l(γ) гладкой параметризованой кривой γ на отрезке [a, b] называется Z b Z l(γ) := |v̄(t)| dt = a a b dx̄ (t) dt. dt Напомним, что диффеоморфизмом называется гладкий гомеоморфизм, у которого обратное отображение также гладкое. Определение 4.5. Будем называть две параметризованные кривые x̄ = x̄(t), t ∈ I и x̄1 = x̄1 (t), t ∈ I1 , эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм ϕ : I → I1 , что x̄(t) = x̄1 (ϕ(t)) для всех t ∈ I. Ясно, что образы эквивалентных кривых — одинаковы, поэтому, если под непараметризованной кривой понимать класс эквивалентности параметризованных кривых, то это понятие ближе к интуитивному представлению о кривой, как множеству точек, но понятия непараметризованной кривой и кривой из определения 4.2 — различны. Утверждение 4.1. Пусть γ: x̄ = x̄(t), t ∈ [a, b] и γ1 : x̄ = x̄1 (t), t ∈ [c, d] — эквивалентные кривые, тогда их длины совпадают. Доказательство. Пусть ϕ : [a, b] → [c, d] — такой диффеоморфизм, что x̄(t) = x̄1 (ϕ(t)), тогда Z b Z b ′ l(γ) = |x̄ (t)| dt = |(x̄1 (ϕ(t)))′t | dt = a Z ab Z ′ ′ |(x̄1 (ϕ(t)))ϕ | · |ϕt (t)| dt = a d |(x̄1 (ϕ))′ϕ | dϕ = l(γ1 ). c Также как в механике к числу простейших движений относят движение в постоянной скоростью, так и в геометрии параметризация с постоянной величиной скорости имеет много важных свойств. 42 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение 4.6. Говорят, что кривая γ : x̄ = x̄(s) параметризована натуральным параметром, если |x̄′ (s)| ≡ 1. В этом случае l(γ) = Rb a |x̄′ (s)| ds = b − a совпадает с приращением параметра s, поэтому натуральную параметризацию часто называют параметризацией длиной дуги. Теорема 4.1. Для любой регулярной параметризованнной кривой су- ществует эквивалентная ей кривая, параметризованная посредством длины дуги. Доказательство. Пусть γ : x̄ = x̄(t), t ∈ I — исходная кривая. Выберем c ∈ I и расмотрим функцию Z s(t) = c t   длина дуги γ на ′ |x̄ (τ )| dτ =  −длина дуги γ на [c, t] если t ≥ c, [t, c] если t < c. Очевидно, что 1) s(t) — дифференцируемая функция t по теореме из математического анализа о производной интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу. 2) s(t) — монотонно возрастающая функция, так как s′ (t) = |x′ (t)| > 0 по условию. Следовательно, у функции s = s(t) имеется гладкая обратная функция t = t(s). Положим γ1: x̄ = x̄1 (s) = x̄(t(s)). Ясно, что γ и γ1 — эквивалентны и dx̄1 dx̄ dt dx̄ ds |x̄′ (t)| = · = / = ′ ≡ 1. ds dt ds dt dt |x̄ (t)| Также как в механике невозможно переоценить роль ускорения (второй производной пути по времени), так и в геометрии эта величина играет одну из главных ролей. Определение 4.7. Пусть кривая γ : x̄ = x̄(s) параметризована нату- ральным параметром. Вектором кривизны k̄(s) кривой γ в точке x̄(s) Дифференциальная геометрия и топология 43 называется вектор d2 x̄(s) k̄(s) := . ds2 Кривизной k(s) кривой γ в точке x̄(s) называется длина вектора кривизны, k(s) := |k̄(s)|. Теорема 4.2. Вектор кривизны параметризованной кривой всегда ор- тогонален касательному вектору (вектору скорости) кривой. Доказательство сразу следует из следующей часто используемой леммы. Лемма 4.1. Если гладкая вектор-функция v̄ = v̄(t) имеет постоянный модуль, то ее производная v̄ ′ (t) ортогональна v̄(t),. |v̄(t)| = const =⇒ (v̄(t), v̄ ′ (t)) ≡ 0. Действительно, если |v̄(t)|2 = (v̄(t), v̄(t)) = const, то дифференцируя это скалярное произведение, получим 0 = (v̄(t), v̄(t))′ = (v̄ ′ (t), v̄(t)) + (v̄(t), v̄ ′ (t)) = 2(v̄(t), v̄ ′ (t)). 44 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 5 Кривые в 3-мерном пространстве. Гладкие поверхности Кривые в R3 . Репер и трехгранник Френе. Соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Определение гладкой kмерной поверхности в Rd . Гладкая кривая на гладкой поверхности. Касательный вектор к поверхности. Касательное пространство. Гладкое отображение гладких поверхностей. Дифференциал гладкого отображения. Матричная запись дифференциала отображения. Пример. 1. Сопровождающий трехгранник Френе Рассмотрим сначала важный в приложениях случай гладкой параметризованной кривой в R3 . Пусть в окрестности заданной точки кривой кривизна кривой отлична от нуля. В предыдущей лекции мы доказали, что вектор кривизны k̄ всегда ортогонален вектору скорости r̄t′ кривой с уравнением r̄ = r̄(t) = (x(t), y(t), z(t)). Нормируем эти векторы и дополним их до ортонормированного базиса, который называется базисом или репе́ром Френе. Для этого, параметризовав кривую длиной дуги s, определим касательный вектор τ̄ := r̄s′ , вектор главной нормали ν̄ := k̄(s) |k̄(s)| = k̄(s) k(s) и вектор бинормали β̄ := τ̄ × ν̄ как векторное произведение касательного вектора и вектора главной нормали. Правая тройка векторов {τ̄ , ν̄, β̄} и образует репер Френе. Плоскости, образованые парами векторов из репера Френе, также имеют свои названия. Будем через L[v̄, w̄] обозначать линейную оболочку векторов v̄ и w̄, то есть, плоскость, порожденную векторами v̄ и w̄. Тогда: А) L[ν̄, β̄] — нормальная плоскость, поскольку ν̄ и β̄ ортогональны кривой, а значит и все вектора из L[ν̄, β̄] ортогональны кривой в соответствующей точке. Дифференциальная геометрия и топология 45 Б) Рассмотрим плоскость L[τ̄ , β̄]. Если бы кривая была плоской, то β̄ был бы ортогонален плоскости кривой и при ортогональной проекции кривой на плоскость L[τ̄ , β̄] мы получили бы отрезок прямой. По этой причине плоскость L[τ̄ , β̄] называется спрямляющей. В) Название плоскости L[τ̄ , ν̄] — соприкасающаяся — напоминает о том, что из всех касательных к кривой плоскостей, степень соприкосновения плоскости L[τ̄ , ν̄] с кривой — наибольшая (например, плоская кривая целиком лежит в соприкасающейся плоскости L[τ̄ , ν̄]) (подробнее о понятии соприкосновения плоскости и кривой см. [7, с. 37–38]). Подведем итог. Определение 5.1. Базисом Френе параметризованной кривой r̄ = r̄(t) называется тройка {τ̄ , ν̄, β̄}, где τ̄ — единичный касательный вектор кривой, ν̄ — единичный вектор главной нормали, β̄ = τ̄ × ν̄ — единичный вектор бинормали. Плоскость L[ν̄, β̄] называется нормальной плоскостью, плоскость L[τ̄ , β̄] называется спрямляющей плоскостью, плоскость L[τ̄ , ν̄] — соприкасающейся плоскостью. Набор из нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостей образует сопровождающий трехгранник Френе кривой. При изменении параметра s по кривой движется точка r̄(s), вместе с ней движется и репер Френе. Скорость изменения векторов из репера Френе имеет определенное геометрическое значение. Действительно, скорость изменения τ̄˙ касательного вектора τ̄ есть, по определению, вектор кривизны кривой, τ̄˙ = r̄¨ = k̄(s) = k(s)ν̄. Вычислим скорость изменения других векторов. Так как длина вектора ν̄ равна 1, то по лемме 4.1 ν̄˙ ⊥ ν̄ и поэтому ν̄˙ = aτ̄ + bβ̄ с некоторыми коэффициентами a и b. Значит d(τ̄ × ν̄) β̄˙ = = τ̄˙ × ν̄ + τ̄ × ν̄˙ = ds = kν̄ × ν̄ + τ̄ × (aτ̄ + bβ̄) = 0 + 0 + bτ̄ × β̄ = −bν̄. (5.1) То есть, β̄˙ = −bν̄. Коэффициент b в этой формуле традиционно обозначают греческой κ и называют кручением кривой. Таким образом, 46 О.В. Знаменская, В.В. Работин пространственной кривой в точке r̄(s) ˙ называется коэффициент κ из уравнения β̄(s) = −κν̄(s). Определение 5.2. Кручением Тем самым, кручение есть (ориентированная) скорость изменения вектора бинормали или, по другому, скорость вращения соприкасающейся плоскости, но следует иметь в виду, что кривизна кривой всегда неотрицательна, а кручение может иметь любой знак. ˙ Имеем, Займемся вычислением ν̄. d(ν̄, τ̄ ) ˙ τ̄ ) + (ν̄, τ̄˙ ) = (aτ̄ + bβ̄, τ̄ ) + (ν̄, kν̄) = a + k, = (ν̄, ds откуда a = −k. Аналогично, 0= 0= d(ν̄, β̄) ˙ = (aτ̄ + bβ̄, β̄) + (ν̄, −κν̄) = b − κ, ˙ β̄) + (ν̄, β̄) = (ν̄, ds откуда b = κ. Тем самым, мы доказали следующую теорему. Теорема 5.1. (Формулы Френе.) Векторы репера Френе удовлетворя- ют следующей системе дифференциальных уравнений    τ̄˙ = kν̄   ν̄˙ = −kτ̄ + κ β̄ .     β̄˙ = −κν̄ Геометрическое значение этой системы дифференциальных уравнений в том, что из нее видно, что две геометрические характеристики — кривизна и кручение — позволяют по существу однозначно определить всю кривую. Точную формулировку соответствующего результата мы приведем в общем случае. 2. Гладкие k-мерные поверхности в Rd Определение 5.3. Регулярной k-мерной параметризованной поверхно- стью в Rd называется гладкое отображение f некоторой области D ⊂ Rk в Rd , имеющее ранг k в каждой точке из D. Дифференциальная геометрия и топология 47 Напомним, что рангом гладкого отображения f¯ = (f1 , . . . , fd ): D → Rd в точке x̄0 называется ранг матрицы Якоби отображения f в точке x̄0 ,   ∂f1 ∂f1 (x̄0 ) 1 (x̄0 ) . . . . . . ∂xk  ∂x  . rk f (x̄0 ) := rank  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ∂fd ∂fd ∂x1 (x̄0 ) . . . . . . ∂xk (x̄0 ) Определение 5.4. Множество Π из Rd называется гладкой k-мерной поверхностью, если каждая точка x̄0 множества Π имеет такую окрестность Ux̄0 , что Π ∩ Ux̄0 есть образ некоторой регулярной kмерной параметризованной поверхности. Если Π ∩ Ux̄0 = ϕ̄(G), где G ⊂ Rk , а ϕ̄(x̄) = (ϕ1 (x1 , . . . , xk ), . . . , ϕd (x1 , . . . , xk )), то мы будем называть (x1 , . . . , xk ) локальной системой координат в окрестности Ux̄0 на поверхности Π, или, короче, локальными координатами на поверхности, а область G — областью определения локальной системы координат в окрестности Ux̄0 . Пусть теперь в d-мерном пространстве Rd с координатами (x1 , . . . , xd ) задана k-мерная регулярная поверхность Π (в параметрической форме): x1 = x1 (t1 , . . . , tk ), (5.2) (5.3) xd = xn (t1 , . . . , tk ). (5.4) Тогда вектор скорости кривой tj = tj (t), j = 1, . . . , k, лежащей на поверхности, имеет вид v̄ = (ẋ1 , . . . , ẋd ) = ṫ1 r̄1 + . . . + ṫk r̄k , где векторы r̄1 , . . . , r̄k имеют вид  1  ∂x ∂xd r̄j = ,..., j , ∂tj ∂t j = 1, . . . , k. Векторы r̄j образуют базис k-мерной плоскости, касающейся поверхности в данной точке. Мы видим, что если кривая задана в координатах t1 , . . . , tk , то ее касательный вектор имеет в базисе (r̄j ) координаты (ṫ1 , . . . , ṫk ). 48 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 6 Риманова метрика Скалярное произведение на линейном пространстве, его вид в произвольном базисе. Риманова метрика. Примеры: метрика на кривой и поверхности, метрика Лобачевского в единичном круге и на верхней полуплоскости. 1. Скалярное произведение на линейном пространстве Пусть V — линейное пространство над полем R. Определение 6.1. Скалярное произведение на линейном пространстве V есть билинейная функция (·, ·) : V × V → R со свойствами 1) ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 ⇔ x = 0, (положительная определенность); 2) ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x), (симметричность); 3) ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ R, (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), (линейность). Как много различых скалярных произведений можно ввести на заданном линейном пространстве и чем выделена известная школьная формула x1 y1 + x2 y2 ? Для ответа на этот вопрос выберем базис e1 . . . en в пространстве V и положим gij = (ei , ej ). Ясно, что gij = gji . Зная числа gij мы можем вычислить скалярное произведение любой пары векторов. Действиn n P P i тельно, пусть x, y ∈ V , разложим их по базису: x = x ei ; y = xj ej ; i=1 тогда (x, y) = ( n P i=1 xi ei , n P j=1 xj ej ) = n P (ei , ej )xi y j = i,j=1 n P j=1 gij xi y j . Заметим, что i,j=1 если мы возьмем любую матрицу (gij )ni,j=1 и определим (x, y) := n P gij xi y j , i,j=1 то свойство линейности будет очевидно выполнено. Чтобы имела место симметричность скалярного произведения (выполнялось свойство 2) определения) необходимо, чтобы матрица (gij )ni,j=1 была симметрической, т.е. Дифференциальная геометрия и топология 49 gij = gji , ∀i, j. И, наконец, свойство положительной определенности скалярного произведения на языке матриц также называется положительной определенностью (из алгебры известен критерий Сильвестра положительной определенности квадратной матрицы). Таким образом, различных скалярных произведений на линейном пространстве размерности n ровно столько, сколько имеется положительно определенных симметрических матриц порядка n. При этом школьная формула для скалярного произведения получается, если матрица (gij )ni,j=1 будет единичной, что эквивалентно ортонормированности базиса {ei } относительно заданного скалярного произведения. Пусть Π — гладкая d-мерная поверхность в Rn . Определение 6.2. Риманова метрика на поверхности Π — это скаляр- ное произведение, заданное на каждом касательном пространстве Tx Π к поверхности Π, гладко зависящая от точки x поверхности Π. Гладкая зависимость скалярного произведения от точки x понимается так: если U (x) и V (x) два любых гладких векторных поля на поверхности Π, т.