Цифровая обработка сигналов. Дискретные сигналы и их типы. Дискретные системы и их типы

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Факультет радиоэлектроники летательных аппаратов Кафедра № 402 Материал к лекционным занятиям по дисциплине «Цифровая обработка сигналов» Москва, 2017 Лекция №1 Дискретные сигналы и их типы. Дискретные системы и их типы. Линейные инвариантные к сдвигу системы. 1. Дискретные сигналы и их типы. Дискретные сигналы образуются путём умножения аналогового сигнала на так называемую функцию дискретизации представляющую собой периодическую последовательность коротких импульсов, следующих с шагом дискретизации (рис. 1.1.1а). В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.1.1б). Рис. 1.1.1 В ЦОС ряд дискретных сигналов используют в качестве испытательных воздействий и называют типовыми. К ним относятся: 1. Цифровой единичный импульс, описываемый последовательностью: Т.е. этот сигнал равен единице при n=0 и нулю при всех остальных значениях n. Задержанный цифровой единичный импульс описывается последовательностью: Т.е. этот сигнал, в отличие от незадержанного, равен единице при n=m значениях и нулю при всех остальных значениях n. 2. Цифровой единый скачок, описываемый последовательностью: 3.Дискретная экспонента, описываемая последовательностью: 4. Дискретный гармонический сигнал, например, дискретная косинусоида, описываемая последовательностью: 5. Дискретный комплексный гармонический сигнал, описываемый последовательностью: 2. Дискретные системы и их типы Под дискретной системой будем понимать техническое устройство или про- грамму, которая осуществляет преобразование дискретной последовательности в другую дискретную последовательность в соответствии с заданным алгоритмом: Алгоритм преобразования входной последовательности в выходную последовательность описывается соотношением: По виду оператора R дискретные системы делят:  на линейные или нелинейные;  стационарные или нестационарные;  физически реализуемые (каузальные) или нереализуемые (некаузальные). 3. Линейные инвариантные к сдвигу системы. Инвариантная во времени система – это система, для которой задержка (или сдвиг) во времени входной последовательности вызывает эквивалентную временную задержку выходной последовательности. Чтобы система была инвариантной во времени, для сдвинутой версии исходного сигнала x(n), должно выполняться следующее соотношение: Где k –некоторое целое число, представляющее задержку в k периодов дискретизации. Чтобы система была инвариантной во времени, условие должно выполняться для любого целого k и для любой входной последовательности. Вопросы: 1. Что такое дискретные сигналы? 2. Какие типы дискретных сигналов бывают? 3. Что такое дискретные система? 4. Какие типы дискретных систем бывают? 5. Что такое линейные инвариантные к сдвигу системы? Лекция №2 Разложение в ряд Фурье и его свойства. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Свойства дискретного преобразования Фурье. 1. Разложение в ряд Фурье и его свойства. Функциональный ряд вида: называется тригонометрическим рядом. Числа называются коэффициентами ряда. Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции f(x) на [a;a+T] если коэффициенты ряда вычисляются по формулам: Свойства ряда Фурье: 1. Свойство линейности Пусть имеются два периодических сигнала  и , с равными периодами повторения  причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены рядом Фурье с коэффициентами разложения  и  где   Везде далее в этом разделе мы будем считать сигналы  и  периодическими с равными периодами повторения причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле. Тогда сигнал  также является периодическим сигналом с периодом  и он также может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами: (1) Таким образом, спектр суммы периодических сигналов равен сумме их спектров. Следствием свойства линейности является свойство умножения на константу. Спектр сигнала ,  равен: 2. Спектр циклической свертки сигналов Пусть сигнал  представляет собой периодическую свертку сигналов  и  (4) Тогда сигнал  также представляет собой периодический сигнал с периодом  и его спектр равен: (5) В выражении (5) использовалось рассмотренное выше свойство циклического временного сдвига. Таким образом, спектр  периодического сигнала  который представляет собой циклическую свертку периодических сигналов  и  равен произведению спектров этих сигналов, умноженных на период повторения  Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров. 3. Спектр произведения сигналов Пусть сигнал  представляет собой произведение сигналов  и  Сигнал  также