Центральное растяжение – сжатие

Тема 1. Центральное растяжение – сжатие Основные понятия, допущения и гипотезы. В статике изучаются абсолютно твердые тела, которые под действием внешних сил не изменяют размеров и формы. В действительности таких тел нет, все реальные элементы конструкций и машин при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры – деформируются и при некоторой величине сил могут разрушиться. Способность деформироваться – одно из основных свойств всех твердых тел. Она является следствием их молекулярного строения. Как известно, твердые тела состоят из молекул, расположенных беспорядочно (аморфное строение) или в определенном порядке (кристаллическое строение). Молекулы не заполняют всего объема тела, а удерживаются на некотором расстоянии одна от другой под влиянием межмолекулярных сил взаимодействия. Приложение внешних сил нарушает нормальные расстояния между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется нормальное межмолекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости, а свойство тел устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью. Если тело не восстанавливает первоначальной формы и размеров, деформации называют остаточными, или пластичными. Наличие остаточных деформаций в деталях машин в подавляющем большинстве недопустимо. Внутренние силы могут увеличиваться лишь до определенного предела, характеризуемого прочностью материала. Если внутренние силы не в состоянии уравновесить внешние нагрузки, тело разрушается. Для расчета реальной конструкции, установления математических соотношений между действующими силами, геометрическими размерами деталей конструкции, деформациями и силами упругости необходимо отбросить несущественные, с точки зрения расчета, факторы, т.е. идеализировать конструкцию – создать расчетную схему, сохраняющую основные свойства реальной конструкции, но лишенную ее второстепенных свойств. Основные допущения и принципы, принятые при расчете конструкций: 1. Все тела предполагаются абсолютно упругими. 2. Все тела по своему строению предполагаются сплошными, не имеющими во внутренней структуре трещин или полостей. 3. Материал рассматривается как однородная, изотропная, сплошная среда, обладающая свойством упругости. Изотропный материал обладает одинаковыми физико-механическими свойствами во всех направлениях (не изотропный материал – дерево, оно по-разному сопротивляется нагружению вдоль и поперек волокон). 4. Перемещения точек тела под действием нагрузок очень малы по сравнению с размерами тела, поэтому уравнения равновесия составляются как для недеформируемого тела. 5. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. 6. Внешние силы действуют независимо друг от друга. Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы, при этом порядок приложения сил безразличен. Это положение известно под названием принципа независимости действия сил. Классификация сил.Внешние силы– это активно приложенные нагрузки – силы и моменты. Например, усилие пилота на рычаге, вращающий момент, действующий на вал со стороны привода, сила тяги ВС – типичные приложенные нагрузки. Приложенная нагрузка может создаваться в результате активного воздействия на тело окружающей среды (температурная нагрузка на лопатки турбины со стороны потока раскаленных газов, аэродинамическая нагрузка на крыло от встречного воздушного потока и др.). К внешним нагрузкам относят также реакции. Эти нагрузки прикладываются к нагруженным элементам со стороны сопрягающихся с ними опор, например, сила противодействия пилоту со стороны рычага, нагрузка на вал со стороны подшипников, силы и моменты со стороны фюзеляжа на крыло или стойку шасси и т.д. Внешние нагрузки, прикладываемые к авиаконструкциям в процессе эксплуатации техники, могут достигать сотен тонн, действовать кратковременно или длительно. По характеру действия силовые факторы подразделяются на статические и динамические нагрузки. Статические нагрузки – силы и моменты, постоянные или медленно изменяющиеся по величине (детали и узлы ВС на стоянке или при установившемся горизонтальном полете. Пилот медленно и плавно нажимая на рычаг управления, прикладывает к нему статическую нагрузку). Динамические нагрузки – силы и моменты, которые прикладываются внезапно, сразу полной своей величиной (ударные), быстро нарастающие либо убывающие (инерционные), изменяющиеся по направлению (циклические). Например, на шасси самолета в момент приземления действует со стороны грунта динамическая нагрузка ударного характера; изменение скорости полета сопровождается возникновением инерционных нагрузок на детали и узлы самолета и двигателя; под циклической нагрузкой можно рассматривать комплекс усилий, вызывающий вибрацию крыла. По способу приложения силовые факторы подразделяются на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенными силами называются силы, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента. Например, силы, действующие на узлы крепления двигателя к самолету, на узлы крепления элеронов, рулей и т.