е. U (x), V (x) ∈ Tx Π, то скалярное произведение (U (x), V (x)) есть гладкая функция на Π. Как записать риманову метрику в локальных координатах на поверхности? Пусть Π — гладкая d-мерная поверхность и (x1 , . . . , xd ) ∈ D ⊂ Rd -локальные координаты на Π, то есть имеется регулярная параметризация f : D → Rn некоторой окрестности UPo на Π. Пусть (x10 , . . . , xd0 ) = x0 кооринаты точки P0 . Через точку x0 проходит d коордиj j+1 d натных линий, например (x10 , . . . , xj−1 0 , x0 , x0 , . . . , x0 ) = x0 , касательные векторы к которым в точке x0 имеют вид ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) и образуют естественный базис касательного пространства Tx0 D, их образы под действием индуцированного отображения f∗ : Tx0 D → TP0 Π будут образовывать базис касательного пространства к поверхности Π в точке P0 . Поскольку в касательных пространствах TP0 Π задано скалярное произведение, то нам известны величины gij (x0 ) := (f∗ ei , f∗ ej )P0 = (ei , ej )x0 , 50 О.В. Знаменская, В.В. Работин которые становятся функциями локальных координат x на Π. Величины gij (x) собирают вместе в одной формуле и обозначают 2 ds = d X gij (x)dxi dxj . i,j=1 Так обычно записывают риманову метрику, как квадратичную форму от дифференциалов локальных координат на поверхности. Отметим еще раз геометрический смысл коэффициентов gij (x) — это скалярное произведение стандартных касательных векторов к i-й и j-й координатным линиям на поверхности в точке их пересечения x. 2. Примеры римановых метрик 1. Евклидова метрика. D = Rk , ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 + . . . + (dxk )2 , gij = δij =  1, i=j 0, i ̸= j . 2. Метрика Пуанкаре геометрии Лобачевского. Мы рассмотрим две модели геометрии Лобачевского, предложенные А.Пуанкаре: в верхней полуплоскости и в единичном круге. 1) Верхняя полуплоскость: H = {(x, y) ∈ R2 , y > 0}. ds2 = dx2 + dy 2 . y2 2) Единичный круг: D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 < 1}. dx2 + dy 2 ds = . (1 − x2 − y 2 )2 2 3) Сферическая метрика. Получим формулу для римановой метрики двумерной сферы радиуса R, индуцированной евклидовой метрикой объемлющего трехмерного пространства. Для этого рассмотрим обычную параметризацию сферы геогра- Дифференциальная геометрия и топология фическими координатами:   x = R cos ϕ cos ψ,    f := y = R cos ϕ sin ψ,    z = R sin ϕ 51 ϕ − широта, ϕ ∈ (− π2 , π2 ) ψ − долгота, ψ ∈ (−π, π) . (6.1) Можно проверить, что эта формула дает регулярную параметризацию сферы с удаленными полюсами {z = ±1}. Область изменения локальных координат ϕ и ψ — прямоугольник. Стандартный базис {e1 , e2 } касательного пространства T(ϕ0 ,ψ0 ) D (рис.) под действием дифференциала отображения параметризации f (6.1) перейдет в базис {f∗ e1 , f∗ e2 } касательного пространства Tf (ϕ0 ,ψ0 ) S, причем f∗ (e1 ) = ∂f (ϕ0 , ψ0 ) = (−R sin ϕ0 cos ψ0 , −R sin ϕ0 sin ψ0 , R cos ϕ0 ), ∂ϕ ∂f (ϕ0 , ψ0 ) = (−R cos ϕ0 sin ψ0 , R cos ϕ0 cos ψ0 , 0). ∂ψ Вычисляя скалярные произведения (f∗ ei , f∗ ej ) по обычной формуле (поf∗ (e2 ) = скольку в объемлющем трехмерном пространстве рассматривается обычная евклидова геометрия) мы получим g11 = R2 , g12 = g21 = 0, g22 = R2 cos2 ϕ. Значит, ds2 = R2 (dϕ2 + cos2 ϕdψ 2 ) — риманова метрика сферы радиуса R. 4) Индуцированная метрика. Приведем теперь формулы для общего случая k-мерной поверхности в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованной следующим образом: xi = xi (t1 , . . . , tk ), i = 1, . . . , d. Длины кривых tj = tj (t), j = 1, . . . , k, лежащих в пространстве на поверхности Π xi (t) = xi (t1 (t), . . . , tk (t)), i = 1, . . . , n, вычисляются по формуле v Zb Zb u n uX t l = |ẋ| dt = (ẋi )2 dt = a a i=1 Zb sX  a k ∂xk ∂xk ∂ti ∂tj  Zb q ṫi ṫj dt = gij ṫi ṫj dt, (6.2) a 52 где О.В. Знаменская, В.В. Работин X ∂xk ∂xk gij (t , . . . , t ) = . ∂ti ∂tj 1 k (6.3) k Очевидно, (dl)2 = gij dti dtj . Таким образом, метрика пространства определяет метрику на любой лежащей в нем поверхности, оказывающуюся, вообще говоря, неевклидовой. Метрика (6.3) называется индуцированной метрикой на поверхности. Дифференциальная геометрия и топология 53 Лекция 7 Основы римановой геометрии Длина кривой, угол между кривыми и площадь поверхности на римановом многообразии. Индуцированная метрика. Задача о локсодроме. Площадь поверхности. 1. Длина кривой и угол между кривыми Пусть на поверхности задана гладкая кривая γ и x = x(t), t ∈ [a, b] — её запись в локальных координатах. Выведем формулу для вычисления длины γ в римановой метрике. Как и прежде v ! Zb Zb p Zb u u X dxi X dxj l(γ) = |x˙(t)|dt = (x˙(t), x˙(t))dt = t ei , ej dt = dt dt j i a a a Zb v Zb v uX uX i j u u dx dx dxi dxj dt = t dt = t (ei , ej ) gij dt dt dt dt ij ij a (7.1) a Воспринимая dt как бесконечно малую и пытаясь манипулировать с ней как с числом, мы можем в последней формуле внести dt под корень, сократить и получить нечто вроде l(γ) = Zb sX a gij dxi dxj = ij Zb √ ds2 = a Zb ds. (7.2) a Получилась интуитивно вполне приемлемая формула, из которой становится ясно, почему для римановой метрики используется обозначение ds2 . В качестве примера применения формулы для длины кривой, вычислим длину радиуса от точки (0, 0) до (x0 , y0 ) в модели Пуанкаре в единичном круге. Запишем параметрически уравнение радиуса x = x0 t, y = y0 t, t ∈ [0, 1]. Тогда dx = x0 dt, dy = y0 dt, ds2 = (x20 + y02 )dt2 . (1 − x20 t2 − y02 t2 )2 54 О.В. Знаменская, В.В. Работин Окончательно получаем Z1 l= p p x20 + y02 dt 1 1 + x20 + y02 p = ln . 1 − (x20 + y02 )t2 2 1 − x20 + y02 Заметим, что при стремлении конца отрезка к единичной окружности, длина отрезка стремится к бесконечности, т. е. точки граничной окружности {x2 + y 2 = 1} находятся на бесконечном удаленнии от точек конечной части плоскости Лобачевского {x2 + y 2 < 1}. Рассмотрим еще одну формулу римановой геометрии. Пусть кривые γ1 : x̄ = x¯1 (t) и γ2 : x̄ = x¯2 (t) пересекаются в точке x̄0 = x¯1 (t0 ) = x¯2 (t1 ). По определению углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными векторами в точке их пересечения. Поэтому ∠(γ1 , γ2 ) = arccos (x¯˙1 (t0 ), x¯˙2 (t1 )) = |x¯˙1 (t0 )||x¯˙2 (t1 )| gij (x̄0 )x˙1 i (t0 ) · x˙2 j (t1 ) = arccos q . p k l m n gkl (x̄0 )x˙1 (t0 ) · x˙1 (t0 ) · gmn (x̄0 )x˙2 (t1 ) · x˙2 (t1 ) В этой формуле и далее мы будем придерживаться следующего соглашения, которое иногда называют правилом суммирования Эйнштейна: если в некоторой формуле дважды встречается один и тот же индекс, причем один раз это нижний индекс, а другой раз — верхний, то по этому индексу происходит суммирование в пределах его изменения. 2. Задача о локсодромии В качестве примера решим следующую задачу сферической геометрии. Найти уравнение кривых на сфере, пересекающих все меридианы ϕ = const под углом α (это кривая постоянного курса, который легко выдержать опираясь на показания компаса). Решение. Пусть искомая локсодрома задается как график функции g(ϕ), т. е. параметрическое уравнение имеет вид:  ϕ = t . ψ = g(t) Дифференциальная геометрия и топология 55 Касательный вектор к локсодроме: τ1 = (1, g ′ (t)). Параметрическое уравнение меридиана: ϕ = t, ψ = ψ0 , касательный вектор τ2 = (1, 0). Вычисляем косинус угла между τ1 и τ2 : cos α = (τ1 , τ2 ) 1 =p . |τ1 | · |τ2 | 1 + cos2 t · (g ′ (t))2 Отсюда найдем g ′ . Так как cos2 α(1 + cos2 t · (g ′ (t))2 ) = 1, то cos2 α cos2 t · (g ′ (t))2 ) = sin2 α. Отсюда g ′ (t) = ± tg α . cos t После интегрирования получим g=± tg α 1 + sin t ln + c. 2 1 − sin t Возвращаясь к прежним обозначениям окончательно получаем ψ=± tg α 1 + sin ϕ ln + c. 2 1 − sin ϕ 3. Площадь поверхности Покажем теперь как вычислять площадь области на поверхности r̄ = r̄(u, v), r = r(x, y, z) в пространстве, если известна риманова метрика на самой поверхности ds2 = gij dxi dxj , x1 = u, x2 = v. (7.3) Рассмотрим детерминант матрицы (gij ): 2 g = det (gij ) = g11 g22 − g12 = EG − F 2 > 0. (7.4) 56 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение 7.1. Площадью области U на поверхности r̄ = r̄(u, v), r̄ = (x, y, z), называется величина ZZ σ(U ) = √ g du dv, U где U — область на поверхности, заданная параметрически как область в плоскости (u, v). √ Выражение g du dv называется дифференциалом (элементом) площади на поверхности с римановой метрикой (gij ). Поясним, почему формула площади выглядит именно так. Рассмотрим пару векторов ξ, η евклидовой плоскости и параллелограмм λξ + µη, 0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1. Из курса аналитической геометрии известно, что площадь параллелограмма равна σ = |ξ 1 η 2 − ξ 2 η 1 | = | det A|, где матрица A образована из координат векторов ξ = ξ 1 e1 + ξ 2 e2 и η = η 1 e1 + η 2 e2 по отношению к ортонормированному базису e1 , e2 . Пусть теперь базис ē1 , ē2 не ортонормированный и скалярное произведение базисных векторов задается матрицей (ēi , ēj ) = gij , i, j = 1, 2. Вычислим площадь параллелограмма, натянутого на векторы ē1 и ē2 . Точки параллелограмма по прежнему {λē1 + µē2 }, где 0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1. Лемма 7.1. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ē1 и ē2 , p p √ 2 . det (gij ) = g11 g22 − g12 равна g := Доказательство. Квадратичную форму gij можно привести к диагональному виду gij′ = δij линейным преобразованием A, то есть, найдутся такие векторы e1 , e2 , что ē1 = a11 e1 + a12 e2 , ē2 = a21 e1 + a22 e2 , (7.5) Дифференциальная геометрия и топология 57 такие, что (ei , ej ) = gij′ = δij (т. е. |ei |2 = 1, e1 ⊥ e2 ). Из формул (7.5) вытекает, что g11 = (ē1 , ē1 ) = a211 + a212 , g12 = g21 = (ē1 , ē2 ) = a11 a21 + a22 a12 , g22 = (ē2 , ē2 ) = a221 + a222 . На матричном языке (gij ) = G = AT A, A= a11 a12 a21 a22 ! . Так как базис (e1 , e2 ) ортонормирован и векторы e1 , e2 имеют вид (7.5), то площадь параллелограмма, натянутого на ē1 , ē2 , равна | det A|. Но det AT = det A, поэтому g = det (gij ) = ( det A)2 , √ | det A| = g. Напомним определение интеграла функции по области U . Рассмотрим область U на плоскости с координатами x1 = u, x2 = v, ограниченную некоторой кусочно гладкой кривой Γ. Пусть в D задана непрерывная функция f (u, v) двух переменных. Разобьем плоскость на малые прямоугольники со сторонами ∆u, ∆v (мы считаем, что ∆u и ∆v стремятся к нулю). Рассмотрим все внутренние для области прямоугольники со сторонами ∆u и ∆v для прямоугольной сетки. Для прямоугольника Sα мы рассмотрим значение f (uα , vα ) нашей функции в центре прямоугольника. Рассмотрим интегральную сумму S(f, U ) = X f (uα , vα ) ∆u ∆v, α где сумма берется по всем внутренним прямоугольникам. 58 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение 7.2. Предел сумм S(f, U ) при ∆u → 0, ∆v → 0, если он существует, называется двукратным интегралом от функции f (u, v) RR по области и обозначается f (u, v) du dv. U В частности, если f (u, v) ≡ 1 и (u, v) — евклидовы координаты, то RR интеграл du dv совпадает с площадью области U . U Теперь легко понять, почему выше мы определили площадь области U на плоскости с координатами u = x1 , v = x2 , в которых метрика имеет вид ds2 = g11 du2 + 2g12 du dv + g22 dv 2 , как интеграл ZZ √ σ(U ) = g du dv. U Действительно, если ∆u и ∆v малы, то площадь малого параллелограмма с центром в точке (uα , vα ) и со сторонами ∆u и ∆v равна примерно p 2 согласно доказанному выше утверждению, приSα ≈ ∆u ∆v g11 g22 − g12 чем числа gij вычисляются в точке (uα , vα ). Мы имеем при малых ∆u, ∆v X α Xp Sα ≈ g(uα , vα ) ∆u ∆v. α Предел этих сумм при ∆u → 0, ∆v → 0 и есть интеграл σ(U ) = RR √ g du dv. U Дифференциальная геометрия и топология 59 Лекция 8 Расстояние на римановом многообразии. Уравнения Эйлера-Лагранжа Расстояние на римановом многообразии. Геодезические линии. Обобщение задачи — простейшая задача вариационного исчисления. Действие. Лагранжиан. Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа. 1. Геодезические Основные объекты элементарной геометрии — прямые и окружности. Развивая риманову геометрию, хотелось бы иметь аналоги этих элементарных объектов. В качестве ключевого свойства прямой линии евклидовой геометрии, которое кладут в основу риманова обобщения прямой, выбирают свойства отрезков прямых быть кратчайшими кривыми, соединящими заданные точки (концы отрезков). Имеется одна тонкость: не для всякой пары точек области может существовать кратчайшая кривая, соединяющая эту пару точек. Простой пример: область D — круг с выброшенным центром, точки p и q — центрально симметричные точки круга. Ясно, что в этой ситуации не существует кратчайшей кривой (в евклидовой геометрии), соединяющей p и q. По этой причине свойство быть кратчайшей кривой локализуют. Определение 8.1. Пусть на гладкой поверхности Π с римановой метри- кой ds2 лежит гладкая кривая γ. Кривая γ называется геодезической (или, локально кратчайшей) если для любой точки p ∈ γ существует окрестность Up такая, что для любой кривой γ̃, совпадающей с γ вне Up и для любой пары точек a, b ∈ γ вне Up выполняется условие: l(γ̃)ba ≥ l(γ)ba , где l(γ)ba — длина кривой γ с концами в точках a, b. Чтобы найти геодезическую, нужно решить задачу на локальный экстремум. В математическом анализе давно разработан метод нахождения 60 О.