представляет собой периодический сигнал с периодом  и его спектр равен: (6) 2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — один из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемый в самых разных отраслях науки и техники. При этом разработано множество быстрых алгоритмов для высокой вычислительной эффективности ДПФ. В данном разделе будет уделено особое внимание переходу от непрерывного интеграла Фурье к дискретно-временному преобразованию Фурье (ДВПФ) и, далее, к дискретному преобразованию Фурье. Понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ и сущность цифрового спектрального анализа в целом. Пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид: (1) где  — спектр сигнала  (в общем случае и сигнал и спектр — комплексные). Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид: (2) ДПФ ставит в соответствие  отсчетам сигнала , ,  отсчетов комплексного спектра , . Здесь и далее в данном разделе переменная  индексирует временные отсчеты сигнала, а переменная  индексирует спектральные отсчеты ДПФ. Как в непрерывном, так и в дискретном случаях в выражениях для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это , в случае ОДПФ – . 3. Свойства дискретного преобразования Фурье 1. Линейность. Если  и  — периодические последовательности (с периодом в  отсчетов каждая), a  и  — их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности  равно . Это положение справедливо я для последовательностей конечной длины. 2. Сдвиг. Если последовательность  периодическая с периодом в -отсчетов, а ее ДПФ равно , то ДПФ периодической последовательности вида  будет равно . 3. Свойства симметрии Если периодическая последовательность  с периодом в  отсчетов является действительной, то ее ДПФ  удовлетворяет следующим условиям симметрии:   Вопросы: 1. Приведите определение разложения ряда Фурье. 2. Какие свойства у ряда Фурье? 3. Что такое дискретное преобразование Фурье? 4. Какие свойства ДПФ вы знаете? Лекция №3 Корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция. Автокорреляционная функция, ее свойства. 1. Корреляционная функция. Корреляционная функция детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг относительно друга на время : Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией – чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее. Кроме того, корреляционная функция обладает следующими свойствами: 1.Значение КФ при равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квадрата: 2. КФ является четной функцией своего аргумента : 3. Значение КФ при является максимально возможным значением. 4. С ростом абсолютного значения КФ сигнала с конечной энергией затухает: 5. Если сигнал s(t) не содержит особенностей в виде дельта-функций, его КФ не может иметь разрывов. 6. Если сигнал – напряжение, то размерность его КФ равна 2. Взаимная корреляционная функция. Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский тер­мин — cross-correlation function, CCF) позволяет измерить аналогичную величи­ну для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов. Общий вид формулы КФ сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время : Свойства ВКФ: 2. , То есть изменение знака равносильно взаимной перестановке сигналов. 3. Значение ВКФ при ничем не выделяется, максимум может быть расположен в любом месте оси . 4. С ростом абсолютного значения ВКФ сигналов с конечной энергией затухает. 5. Если сигналы и не содержат особенностей в виде дельта-функций, их ВКФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией). 6. Если сигналы – напряжение, то размерность их ВКФ равна 3. Автокорреляционная функция, ее свойства. Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов. Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними. Свойства: • Фундементальное свойство функции автокорреляции - это симметричность: R(i) = R(−i). В непрерывном случае автокорреляция - это четная функция: • Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига : . Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая. • Автокорреляция периодической функции - это периодическая функция с тем же периодом. • Автокорреляция суммы двух некоррелирующих функций - это сумма автокорреляций этих функций. • Автокорреляция континуального белого шума имеет высокий пик (представимый как дельта-функция Дирака) в нуле и равна нулю во всех других точках. Вопросы: 1. Что такое корреляционная функция? 2. Что такое взаимная корреляционная функция? 3. Приведите определение автокорреляционной функции и ее свойства? Лекция №4 Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов. Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая что сигналы s1(t) и s2(t) имеют спектральные функции и : Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр для сигналов s1(t) и s2(t) представляет собой произведение их спектральных функций, одна из которых подвергнута комплексному сопряжению: Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекры­ваются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах . Таким образом, сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными. Приняв s1(t)=s2(t)=s(t), получаем аналогичный результат для КФ: КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала. КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Вопросы: 1. Что такое спектр сигналов? 2. Что такое корреляционная функция? 3. Какая связь между корреляционной функцией спектром сигналов? Лекция №5 Класс ортогональных функций. Дискретное преобразование Гильберта. Свойства преобразования Гильберта. 4. Класс ортогональных функций.  Функции  f(x)  и  g(x)  называются ортогональными на промежутке [a,b], если    (1)   где  – функция, комплексно сопряженная  f(x).  Если функции  f(x)  и  g(x)  являются вещественными, то условие их ортогональности на промежутке [a,b] имеет вид    (2)         Ортогональные функции имеют важное значение в теории рядов Фурье, в теории линейных операторов и в других разделах математики и квантовой физики.  Примеры ортогональных функций. 1. Пусть  где  i  – мнимая единица;  k  и  n  – целые числа.  Ортогональность этих функций на промежутке [0,2π] при  проверяется непосредственным интегрированием: Учитывая периодичность функций и заключаем, что рассматриваемые функции ортогональны на любом промежутке длиной 2π. 2. Функции  и  являются ортогональными на любом промежутке длиной 2π (при ).  Действительно,   3. Свойством ортогональности на промежутке длиной 2π обладают пары функций при , а также при любых целых значениях  k  и  n:     5. Дискретное преобразование Гильберта Дискретное преобразование Гильберта (ДПГ) вводится по аналогии с обычным (аналоговым) преобразованием Гильберта. Оно определяется как линейное преоб­разование дискретного сигнала х(п), частотная характеристика которого совпадает с частотной характеристика ПГ: Таким образом, ДПГ можно рассматривать как цифровой фильтр, АЧХ которого постоянна во всей полосе частот, а ФЧХ - кусочно-постоянна Такой фильтр будет некаузальным. Это легко увидеть, если рассчитать импульсную характеристику ДПГ: 6. Свойства преобразования Гильберта. Рассмотрим основные свойства преобразования Гильберта. Пусть сигналы  и  имеют преобразования Гильберта соответственно  и . Тогда можно сформулировать следующие свойства: Свойство линейности. Если сигнал   и  - постоянные, то преобразование Гильберта  равно: Другими словами преобразование Гильберта суммы двух сигналов равно сумме преобразований Гильберта каждого из сигналов. Свойство масштабирования. Если сигнал  имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа, имеет преобразование Гильберта: Можно сделать вывод о том, что масштабирование сигнала (сжатие - растяжение) приводит к такому же масштабированию его преобразования Гильберта. Свойство временного сдвига. Если сигнал  имеет преобразование Гильберта , то сигнал , - константа имеет преобразование Гильберта: Временной сдвиг сигнала приводит к сдвигу его ортогонального дополнения. Теорема о свертке. Пусть сигналы  и  имеют преобразования Гильберта соответственно  и. Рассмотрим преобразование Гильберта свертки этих сигналов  . Для этого осуществим переход в частотную область и получим: Перейдя во временную область можно переписать в следующем виде: Вопросы: 1. Назовите классы ортогональных функций? 2. Что такое дискретное преобразование Гильберта? 3. Какие известны свойства преобразования Гильберта? Лекция №6 Вейвлет-преобразование. Виды вейвлет-преобразоваиия, ортонормированные базисы вейвлетов. 4. Вейвлет-преобразование. Вейвлет – преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин "вейвлет" (англ. wavelet) в переводе с английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлеты - это обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT). Чтобы быть вейвлетами семейство функций должно удовлетворять следующим требованиям: 2) Допустимость. Анализирующий вейвлет ψ(t), называемый также материнским вейвлетом, должен иметь нулевое среднее значение. 3) Подобие. Все функции семейства получаются из анализи- рующего вейвлета путем масштабного преобразования и сдвига. 4) Обратимость. Существование обратного преобразования, однозначно восстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет – преобразованию. 