д. Распределенными силами называют силы, приложенные к элементам конструкции на протяжении некоторой длины или площади, и которые могут быть равномерно распределенными или неравномерно распределенными. Так аэродинамическая нагрузка по поверхности крыла представляет собой нагрузку, неравномерно распределенную по площади. Вес горизонтально расположенной балки представляет собой нагрузку, равномерно распределенную по длине (погонную нагрузку). Для полки лонжерона крыла, сечение которой уменьшается от корневой части к консоли, нагрузка от собственного веса является неравномерно распределенной по длине. Метод сечений. Виды деформаций. Напряжения. Будем рассматривать внутренние силы и деформации, возникающие в элементах конструкций, схематизированных в форме бруса (вал двигателя, тяга управления, лонжерон), длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Брус может быть прямым (валы, оси, тяги, балки) или кривым (крюк, пружина, звено цепи), иметь постоянное или переменное сечение. Например, подкос шасси самолета считают брусом постоянного сечения, лопатку компрессора ГТД, лопасть воздушного винта – брусом переменного сечения. Кроме стержней (брусьев), могут встречаться пластинки или оболочки, у которых только один размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы. Выше отмечалось, что внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем внутренние силы упругости. Эти внутренние силы стремятся уничтожить полученную телом деформацию. Обнаружить возникающие в нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения – заменяющими действие отброшенной части тела на оставленную. Рассечем находящийся в равновесии стержень на две части (рис. 3.2.1, а). В сечении возникают внутренние силы упругости (рис. 3.2.1, б), уравновешивающие внешние силы, приложенные к отсеченной части. Это позволяет применить к любой отсеченной части тела условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений. В соответствии с правилами статики, приведем внутренние силы к главному вектору и главному моменту. Разложим главный вектор и главный момент внутренних сил на составляющие по осям координат (рис. 3.2.2):  – продольная сила;  и  – поперечные силы (срезающие или сдвигающие);  – крутящий момент; Mx и My – изгибающие моменты. Рис. 3.2.1 В частных случаях отдельные силовые факторы могут быть равны нулю. Координатные оси будем направлять следующим образом: ось Z – вдоль оси стержня, а оси X и Y – вдоль главных центральных осей его поперечного сечения.  Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, полностью определяют характер его деформации. Деформации отдельных элементов могут быть сложными, но любую деформацию всегда можно представить как сочетание нескольких простейших деформаций. Известны следующие простейшие виды деформаций стержней: - осевое растяжение и сжатие – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления ВС, стоек шасси, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей); - сдвиг или срез – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.); - кручение – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент (работа валов, крыла и фюзеляжа ВС, рулей и элеронов, работа стойки шасси); - изгиб чистый – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент. Если в сечении стержня возникает еще и поперечная сила, то изгиб называют поперечным (работа всякого рода балок, лонжеронов крыла, качалок управления ВС, ручки управления ВС, стойки шасси). Напряжения. Принято считать, что внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению. Мерой их интенсивности является напряжение – величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения (рис. 3.2.3). Напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади (1 H/м2 = 1 Па). В практических расчетах удобно измерять напряжения в мегапаскалях (1 МПа = 1 Н/мм2 = 106 Па = 106 Н/м2). Рис. 3.2.3 Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. В общем случае напряжения по различным сечениям будут различны. Напряжения в некоторой точке какого-либо сечения тела характеризуются числовым значением и направлением, т.е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению. Направление и числовая величина напряжения зависят от характера и величины внешних сил, приложенных к телу, от положения сечения в теле и положения точки в сечении. Пусть в некоторой точке k сечения тела по некоторой малой площадке DА действует сила  под некоторым углом к площадке (см. рис. 3.2.3). Поделив эту силу на площадь ΔА, найдем возникающее в точке k напряжение:  при DА® 0. (3.2.1) Разложим напряжение  на составляющие:  (сигма) – нормальное напряжение (по нормали к площадке ΔА) и  (тау) – касательное напряжение. Полное напряжение и его составляющие являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжения по какому-либо сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление. Поэтому эти напряжения не принято обозначать, как векторы. Нормальное напряжение возникает при сближении или отрыве частиц тела, а касательное – при скольжении или сдвиге частиц. При решении задач сопротивления материалов удобнее оперировать не с полным напряжением, а с его составляющими, среднюю величину которых при равномерном распределении нагрузки можно вычислить по формулам: σ =  ; t =  . (3.2.2) Полное напряжение определяется по формуле  . (3.2.3) Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным, и обозначаются σпр, τпр. Эти напряжения определяют опытным путем. Во избежание разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (σ, τ) не должны превышать так называемые допускаемые напряжения – наибольшие напряжения, при которых обеспечивается надежная работа детали. Допускаемые напряжения обозначаются буквами в квадратных скобках: [σ], [τ] и вычисляются по формулам: [σ ] = σпр/[n], [τ ] = τпр/[n], (3.2.4) где [n] = 1,2, … 5 – коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений и запаса прочности детали производится с учетом характера действия нагрузок, механических свойств материала, назначения проектируемой конструкции, вида деформации детали, наличия или отсутствия концентрации напряжений, точности расчета и других факторов. Назначение недостаточного запаса может привести к разрушению детали, излишне большой запас приводит к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Опасным напряжением для пластичного материала будет предел текучести σт, по которому и берется допускаемое напряжение, опасным же напряжением для хрупкого материала будет предел прочности σв, тогда [σ] = σт/[n] и [σ ] = σв/[n]. (3.2.4¢) Нагрузка, по которой следует производить расчет на прочность, должна быть больше эксплуатационной, чтобы обеспечить безопасность работы конструкции для этого вводится коэффициент безопасности (f) – число, показывающее во сколько раз разрушающая нагрузка Fр будет больше эксплуатационной. Коэффициент безопасности определятся по формуле  . Растяжение и сжатие. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила (N), действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения. Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления ВС и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д. Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 3.2.4). 1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.  2. Методом сечений на каждом участке определяем продольные силы N1 и N2, начиная со свободного конца. Во всех точках поперечного сечения бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса. ΣZ = – N1 + 3F = 0; N1 = 3F. Аналогично находим продольную силу N2: ΣZ = – N2 – 2F + 3F = 0; N2 = F. В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие – отрицательными. 3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле σ =  . (3.2.5) Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (см. рис. 3.2.4). Условие прочности при растяжении – сжатии: smax =  < [σ ]. (3.2.6) Три задачи, решаемые из условия прочности: 1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал: F =N < A [σ]. 2. Проектный расчет – определение размеров поперечного сечения, если известна нагрузка и материал: A >  . 3. Проверка прочности: σmax < [σ]. Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635–1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.   Математически закон можно записать в виде равенства σ = E ε. (3.2.7) Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода (табл.). Материал Коэффициент пропорциональности, МПа Чугун (1,5...1,6)×105 Сталь (1,96...2,1)×105 Сплавы алюминия (0,69...0,71)×105 Титановые сплавы 1,1×105 Модуль упругости и напряжения определяется по формуле E = σ / ε. Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации (  ) и нормального напряжения (  ), то абсолютная продольная деформация  . (3.2.8) Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса (рис. 3.2.5): Dl = l1 – l. Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе. Рис. 3.2.5 Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков: Δl = Σ (Δli). При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b1. Абсолютное сужение Δb = b – b1. Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией: ε' = Δb/b. Опытами французского ученого С.Д. Пуассона (1781–1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона: μ =  . Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона – величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: сталь – 0,24...0,30; алюминиевые сплавы – 0,3…0,35. Механические испытания материалов. Для определения физико-механических свойств материалов наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют сравнительно точно определить поведение материала при других видах деформаций, и этот вид испытаний, кроме того, наиболее легко осуществим. По механическим свойствам материалы могут быть разделены на две основные группы: пластичные и хрупкие. У первых разрушению предшествует возникновение значительных остаточных деформаций; вторые разрушаются при весьма малых остаточных деформациях. Пластичными материалами в обычных условиях являются малоуглеродистая сталь, медь; хрупкими – некоторые специальные сорта стали, чугун. Чтобы иметь наглядное представление о поведении материала при растяжении, строят кривую зависимости между величиной удлинения испытываемого образца и величиной вызвавших его сил, так называемую диаграмму растяжения. Типичная диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали представлена на рис. 3.2.6, которую можно условно разделить на четыре участка. Рис. 3.2.6 Имеется график зависимости между действующей на образец растягивающей силой F и удлинением Δl (рис. 3.2.6, а). Разделив абсциссы Δ l на первоначальную длину l, а ординаты F на первоначальную площадь поперечного сечения А, получим график зависимости напряжения σ = F/A от продольной деформации ε = Δl /l (рис. 3.2.6, б). До значения напряжения, соответствующего точке А диаграммы, имеет место линейная зависимость между величинами относительного удлинения и напряжения, т.е. соблюдается закон Гука. Напряжения, соответствующие точке А диаграммы, называются пределом пропорциональности материала (σпц). При переходе за точку А справедливость закона Гука нарушается: удлинение растет интенсивнее, чем сила; прямая ОА переходит в кривую АВ, обращенную выпуклостью кверху. До точки В диаграммы увеличение растягивающей силы практически не вызывает остаточных деформаций образца, материал деформируется упруго и напряжение, соответствующее точке В, называется пределом упругости (σу). Предел пропорциональности и предел упругости для многих материалов, например для стали, оказываются настолько близки, что зачастую их считают совпадающими и отождествляют, несмотря на физическое различие этих пределов. Угол наклона начального участка ОА диаграммы растяжения пропорционален модулю продольной упругости материала: tg α = σ/ε = E. Следовательно, чем круче этот участок, тем больше модуль упругости материала, тем он жестче. Кривая АВ от точки В переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую ВС, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном или очень незначительном возрастании силы; материал, как говорят, течет. Напряжение, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести (σт). При достижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как на ней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45°, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца. Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов. Точка D соответствует пределу прочности или временному сопротивлению (σвр). Пределом прочности называют отношение максимальной силы, которую может выдержать образец, к первоначальной площади его поперечного сечения. Временное сопротивление – условное напряжение: при этом напряжении на образце образуется резкое местное сужение, так называемая шейка, намечается место последующего разрыва. Образец сильно удлиняется за счет пластической деформации шейки. Площадь сечения шейки уменьшается и для доведения образца до разрушения требуется сила меньше Fвр, это отмечает участок диаграммы, отклоняющийся вниз к оси абсцисс. Точка К соответствует разрушению образца. Действительные напряжения в сечении шейки не уменьшаются, а все время растут; площадь сечения шейки уменьшается более интенсивно, чем растягивающая сила. Точка Е соответствует напряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва.  Понятие о жаропрочности и ползучести. Детали многих современных машин, в частности, некоторые детали летательных аппаратов, работают при высоких температурах. Нагрев изменяет механические характеристики материалов, снижая прочностные показатели. На рис. 3.2.7 показаны механические характеристики при разных температурах легированной стали 35ХГСА и специального жаропрочного сплава, применяемого для изготовления многих деталей турбин ГТД. Пределы прочности и текучести жаропрочного сплава почти не меняются до 700 °С и остаются высокими при нагреве до 800 °С, в то время как у легированной стали резкое снижение этих прочностных характеристик начинается уже при температуре 300–400 °С. Ползучестью называется свойство материала пластически деформироваться с течением времени под действием постоянной нагрузки. Ползучесть, мало заметная при нормальной температуре, усиливается при нагреве. В зависимости от материала, температуры и напряжения пластическая деформация или остается в допустимых пределах, или продолжается до разрушения. Материалы, из которых изготавливают детали, работающие при нагреве, подвергают длительным испытаниям на ползучесть для установления опасных напряжений, вызывающих при данной температуре недопустимую скорость деформации. Например, для лопаток турбин некоторых ГТД допустимо напряжение, при котором скорость деформации при t = 800 °С не превышает 0,2 % за 5000 ч. Ползучесть является причиной релаксации, которая заключается в уменьшении напряжений с течением времени в деталях, подвергаемых нагреву. Например, сила упругости пружины, деформированной на определенную величину, и сила затяжки болта при нагреве со временем уменьшаются. Тема 2. Статически неопределимые задачи при растяжении или сжатии Системы, внутренние силы в которых от заданной нагрузки можно определить из уравнений их равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми системами. Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы. Разность числа неизвестных сил и числа независимых уравнений равновесия называют степенью статической неопределимости системы. Уравнения равновесия дополняют уравнениями перемещений. Их составляют, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая соотношения между перемещениями ее сечений или узлов. Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции).  В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции. Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчета статически неопределимых систем. Рассмотрим стержень, защемленный (заделанный) обоими концами и нагруженный силой Р (рис. 3.2.8, а). Под действием силы Р в заделках возникают реакции R1 и R2; требуется определить эти силы. Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) статика позволяет составить только одно уравнение равновесия: SX = R1 + R2 – P = 0. Следовательно, для определения двух неизвестных R1 и R2 необходимо составить дополнительно одно уравнение. Поэтому рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (т. е. степень его статической неопределимости равна единице). Для составления дополнительного уравнения отбросим нижнюю заделку и заменим ее влияние на стержень реакцией R2(рис. 3.2.8, б). Предположим, что действует только одна сила Р, а силы R2 нет (считая, что действует только сила Р, подразумеваем, что она действует вместе с соответствующей ей реакцией верхней заделки R1 – P). Под действием силы Р деформируется только верхний участок стержня длиной а, в результате чего сечение, где приложена сила Р, перемещается вниз на Ра/(ЕA). Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня. Предположим теперь, что действует только сила R2, а сила Р отсутствует. Под действием силы R2 деформируется весь стержень, в результате нижний конец стержня перемещается вверх на R2l/(EA). В действительности нижний конец стержня, будучи заделанным, не получает перемещения. Следовательно, перемещение его вниз, вызванное силой Р, должно быть равно перемещению вверх, вызванному силой R2, т.е. Pa/(EA) = R2l/(EA), откуда R2 = (а/1) Р. Зная величину R2, из уравнения можно найти R1 = (b/l)Р. После определения реакций R1 и R2, вызванных действием силы Р, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производятся, как в случае статически определимой задачи. Канонические уравнения метода сил. Известно, что при определении усилий в статически неопределимой системе необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения деформаций (перемещений) системы. Для этого, прежде всего, следует превратить заданную статически неопределимую систему в статически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная таким путем статически определимая система называется основной системой. Степень статической неопределимостиравна числу лишних связей, удаление которых оставляет статически неопределимую систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то ее деформации и возникающие в ней внутренние усилия будут такими же, как и в заданной системе, т. е. обе эти системы станут совершенно эквивалентными. В заданной системе в направлениях имеющихся связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равны нулю. Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить в следующем виде:  . (3.2.9) Первый из каждого двойного индекса при Δ означает направление перемещения (и одновременно номер отброшенной связи); второй дает указание на причину, вызвавшую перемещение. Таким образом, слагаемые Δik и Δiр представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи k и заданной нагрузкой. Обозначив Xk реакцию связи k и выразив перемещения Δik через единичные перемещения с помощью равенства Δik = Xkdik, условие (3.2.9) представим в следующем виде:  . Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к удовлетворению следующей системы п линейных уравнений (где п – степень статической неопределимости системы):  (3.2.10) Уравнения (3.2.10) являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Первое из них выражает равенство нулю перемещения в основной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия Х1), второе – по направлению второй отброшенной связи и т. д. Уравнения (3.2.10) называются каноническими уравнениями метода сил. Такое название указывает на то, что эти уравнения составляются по определенному правилу (канону) и что неизвестными в этих уравнениях являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы. Коэффициент dik системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению и определяются по способу Верещагина (перемножением эпюр единичных моментов). Единичные перемещения dii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными. Тема 3. Напряженное состояние Если растягиваемый брус разрезать косо, то в наклонном сечении будут и нормальные, и касательные напряжения (рис. 3.2.9). Определим их величину. Полные напряжения в наклонном сечении определятся по формуле р =  , где Fn – растягивающая сила; Аφ – площадь наклонного сечения.  Так как Аφ = А/cos φ, где А – площадь поперечного сечения; φ – угол между поперечным и наклонным сечениями, тогда р =  = σcos φ. Поскольку полные напряжения р можно разложить на нормальные и касательные напряжения, то σφ = рcos φ = σ cos2 φ, τφ = р sin φ = σ sin φ cos φ = σ sin 2φ /2. При φ = 45° σφ = τφ = σ/2. Максимального значения нормальные напряжения достигают при φ = 0, т.е. в поперечных сечениях σφ = σ – касательные при φ = 45°. При φ = 90° σφ = 0, τφ = 0. В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напряжений. Из сказанного следует, что, говоря о напряжении в данной точке, всегда необходимо указывать положение секущей плоскости, в которой это напряжение возникает. Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих в бесчисленном множестве различно ориентированных площадок, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в данной точке. Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а возникающие в них нормальные напряжения – главными напряжениями. Теория упругости доказывает, что в общем случае напряженного состояния в зоне исследуемой точки могут существовать три взаимно перпендикулярные главные площадки. В зависимости от количества таких площадок (σ ≠ 0) различают три основных вида напряженного состояния: линейное (одноосное) (рис. 3.2.10, а), плоское (двухосное) (рис. 3.2.10, б) и объемное (трехосное) (рис. 3.2.10, в). В дальнейшем нас будут интересовать только первые два вида напряженного состояния. Рис. 3.2.10 Тема 4. Сдвиг Сдвигом (срезом) называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. На сдвиг работают заклепки, болты шарнирных соединений, цапфы крепления стоек шасси, пальцы соединения тяг, поршневые пальцы, стенки лонжеронов крыла и другие элементы конструкций. Простейшим примером сдвига является резание ножницами. При сдвиге поперечные сечения бруса смещаются, оставаясь в параллельных плоскостях. Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 3.2.11, а). Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис.3.2.11, б).   При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bc сдвинется в положение b'c'. Все прямые углы между гранями изменятся на одну и ту же величину g. Угол g, представляющий изменение первоначального прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига. Опыты показывают, что при сдвиге справедлив закон Гука, т.е.  , (3.2.11) где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода), Н/мм2; Е – модуль продольной упругости, Н/мм2. Модуль упругости при сдвиге связан с модулем упругости при растяжении соотношением G =  , (3.2.12) где m – коэффициент Пуассона. Для стали обычно принимают G = 0,4Е при m = 0,25. Если напряжения при сдвиге превосходят предел прочности материала, происходит разрушение, называемое срезом. Напряженное состояние прямоугольного параллелепипеда, на четырех гранях которого действуют только одни касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Условие прочности при сдвиге tmax =  ≤ [τ] (3.2.13) позволяет решать три типа задач: 1. Проектный расчет:  . 2. Определение допускаемой нагрузки: Q £ [t]A. 3. Проверка прочности: tmax £ [t]. Смятие.Деформации сдвига (среза) часто сопровождаются смятием. Характерным для смятия является действие сжимающей силы на сравнительно малом участке. Деформация возникает только на поверхностях соприкосновения сжимаемых тел и не распространяется на большую глубину. Для обеспечения надежной работы деталей, воспринимающих сжимающие нагрузки, необходимо производить проверочный расчет на смятие по формуле sсм =  < [scм], (3.2.14) где [scм] = (2…2,5) [scж], здесь [scж] – допускаемое напряжение на сжатие. Проверка на смятие производится для более мягкого материала, если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов (рис. 3.2.12). Рис. 3.2.12 Пример.