В. Знаменская, В.В. Работин уравнений, которым удовлетворяют точки экстремума. Будем подходить к выводу уравнений геодезических с позиций математического анализа. Полезно несколько обобщить задачу, поскольку она имеет гораздо большее значение, нежели просто построение риманова аналога прямых линий. 2. Простейшая задача вариационного исчисления Пусть D — область в Rd и p, q — две точки из D. Рассмотрим множество Φ всех гладких параметризованных кривых γ: x = x(t), t ∈ [a, b] в области D, соединяющих точки p и q, т. е. x(a) = p, x(b) = q, ∀γ ∈ Φ. Пусть на множестве Φ задана функция, называемая действием, Zb S(x) := ˙ t)dt. L(x(t), x(t), a Требуется найти уравнения, которым должна удовлетворять всякая кривая x = x(t), доставляющая экстремальное значение действию S(x). Такие кривые называются экстремалями действия. Сформулированная таким образом задача, отностится к классу простейших задач вариационного исчисления, а подинтегральное выражение L(x, ẋ, t) называется лагарнжианом действия и, как правило, имеет достаточное число непрерывных производных. Задача об определении геодезических линий становится частным случаем этой задачи, если в качестве лагранжиана взять p p L(x, ẋ) = (x, ẋ) = gij (x)ẋi ẋj — длину касательного вектора к кривой x(t), соединяющего заданные точки p и q из риманова многообразия (D, ds2 ). Теорема 8.1. Если x̄ = x̄(t), x̄(a) = p̄, x̄(b) = q̄ - экстремаль действия Rb S(x̄) = L(x1 , . . . , xn , ẋ, . . . , ẋn , t)dt, то x̄ = x̄(t) удовлетворяет системе a уравнений Эйлера–Лагранжа d dt  ∂L ∂ ẋi  − ∂L = 0, ∂ ẋi i = 1, . . . , n. Дифференциальная геометрия и топология 61 Доказательство. Пусть x̄ = x̄(t) — экстремаль действия S(x̄). Возьмем произвольную гладкую функцию h̄(t) с условием h̄(a) = h̄(b) = 0 и проварьируем экстремаль, т.е. построим новую функцию x̄ϵ (t) = x̄(t) + ϵh̄(t). Для достаточно малых ϵ действие S(x) определено в точке xϵ и мы можем рассмотреть функцию Zb S(ϵ) := S(x̄ϵ ) = ˙ t)dt. L(x̄ + ϵh̄, x̄˙ + ϵh̄, a Так как x̄ = x̄(t) — экстремаль действия, то S(ϵ) имеет экстремум при ϵ = 0, кроме того по свойствам интегралов, зависящих от параметров, S(ϵ) — дифференцируемая функция, значит S ′ (0) = 0. Распишем это равенство подробнее. S ′ (0) = Zb d ˙ t) | dt = L(x̄ + ϵh̄, x̄˙ + ϵh̄, ϵ=0 dt a Zb  = ∂L d(xi + ϵhi ) ∂L i + i ḣ ∂xi dϵ ∂ ẋ  a Zb = ˙ t) i ∂L(x̄, x̄, h dt + ∂xi a Zb = = ϵ=0 ˙ t) i ∂L(x̄, x̄, dh = ∂ ẋi a ∂L i b ∂L i h dt + h| − ∂xi ∂ ẋi a Zb d h dt i  ∂L ∂ ẋi  dt = a a Zb Zb dt =  ∂L d ∂L − ∂xi dt ∂ ẋi  hi dt = 0, a так как hi (a) = hi (b) = 0. Поскольку hi — почти произвольные гладкие функции, то утверждение теоремы следует из леммы, которую иногда называют основной леммой вариационного исчисления: Лемма 8.1. Если f1 (t), . . . , fn (t) — такие непрерывные на [a, b] функции, 62 что О.В. Знаменская, В.В. Работин Zb X fi (t)hi (t)dt = 0 a для любых непрерывных на [a, b] функций hi (t) с условием hi (a) = hi (b) = 0, то все fi (t) тождественно равны 0. Доказательство. Доказательство этой леммы легко получается методом от противного. Если некоторая функция fk в некоторой точке отлична от нуля, например, fk (c) > 0, то по непрерывности в целой окрестности Uc функция fk будет больше некоторого положительного ϵ. Теперь легко Rb подобрать hk с с трапецеидальным графиком так, чтобы fk hk dt > 0. Взяв a остальные hi ≡ 0 мы получим противоречие с уловиями леммы. Часть II Геодезические, теория кривизны поверхностей и элементы тензорного анализа 64 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 9 Геодезические на римановом многообразии Вывод классических уравнений геодезических линий на римановом многообразии. Существование и единственность геодезических, выходящих из заданной точки в заданном направлении. Закон сохранения энергии и его геометрическое следствие. Связь между решениями систем уравнений геодезических, полученных из функционалов длины и энергии. В соответствии с общей теорией, геодезические на d-мерном риманоRb p вом многообразии как экстремали функционала длины l(γ) = gij ẋi ẋj dt a должны удовлетворять следующей системе уравнений (напомним, что действует правило Эйнштейна и знак суммы не пишем) d ∂ dt ∂ x˙k q gij (x̄)ẋi ẋj − ∂ ∂ ẋi q gij (x̄)ẋi ẋj = 0 k = 1, . . . , d. (9.1) Наличие квадратного корня в этой системе уравнений значительно усложнчет ее решение. Однако, оказывается, что геодезические — также экстремали более простого действия — "кинетической энергии" Zb T (γ) = gij (x)ẋi ẋj dt L = gij ẋi ẋj . a Опираясь на действие T (γ), выведем классическое уравнение геодезических, а связь этих уравнений с уравнениями (9.1) будет рассмотрена позже. Имеем ∂L = 2gkj (x̄)ẋj ; ∂ x˙k ∂L ∂gij (x̄) i j = ẋ ẋ . k ∂x ∂xk Система уравнений Эйлера–Лагранжа принимает вид
∂gij (x̄) i j d 2gkj (x1 (t), . . . , xd (t))ẋj − ẋ ẋ = 0, k = 1, . . . , d. dt ∂xk Дифференциальная геометрия и топология 65 Вычисляя полные производные по t, получим 2gkj ẍj + 2 ∂gkj l j ∂gij i j ẋ ẋ − k ẋ ẋ = 0, k = 1, . . . , d ∂xl ∂x (∗∗) (9.2) Для придания коэффициентам этой системы более симметричного вида симметризуем коэффициенты квадратичной относительно компонент век∂gkj l j ẋ ẋ , т. е. воспользуемся тождеством тора скорости формы ∂xl   ∂gkj l j ∂gkj ∂gkl 2 l ẋ ẋ = + ẋl ẋj . l j ∂x ∂x ∂x Поменяем еще в этом тождестве индекс суммирования l на i, подставим все в систему (9.2), получим   ∂g ∂g ∂g ki ij kj + − k ẋi ẋj = 0. 2gkj ẍj + i j ∂x ∂x ∂x Разрешим систему (9) относительно старших производных ẍj . В систему (9) они входят в линейных комбинациях. Матрица из коэффициентов этих линейных комбинаций — матрица римановой метрики (gkj ), следовательно, невырожденная, значит, существует обратная матрица (gkj )−1 . В геометрии принято элементы обратной матрицы обозначать той же буквой, но менять положение индексов, тем самым по этому соглашению (g kj ) := (gkj )−1 , то есть, справедливы следующие тождества  1, если k = l, ks k g gsl = δl = 0, если k ̸= l, k, l = 1, . . . , d. Воспользуемся этим для преобразования системы (9). Умножим обе части системы на 21 g lk , получим 1 g gkj ẍ + g lk 2 lk j  ∂gkj ∂gik ∂gij + − k ∂xi ∂xj ∂x  ẋi ẋj = = δjl ẍj + Γlij ẋi ẋj = ẍl + Γlij ẋi ẋj = 0. 66 О.В. Знаменская, В.В. Работин Здесь мы ввели обозначение Γlij 1 := g ls 2  ∂gis ∂gsj ∂gij + − ∂xj ∂xi ∂xs  . (напоминаем, что по s подразумевается суммирование от 1 до d, поэтому совершенно все равно, какой буквой обозначать этот индекс суммирования s, k, n и т.п., лишь бы он был свободным, результат от этого не изменится). Итак, мы получили каноническую систему уравнений геодезических римановой геометрии ẍl + Γlij ẋi ẋj = 0, (9.3) l = 1, . . . , d. Коэффициенты Γlij , входящие в канонические уравнения геодезических, называются символами Кристоффеля второго рода или коэффициентами римановой связности. Предложение 9.1. Через каждую точку p гладкой k-мерной поверхности Π в заданном направлении V̄ ∈ Tp Π проходит единственная геодезическая. Доказательство. Геометрические условия утверждения могут быть переформулированы на языке анализа следующим образом: нужно найти решение системы (9.3), удовлетворяющие начальным x(t0 ) = p, ẋ(t0 ) = V , то есть, для системы уравнений (9.3) нужно решить стандартную задачу Коши. Ввиду гладкости коэффициентов связности (Γijk ), система (9.3) удовлетворяет обычным условиям существования и единственности решения задачи Коши для нее, откуда и следует справедливость утверждения. Исследуем теперь как связаы между собой решения систем уравнений Эйлера–Лагранжа для функционала энергии
∂gij d 2gkj ẋj − k ẋi ẋj = 0 dt ∂x и функционала длины d dt j g ẋ p kj gij ẋi ẋj ! − ∂gij i j ẋ ẋ ∂xk p 2 gij ẋi ẋj (Γ) =0 (∗) (9.4) Дифференциальная геометрия и топология 67 Пусть x(t) — решение (*), параметризуем параметром пропорциональным длине дуги кривой x = x(s). При такой параметризации gij ẋi ẋj = k 2 , где k — коэффициент пропорциональности и система (*) совпадает с системой (Γ). Поэтому, если взять "произвольное решение"уравнения (*) и репараметризовать его параметром, пропорциональным длине дуги s, то получим решение уравнения (Γ). Обратно, пусть x = x(t) удовлетворяет уравнению (Γ). Запишем для лагранжиана L = gij ẋi ẋj закон сохранения энергии ẋk ∂L − L = ẋk 2gkj dotxj − gij ẋi ẋj = gij ẋi ẋj = const. ∂ ẋk Другими словами — длина вектора скорости постоянна. Это означает, что параметр t пропорционален длине дуги s, поэтому x = x(t) будет решением системы (9.4). Мы доказали Утверждение 9.1. Всякое решение системы уравнений (9.4) репарамет- ризованное натуральным параметром будет удовлетворять системе уравнений (9.3). Обратно, всякое решение системы (9.3) есть кривая, параметризованная параметром пропорциональным длине дуги и поэтому будет также решением системы (9.4). 68 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 10 Кривизна кривой на 2-мерной поверхности. Вторая квадратичная форма Ориентация поверхности. Кривизна кривой на 2-мерной поверхности. Вторая квадратичная форма. Формулы для ее коэффициентов. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривизны и главные направления, их геометрический смысл. Геодезическая кривизна. Асимптотические направления и асимптотические линии на поверхности. Линии кривизны. 1. Ориентация поверхности Геометрические величины, определяемые в этой лекции, зависят ориентации поверхности. Приведем соответствующее определение. Пусть Π — гладкая поверхность в R3 , в каждой точке p ∈ Π существует ровно 2 единичных вектора нормали к Π в точке p, а именно, n(p) и −n(p). Мы можем в каждой p выбрать одну из этих нормалей, получив тем самым поле единичных нормалей на Π Определение 10.1. Если в каждой точке p ∈ Π можно выбрать еди- ничный вектор нормали n(p) так, что получится непрерывное поле нормалей, то поверхность Π называется ориентируемой. В противном случае Π называется неориентируемой. Непрерывное поле единичных нормалей на ориентируемой поверхности Π называется ориентацией поверхности или ориентирующим полем нормалей. Самой известной из неориентируемых поверхностей является поверхность по имени лист Мебиуса. С другой стороны, локально всякая гладкая поверхность — ориентируема. Действительно, если r̄ = r̄(u, v) регулярная параметризация Π в окрестностях точки p, то очевидно, что поле Дифференциальная геометрия и топология 69 n̄′u × n̄′v n̄ = ′ будет ориентирующим полем в окрестности p. Далее именно |n̄u × n̄′v | это поле мы будем использовать по умолчанию в качестве ориентирующего. 2. Вторая квадратичная форма Пусть теперь Π — гладкая поверхность в R3 с координатами (x, y, z), r̄ = r̄(u, v) : D → Π — регулярная параметризация, где D — область изменения локальных координат (u, v) на поверхности Π. Будем изучать искривленность поверхности Π в точке r̄0 = r̄(u0 , v0 ), исследуя кривизны лежащих на поверхности кривых, проходящих через точку r̄0 . Пусть γ — одна из таких кривых, заданная в локальных координатах уравнением u = u(s) , v = v(s) и параметризованная длиной дуги s. Вычислим кривизну кривой γ в точке r̄0 . Имеем r̄˙s = r̄u′ · u̇ + r̄v′ · v̇, ′′ 2 ′′ ′′ 2 k̄ = r̄¨ss = r̄uu u̇ + 2r̄uv u̇v̇ + r̄vv v̇ + r̄u′ ü + r̄v′ v̈. r̄u′ × r̄v′ Пусть n̄ = ′ — единичный вектор нормали к поверхности Π. Ясно, |r̄u × r̄v′ | что n̄ ⊥ r̄u′ и n̄ ⊥ r̄v′ , поэтому, если мы скалярно умножим k̄ на n̄, то получим выражение ′′ ′′ ′′ (k̄, n̄) = (r̄uu , n̄)u̇2 + 2(r̄uv , n̄)u̇v̇ + (r̄vv , n̄)v̇ 2 , (10.1) которая является квадратичной формой от координат (u̇, v̇) касательного вектора к поверхности Π. Коэффициенты этой квадратичной формы ′′ ′′ ′′ L := (r̄uu , n̄), M := (r̄uv , n̄) и N := (r̄vv , n̄) зависят только от уравнения поверхности Π, но не от лежащей на поверхности кривой γ. С другой стороны, (k̄, n̄) = kγ (r̄0 ) cos φ, где kγ (r̄0 ) — кривизна кривой γ в точке r̄0 , а φ — угол между вектором главной нормали к кривой γ в точке r̄0 и нормалью к поверхности n̄. Формула (10.1) утверждает, что для всех кривых, лежаших на повехности Π, параметризованных натуральным параметром и проходящих через точку r̄0 в направлении вектора r̄u′ u̇ + r̄v′ v̇, произведение kγ (r̄0 ) cos φ постоянно и равно Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 . Выражение Lu̇2 +2M u̇v̇ +N v̇ 2 называется второй квадратичной формой поверхности 70 О.В. Знаменская, В.