4) Регулярность. Функция ψ(t) должна быть хорошо локализована и в физическом пространстве и в пространстве Фурье. 5. Виды вейвлет-преобразоваиия, ортонормированные базисы вейвлетов. Непрерывное вейвлет – преобразование. Непрерывное вейвлет – преобразование одномерной функции: где ψ(t) - вещественная или комплексная функция удовлетворяющая условиям (1-4). Если выполняется условие: где ψ(t) - фурье – образ анализирующего вейвлета: то для преобразования справедлива формула обращения: Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. ДВП оперирует с дискретными значениями параметров а и b, которые задаются, как правило, в виде степенных функций: a = ао-m, b = k·ао-m, ao > 1, m, k  I, где I – пространство целых чисел {-, }, m – параметр масштаба, k – параметр сдвига. Базис пространства L2(R) в дискретном представлении: Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования: Cmk =s(t)mk(t) dt. Значение 'a' может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием. Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе массивов цифровых данных. Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства: s(t) = Cmkmk(t). Число использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту m задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень (m = 0) обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни (m < 0) образуют ниспадающее вейвлет-дерево. В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по m знак 'минус' обычно переносится непосредственно, т.е. используется следующее представление базисных функций: mk(t) = |ао|-m/2(ао-mt-k), m,k  I, (t) Î L2(R). Как и для непрерывного вейвлет-преобразования, обратное дискретное преобразование не может выполнить восстановление нецентрированных сигналов в силу нулевого первого момента вейвлетных функций и, соответственно, центрирования значения вейвлет-коэффициентов Cmk при прямом вейвлет-преобразовании. Поэтому при обработке числовых массивов данных дискретные вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними дискретными скейлинг-функциями. Вопросы: 1. Что такое вейвлет-преобразование? 2. Какие виды вейвлет-преобразований известны? 3. Что такое ортонормированные базисы вейвлетов? Лекция №7 Системы, описываемые разностными уравнениями. Импульсная характеристика. Передаточная функция. Частотная характеристика. 4. Системы, описываемые разностными уравнениями Описание дискретной системы разностным уравнением. Наиболее простой формой представления оператора R , связывающего входную и выходную последовательности, является разностное уравнение. Под разностным уравнением понимают соотношение, которое определяет связь между последовательностями и их разностями различных порядков. Разностное уравнение называют линейным, если указанное соотношение включает операции сложения и умножения на постоянный множитель. Методы решения разностных уравнений во многом аналогичны методам решения дифференциальных уравнений. Аналитические методы позволяют получить решение в общем виде, пригодном для анализа работы дискретной системы. Численные методы решения дают результат в виде последовательности. Разностное уравнение записывается в виде, удобном для непосредственного расчета: 5. Передаточная функция Наряду с разностным уравнением для описания динамических свойств дискретной системы используется передаточная функция. Передаточной функцией H (z) дискретной системы называется отношение z -изображения выходной последовательности y(n) к z - изображению входной последовательности x(n ) при нулевых начальных условиях: Передаточную функцию можно получить, применив z -преобразование к разностному уравнению. При этом учитывают свойства z -преобразования. 6. Импульсная характеристика. Важнейшей характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика. Импульсная характеристика h(n) представляет собой реакцию системы на воздействие в виде единичного импульса  (n) при нулевых начальных условиях. Так как X (z) = Z   (n) =1 , то из уравнения системы следует, что импульсная характеристика представляет собой обратное z  преобразование передаточной функции H(z) , то есть Отсюда: 7. Частотная характеристика Частотная передаточная функция дискретной системы может быть получена формальной заменой , полученной отбрасыванием вещественной части переменной s преобразования Лапласа: В результате указанной замены в получим: Частотная передаточная функция характеризует преобразующие свойства дискретной системы при гармоническом входном воздействии x(n) . Покажем это. Пусть на вход системы подается комплексная гармоническая последовательность: Тогда, поскольку система линейна, последовательность на выходе может быть только вида: Подставив x n( ) и y n( ) в разностное уравнение, получим Перепишем полученное выражение в следующем виде: Отсюда найдем: Частотная передаточная функция дает полное описание линейной стационарной дискретной системы. По этой функции могут быть определены любые другие характеристики. Вопросы: 1. Какие системы, описываемые разностными уравнениями вы знаете? 