Проверьте на прочность болт, соединяющий тягу управления с качалкой (рис. 3.2.13), если сила (Р) равна 3,5 кН, диаметр болта (d) составляет 6 мм, допускаемое напряжение для материала болта [t] =160 МПа (срез по двум плоскостям).  Решение. Из условия прочности на срез tср =  < [tср], определяем рабочее напряжение по формуле t =  , где A=  – площадь поперечного сечения двух срезов; t =  = 62 МПа. Прочность болта достаточная, так как t < [t]. Тема 5. Кручение Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом по­перечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения подвергаются многие детали самолета и двигателя (коленчатый вал поршневого двигателя, вал газораспределения, валики приводов топливных и масляных насосов, вал редуктора и др.). Кручению подвергаются и такие элементы самолета, как крыло, фюзеляж, лонжероны рулей и элеронов, стабилизатор, киль, стойки шасси и др. Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (при вращении бруса) и скручивающими (если брус защемлен).  Поперечные сечения вала не искривляются, а поворачиваются вокруг оси вала, как жесткие диски. При кручении оказывается справедливой гипотеза плоских сечений, которая характеризуется следующими положениями: - сечения вала плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются такими же и после деформации; - расстояние между ними не меняется; - радиусы окружностей остаются прямыми линиями. Рассмотрим кручение круглого цилиндра длиной l (рис. 3.2.14). Выделим из вала элементарный цилиндр длиной dz. Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I. Под действием Мк вал повернется на угол dj. Угол, на который поворачивается при кручении любое сечение, называется углом закручивания. Угол закручивания возрастает прямо пропорционально расстоянию сечения от закрепленного конца стержня и достигает наибольших размеров в крайнем сечении на свободном конце. Образующая АВ займет положение АВ¢, то есть произойдет сдвиг на угол g, тогда BB¢ = dz×g = r×dj или  . Угол, приходящийся на единицу длины стержня, называется относительным углом закручивания и определяется по формуле  , тогда g =  . По закону Гука при сдвиге касательное напряжение  . (3.2.15) Внутренняя сила, возникающая на площадке dА, расположенной на расстоянии r от оси бруса, равна tr×dА, ее момент относительно оси вала равен tr×dА×r.Суммируя элементарные моменты по площади сечения, получим полный крутящий момент, возникающий в сечении вала:  , Тк =  , где  – полярный момент инерции. Из полученной зависимости выразим относительный угол закручивания:  , (3.2.16) тогда касательное напряжение при кручении в любой точке вала находится по формуле  . (3.2.17) Очевидно в центре вала при ρ = 0 τ = 0. Максимального значения касательное напряжение достигает на поверхности вала при ρ = d/2. Из эпюры видно (рис. 3.2.15), что внутренние слои материала при кручении нагружены мало, поэтому более рациональным, чем сплошное, является трубчатое поперечное сечение вала – при этом достигается большая экономия материала:  τmax =  , (3.2.18) где Wr =  – полярный момент сопротивления сечения. Найдем абсолютный угол закручивания вала j. Так как  , имеем  , откуда  . Если на длине l крутящий момент, модуль сдвига и диаметр вала постоянны, то после интегрирования получим  . (3.2.19) Произведение (GJr), стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении. Условие прочности при кручении. Величина максимальных касательных напряжений в данном сечении равна  , (3.2.20) где [τ] – допускаемое касательное напряжение при кручении. С помощью условия прочности можно проверить прочность вала, определить допустимое значение момента на валу, а также провести проектный расчет – определить необходимый диаметр вала. 1. Проверка прочности (проверочный расчет) – расчет, производимый, когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле (3.2.20). 2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив неравенство (3.2.20) относительно Wr получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности: Wρ >  , Для круглого сечения  , откуда  . Для кольцевого сечения   , где d и D – внутренний и наружный диаметры вала. 3. Определение допускаемого крутящего момента – расчет производимый, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение: Tкр = Wr [tк]. Расчет на жесткость. Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид: θ =  < [θ]. (3.2.21) Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения вала и обычно принимается в пределах [θ] = 0,25...1 град/м Для определения крутящего момента в сечении используют метод сечений. Рассмотрим пример на рис. 3.2.16. Вращающий момент подводится к валу (брус круглого сечения) от шкива 1 и снимается с вала через передающие шкивы 2, 3, 4 на другие валы механизма. Для определения крутящего момента в сечении х = х1, рассмотрим равновесие, например, левой части от сечения. Составим уравнение равновесия:  ;  , откуда Ткр = М1. Рис. 3.2.16 При рассмотрении равновесия правой части получим В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме крутящих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения. Диаграмму (рис. 3.2.16), показывающую распределение значений крутящих моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Для построения таких эпюр следует придерживаться правила знаков. Принято считать, что если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части вала, вращающим ее в направлении против хода часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным, а вращающий момент внешних сил – отрицательным. При противоположном направлении – наоборот. Эпюра крутящих моментов вала показывает степень нагруженности участков вала. При расчете валов на прочность часто задается не вращающий момент, а мощность, передаваемая валом, и частота вращения вала. Тогда вращающий момент определяют по формуле М = 9554  (Н×м), где M – вращающий момент, Н×м; P – можность, передаваемая валом, кВт; n – частота вращения вала, об/мин. Пример. Проверьте на прочность вал редуктора поршневого двигателя, если наружный диаметр (D) равен 92 мм, внутренний диаметр (d) равен 60 мм, допускаемое напряжение для материала вала [τ ] = 35 МПа. Двигатель развивает мощность (P), равную 1050 л. с. при оборотах вала редуктора n = 1800 об/мин. 1 л. с. = 0,736 кВт.   