В. Работин Π и обычно обозначается так: II = Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 . Получим вычислительно удобные формулы для коэффициентов второй квадратичной формы. Пусть ϕ — угол между векторами r̄u′ и r̄v′ . Тогда   ′ ′ r̄ × r̄ v ′′ ′′ L = (r̄uu , n̄) = r̄uu , u′ = |r̄u × r̄v′ | ′′ (r̄uu , r̄u′ × r̄v′ ) = ′ = |r̄u | · |r̄v′ | · sin ϕ ′′ (r̄uu , r̄u′ , r̄v′ ) = =p |r̄u′ |2 |r̄v′ |2 − |r̄u′ |2 |r̄v′ |2 cos2 ϕ (r̄′′ , r̄′ , r̄′ ) = p uu u v 2 . g11 g22 − g12 (Напомним, что (ā, b̄, c̄) — смешанное произведение векторов ā, b̄, c̄, а {gij } — компоненты римановой метрики на поверхности Π, индуцированной евклидовой метрикой объемлющего трехмерного пространства.) Аналогичные вычисления дают формулы ′′ (r̄uv , r̄u′ , r̄v′ ) , M=p 2 g11 g22 − g12 (r̄′′ , r̄′ , r̄′ ) N = p vv u v 2 . g11 g22 − g12 Вычислим проекцию вектора кривизны кривой на единичную нормаль к поверхности в случае произвольной параметризации кривой. Репараметризуя кривую длиной дуги s, получим уравнение кривой в виде r̄ = r̄(t(s)). Так как u̇ = u′t · t′s = u′t s′t , то (r̄¨, n̄) = Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 = (u′t )2 u′t vt′ (vt′ )2 = L ′ 2 + 2M ′ 2 + N ′ 2 . (st ) (st ) (st ) Дифференциальная геометрия и топология Далее, s(t) = Rt t0 71 |r̄u′ u′t + r̄v′ vt′ | dτ , значит, (s′t )2 = |r̄u′ u′t + r̄v′ vt′ |2 = 2 2 = (r̄u′ , r̄u′ )u′t + 2(r̄u′ , r̄v′ )u′t vt′ + (r̄v′ , r̄v′ )vt′ = 2 2 = g11 u′t + 2g12 u′t vt′ + g22 vt′ = = ds2 (u′t , vt′ ). Итак, II(u′ , v ′ ) Lu′ 2 + 2M u′ v ′ + N v ′ 2 kγ (r̄0 ) cos ϕ = 2 ′ ′ = . ds (u , v ) g11 u′ 2 + 2g12 u′ v ′ + g22 v ′ 2 3. Нормальная и геодезическая кривизны Среди всех кривых на поверхности, которые проходят через точку r̄0 в направлении вектора (u′ , v ′ ) выделяются те кривые, вектор кривизны которых в точке r̄0 ортогонален поверхности. Для таких кривых cos φ = ±1. Проще всего построить такую кривую, если рассмотреть сечение поверхности Π плоскостью, порожденной вектором нормали n̄(r̄0 ) и касательным вектором (u′ , v ′ ). Такая кривая называется нормальным сечением поверхности Π в точке r̄0 в направлении (u′ , v ′ ). Мы приходим к следующему определению. Определение 10.2. Нормальной кривизной kn (V̄ ) поверхности Π в точ- ке r̄0 в направлении касательного вектора V̄ ∈ Tr̄0 Π называется проекция вектора кривизны нормального сечения поверхности Π в точке r̄0 , проходящего через r̄0 в направлении вектора V̄ на единичную нормаль к Π в точке r̄0 . Приведенные выше рассуждения дают формулу для вычисления нормальной кривизны. Если касательный вектор V̄ имеет локальные координаты (a, b), то La2 + 2M ab + N b2 II(a, b) = . kn (V̄ ) = 2 ds (a, b) g11 a2 + 2g12 ab + g22 b2 (10.2) Как правило, нормальная кривизна поверхности изменяется при изменении направления, в котором она вычисляется, и имеется два направления, 72 О.В. Знаменская, В.В. Работин в которых нормальная кривизна принимает экстремальные значения — направление минимума и направление максимума нормальной кривизны. Такие направления называются главными направлениями на поверхности в заданной точке, а нормальные кривизны поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в заданной точке. Имеется два терминологически различающихся случая, когда главные направления не определены, а именно: 1) если нормальная кривизна в каждом направлении равна 0, тогда такая точка на поверхности называется точкой уплощения, поскольку такая ситуация имеет место в каждой точке плоскости; 2) если нормальная кривизна в каждом направлении равна одному и тому же ненулевому числу. Такая точка называется омбилической или сферической. Очевидно, что сфера состоит только из омбилических точек. Упражнение. Привести пример поверхности, у которой точки уплощения (омбилические точки) целиком заполняют некоторую кривую на поверхности. В следующей теореме показано, как находить главные кривизны и главные направления в заданной точке поверхности. Теорема 10.1. Главные кривизны поверхности в точке p — это корни квадратного уравнения det ! L(p) − λg11 (p) M (p) − λg12 (p) M (p) − λg12 (p) N (p) − λg22 (p) = 0. (10.3) Главное направление, соответствующее главной кривизне ki , (i = 1, 2) — это ненулевое решение однородной системы линейных уравнений   (L − ki g11 )a + (M − ki g12 )b = 0 (10.4)  (M − ki g12 )a + (N − ki g22 )b = 0. Доказательство. Пусть La2 + 2M ab + N b2 k1 = max kn (V̄ ) = max , V̄ =(a,b) V̄ g11 a2 + 2g12 ab + g22 b2 Дифференциальная геометрия и топология 73 а k2 = minV̄ kn (V̄ ). Имеем La2 + 2M ab + N b2 k1 ≥ g11 a2 + 2g12 ab + g22 b2 или 0≥ (L − k1 g11 )a2 + 2(M − k1 g12 )ab + (N − k1 g22 )b2 . ds2 (V̄ ) Так как ds2 (V̄ ) > 0 при V̄ ̸= 0, то для всех (a, b) имеем неравенство (L − k1 g11 )a2 + 2(M − k1 g12 )ab + (N − k1 g22 )b2 ≤ 0, (10.5) причем в этом неравенстве достигается равенство на некотором векторе (a, b), имеющем соответствующее главное направление. Другими словами, главное направление, соответствующее главной кривизне k1 есть точка максимума квадратичной формы, стоящей в левой части неравентва (10.5), поэтому частные производные по a и b от нее должны равняться 0. Этим доказано второе утверждение теоремы. Аналогичное рассуждение с k2 = minV̄ II(V̄ ) ds2 (V̄ ) приводит к неравенству для всех (a, b) вида 0 ≤ (L − k2 g11 )a2 + 2(M − k2 g12 )ab + (N − k2 g22 )b2 , Но чтобы система (10.4) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это доказывает первое утверждение теоремы.  Мы продолжаем рассматривать ситуацию: на регулярной параметризованной поверхности Π лежит гладкая кривая γ; проходящая через точку p ∈ Π и параметризованная длиной дуги s. Пусть n̄ — ориентирующая нормаль к Π. Вектор кривизны k̄ кривой γ в точке p можно разложить в сумму двух ортогональных векторов: k̄ = kn n̄ + k̄t , где kn — нормальная кривизна Π в точке p, а k̄t — проекция вектора кривизны k̄ на касательную плоскость Tp Π, характеризующая искривленность γ в касательном направлении. Длина вектора k̄t равна модулю так называемой геодезической кривизны кривой γ, но чтобы корректно учесть и знак геодезической кривизны нужны некоторые пояснения. 74 О.В. Знаменская, В.В. Работин Пусть τ̄ = r̄˙ — единичный касательный вектор кривой γ, b̄ = n̄ × τ̄ — ортогональный τ̄ касательный вектор. Правая тройка векторов {τ̄ , b̄, n̄} образует ортонормированный базис R3 и, так как k̄ ⊥ τ̄ , то k̄ = kn n̄ + kg b̄, (10.6) где kg — некоторый коэффициент. Определение 10.3. Проекция вектора кривизны k̄ кривой γ на вектор n̄ = n̄ × τ̄ , то есть коэффициент kg = (k̄, n̄ × τ̄ ) в формуле (10.6), называется геодезической кривизной кривой γ в точке p. Позже мы докажем, что линия на поверхности будет геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна тождественно равна нулю. Этим объясняется название этой кривизны. Заметим, что геодезическая кривизна меняет знак при изменении ориентации поверхности, либо при изменении направления движения по кривой. 4. Линии на поверхности Направление в касательной плоскости к поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. Кривая на поверхности называется асимптотической, если ее касательная в каждой точке имеет асимптотическое направление. Уравнение асимптотических линий II = 0, или Ldu2 + M dudv + N dv 2 = 0. Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее касательная в каждой точке имеет главное направление. Исключая ki из уравнения (10.4), получим дифференциальное уравнение линий кривизны: (g11 M − g12 L)du2 + (g11 N − g22 L)dudv + (g12 N − g22 M )dv 2 = 0. (10.7) Из уравнения (10.7) можно также вычислить координаты главных направлений поверхности в заданной точке. Дифференциальная геометрия и топология 75 Лекция 11 Теоремы Эйлера и Гаусса Гауссова и средняя кривизна, классификация точек поверхности, форма поверхности и знак гауссовой кривизны. Теорема Эйлера о нормальной кривизне поверхности. Деривационные формулы. Теорема Гаусса. 1. Гауссова и средняя кривизны. Теорема Эйлера Определение 11.1. Гауссовой кривизной K поверхности в заданной точке называется произведение главных кривизн поверхности в этой точке. Средней кривизной H называется полусумма главных кривизн, K := k1 k2 , H := k1 + k2 . 2 Теорема 11.1. Гауссова и средняя кривизны поверхности выражается через коэффициенты римановой метрики и второй квадратичной формы LN − M 2 K= 2 , g11 g22 − g12 H= Lg22 + N g11 − 2M g12 2 ) 2(g11 g22 − g12 Доказательство. Вычислив определитель из теоремы 10.1, получим 2 (g11 g22 − g12 )λ2 − (Lg22 + N g11 − 2M g12 )λ + (LN − M 2 ) = 0. Утверждение теперь следует из теоремы Виета. Форма поверхности в окрестности заданной точки тесно связана со знаком гауссовой кривизны. Введем терминологию. Определение 11.2. Точка p на поверхности называется точкой эллип- тического типа, если K(p) > 0, гиперболического типа, если K(p) < 0 и точкой параболического типа, если K(p) = 0. 76 О.В. Знаменская, В.В. Работин Если p — точка эллиптического типа, то вектора кривизны в точке p у всякого нормального сечения имеют одно и то же направление, то есть выпуклость нормальных сечений направлена одинаково и в целом поверхность в окрестности точки p выпуклая. Базовый пример: поверхность эллипсоида состоит из точек эллиптического типа. В окрестности точки гиперболического типа поверхность имеет седлообразный вид, поскольку направление выпуклости нормальных сечений, проведенных в главных направлениях, противоположно. Базовый пример: поверхность гиперболического параболоида или однополостного гиперболоида состоит из точек гиперболического типа. Поведение поверхности в окрестности точки параболического типа может быть достаточно сложным. Примеры: точки параболического типа на поверхности тора или на поверхности “обезьяньего” седла. Рис. 2.1: Обезьянье седло с касательной плоскостью в точке уплощения. Следующая теорема показывает, как вычислить нормальную кривизну поверхности в произвольном направлении, если известны главные кривизны. Теорема 11.1. Теорема Эйлера. Пусть Π — гладкая поверхность в R3 , ξ¯1 , ξ¯2 ∈ Tp Π — главные направления и k1 , k2 — соответствующие главные кривизны поверхности в точке p. Тогда для ∀ξ¯ ∈ Tp Π ¯ = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ, kn (ξ) ¯ где ϕ — угол между векторами ξ¯1 и ξ. Дифференциальная геометрия и топология 77 Доказательство. Выберем удобную систему координат, поместив начало координат 0 в точку p, оси Ox и Oy — по касательным к поверхности Π в точке p и ось Oz — перпендикулярно поверхности. Тогда в окрестности точки p поверхность можно задать в виде графика некоторой гладкой функции f , то есть, регулярная параметризация Π в окрестности точки p будет иметь вид r̄ = (u, v, f (u, v)), причем f (0, 0) = 0 и fu′ (0, 0) = fv′ (0, 0) = 0, так как касательные вектора r̄u′ = (1, 0, fu′ ) и r̄v′ = (0, 1, fv′ ) в точке 0 должны иметь координаты (1, 0, 0) и (0, 1, 0), соответственно. Вычислим метрику и вторую квадратичную форму. Имеем r̄ = (u, v, f (u, v)), r̄u′ = (1, 0, fu′ (u, v)), r̄v′ = (0, 1, fv′ (u, v)), ′′ ′′ r̄uu = (0, 0, fuu (u, v)), ′′ ′′ r̄uv = (0, 0, fuv (u, v)), ′′ ′′ r̄vv = (0, 0, fvv (u, v)). 2 = Откуда g11 = 1 + fu′ 2 , g12 = fu′ fv′ , g22 = 1 + fv′ 2 , поэтому g11 g22 − g12 1 + fu′ 2 + fv′ 2 . Далее, L= q ′′ fuu 1+ fu′ 2 , + fv′ 2 ′′ fuv q M= , 2 2 ′ ′ 1 + fu + fv ′′ fvv q N= . 2 2 ′ ′ 1 + fu + fv Подставляя в эти формулы координаты точки 0, получим ds2 = du2 + dv 2 , ′′ ′′ ′′ II = fuu (0, 0)du2 + 2fuv (0, 0)du dv + fvv (0, 0)dv 2 . ¯ поверхности Π в точке p и в направИтак, нормальная кривизна kn (ξ) лении касательного вектора ξ¯ = (a, b) равна ′′ 2 ′′ ′′ 2 fuu a + 2fuv ab + fvv b ¯ kn (ξ) = . 2 2 a +b ′′ Если fuv ̸= 0, то также как в алгебре при приведении квадратичной формы к главным осям, мы можем сделать поворот в плоскости (u, v) на некоторый 78 О.В. Знаменская, В.В. Работин угол α, положив  u e = cos α u − sin α v,  ve = sin α u + cos α v. и подобрав угол α так, чтобы в новой системе координат ′′ 2 ′′ 2 b̃ fũũ ã + fṽṽ ¯ . kn (ξ) = ã2 + b̃2 Пусть теперь угол ϕ такой, что cos ϕ = p в этих обозначениях ã b̃ , sin ϕ = p . Тогда 2 2 2 2 ã + b̃ ã + b̃ ¯ = f ′′ cos2 ϕ + f ′′ sin2 ϕ kn (ξ) ũũ ṽṽ (11.1) ′′ ′′ Заметим, что из этой формулы легко следует, что fũũ и fṽṽ — главные кривизны. Действительно, не ограничивая общности, предположим, что ′′ ′′ fũũ ≥ fṽṽ . Тогда, заменив в (11.1) cos2 ϕ на 1 − sin2 ϕ, получим ¯ = f ′′ − (f ′′ − f ′′ ) sin2 ϕ, kn (ξ) ũũ ũũ ṽṽ (11.2) ¯ = f ′′ при ϕ = 0, а k2 = откуда сразу видно, что k1 = maxξ¯ kn (ξ) ũũ ¯ = f ′′ при ϕ = π/2. minξ¯ kn (ξ) ṽṽ Следствие 11.2. Главные направления в точке на поверхности, не являющейся точкой уплощения или омбилической точкой, ортогональны. 