2. Что такое импульсная характеристика? 3. Что такое частотная характеристика? 4. Что такое передаточная функция? Лекция №8 Методы синтеза КИХ-фильтров. Синтез фильтров по методу окна. Весовые функции в методе окна. 5. Методы синтеза КИХ-фильтров. Фильтр, импульсная характеристика которого является последовательностью конечной длины, называют фильтром с конечной импульсной характеристикой, или КИХ-фильтром. Такой фильтр всегда можно сделать физически реализуемым, введя необходимую задержку импульсной характеристики. Если все элементы импульсной характеристики конечны, то КИХ-фильтр всегда устойчив, так как проверка на устойчивость сводится к суммированию конечного числа ограниченных слагаемых. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой. Известны три класса методов синтеза КИХ-фильтров с линейной фазой: · методы взвешивания с помощью окна; · методы частотной выборки; · методы оптимальных (по Чебышеву) фильтров. 6. Синтез фильтров по методу окна Метод окон, используемый при синтезе многомерных КИХ-фильтров, принципиально не отличается от своего одномерного аналога. Этот метод работает в пространственной области и направлен на аппроксимацию не идеального частотного, а идеального импульсного отклика. Пусть  и  - импульсный и частотный отклики идеального фильтра, a  и  - импульсный и частотный отклики синтезированного фильтра. Ненулевые отсчеты  расположены в некоторой опорной области конечной протяженности . При использовании метода окон коэффициенты  определяются соотношением .    Последовательность  носит название функции окна. Ограничив  опорной областью , мы тем самым ограничим  той же областью. Поскольку  образуется как произведение  и , частотный отклик  связан с  соотношением свертки в частотной области, а именно ,  где  - Фурье-преобразование функции окна. Частотный отклик  представляет собой сглаженный идеальный частотный отклик, причем сглаживающей функцией является Фурье-преобразование функции окна. Часто в процессе синтеза фильтра его требуемые свойства описываются с помощью , а не . В этих случаях нужно либо вычислить  аналитически, либо аппроксимировать путем дискретизации  и выполнить обратное ДПФ. Поскольку опорная область  в общем случае имеет бесконечную протяженность, это приводит к искажению функции  вследствие пространственного наложения. Для уменьшения погрешности наложения необходимо, чтобы размер опорной области обратного ДПФ в несколько раз превышал опорную область . 7. Весовые функции в методе окна. Нерекурсивные фильтры относятся к ЦФ с конечной импульсной характеристикой (КИХ – фильтры) и их синтез выполняется по заданной идеализированной частотной характеристике передачи Нid(jω) = H (iΩ). Синтез заключается в отыскании импульсной характеристики фильтра h(n) конечной длины N, являющейся коэффициентами его передаточной функции  . В данном случае синтез фильтра осуществляется с помощью весовых функций (или с помощью взвешивающих окон), является универсальным методом, что позволяет получить фильтр с любой заданной АЧХ. Он достаточно прост и находит широкое применение на практике. Основной недостаток этого метода в том, что он дает не очень точный результат, что требует проведения итераций в процессе расчета, а также синтезируется фильтр несколько большей длины, чем при других методах. Частотная характеристика и импульсная связаны парой преобразований Фурье. Поэтому с помощью обратного преобразования Фурье может быть найдена импульсная характеристика hid(n), которая соответствует заданной идеализированной частотной характеристике:   Однако, импульсная характеристика hid(n) идеального фильтра не отвечает условию физической реализуемости и имеет бесконечную длину. Поэтому не может быть использована в качестве импульсной характеристики НЦФ, [2]. Получить на основе импульсной характеристики физически реализуемый (КИХ (hp(n))) фильтр с частотной характеристикой, близкой к заданной, можно путем сдвига hp(n) вправо на  отсчетов и усечения ее за пределами n < 0 и n ≥ N . При этом частотная характеристика фильтра аппроксимируется усеченным рядом Фурье с коэффициентами  :       Однако это усечение приводит к колебаниям АЧХ, ухудшающим параметры фильтра. Для улучшения аппроксимации импульсную характеристику НЦФ  домножают на специальную весовую функцию или окно w(n) конечной длины N:     Выбор взвешивающего окна определяется необходимой степенью подавления в полосах непропускания синтезируемого фильтра. Отметим, что простое усечение импульсной характеристики эквивалентно умножению на прямоугольную весовую функцию wR(n)=1, при n = 0, 1, 2, . . . , N-1. Вопросы: 1. Какие методы синтеза КИХ-фильтров бывают? 