Решение. Найдем полярный момент сопротивления и крутящий момент сечения: Wr =  = 125×103 мм3; Ткр = 9554  = 4180 Hм; tmax =  =  = 33,5 MПа < 35 МПа. Максимальное касательное напряжение меньше допускаемого напряжения для материала вала, следовательно, условие прочности выполняется. Тема 6. Изгиб Изгибом называется такой вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают валы, оси и другие детали конструкций. Различают два основных вида изгиба: чистый и поперечный. Если применить метод сечений в случае чистого изгиба (рис. 3.2.17, а), то отрезанная часть балки уравновешивается только моментом, а в случае поперечного изгиба (рис. 3.2.17, б) – моментом и поперечной силой.     Чистый изгиб.Под действием изгибающих моментов брус изгибается так, что все поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси бруса (рис. 3.2.17, в). При этом волокна, находящиеся на выпуклой части бруса, оказываются растянутыми, а на вогнутой – сжатыми. Таким образом, при чистом изгибе действуют только нормальные напряжения. По центру тяжести проходит нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Растяжение волокон сопровождается их утонением, а сжатие – утолщением. Выясним, как распределяются напряжения по сечению. По закону Гука s = E×e. Из рис. 3.2.18 видно, что абсолютное удлинение волокон рассматриваемого слоя равно    а относительное удлинение  . Если точка О – общий центр кривизны деформированных слоев, то  и  , где r – радиус кривизны нейтрального слоя; dj – центральный угол; у – расстояние от нейтрального до рассматриваемого растянутого слоя. Рис. 3.2.18 Следовательно,  и  . Таким образом, напряжения в сечении пропорциональны расстоянию у от нейтрального слоя и изменяются по линейному закону. Наибольшее напряжение испытывают волокна периферийного слоя при y = ymax:  , (3.2.22) где s – напряжение в произвольной точке поперечного сечения при изгибе. Чтобы выяснить зависимость напряжений от действующих в сечении изгибающих моментов, выделим в сечении А элементарную площадку DА (риc. 3.2.18, б), расположенную на расстоянии у от нейтрального слоя. Элементарная сила sdA создает момент sdAy. Cуммируя элементарные моменты в сечении и учитывая (3.2.22), получим полный момент по всей площади сечения: M = sydA =  . Введем геометрическую характеристику сечения – осевой момент инерции поперечного сечения (  ) Тогда  , отсюда  , из формулы (2.22)  , т.е.  или  . Напряжение будет максимальным, если у = уmax:  . (3.2.23) Введем еще одну геометрическую характеристику сечения – осевой момент сопротивления (  ), характеризующий степень сопротивляемости поперечного сечения изгибу относительно нейтральной оси. Окончательно получаем smax =  . (3.2.24) Известно, что условие прочности выражается следующим образом:  . (3.2.24¢)     Из этого условия прочности вытекают три задачи, решаемые при плоском изгибе: Проектный расчет, т.е. определение необходимых размеров поперечного сечения:  . Для круглого сечения диаметром d Wx = 0,1d3; (3.2.25) для кольцевого сечения: Wх = 0,1(dн4 – dв4)/dн, (3.2.25¢) для прямоугольного сечения: Wx = bh2/6, (3.2.26) где b – ширина бруса; h – высота бруса. Из последней формулы видно, что прочность бруса на изгиб зависит не только от формы поперечного сечения, но и от его положения, вертикальное положение прямоугольного сечения более выгодно, чем горизонтальное (попробуйте согнуть школьную линейку, расположенную плашмя, а затем ребром).  Поскольку на изгиб работают главным образом периферийные слои, целесообразно применять брусья с сечениями, в которых работающий материал расположен дальше от нейтральной оси. Так, применение кольцевого сечения (трубы) целесообразнее применения сплошного, прямоугольного выгоднее квадратного, причем, чем больше отношение h/b, тем лучше. Но наиболее выгодными являются специальные профили: двутавр и швеллер, которые и имеют наибольшее применение и в строительстве и в машиностроении. Моменты сопротивления этих профилей приводятся в справочниках. Опоры и опорные реакции балок. Балки служат для передачи действующих на них нагрузок на опоры, на которых они покоятся. На опорах балки возникают реакции, с определения которых следует начинать решение всех задач, связанных с изгибом балок. В зависимости от числа и устройства опор балки число реакций, подлежащих определению, бывает различно. Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа: шарнирно-неподвижная опора; шарнирно-подвижная опора; жестко-защемленная опора. Шарнирно-неподвижная опора показана на рис. 3.2.19, а. Конец балки 3 опирается на шарнир 1. Шарнир 1 лежит на опорной подушке 2, которая, в свою очередь, жестко прикреплена к опорной плоскости. Такая опора не дает концу балки возможности передвигаться в каком-либо направлении, позволяя ему только поворачиваться относительно центра шарнира. В дальнейшем шарнирно-неподвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 3.2.19, б.  