2. Деривационные формулы. Теорема Гаусса С каждой точкой регулярной параметризованной поверхности связан «естественный» базис объемлющего пространства {r̄u′ , r̄v′ , n̄}, где n̄ = r̄u′ ×r̄v′ |r̄u′ ×r̄v′ | — единичный вектор нормали. Также как при выводе формул Френе мы можем разложить по векторам этого базиса их производные ′′ ′′ ′′ {r̄uu , r̄uv , r̄vv , n̄′u , n̄′v }. Теорема 11.3. Пусть L, M и N — коэффициенты второй квадратич- ной формы, тогда имеют место следующие деривационные формулы Дифференциальная геометрия и топология 79 Вейнгартена: где Γijk ′′ r̄uu = Γ111 r̄u′ + Γ211 r̄v′ + Ln̄, (11.3) ′′ r̄uv = Γ112 r̄u′ + Γ212 r̄v′ + M n̄, (11.4) ′′ r̄vv = Γ122 r̄u′ + Γ222 r̄v′ + N n̄, (11.5) g12 L − g11 M ′ g12 M − g22 L ′ n̄′u = r̄u + (11.6) 2 2 r̄v , g11 g22 − g12 g11 g22 − g12 g12 M − g11 N ′ g12 N − g22 M ′ r̄ + (11.7) n̄′v = u 2 2 r̄v , g11 g22 − g12 g11 g22 − g12   ∂gjs ∂gjk 1 is ∂gsk = 2g — коэффициенты римановой связности ∂xj + ∂k − ∂xs (x1 = u, x2 = v, i, j, k = 1, 2). Доказательство. Докажем (11.3). Умножив (11.3) скалярно на r̄u′ и учитывая, что (n̄, r̄u′ ) = (n̄, r̄v′ ) = 0, получим 1 ∂g11 1 ′′ Γ111 (r̄u′ , r̄u′ ) + Γ211 (r̄v′ , r̄u′ ) = Γ111 g11 + Γ211 g12 = (r̄uu . , r̄u′ ) = (r̄u′ , r̄u′ )′u = 2 2 ∂u (11.8) Умножим теперь (11.3) скалярно на r̄v′ : ′′ ′′ Γ111 g11 +Γ211 g22 = (r̄uu , r̄v′ ) = (r̄u′ , r̄v′ )′u −(r̄u′ , r̄vu )= Из  равенств (11.8)  ∂g1s ∂g11 1 is ∂gs1 = 2g ∂u + ∂u − ∂xs и  (11.9) 1 is 2 ∂g∂u1s − 2g ∂g12 1 ∂g11 ∂g12 1 ′ ′ ′ − (r̄u , r̄u )v = − ∂u 2 ∂u 2 ∂v (11.9) получаем формулу Γi11 =  ∂g11 1 2 ∂xs , где x = u, x = v. Далее, ′′ произведение (r̄uu , n̄) = L по определению. Тем самым (11.3) доказана. Совершенно аналогично доказываются (11.4) и (11.5). Чтобы доказать (11.6) и (11.7), заметим, что n̄′u ⊥ n̄ ⊥ n̄′v . Действительно, (n̄, n̄) ≡ 1 =⇒ (n̄′u , n̄) = (n̄′v , n̄) = 0. Поэтому n̄′u = ar̄u′ + br̄v′ (11.10) и подобное соотношение для n̄′v . Умножая (11.10) на r̄u′ и r̄v′ , получим   −L = (r̄′ , n̄′ ) = a(r̄′ , r̄′ ) + b(r̄′ , r̄′ ) = ag11 + bg12 u u u u u v (11.11)  −M = (r̄′ , n̄′ ) = a(r̄′ , r̄′ ) + b(r̄′ , r̄′ ) = ag12 + bg22 v u v u v v 80 О.В. Знаменская, В.В. Работин Решая эту систему уравнений относительно a и b, получим (11.6). Аналогичным образом доказывается (11.7). Как и в случае формул Френе, опираясь на деривационные формулы, ′′′ мы можем вычислить разложение третьих производных (например, r̄uuv ) по u и v по базису {r̄u′ , r̄v′ , n̄}, четвертых производных и т.д. Заметим, од′′′ нако, что r̄uuv можно вычислить двумя разными способами: из (11.3) и из (11.4). Поэтому правые части равенств (11.3) и (11.4) связаны соотношением, впервые замеченным Гауссом и приведшем его к следующей «блистательной» теореме — так с латинского переводится эпитет, которым Гаусс наградил эту замечательную теорему. Теорема 11.4. (Theorema egregium Гаусса.) Гауссова кривизна поверх- ности выражается через коэффициенты римановой метрики поверхности и, значит, не меняется при изгибании поверхности, то есть, если f : Π1 → Π2 — изометрия поверхностей, то для любой точки p ∈ Π1 , K(p) = K(f (p)). ′′′ по Доказательство. Вычислим коэффициент при r̄v′ в разложении r̄uuv базису {r̄u′ , r̄v′ , n̄} сначала из (11.3), затем из (11.4): ′′′ ′′ ′ r̄uuv = (r̄uu )v = (Γ111 r̄u′ + Γ211 r̄v′ + Ln̄)′v = ′′ ′′ = Γ111 r̄uv + (Γ211 )′v r̄v′ + Γ211 r̄vv + Ln̄′v + (. . .) = = Γ111 (Γ212 r̄v′ + (. . .)) + (Γ211 )′v r̄v′ + Γ211 (Γ222 r̄v′ + (. . .))+ g12 M − g11 N ′ +L 2 r̄v + (. . .) = g11 g22 − g12   g12 M − g11 N = L + (Γ211 )′v + Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 r̄v′ + (. . .), 2 g11 g22 − g12 где (. . .) обозначает слагаемые вида Ar̄u′ + Bn̄ за которыми мы не следим. Дифференциальная геометрия и топология 81 Аналогично, ′′′ ′′ ′ r̄uuv = (r̄uv )u = (Γ112 r̄u′ + Γ212 r̄v′ + M n̄)′u = ′′ ′′ = Γ112 r̄uu + (Γ212 )′u r̄v′ + Γ212 r̄uv + M n̄′u + (. . .) = = Γ112 (Γ211 r̄v′ + (. . .)) + (Γ212 )′u r̄v′ + Γ212 (Γ212 r̄v′ + (. . .))+ g12 L − g11 M ′ M 2 r̄v + (. . .) = g11 g22 − g12   g12 L − g11 M 2 ′ 1 2 2 2 + (Γ12 )u + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ12 r̄v′ + (. . .), = M 2 g11 g22 − g12 Приравнивая коэффициеты при r̄v′ в этих формулах, получим g12 L − g11 M g12 M − g11 N − L = 2 2 g11 g22 − g12 g11 g22 − g12 LN − M 2 = g11 = (Γ211 )′v + Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 − ((Γ212 )′u + Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 ). 2 g11 g22 − g12 (11.12) M Раздел 3. Элементы тензорного анализа Лекция 12 Криволинейные системы координат. Тензорные поля Криволинейная система координат. Примеры. Формулы преобразования компонент касательного вектора, градиента гладкой функции и римановой метрики при переходе в другую систему координат. Определение тензорного поля типа (p; q) в области. Примеры. Часто при решении геометической или физической задачи бывает необходимо перейти в другую, более удобную, систему координат. Координатное описание геометрического или физического объекта при таком переходе изменяются по вполне определенным для этого объекта правилам. Тензорные поля представляют собой достаточно широкий класс объектов такого рода. Поскольку общее определение тензорного поля — громоздко, мы начнем изучение этого понятия с трех важнейших (и простейших) частных случаев: векторных, ковекторных полей и поля метрического тензора. Но сначала определим, что мы будем понимать под переходом в другую систему координат. 1. Системы координат Пусть D — область в Rd с декартовыми координатами x̄ = (x1 , . . . , xd ). Диффеоморфизмом области D на область G с координатами ȳ = (y 1 , . . . , y d ) называется гладкое взаимно-однозначное отображение f : D → G, y i = y i (x1 , . . . , xd ), у которого обратное отображение f −1 : G → D, xi = xi (y 1 , . . . , y d ) также гладкое. Например, отображение y = arctg x — Дифференциальная геометрия и топология 83 диффеоморфизм числовой прямой R на интервал (−π/2, π/2), тогда как y = x3 — гладкое и взаимно-однозначное отображение R на R, не яв√ ляющееся диффеоморфизмом, так как обратное отображение x = 3 y не дифференцируемо в точке 0. Если задан диффеоморфизм ȳ = ȳ(x) области D на область G, то набор чисел ȳ = (y 1 , . . . , y d ), служащий координатами точки из области G, можно считать также координатими точки из области D, поскольку зная (y 1 , . . . , y d ) и отображение f , мы можем однозначно определить числа xi = xi (y 1 , . . . , y d ), дающие декартовы координаты точки из области D. Это дает нам право считать (y 1 , . . . , y d ) криволинейными координатами в области D, а взаимно-обратные отображения f и f −1 — функциями перехода от одной системы координат к другой, и наоборот. Пример. Полярная система координат. Пусть D = {(x, y) ∈ R2 |x > 0} p — правая полуплоскость. Отображение f : r = x2 + y 2 , φ = arcsin √ y2 2 x +y взаимно-однозначно переводит область D в полуполосу G = {(r, φ) ∈ R2 |r > 0, −π/2 < φ < π/2}, причем как само отображение f , так и обратное к нему f −1 : x = r cos φ, y = r sin φ — гладкие в соответствующих областях. Поэтому, мы можем считать (r, φ) — другой системой координат (эта система и называется полярной) в области D, а (x, y) — другой системой координат в G. Можно было бы задвться вопросом о наибольшей области, в которой еще действует данная система координат. Например, формулы, задающие отображение f −1 , гладко и взаимно-одозначно отображают полуe = {(r, φ) ∈ R2 |r > 0, −π < φ < π} на плоскость с разрезом полосу G D = {(x, y) ∈ R2 |y = 0, x ≤ 0}. Но в этом случае труднее выписать формулы для обратного прелбразования и доказать их гладкость. В этом курсе нас интересуют, как правило, вопросы локального характера, поэтому мы будем игнорировать эту проблему. Исследуем теперь как изменяется координатное описание некоторых геометрических объектов при переходе в другую систему координат. Далее мы рассматриваем область D, в которой действуют две системы координат, 84 О.В. Знаменская, В.В. Работин (x1 , . . . , xd ) и (y 1 , . . . , y d ). Изменение координат касательного вектора. Пусть ⃗v — касательный вектор к D в некоторой точке p и пусть (ξ 1 , . . . , ξ d ) — его координаты в системе (x1 , . . . , xd ), то есть, имеется гладкая кривая γ с уравнением x = x(t), x(t0 ) = p, вектор скорости которой в точке p имеет координаты (ξ 1 , . . . , ξ d ), ξ i = dxi dt (t0 ). При переходе в систему координат y уравнение кривой γ будет иметь вид y = y(x(t)), поэтому координаты (η 1 , . . . , η d ) вектора ⃗v в этой системе координат вычисляются по формулам dy i dy i (x(t)) η = (t0 ) = dt dt i t=t0 ∂y i dxj ∂y i j = j (p) · (t0 ) = j ξ . ∂x dt ∂x Итак, координаты (η 1 , . . . , η d ) касательного вектора ⃗v ∈ Tp D в системе координат (y 1 , . . . , y d ) выражаются через его координаты (ξ 1 , . . . , ξ d ) в системе координат (x1 , . . . , xd ) по формулам ηi = ∂y i (p)ξ j . j ∂x (∗) Изменение компонент градиента гладкой функции. Пусть g — гладкая функция в области D, p ∈ D. Положим ξi = ∂g ∂xi (p), ηi = ∂g ∂y i (p), i = 1, . . . , d. Считая, что g зависит от y как сложная функция, g = g(x(y)), мы получим ∂g(x(y)) ∂g ∂xj ∂xj = · = · ξi . ∂y i ∂xi ∂y i ∂y i Мы видим, что получившийся закон преобразования ηi = ∂xj ηi = · ξi ∂y i (∗∗) отличается от формул (*) для касательного вектора, то есть, градиент гладкой функции — не вектор! Изменение компонент римановой метрики. Пусть gij (x) — компоненты римановой метрики в D в системе координат x, а hij (y) — компоненты той же метрикм в системе координат y. Скалярное произведение любых двух касательных векторов ξ1 и ξ2 из Tp D вычисляется по формулам (ξ⃗1 , ξ⃗2 ) = gij (p)ξ1i ξ2j = hmn (p)η1m η2n , Дифференциальная геометрия и топология 85 где (ξk1 , . . . , ξkd ) и (ηk1 , . . . , ηkd ), (k = 1, 2) — координаты векторов ξ⃗k в системах координат x и y, соответственно. Так как ηkm = ∂y m i ∂xi ξk , то для всех ξki выполняется равенство gij ξ1i ξ2j а значит, ∂y m ∂y m i j = hmn i ξξ , ∂x ∂xi 1 2 ∂y m ∂y m gij = hmn . ∂xi ∂xj Воспользовавшись взаимной обратностью матриц  ∂y m ∂xi  и  ∂xi ∂y m  , перепи- шем последнее равенство в виде hmn ∂xi ∂xj = m n gij ∂y ∂y (∗ ∗ ∗) 2. Тензорные поля Формулы преобразования вида (*), (**) и (***) встречаются в геометрии достаточно часто. Легко догадаться как должно выглядеть их обобщение i ...i на многомерные массивы функций типа Tj11...jqp (x). Такое обобщение приводит к общему понятию тензорного поля, но прежде чем сформулировать общее определение, удобно несколько видоизменить обозначения. Как и прежде мы будем рассматривать в области D две системы координат, одна — (x1 , . . . , xd ), но координатные функции другой системы координат впредь ′ ′ ′ удобнее обозначать (x1 , x2 , . . . , xd ). Естественно, имеют место формулы перехода из одной системы координат в другую и обратно, записываемые ′ ′ ′ ′ формулами xi = xi (x1 , . . . , xd ) и xi = xi (x1 , . . . , xd ). Иногда мы будем на′ зывать {xi } старой системой координат, а {xi } — новой. В этих обозначениях формулы (*) — (***) примут вид, который значительно легче запомнить ′ ∂xi i ξ; ξ = ∂xi i′ ∂xi ξi′ = i′ ξi ; ∂x gi′ j ′ ∂xi ∂xj = i′ j ′ gij . ∂x ∂x Напомним, что в этих формулах индексы i′ , j ′ фиксированы, а по индексам i и j подразумевается суммирование в пределах от 1 до d. 86 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение. Гладким тензорным полем T типа (p, q) в области D называется объект, который в каждой действующей в области систеi ,...,i ме координат x задается набором гладких функций Tj11,...,jqp (x), (индексы i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq независимо друг от друга изменяются от 1 до d) заi ,...,i висящим от выбора системы координат. Функции Tj11,...,jqp (x) называются компонентами тензорного поля в системе кординат x. Требуется, чтобы компоненты тензорного поля T в системе координат x и компоненты i′ ,...,i′ Tj ′1,...,jq′p (x) поля T в новой системе координат x′ были связаны так называе1 мым тензорным законом преобразования: i′1 ,...,i′p Tj ′ ,...,jq′ 1 ′ ′ ∂xi1 ∂xjq i1 ,...,ip ∂xip ∂xj1 = i . . . ip j ′ . . . j ′ Tj1 ,...,jq ∂x 1 ∂x ∂x 1 ∂x q Далее, для сокращения записи мы бдем иногда использовать мультииндексные обозначения, то есть, группу индексов будем обозначать одной ...kr l1 ...ls KL большой латиской буквой. Например, вместо Tik11...i будем писать TIJ , p J1 ...jq и т.п., причем как и в обычном правиле Эйнштейна, по повторяющимся мультииндексам будет подразумеваться суммирование. Кроме того, если L = {l1 , . . . , ls } и P ′ = {p′1 , . . . , p′s } — два мультииндекса одинаковой длины, то под ∂xL ∂xP ′ будем понимать произведение ∂xl1 ′ ∂xp1 ls ∂x · · · ∂x . В этих обозначениях p′s тензорный закон преобразования запишется так ′ ′ TJI′ ∂xI ∂xJ I = T . ∂xI ∂xJ ′ J Примеры. а) Простейший пример: гладкая функция — тензорное поле типа (0, 0). б) Гладким векторным полем в области D называется отображение, которое каждой точке p из области сопоставляет касательный вектор ⃗vp ∈ Tp D, координаты которого гладко зависят от координат точки p. Из (*) сразу следует, что гладкое векторное поле — тензорное поле типа (1, 0). в) Поле градиента гладкой функции — прмиер ковекторного поля, то есть, тензорного поля типа (0, 1). г) Компоненты римановой метрики — тензорное поле типа (0, 2). Дифференциальная геометрия и топология 87 Разнообразные операции над тензорными полями, к описанию которых мы приступим в следующей лекции, позволяют существенно расширить набор примеров. 88 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 13 Операции над тензорными полями Алгебраические операции над тензорными полями (линейная комбинация , произведение, свертка, перестановка индексов, симметризация, альтернирование). Симметрические и кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы. Частные производные компонент тензорного поля — не тензорное поле. Пример. Ковариантная производная тензорного поля. Аффинная связность. 