2. Что такое синтез фильтров по методу окна? Лекция №9 Фильтры на основе частотной выборки. Синтез оптимального фильтра. 1. Фильтры на основе частотной выборки. Этот метод применим как к аналоговым, так и к цифровым фильтрам, но в последнем случае его легче реализовать на практике. Рассмотрим дискретизацию колебаний во временной области. Непрерывный сигнал с ограниченной в пределах  Гц полосой может быть точно восстановлен по его выборкам, взятым через интервалы 1/2W=T секунд.  Частотная характеристика идеального интерполирующего фильтра при этом постоянна в пределах от -W до W Гц и равна нулю вне этих пределов. Соответствующая импульсная характеристика имеет вид: Каждая выборка сигнала является амплитудой такой импульсной характеристики. Фильтры на основе частотной выборки описываются аналогичными соотношениями, но в частотной области, т. е. импульсная характеристика, ограниченная пределами  секунд. 2. Синтез оптимального фильтра Конструирование передаточной функции минимального порядка, при кото­ром обеспечивается выполнение всех заданных требований и ограничений означает, что в результате решения поставленной задачи достигается: • необходимая точность аппроксимации заданной характеристики в соот­ветствии с предъявленными к характеристике требованиями согласно вы­бранному критерию близости; в случае избирательных фильтров такой ха­рактеристикой обычно является АЧХ (или характеристика ослабления); • выполнение установленных ограничений, таких как: • вида ФЧХ (в данной лекции рассматриваются КИХ-фильтры с линей­ной ФЧХ); • соотношения между коэффициентами передаточной функции (симмет­рии или антисимметрии); • структуры фильтра; • физической реализуемости и т.д. Задачу, решение которой при заданных условиях дает минимальный порядок передаточной функции, называют задачей оптимального синтеза. Частотные отклики фильтров с конечной опорной областью могут только приблизительно соответствовать требуемым частотным характеристикам. Обычно реальный частотный отклик отличается от заданного на величину ошибки .                                    Один из подходов к синтезу фильтра заключается в таком выборе коэффициентов фильтра, при котором минимизируется какой-либо функционал этой ошибки, например ее -норма (среднеквадратичное значение) ,                                              ее -норма                               или норма Чебышёва () .                                            (1)                         Поскольку фильтры, построенные с использованием разных критериев ошибки, могут заметно различаться, мы рассмотрим в этом разделе несколько примеров. При этом мы ограничимся рассмотрением фильтров с нулевой фазой [с вещественным откликом ]. Частотный отклик КИХ-фильтра с опорной областью  имеет вид .          (2)                    Подставив (2) в (1), получим .         Видно, что ошибка является линейной функцией неизвестных коэффициентов фильтра. Это делает общую задачу синтеза КИХ-фильтров относительно проще задачи синтеза фильтров для некоторых специальных способов реализации, или задачи синтеза БИХ-фильтров. Для вещественного фильтра с нулевой фазой величины  и  равны, что позволяет записать уравнение (2) в виде .                     (3) Здесь  содержит приблизительно вдвое меньше отсчетов, чем . Чтобы можно было выполнить линейную аппроксимацию, упростим уравнение (3), записав его в виде ,                                                                 где  - индекс, определяющий порядок отсчетов  в , a  - число независимых отсчетов в импульсном отклике, т. е. число степеней свободы аппроксимации. Коэффициенты  - это просто значения импульсного отклика, которые требуется найти ,                                                                                                       а функции , часто называемые базисными функциями аппроксимации, определяются как                         Такая запись позволяет накладывать линейные ограничения на коэффициенты импульсного отклика. Вопросы: 1. Какие фильтры на основе частотной выборки вы знаете? 2. Назовите основные методы синтеза КИХ-фильтров. Лекция №10 Аналоговые фильтры, их тины и характеристики. Методы аппроксимации аналоговых фильтров. 1. Аналоговые фильтры, их типы и характеристики Под фильтрацией понимают такое преобразование сигнала, при котором его определенные полезные особенности сохраняются, а нежелательные свойства подавляются. Осуществляется фильтрация при помощи фильтра, представляющего собой динамическую систему с определенными динамическими свойствами. С помощью фильтрации решают многочисленные задачи, возникающие на практике, в том числе: 1) подавление шумов, маскирующих сигнал; 2) устранение искажения сигнала, вызванного несовершенством канала передачи или погрешностью измерения; 3) разделение двух или более различных сигналов, которые были преднамеренно смешены для того, чтобы в максимальной степени использовать канал; 4) разложение сигналов на частотные составляющие; 5) демодуляция сигналов; 6) преобразование дискретных сигналов в аналоговые; 7) ограничение полосы частот, занимаемой сигналами. Различают аналоговые фильтры, в которых обрабатываемый сигнал имеет аналоговую форму, и цифровые фильтры, предназначенные для обработки цифровых сигналов. Классификация фильтров. Фильтры принято классифицировать по следующим признакам. По виду амплитудно-частотной характеристики (АЧХ): фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие или полосовые (ПП), полосно-задерживающие (ПЗ). По типам элементов, используемых для реализации: пассивные LC-фильтры, активные RC-фильтры, фильтры на переключаемых конденсаторах и т. д. На рис.1, а–г показаны идеальные АЧХ фильтров: нижних частот, верхних частот, полосно-пропускающего и полосно-задерживающего. Цепь, состоящая из конечного числа элементов, не может реализовать идеальные характеристики, показанные на рис. 1. Поскольку с помощью реальной цепи невозможно реализовать постоянную амплитудно-частотную характеристику, задают максимальное отклонение АЧХ в полосе пропускания Amax . В полосе задерживания задается минимальная величина ослабления сигнала Amin . Физически реализуемый фильтр всегда имеет переходную полосу между полосами пропускания и задерживания. Она расположена между частотой среза wс и граничной частотой полосы задерживания ws . Отношение ws/wс характеризует избирательность фильтра. Рис. 1 Итак, амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот определяется следующими параметрами: 1) частотой среза wc ; 2) максимальным отклонением в полосе пропускания Amax ; 3) граничной частотой полосы пропускания ws ; 4) минимальным затуханием в полосе задерживания Amin . 2. Методы аппроксимации аналоговых фильтров Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде: где  - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется потому что его частота среза. Основными способами аппроксимации являются: • Аппроксимация по Баттерворту, при которой . • Аппроксимация по Чебышеву: ,  - многочлен Чебышева -го порядка. • Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева): . • Аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация):,  - эллиптическая дробно-рациональная функция. Для того чтобы АЧХ фильтра  разместилась в заданном коридоре необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: (8) Очевидно, что первое условие будет выполнено, если (9) Чтобы выполнилось второе условие, необходимо чтобы порядок фильтра обеспечивал переходную полосу заданной ширины и с заданным подавлением, т.е. (10) Откуда можно выразить: (11) Таким образом, мы получили уравнение (6), решая которое относительно  можно рассчитать требуемый порядок фильтра, при котором АЧХ фильтра разместится в заданном коридоре. При этом рассчитанное  округляется в большую сторону до ближайшего целого. Вопросы: 1. Что такое аналоговые фильтры? 2. Какие характеристики и типы аналоговых фильтров бывают? 3. Какие методы аппроксимации аналоговых фильтров существуют? Лекция №11 Изменение частоты дискретизации сигнала. Постановка задачи интерполяции. 1. Изменение частоты дискретизации сигнала. Изменение частоты дискретизации выполняется следующим способом: сначала на временной оси вычисляется позиция точки, соответствующей данному отсчёту на новой частоте дискретизации, затем с помощью какого-либо метода аппроксимации ищется значение функции в данной точке. Ошибка складывается из двух составляющих: - ошибка позиционирования на временной оси - ошибка аппроксимации   Первая составляющая легко уменьшается путем увеличения точности расчета. Для того, чтобы добиться уровня влияния ниже -90 дБ необходимо иметь точность не ниже 16-ти двоичных разрядов. Это условие обычно легко выполнимо. Вторая составляющая зависит от выбранного способа аппроксимации. Самый простой способ - линейная аппроксимация. Он даёт искажения примерно на уровне -60 дБ для частоты 1кГц при передискретизации с 44100 Гц на 48000 Гц. Интерполяция по Лагранжу даёт искажения на уровне -90дБ.   