1. Алгебраические операции над тензорными полями 1. Линейная комбинация. Пусть T и U — два тензорных поля типа (p, q), f и g — две гладкие функции в области D. Определим новый набор функций i ,...,i i ,...,i S := f T + gU = {f (x)Tj11,...,jqp (x) + g(x)Uj11,...,jqp (x)}. Легко проверить, что S — тензорное поле типа (p, q). 2. Перестановка индексов. Пусть σ — некоторая перестановка множества чисел (1, . . . , q). Перестановка σ действует на наборах (j1 , . . . , jq ) по правилу σ(j1 , . . . , jq ) = (jσ(1) , . . . , jσ(q) ). (13.1) i ...i i ...i Определение 13.1. Тензор Tej11...jqp получается из тензора Tj11...jqp переста- новкой нижних индексов, если i ...i i1 ...ip Tej11...jqp = Tσ(j . 1 ,...,jq ) (13.2) Перестановка верхних индексов определяется аналогично. Нельзя переставлять между собой нижний и верхний индексы — такая операция не инвариантна относительно замены координат. Дифференциальная геометрия и топология 89 Предложение 13.1. Применяя к тензорному полю операцию перестанов- ки верхних или нижних индексов, мы снова получаем тензорное поле того же типа. i ...i 3. Свертка. Для тензора {Tj11...jqp } типа (p, q) его сверткой по индексам i ...i (ik , jl ) будет тензор {Te 1 p−1 } типа (p − 1, q − 1), определяемый формулой j1 ...jq−1 i ...ip−1 i ...ik−1 iik ...ip−1 Tej11...jq−1 = Tj11...jl−1 ijl ...jq−1 (13.3) Например, свертка тензора {Tji } типа (1, 1) — это скаляр Tii (след Tr T линейного оператора {Tji }). i ...i ...ik 4. Тензорное умножение. Если заданы два тензора {Tj11...jqp } и {Pji11...j } l типов (p, q) и (k, l) соответственно, то их произведением будет тензор S = T ⊗ P типа (p + k, q + l) с компонентами i ...i i ...i i ...i p+1 p+k Sj11...jp+k = Tj11...jqp Pjq+1 ...jq+l . q+l (13.4) Заметим, что тензорное умножение ассоциативно, но не коммутативно, результат умножения зависит от порядка сомножителей. Предложение 13.2. Свертка тензорного поля и произведение тензоров — тензорные операции, то есть в результате их выполнения над тензорными полями снова получаются тензорные поля. Доказательства высказанных предложений и примеры будут приведены на практических занятиях. 5. Поднятие и спуск индексов. Пусть {gij } — тензор типа (0, 2), задающий риманову метрику. В присутствии метрики {gij } можно определить весьма важную операцию cпуска i ...i индексов. Если {Tj11...jqp } — тензор типа (p, q), то можно построить тензор i ...i p {Ti12j1 ...j } типа (p − 1, q + 1), полагая q i ...i ki ...i p 2 p Ti12j1 ...j = gi1 k Tj1 ...j . q q Легко видеть, что это снова тензор (композиция операций умножения на тензор gij и свертки). 90 О.В. Знаменская, В.В. Работин i ...i i ...i p Определение 13.2. Переход от тензора {Tj11...jqp } к тензору {Ti12j1 ...j } наq зывается спуском индекса i1 с помощью метрики gij . Пример.Если {ξ i } — вектор, то после опускания индекса мы получим ковектор ξi = gij ξ j . Таким образом, опускание индексов задает линейное отображение пространства векторов в пространство ковекторов. Это соответствие можно описать следующим образом: если ( , ) — соответствующее {gij } скалярное произведение, то вектору η соответствует линейная форма (ковектор), принимающая на векторе ξ значение (ξ, η). Наоборот, для поднятия нижних индексов при наличии метрики {gij } необходимо рассмотреть обратную метрику, т. е. такую матрицу {g ij }, что g ij gjk = δki , где δki символ Кронекера. По определению имеем j i ...ip Tj21...j1 q i ...i = g j1 k Tkj12 ...jp q . 6. Симметрические и кососимметрические тензоры. j ...j Определение 13.3. Тензор {Ti11...iqp } называется симметрическим по нижним индексам, если j ...j j ...j 1 p Tσ(i = Ti11...iqp . 1 ,...,iq ) ...jm Тензор {Tij11...i } называется кососимметрическим по нижним индексам, k если j1 ...jm ...jm Tσ(i = sgn (σ) Tij11...i , k 1 ,...,ik ) где sgn (σ) = ±1 — знак перестановки σ. Это определение не зависит от выбора системы координат ввиду тензорного характера операции перестаj ...j новки индексов. Таким образом, тензор {Ti11...ikp } меняет знак при любой Дифференциальная геометрия и топология 91 нечетной перестановке нижних индексов и сохраняет свое значение при четной перестановке нижних индексов. Замечание.Если k больше размерности пространства n, то кососимметj ...j рический по нижним индексам тензор {Ti11...ikp } тождественно равен нулю так как обязательно будет пара совпадающих индексов. Определение 13.4. Внешней дифференциальной формой степени k на- зывается кососимметрический тензор типа (0, k). 2. Ковариантное дифференцирование То, что мы обсуждали до сих пор, называется тензорной алгеброй. Тензорный анализ должен включать в себя операции дифференцирования и интегрирования. Теория интегрирования — это теория интегрирования дифференциальных форм (кососимметрических тензоров). Она обобщает известную из курса математического анализа теорию кратных и поверхностных интегралов, и к сожалению на более детальное знакомство с ней у нас нет времени. Дифференцирование — более простая операция. Мы начнем ее обсуждение со следующего вопроса: n io Будет ли набор частных производных ∂V компонент векторно∂xj n i′ o i в новой го поля {V } тензорным полем? Выясним, как связаны ∂V ∂xj ′ n io ′ ∂xi i′ i системе координат с ∂V . Так как V = j i ∂x ∂x V , то  ′ ′ ′ ∂xi i ∂xj ∂ 2 xi ∂xj i ∂xi ∂xj ∂V i V · j′ = j i j′ V + . (13.5) ∂xi ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi ∂xj ′ ∂xj n io Вывод. Набор производных ∂V тензора типа (0,1) не является тен∂xj ′ ∂V i ∂ = ′ ∂xj ∂xj  зором, так как при переходе в новую систему координат в формулах преобразования (13.5) возникает группа слагаемых, содержащих вторые про′ изводные координатных функций ∂ 2 xi ∂xj ∂xi . Тем самым, возникает задача видоизменения операции дифференцирования так, чтобы производные тензорного поля снова формировали тензорное поле. Анализ формулы (13.5) приводит к мысли добавить к ∂V i ∂xj 92 О.В. Знаменская, В.В. Работин слагаемое вида Γijk V k таким образом, чтобы при переходе в новую систему координат возникали компенсирующие слагаемые, сокращающиеся ′ ∂ 2 xi ∂xj i ∂xj ∂xi ∂xj ′ V . функции Γijk . с Посмотрим, как в этом случае должны преобразовываться Нужно, чтобы выполнялось равенство ′ ′ ′ ′ k ∂V i ∂ 2 xi ∂xj i ∂xi ∂xj ∂V i i′ k′ i′ ∂x k + Γ V = V + Γ V + = k′ j ′ k′ j ′ j ∂xj ′ ∂xj ∂xi ∂xj ′ ∂xk  ∂xi ∂xj ′ ∂x  i′ j ∂x ∂x ∂V i i k + Γ V . (13.6) = kj ∂xj ∂xi ∂xj ′ Откуда k′ i′ ∂x Γk′ j ′ k V k ∂x  = ′ i′ i ∂x Γkj i ∂xj ∂ 2 xi ∂xj − ∂x ∂xj ′ ∂xk ∂xj ∂xj ′  V k. Поскольку V k — произвольное векторное поле, то должно выполняться равенство k′ i′ ∂x Γk′ j ′ k ∂x = i′ i ∂x Γkj i ′ ∂xj ∂ 2 xi ∂xj − ∂x ∂xj ′ ∂xk ∂xj ∂xj ′ ′ Обычным образом, избавляясь от ∂xk ∂xk , получаем искомую формулу пре- образования i′ i ∂x Γkj i ′ ∂xj ∂xk ∂ 2 xi ∂xj ∂xk − . = ∂x ∂xj ′ ∂xk′ ∂xk ∂xj ∂xj ′ ∂xk′ Так мы приходим к следующему важному определению. ′ Γik′ j ′ (13.7) Определение 13.5. В области D задана аффинная связность, если с  каждой системой координат в D связан набор гладких функций Γijk , преобразующийся при замене координат по правилу (13.7). Функции Γijk называются символами Кристоффеля или просто коэффициентами аффинной связности. Наличие аффинной связности в области D позволяет корректно определить не только операции дифференцирования векторных, но и ковекторных полей. Дифференциальная геометрия и топология 93 Упражнение. n i oДокажите, что для любого тензора {Ti } набор функk ций ∂T образует тензорное поле типа (0,2). ∂xj − Γij Tk Общее определение имеет следующий вид. n o i1 ...ip Определение 13.6. Пусть T = Tj1 ...jq — тензор типа (p, q) и Γijk — аффинная связность. Ковариантной производной ∇T тензорного поля T называется набор функций i ...i i ...i ∇k Tj11...jqp := ∂Tj11...jqp ∂xk s,i ...i 2 p + Γisk1 Tj1 ...j + ···+ q i i ...i ,s i ...i i ...i p + Γskp Tj11...jqp−1 − Γsj1 k Ts,j1 2 ...jp q − · · · − Γsjk Tj11...jq−1 ,s (13.8) Часть утверждений следующей теоремы очевидна, другая часть будет доказана на практических занятиях. Теорема 13.1. Операция ковариантного дифференцирования ∇ облада- ет следующими свойствами: 1) ∇(αT + βU ) = α∇T + β∇U , (линейность); 2) для любого тензора T типа (p, q) ∇T — тензор типа n o(p, q + 1); ∂f = grad(f ); 3) для скалярного поля f (тензора типа (0,0)) ∇f = ∂x k 4) для ковариантной производной справедлива формула Лейбница: для любых тензоров {TJI } и {ULK } ∇s (TJI · ULK ) = (∇s TJI ) · ULK + TJI · (∇s ULK ). 94 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 14 Риманова связность. Параллельный перенос Определение аффинной связности и ковариантной производной. Закон преобразования коэффициентов связности при переходе в другую систему координат. Определение параллельного переноса. Теорема о существовании и единственности параллельного векторного поля. Риманова связность. Геодезические с точки зрения параллельного переноса. Свойства параллельного переноса. 1. Риманова связность В предыдущей лекции мы определили коэффициенты аффинной связности Γijk . Точно также обозначались коэффициенты, входящие в уравнения геодезических Γijk 1 = g is 2  ∂gsr ∂gjs ∂gik + − ∂xj ∂xk ∂xs  . (14.1) Оказывается, это не случайно. Формулы (14.1) действительно определяют аффинную связность на римановом многообразии, обладающую специальными свойствами. Определение 14.1. Римановой связностью или связностью, согласован- ной с римановой метрикой называется аффинная связность, коэффициенты которой вычисляются по формулам (14.1) Упражнение. Докажите, что Γijk , вычисленные по формулам (14.1) при замене координат преобразуются по закону (13.7). Доказательство следующей теоремы будет обсуждаться на практических занятиях. Дифференциальная геометрия и топология 95 Теорема 14.1. Риманова связность обладает следующими свойствами 1) симметричность, Γijk = Γikj ; 2) метрический тензор ковариантно постоянен, то есть, ∇k gij = 0 для всех k, i, j; 3) свойства 1) и 2) — характеристические свойства римановой связности, т. е. коэффициенты симметричной аффинной связности, относительно которой метрика ковариантно постоянна, вычисляются по формулам (14.1). 2. Паралельный перенос Теперь в нашем распоряжении есть все средства для анализа и обобщения на случай римановой геометрии древнего геометрического понятия — понятия параллельности. Недолгое размышление приводит к мысли, что это понятие в геометрии наполняется по меньшей мере двумя смыслами. Первый смысл связан с понятием параллельных прямых. Второй — с понятием операции параллельного переноса векторов (и множеств в пространстве). Если полагать, что понятие геодезической дает правильное обощение прямой, то вопрос о существовании на римановом многообразии непересекающихся геодезических — это вопрос о глобальном поведении геодезических; такие вопросы глобального характера в нашем курсе не изучаются, но для конкретных пространств, в которых мы могли описать все геодезические, мы ранее имели возможность это обсуждать. Операция параллельного переноса — локальная, ее мы изучим достаточно подробно. По-видимому, первая попытка обобщения операции параллельного переноса с евклидовой плоскости на поверхности в R3 принадлежит Фердинанду Миндингу (1837 г.).6 Восемьдесят лет спустя Т. ЛевиЧивита (1917 г.), аналитически оформляя понятие параллельного переноса на поверхности, обнаружил, что эта операция зависит только от внутренней геометрии поверхности, то есть, от римановой метрики и это сразу дало возможность обобщить операцию параллельного переноса на лю6 Хорошее введение в этот круг идей можно найти в учебнике ??, с. 331–334. 96 О.В. Знаменская, В.В. Работин бое риманово многообразие. Рекомендуем прочитать также замечательное неформальное обсуждение этой операции в приложениях к лекциям [10]. При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве координаты вектора не меняются, то есть, их производные равны нулю. Поскольку мы хотим определить геометрическую, инвариантную операцию, то нужно обычные производные компонент вектора заменить на ковариантные производные. Так мы приходим к следующим определениям. Определение 14.2. Пусть в области D заданы связность ∇ и гладкое векторное поле V̄ (t) = {V i (t)} вдоль гладкой кривой γ : r̄ = r̄(t) = {xi (t)}. Ковариантной производной n∇γ V i векторного поля V̄ вдоль кривой γ o j i называется векторное поле ∂x . ∂t · ∇j V Определение 14.3. Пусть V̄ (t) = {V i (t)} — гладкое векторное поле вдоль гладкой кривой γ : r̄ = r̄(t) = {xi (t)}. Это поле называется параллельным вдоль кривой γ относительно связности ∇, если ∇γ (V̄ ) ≡ 0. Если V̄ (t) — параллельное векторное поле вдоль γ: r̄ = r̄(t), a ≤ t ≤ b, то вектор V̄ (b) называется также вектором, полученным в результате параллельного переноса вектора V̄ (a) вдоль γ. Следующая теорема показывает, что всякий вектор V̄ ∈ Ta Π может быть единственным образом перенесен параллельно вдоль заданной гладкой кривой с началом в точке a. Теорема 14.2. Пусть ∇ — связность в области D ⊂ Rd , V̄0 ∈ Tp D — касательный вектор к D в точке p и γ: r̄ = r̄(t), a ≤ t ≤ b, r̄(a) = p — гладкая кривая с началом в точке p. Тогда существует и единственно такое параллельное векторное поле V̄ = V̄ (t) вдоль γ, что V̄ (a) = V̄0 . Доказательство. Имеем Дифференциальная геометрия и топология i i dx 97 j ∇γ V = ∇ j V = dt  i  j ∂V i s dx = + Γjs V = ∂xj dt  i j  j ∂V dx i dx k = + Γjk V (x̄(t)) = ∂xj dt dt dxj k dV i (x̄(t)) + Γijk (x̄(t)) V (x̄(t)) = 0, i = 1, . . . , d = dt dt (14.2) (14.3) (14.4) (14.5) Таким образом, компоненты искомого векторного поля должны удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений (14.5) с переменными (гладкими) коэффициентами на [a, b] и начальному условию V̄ (a) = V̄0 . Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что такая задача Коши имеет единственное решение на [a,b]. На нашем геометрическом языке это и означает возможность и единственность параллельного переноса. Определение 14.4. Система (14.5) называется системой уравнений па- раллельного переноса вдоль кривой γ. Наиболее приятными свойствами обладает операция параллельного переноса вектора в случае римановой связности. Теорема 14.1. Пусть (D, ds2 ) —риманово многообразие и ∇ — римано- ва связность в D. Если V̄ (t) и W̄ (t) — параллельные векторные поля вдоль гладкой кривой γ, то (V̄ (t), W̄ (t)) ≡ const вдоль γ. Доказательство. Применим свойства ковариантной производной, d ∂(V̄ , W̄ ) dxj (V̄ (t), W̄ (t)) = = dt ∂xj dt dxj = ∇j ((V̄ , W̄ )) = dt j m n dx = ∇j (gmn V W ) = dt dxj = (gmn ∇j (V )W + gmn V ∇j (W )) = 0. dt m n m n 98 О.В. Знаменская, В.В. Работин Мы воспользовались тем, что метрический тензор — ковариантно постоянный. Следствие 14.1. a) При параллельном переносе вектора вдоль кривой на римановом многообразии длина вектора не меняется. б) Угол между векторами двух параллельных векторных полей на римановом многообразии не меняется. Дифференциальная геометрия и топология 99 Лекция 15 Тензор кривизны Римана Тензор кривизны Римана. Формула для тензора кривизны. Выражение тензора кривизны через компоненты римановой метрики. Симметрии тензора кривизны типа (0, 4). Тензор Риччи. Скалярная кривизна. Do not despair if the curvature tensor does not appeal to you. It is frightening for everybody. M.Berger Пусть D — область с заданной в ней аффинной связностью. Тем самым в D определена операция ковариантного дифференцирования тензорных полей, обобщающая на тензорные поля обычные частные производные скалярной функции. Из курса математического анализа хорошо известна теорема о равенстве смешаных производных ∂2f ∂xi ∂xj и ∂2f ∂xj ∂xi гладкой функ- ции f . Выясним, верен ли аналогичный факт для ковариантных производных. Сравним вторые ковариантные производные ∇i ∇j V k и ∇j ∇i V k произвольного векторного поля V̄ = {V k }. Последовательно вычисляем: ∇j V k = ∂V k ∂xj + Γkjs V s — тензор типа (1, 1), значит ∂(∇j V k ) + Γkis (∇j V k ) − Γsij (∇j V k ) = i ∂x  s  s ∂Γkjs s ∂ 2V k ∂V ∂V = i j+ V + Γkjs i + Γkis + Γsjp V p − i j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x   k ∂V − Γsij + Γksp V p = s ∂x s s k ∂Γkjs s ∂ 2V k k ∂V k ∂V k s p s ∂V = i j+ V + Γjs i + Γis j + Γis Γjp V − Γij s − Γsij Γksp V p . i ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (15.1) ∇i ∇j V k = 100 О.В. Знаменская, В.В. Работин Меняя местами индексы i и j, получим s s k ∂ 2 V k ∂Γkis s k ∂V k ∂V k s p s ∂V ∇j ∇i V = j i + j V +Γis j +Γjs i +Γjs Γip V −Γji s −Γsji Γksp V p . ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (15.2) k Так как связность симметрична, то в формулах (15.1) и (15.2) имеется по 4 группы одинаковых слагаемых (кроме одинаковых первых слагаемых). Поэтому, вычитая из (15.1) формулу (15.2) и сокращая одинаковые слагаемые, получим ∇ i ∇j V k − ∇ j ∇i V k = = ∂Γkjs ∂Γkis − ∂xi ∂xj !
V s + Γkis Γsjp − Γkjs Γsip V p = ! ∂Γkjs ∂Γkis k − + Γkip Γpjs − Γkjp Γpis V s =: Rsij V s . (15.3) i j ∂x ∂x В последнем равенстве использовано обозначение k Rsij ∂Γkjs ∂Γkis k p k p − + Γ Γ − Γ = ip jp Γis . js ∂xi ∂xj (15.4) Поскольку {∇i ∇j V k − ∇j ∇i V k } — тензорное поле типа (1, 2), а {V k } — тензорное поле типа (1, 0), то из доказываемой ниже теоремы следует, k } — тензорное поле типа (1, 3), которое называется тензором что {Rsij кривизны Римана типа (1, 3). IJ Теорема 15.1. Пусть {TKL } — такой набор функций, что для любого LM тензорного поля {UJN } набор функций IM IJ LM SKN = TKL UJN IJ образует тензорное поле. Тогда {TKL } — тензорное поле. Доказательство. В системе координат x′ имеем ′ I ′M ′ SK ′N ′ ′ ∂xI ∂xM ∂xK ∂xN IM I ′ J ′ L′ M ′ = S = T ′ L′ UJ ′ N ′ = ′ ′ KN K ∂xI ∂xM ∂xK ∂xN = L′ I ′ J ′ ∂x TK ′ L′ L ′ ∂xJ ∂xM ∂xN LM U ∂x ∂xJ ′ ∂xM ∂xN ′ JN Дифференциальная геометрия и топология 101 Таким образом, ′ ′ ′ ′ L J M ∂xI ∂xM ∂xK ∂xN IJ LM ∂xN LM I ′ J ′ ∂x ∂x ∂x T U = TK ′ L′ L J ′ M U ∂xI ∂xM ∂xK ′ ∂xN ′ KL JN ∂x ∂x ∂x ∂xN ′ JN LM , получаем равенство Ввиду произвольности тензорного поля UJN ′ ′ ′ ′ L J M ∂xN ∂xI ∂xM ∂xK ∂xN IJ I ′ J ′ ∂x ∂x ∂x T = TK ′ L′ L J ′ M ∂xI ∂xM ∂xK ′ ∂xN ′ KL ∂x ∂x ∂x ∂xN ′ для всех значений M, M ′ , N, N ′ . Следовательно, ′ ′ ∂xI ∂xK IJ ∂xL ∂xJ I ′ J ′ T = T ′ ′ ∂xI ∂xK ′ KL ∂xL ∂xJ ′ K L Умножим обе части этого равенства на ′ ∂xL ∂xI ∂xK IJ T = ∂xP ′ ∂xI ∂xK ′ KL ′ l′  ′ ∂xL ∂xL ∂xP ′ ∂xL  ∂xL ∂xP ′ и просуммируем по L. Получим ∂xJ I ′ J ′ T ′ ′= ∂xJ ′ K L J ∂xJ I ′ J ′ L′ ∂x I ′J ′ = δP ′ J ′ TK ′ L′ = J ′ TK ′ P ′ , (15.5) ∂x ∂x l′ l′ где δPL ′ = δp1′ δp2′ · · · δpq′q и при суммировании по мультииндексу L′ все сла1 2 гаемые, кроме записанного в правой части равенства (15.5) равны нулю. ′ Аналогично, умножив равенство (15.5) на ′ ′ ′ TKI ′QP ′ ∂xQ ∂xJ и суммируя по J, получим ′ ∂xQ ∂xL ∂xI ∂xK IJ T . = ∂xJ ∂xP ′ ∂xI ∂xK ′ KL  Исходя из тензора кривизны Римана типа (1, 3), можно построить несколько других геометрически важных тензорных полей. Определение 15.1. Тензором кривизны Римана типа (0, 4) называется тензорное поле s Rijkl := gis Rjkl . Определение 15.2. Тензором кривизны Риччи называется свертка тен- зора кривизны Римана по верхнему и второму нижнему индексам, s Rij := Risj . 102 О.В. Знаменская, В.В. Работин Определение 15.3. Скалярной кривизной R называется свертка тен- зора Риччи или полная свертка тензора кривизны, p R := g js Rjs = g js Rjps = g js g ip Rijps . Многие важные свойства тензора кривизны Римана типа (0, 4) легко следуют из формулы, доказываемой в следующей теореме. Теорема 15.2. На римановом многообразии тензор кривизны {Rijkl } ри- мановой связности выражается через метрику {gij } следующим образом Rijkl 1 = 2   ∂ 2 gil ∂ 2 gjk ∂ 2 gik ∂ 2 gjl + i l − j l − i k −gpq (Γpik Γqjl −Γpil Γqjk ) (15.6) j k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Доказательство. Запишем i Rjkl ∂Γijl = + Γikp Γplj − k ∂x ∂Γijk + Γikp Γpkj l ∂x ! . (15.7) Так как мы проводим вычисления в фиксированной системе координат, то можно считать, что для каждой пары индексов (j, l), (j, l = 1, . . . , d), существует набор из d2 тензорных полей типа (1, 0), совпадающих в этой системе координат с {Γijl }, (j, l = 1, . . . , d). Тогда формула (15.7) есть ничто i иное, как запись тензорного поля Rjkl через ковариантные производные: i Rjkl = ∇k Γilj − ∇l Γikj . (15.8) Далее, p Rijkl = gip Rjkl = gip ∇k Γplj − gip ∇l Γpkj . Так как метрический тензор ковариантно постоянен (∇k gip = 0), а ковариантная производная коммутирует со сверткой и для нее справедлива формула Лейбница при дифференцировании произведения тензорных полей, Дифференциальная геометрия и топология 103 то gip ∇k Γplj = ∇k gip Γplj =    ∂ 1 pq ∂gql ∂gjq ∂glj = k gip g + − q − Γqik gpq Γplj = j l ∂x 2 ∂x ∂x ∂x   ∂ 1 q ∂gql ∂gjq ∂glg p q = k δi + − − g Γ pq lj Γik = ∂x 2 ∂xj ∂xl ∂xq  2  1 ∂ 2 gji ∂ 2 glj ∂ gil = + k l − k i − gpq Γpik Γqjl . (15.9) k j 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Теперь, чтобы получить (15.6), нужно в (15.9) поменять местами k и l и вычесть получившуюся формулу из (15.9).  Следствие 15.3. Тензор кривизны римановой связности типа (0, 4) обладает следующими свойствами симметрии: 1) Rijkl = −Rijlk (кососимметричность по второй паре индексов) 2) Rijkl = Rklij (симметричность по парам индексов) 3) Rijkl = −Rjikl (кососимметричность по первой паре индексов) Доказательство. Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (15.6), 3) следует из 1) и 2).  Следствие 15.1. На двумерной поверхности тензор кривизны римановой связности типа (0,4) имеет только одну "существенную"компоненту R1212 , все остальные 15 компонент либо равны 0, либо совпадают с R1212 , либо отличаются от R1212 знаком. Доказательство. По следствию 15.3 R1212 = −R2112 = −R1221 = R2121 . У всех остальных компонент будет совпадение индексов либо на местах 1, 2, либо на местах 3, 4, значит, они равны 0, ввиду кососимметричности Rijkl .  104 О.В. Знаменская, В.В. Работин Лекция 16 Теоремы Гаусса Теорема Гаусса об инвариантности гауссовой кривизны при изгибании 2-мерной поверхности. Теорема Гаусса-Бонне. 1. Теорема Гаусса Теорема 16.1. (Theorema egregium Гаусса) Гауссова кривизна K дву- мерной поверхности может быть выражена только через риманову метрику поерхности, поскольку K = 12 R, где R — скалярная кривизна поверхности. Доказательство. Установим требуемое равенство в произвольной, но фиксированной точке p поверхности Π. Как во многих геометрических заачах, успех в решении тесно связан с выбором удобной системы координат. Поэтому, поместим начало координат O в точку p, ось Oz направим по нормали к Π, тогда оси Ox и Oy будут лежать в касательной плоскости T0 Π к поверхности Π. Следовательно, в достаточно малой окрестности точки O поверхность Π может быть задана в виде графика гладкой функции, Π : z = f (x, y). Последовательно вычисляем r̄ = (u, v, f (u, v)), r̄u′ = (1, 0, fu′ (u, v)), r̄v′ = (0, 1, fv′ (u, v)), ′′ ′′ r̄uu = (0, 0, fuu (u, v)), ′′ ′′ r̄uv = (0, 0, fuv (u, v)), ′′ ′′ r̄vv = (0, 0, fvv (u, v)). Откуда ds2 = (1 + fu′2 )du2 + 2fu′ fv′ dudv + (1 + fv′2 )dv 2 . Так как fu′ (0, 0) = fv′ (0, 0) = 0 ввиду выбора системы кординат ( r̄u′ |0 = ′′ (1, 0, 0), r̄v′ |0 = (0, 1, 0)), то ds2 |0 = du2 + dv 2 . Значит, II|0 = fuu (0, 0)du2 + Дифференциальная геометрия и топология 105 ′′ ′′ (0, 0)dv 2 , поэтому гауссова кривизна в точке 0 равна (0, 0)du dv + fvv 2fuv ′′ 2 ′′ ′′ ). fvv − fuv K = (fuu i Вычислим R1212 (0,   0). Заметим, что коэффициенты связности Γjk = ∂gjk 1 is ∂gsj ks в нуле все равны 0, так как для всех i и j част+ ∂g 2g ∂xj − ∂xs ∂xk ная производная ∂gij ∂u состоит из одного или двух слагаемых, в каждое из которых входит множителем либо fu′ , либо fv′ , равные 0 в 0. Аналогичная картина для ∂gij ∂v . Поэтому  2  1 ∂ 2 g21 ∂ 2 g11 ∂ 2 g22 ∂ g12 R1212 (0, 0) = + − − = 2 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x1 0  2  1 ∂ g12 ∂ 2 g11 ∂ 2 g22 = 2 − − 2 = 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂ ∂u ∂ 0 1 = (2((fu′ fv′ )′u )′v − ((fu′ )2 )′′v2 − ((fv′ )2 )′′u2 )|0 = 2 1 ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ = (2(fu′′2 fv′ + fu′ fuv )v − 2(fu′ fuv )v − (fv′ fuv )u )|0 = 2 ′′ 2 ′′ 2 ′′ 2 = (fu′′2 fv′′2 + (fuv ) − (fuv ) − (fuv ) )|0 = K(0). Наконец, R(0) = g ip g jq Rijpq |0 = δ ip δ jq Rijpq (0) = R1212 (0) + R2121 (0) = 2K(0)  2. Теорема Гаусса–Бонне The proof of the Gauss–Bonnet theorem is never simple; in fact it is subtle and tricky. M.Berger Пусть D — гомеоморфная кругу область на гладкой поверхности Π, ограниченная кусочно-гладкой кривой γ. Будем считать поверхность Π ориентированной в окрестности D и согласуем направление обхода γ с этой ориентацией, то есть, при обходе границы γ в этом направлении с той стороны, куда направлена ориентирующая нормаль, область D остается слева. Обозначим через γ1 , . . . , γm — регулярные звенья границы γ, 106 О.В. Знаменская, В.В. Работин α1 , . . . , αm — внутренние углы (относительно D), которые образуют звенья (γ1 , γ2 ), . . . , (γm , γ1 ) в точках соединения. В этих обозначениях справедлива Теорема 16.2. (Гаусс–Бонне) Если kg (s) — геодезическая кривизна кри- вой γ, K(p) — гауссова кривизна поверхности Π в точке p, то ZZ Z X (αk − π) = K(p) dσ − 2π, kg (s) ds + γ где dσ = k D p det gij du dv — элемент площади поверхности. Доказательство этой теоремы замечательно изложено в лекциях [9]. Обсудим некоторые важные следствия этой теоремы. Дифференциальная геометрия и топология 107 Лекция 17 Некоторые элементы современных представлений о геометрии реального мира Лоренцева геометрия. Гравитация как искривление пространства. Уравнения Эйнштейна. Идеи римановой геометрии оказали решающее влияние на создание одной из самых известных физических теорий 20 века — теорию относительности. Эта теория излагается во многих книгах разного уровня сложности. Для более детального ознакомления с этой замечательной теорией мы рекомендуем прочитать соответствующие страницы в [12], которым мы здесь следуем, (см. также классическое изложение в [15]). Здесь мы кратко опишем основные математические понятия этой теории. Прежде всего пришлось обобщить понятие евклидовой структуры на линейном пространстве. Определение 17.1. Псевдоевклидовым пространством называется ли- нейное пространство X с заданной на нем невырожденной билинейной формой, определяющей псевдоевклидову (индефинитную) метрику на X. Говорят, что метрика имеет тип (p, q) (или сигнатуру (p, q)), если соответствующая квадратичная форма, приведенная к диагональному виду, имеет p квадратов с положительными коэффициентами, а q — с отрицательными. Пример 17.1. Определим "скалярное произведение"в R4 формулой (x, y) = (x1 , y2 ) − (x2 , y2 ) − (x3 , y3 ) − (x4 , y4 ). Тем самым на R4 определена псевдоевклидова метрика сигнатуры (1, 3). Эта метрика называется метрикой Минковского а R4 , наделеннре этой 108 О.