Analog Devices в своих преобразователях частоты дискретизации использует следующий способ: - поиск положения на временной оси осуществляется с точностью 20 двоичных разрядов - аппроксимация (восстановление огибающей) осуществляется с помощью фильтрации 64-х точечным КИХ-фильтром.   Эти операции также соответствуют следующему порядку действий: сначала в 1000000 раз увеличили частоту дискретизации и восстановили огибающую, затем из полученных отсчётов выбрали ближайший к интересующей точке времени. Искажения при таких параметрах находятся на уровне -120 дБ. Прямая реализация такого алгоритма невозможна, так как частота дискретизации получается несколько десятков гигагерц и требуется производить много вычислений, результат которых будет просто выбрасываться, поэтому используются различные ухищрения.   Кроме прямого назначения, этот же алгоритм может применяться для изменения времени звучания звукового фрагмента, аналогично притормаживанию-ускорению пластинки или плёнки при проигрывании. 2. Постановка задачи интерполяции Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Сущность его заключается в том, что функции yi = s(xi) сопоставляется интерполяционный многочлен f(x) = а0 + а1х + а2х2 + … + anxn =ai·xi, принимающий в точках xi те же значения yi, что и функция f(x). Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов ai. При N точках функции yi максимальная степень интерполяционного многочлена n=N-1, и в этом случае говорят о глобальной интерполяции с прохождением f(x) через все значения точек yi. Однако в этом случае при большом количестве узлов получается очень высокая степень многочлена. Кроме того, экспериментальные табличные данные могут содержать ошибки измерений, а глобальная интерполяция повторит все допущенные при измерениях ошибки. Для исключения этого фактора стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, n=1, 2, 3), график которого проходит близко от узловых точек. На практике мерой отклонения многочлена f(x) от заданной функции на множестве точек (xi,yi) является величина  среднеквадратичного приближения 2 = i(f(xi)-yi)2, минимальное значение которой обеспечивается подбором коэффициентов ai. Вопросы: 1. Приведите постановку задачи интерполяции. 2. Как изменяется частота дискретизации сигнала? Лекция №12 Способы интерполяции. Множественная фильтрация. Полиномиальная интерполяция. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Сущность его заключается в том, что функции yi = s(xi) сопоставляется интерполяционный многочлен f(x) = а0 + а1х + а2х2 + … + anxn =ai·xi, принимающий в точках xi те же значения yi, что и функция f(x). Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов ai. При N точках функции yi максимальная степень интерполяционного многочлена n=N-1, и в этом случае говорят о глобальной интерполяции с прохождением f(x) через все значения точек yi. Однако в этом случае при большом количестве узлов получается очень высокая степень многочлена. Кроме того, экспериментальные табличные данные могут содержать ошибки измерений, а глобальная интерполяция повторит все допущенные при измерениях ошибки. Для исключения этого фактора стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, n=1, 2, 3), график которого проходит близко от узловых точек. На практике мерой отклонения многочлена f(x) от заданной функции на множестве точек (xi,yi) является величина  среднеквадратичного приближения 2 = i(f(xi)-yi)2, минимальное значение которой обеспечивается подбором коэффициентов ai. Линейная и квадратичная интерполяция являются самыми простыми способами обработки таблиц и выполняются по уравнениям: f(x)лин = а0 + а1х. f(x)кв = а0+а1х+а2х2. При линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых. Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-й степени Y(x): Y(x) = + +… …+ . При сплайновой интерполяции обычно используются локальные полиномы не выше третьей степени. Так, например, кубические сплайны проходят через три смежные узловые точки (текущие опорные точки вычислений), при этом в граничных точках совпадают как значения полинома и функции, так и значения их первых и вторых производных. Коэффициенты полиномов, проходящих через три узловые точки, рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закреплённую в узловых точках. Это создает высокую плавность сплайнового полинома по сравнению с другими методами аппроксимации. Полиномы более высоких порядков чрезмерно громоздки для практики. Вопросы: 1. Какие способы интерполяции вы знаете? 2. Что такое множественная фильтрация?