В. Знаменская, В.В. Работин метрикой называется пространством специальной теории относительности. Также как и в случае риманова многообразия, псевдоевклидова метрика может зависеть от точки пространства. Определение 17.2. Если в каждом касательном пространстве Tp D к области D задана псевдоевклидовая метрика сигнатуры (p, q), гладко зависящая от точки p, то говорят, что в D задана лоренцева метрика, а саму область D будем называть лоренцевым многообразием. Если в D действует система координат x̄ = (x1 , . . . , xn ), то в этих координатах лоренцева метрика представляется в виде тензорного поля типа (0, 2){gij (x)}, причем det(gij (x)) ̸= 0 для всех x. Поэтому все связанные с метрикой конструкции тензорного анализа — поднятие и опускание индексов, согласованная с метрикой ковариантная производная, тензор кривизны — переносится на случай лоренцевых многообразий. Рассмотрим псевдоевклидово пространство Rnp,q , p+q = n, которое определяется как пространство с координатами x1 , . . . , xn , в которых “квадрат длины” вектора ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) задается формулой 2 |ξ| = (ξ, ξ) = p X i 2 (ξ ) − i=1 q X (ξ p+i )2 (17.1) i=1 При n = 4, p = 1 получаем пространство-время специальной теории относительности (пространство Минковского R41,3 = R41 ) с координатами x0 , x1 , x2 , x3 ; обычно полагают x0 = ct, где постоянная c — скорость света в пустоте. Пространства Rn1,n−1 = Rn1 мы также будем называть пространствами Минковского (размерности n). Квадрат длины вектора ξ = (ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) в пространстве R41 задается формулой |ξ|2 = (ξ, ξ) = (ξ 0 )2 − (ξ 1 )2 − (ξ 2 )2 − (ξ 3 )2 . (17.2) Величина (ξ, ξ) может быть и положительной, и отрицательной, и даже нулем. Векторы ξ, для которых |ξ| = 0, образуют в пространстве R41 конус, называемый изотропным или световым конусом Векторы, лежащие внутри конуса, имеют положительный квадрат длины, |ξ|2 > 0, и называются Дифференциальная геометрия и топология 109 времениподобными. Векторы, лежащие вне конуса, имеют отрицательный квадрат длины, |ξ|2 < 0, и называются пространственноподобными. Рассмотрим мировую линию какой-нибудь материальной частицы Эта мировая линия имеет вид x1 = x1 (t), x0 = ct, x2 = x2 (t), x3 = x3 (t) (17.3) в пространстве R41 . Здесь кривая x1 (t), x2 (t), x3 (t) есть обычная траектория точки в трехмерном пространстве R3 . Вектор ξ, касательный к мировой линии (17.3), имеет вид ξ = (c, ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 ). (17.4) Заметим, что (ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 ) — координаты вектора скорости v для пространственного движения точки. В специальной теории относительности принимается постулат, что материальные частицы не могут двигаться со скоростью, большей скорости света c, т. е. |v| ≤ c. Это означает, что c2 − (ẋ1 )2 − (ẋ2 )2 − (ẋ3 )2 ≥ 0, (17.5) т. е. вектор ξ или времениподобный, или изотропный. В частности, если наша мировая линия есть мировая линия луча света, то вектор ξ изотропный, т. е. |v| = c. По этой причине изотропный конус и называется также световым. В действительности изотропные касательные векторы могут иметь только мировые линии безмассовых частиц (таких как, например, фотоны). Мировые линии массивных частиц имеют всегда времениподобные касательные векторы. В частности, мировая линия массивной частицы целиком распространяется строго внутри светового конуса (заметим, что изотропный конус имеется во всех точках пространства). Для времениподобных кривых (т. е. для таких кривых, у которых касательный вектор всегда времениподобен) можно определить понятие длины аналогично тому, как это было в евклидовой геометрии. Если кривая задана в виде x0 = x0 (τ ), x1 = x1 (τ ), x2 = x2 (τ ), x3 = x3 (τ ), ξ = (ẋ0 , ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 ), |ξ|2 > 0, то длина l имеет вид Zb l= a v Zb u 3 u X t 2 (ẋ ) − (ẋα )2 dτ. |ξ| dτ = a α=1 (17.6) 110 О.В. Знаменская, В.В. Работин В специальной теории относительности величина l/c называется собственным временем, прожитым частицей. Параметр l является натуральным параметром на мировой линии. Если точка движется в трехмерном пространстве с постоянной скоростью v = (v 1 , v 2 , v 3 ), т. е. x0 = ct, x1 = v 1 t, x2 = v 2 t, x3 = v 3 t, (17.7) то имеем p dl = c2 − v 2 dt = r v2 0 1 − 2 dx , c r l=x v2 1 − 2, c (17.8) где мы используем сокращенное обозначение v 2 = |v|2 . В частности, x0 /c есть собственное время покоящейся частицы (в исходной системе координат). Основная гипотеза общей теории относительности Эйнштейна (ОТО) такова: гравитационное поле есть просто метрика gij сигнатуры (1, 3) в четырехмерном пространстве-времени M 4 с координатами (x0 , x1 , x2 , x3 ); при этом метрика gij , вообще говоря, имеет ненулевую кривизну (величина кривизны и характеризует степень нетривиальности гравитационного поля). Пробная частица во внешнем гравитационном поле — это просто “свободная частица в пространстве с метрикой gij ”, которая движется по времениподобной геодезической γ(τ ) = {xi (τ )}, задаваемой лагранжианом (здесь m ̸= 0) dxi dxj gij . (17.9) L = m (v, v) = m dτ dτ Если m = 0, то частица движется по световой геодезической в метрике gij . (1) Собственное время вдоль линии γ(τ ) — это l c = τ, dl c = dτ, |v| = const. Рассмотрим теперь гравитационное поле (gij ), т. е. метрику сигнатуры (1, 3) в области четырехмерного пространства, где нет никаких других полей и частиц. Мы примем гипотезу, что теория гравитационного поля должна быть, как говорят, “общековариантной”, т. е. уравнения самого гравитационного поля должны иметь одинаковый вид во всех системах координат и выражаться через тензор кривизны Ri jkl метрики gij . Не входя Дифференциальная геометрия и топология 111 в детальное обсуждение этого вопроса, укажем уравнение Эйнштейна для гравитационного поля в пустоте через кривизну Риччи Rjl = Ri jil : 1 Rij − Rgij = 0 2 (17.10) (или Rij = 0, так как 21 R = 12 Rii ). В современной геометрии многообразия с нулевой кривизной Риччи называются многообразиями Эйнштейна. Им посвящена обширная литература. Но решать систему уравнений (17.10) чрезвычайно трудно. В настоящее время известно лишь небольшое число конкретных метрик, удовлетворяющих уравнению Эйнштейна. Первая такая метрика была найдена Шварцшильдом в 1916 г.:  a 2 2 1 2 ds = 1 − c dt − dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ), r 1 − (a/r) (17.11) где (r, θ, ϕ — сферичские координаты в пространстве. Метрика Шварцшильда имеет особенность при r = a. Исследование этой особенности привело в теории черных дыр во Вселенной. Литература [1] Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию/ В.Блашке. — Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет 2000. — 232 с. [2] Знаменская О.В. Плоские и пространственные кривые. Учеб. пособие/ О.В. Знаменская, Т.В. Костюк; Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2005. — 94 с. [3] Знаменская О.В. Понятие кривой в курсе дифференциальной геометрии: учеб. материалы для ст-тов/ О.В. Знаменская, Т.В. Костюк; Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2006. — 20 с. [4] Мищенко А.С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии/ А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. — М.: Физматлит, 2004. — 304 с. [5] Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии/ А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. — М.: Факториал, 2000.— 439 с. [6] Мищенко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии/ А.С.Мищенко, Ю.П.Соловьев, А.Т.Фоменко. — М: Физматлит, 2001. — 352 с. [7] Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия/ А.В.Погорелов. — М.: Наука, 1974. — 176 с. [8] Работин В.В. Задачи по дифференциальной геометрии/ В.В.Работин; СФУ — Красноярск, 2007. — 34 с. Дифференциальная геометрия и топология [9] Тайманов И.А. Лекции 113 по дифференциальной геометрии/ И.А.Тайманов. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 176 с. [10] Арнольд В.И. Математические методы классической механики/ В.И.Арнольд — М.: Наука, 1974. [11] Бураго Ю.,Д. Введение в риманову геометрию/ Ю.Д.Бураго, В.А.Залгаллер. — СПб.: Наука, 1994. — 318 с. [12] Дубровин Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения/ Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. — М: Наука, 1979. — 760 c. [13] Кованцов Н.И. Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ (сборник задач)/ Н.И.Кованцов, Г.М.Зражевская, В.Г.Кочаровский, В.И.Михайловский. — Киев: Вища школа, 1982. — 376 c. [14] Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии/ С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. — М: Наука, 1987. — 432 с. [15] Ландау Л. Д. Теория поля/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. — М.: Наука, 1973. — 488 с. [16] Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, (семестр II)/ М.М.Постников. — М.: Наука, 1979. — 312 c. [17] Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство/ Э.Г.Позняк, Е.В.Шикин. — М.: Изд-во Московского университета, 1990. — 384 c. [18] Работин В.В. Дифференциальная геометрия, Ч1: гладкие многообразия. Красноярск: РИО КГУ, 1997. — 36 с. [19] Работин В.В. Задания по дифференциальной геометрии. — Красноярск: Изд-во Красноярского госуниверситета, 1986. — 36 с. 114 О.В. Знаменская, В.В. Работин [20] Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии/ Э.Р.Розендорн. — М: Наука,1971. — 64 c. [21] Сборник задач по дифференциальной геометрии (под редакцией Феденко А.С.). — М: Наука, 1979. — 272 c. [22] Berger M. A panoramic view of riemannian geometry/ M.Berger. — Berlin: Springer, 2002. — 850 p. Предметный указатель Базис Френе, 44 параметризованная, 39 Вектор регулярная, 39 бинормали, 44 Кривизна главной нормали, 44 гауссова, 76 касательный, 40 средняя, 76 Вектор кривизны, 42 Кривизна кривой, 43 Вектор скорости, 40 Кручение кривой, 44 Векторное поле, 87 Линия кривизны, 75 Вторая квадратичная форма, 71 Метрика, 13 Геодезическая, 61 Минковского, 107 Главная кривизна, 73 Пуанкаре, 51 Гомеоморфизм, 26 Шварцшильда, 111 Действие, 62 евклидова, 51 Диффеоморфизм, 41 индуцированая, 52 Диффеоморизм, 83 лоренцева, 108 Длина дуги кривой, 41 риманова, 50 Каноническая система уравнений сферическая, 51 геодезических, 68 Конец кривой, 39 Ковариантная производная вдоль кривой, 96 Многообразие Эйнштейна, 111 Множество открытое, 7 замкнутое, 7 Ковекторное поле, 87 Начало кривой, 39 Кривая Направление асимптотическая, 74 асимптотическое, 74 гладкая, 39 главное, 73 116 О.В. Знаменская, В.В. Работин Натуральный параметр, 42 колмогоровское, 12 Нормальная кривизна, 72 компактное, 34 Нормальное сечение, 72 линейно связное, 33 Окрестность множества, 12 метрическое, 13 Окрестность точки, 12 несвязное, 29 Омбилическая точка, 73 связное, 29 Основная топологическое, 7 лемма вариационного исчисления, 63 Псевлоевклидово Отображение непрерывное, 20 107 Путь в топологическом пространстве, 33 непрерывное в точке, 20 Параллельное векторное поле, 96 Плоскость пространство, Ранг гладкого отображения, 47 нормальная, 44 Репер Френе, 44 соприкасающаяся, 45 Риманова связность, 68 Площадь области на поверхности, Символы Кристоффеля, 68 57 Система координат Подмножество локальная, 47 связное, 29 Подпространство топологического пространства, 10 Поверхность Скалярная кривизна, 102 Скалярное произведение, 49 Сопровождающий трехгранник Френе, 45 гладкая, 47 Спуск индекса, 90 регулярная, 47 Свертка тензорных полей, 89 Правило суммирование, 55 Связная компонента, 32 Плоскость Тензор спрямляющая, 45 Пространства гомеоморфные, 26 Пространство хаусдорфово, 13 кососимметрический, 90 симметрический, 90 Тензор кривизны Риччи, 101 Тензор кривизны Римана, 100 Тензорный закон преобразования, Дифференциальная геометрия и топология 87 Тензорное поле, 86 Тензорное умножение, 89 Теорема Гаусса, 80, 104 Гаусса–Бонне, 105 деления, 97 Точка эллиптического типа, 76 гиперболического типа, 76 параболического типа, 76 Точка уплощения на поверхности, 71 Топологическое пространство метризуемое, 18 Топология, 6 более сильная, 11 более слабая, 11 индуцированная отображением, 24 метрическая, 17 Угол между кривыми, 55 Уравнения Эйлера–Лагранжа, 62 Уравнения паралельного переноса, 97 Функция непрерывная в точке, 19 Число Лебега, 36 Шар открытый, 16 замкнутый, 17 117 Экстремаль действия, 62 Эквивалентные кривые, 41