Относительно реакции, возникающей в шарнирно-неподвижной опоре, нам известно только, что она лежит в плоскости действия нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление реакции нам неизвестны. Неизвестную по величине и направлению реакцию  всегда можно заменить двумя ее составляющими – одной вертикальной  и другой горизонтальной  (рис. 3.2.19, в). Шарнирно-подвижная опора показана на рис. 3.2.20, а. Такая опора отличается от шарнирно-неподвижной тем, что у нее опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль ее оси по опорной плоскости. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 3.2.20, б. Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь – она не дает концу балки перемещаться в направлении, перпендикулярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора дает лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению. Жесткое закрепление конца балки показано схематически на рис. 3.2.21. Такая опора препятствует всякому перемещению конца балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, препятствует вращению конца балки. В жестком защемлении возникает реакция, неизвестная по величине и направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактивный момент, препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию  всегда можно заменить двумя составляющими – одной вертикальной  , и другой горизонтальной  . На этом основании можно сказать, что на опоре, представляющей жесткое защемление, возникают три неизвестные реакции: вертикальная реакция  , горизонтальная реакция  и опорный момент М. Рис. 3.2.21 Определение опорных реакций балок.При всех видах деформаций, изучаемых в сопротивлении материалов, предполагается, что величины деформации невелики, поэтому при определении опорных реакций балок можно пренебречь теми изменениями, которые происходят в расположении внешних сил, действующих на балку вследствие деформации балки. В случае действия на балку сил, лежащих в одной плоскости, статика дает три уравнения равновесия: Σ Xi =0, Σ Yi =0, Σ Мi = 0, т.е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, приложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси хи у были равны нулю; кроме того, должна быть равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой точки плоскости. Если силы, изгибающие балку, перпендикулярны ее оси, то уравнение Σ Xi = 0 обращается в тождество, и для определения реакций остаются два уравнения статики: 1) ∑Yi =0; 2) Σ Мi = 0. Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее число реакций, возникающих на опорах, не превышает двух, то реакции могут быть всегда определены из двух уравнений статики. Такие балки, реакции которых могут быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками. Статически определимые балки могут быть только следующих двух видов: 1) балка с одним жестко-защемленным и другим свободным концом, иначе консоль (рис. 3.2.22, а); 2) балка с одной шарнирно-неподвижной и другой шарнирно-подвижной опорами (рис. 3.2.22, б, в). Рис. 3.2.22 Рассмотрим на конкретном примере определение реакций статически определимых балок.  Предварительно условимся ось Х направлять всегда по оси балки, ось Y – вертикально вверх. При составлении уравнений моментов за положительные моменты условимся считать моменты, направленные против часовой стрелки. Если на балку действует сплошная равномерно распределенная нагрузка, как показано на рис. 3.2.23, то при определении реакций сплошная нагрузка заменяется ее равнодействующей. Точка приложения равнодействующей сплошной распределенной нагрузки лежит посередине того участка, на который она действует. Сплошная равномерно распределенная нагрузка часто задается ее интенсивностью. Под интенсивностью распределенной нагрузки понимают величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины. Если вся сплошная нагрузка равна F, а длина участка, на который она действует l, то интенсивность нагрузки будет определяться по формуле q =  . Размерность интенсивности нагрузки выражается обычно в Н/м или Н/мм. Пример. Балка, защемленная одним концом (СМ. рис. 3.2.23), нагружена равномерно-распределенной нагрузкой интенсивности 0,5 кН/м по всей длине балки и сосредоточенной силой, равной 2кН, на свободном конце. Определите реакции защемления, если длина балки равна 4 м. Решение. В защемлении возникают вертикальная реакция и реактивный момент. Направление этих реакций нам неизвестно. Направим пока произвольно вертикальную реакцию (R) вверх, а опорный момент М против вращения часовой стрелки. Напишем условия равновесия, выбрав за центр моментов точку А: MA = M –  – Fl = 0, откуда находим величину реактивного момента: M =  . Из уравнения проекций сил на ось Y получаем: Ui = R – ql – F = 0, откуда находим реакцию защемления: R = ql + F = 0,5 ×4 + 2 = 4 кH. В данном случае момент М и реакция R получились положительными. Это указывает на то, что их направления нами были выбраны правильно. Если после определения реакций какая-либо из величин получается со знаком минус, то это показывает, что предварительно выбранное ее направление не совпадает с действительным. Поэтому в этом случае направление реакции, полученной со знаком минус, следует изменить на чертеже на противоположное и в дальнейших расчетах учитывать ее действительное направление. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для оценки прочностной надежности балки следует установить сечения, в которых внутренние силовые факторы (поперечная сила (Q) и изгибающий момент (М)) имеют максимальные значения. Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным, если построить графики изменения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси балки. Эпюры строятся аналогично эпюрам продольных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз; ось эпюры проводят параллельно оси балки. Рассмотрим простую балку, нагруженную двумя силами F1 и F2 (рис. 3.2.24). Пусть реакции на левой и правой опорах будут равны RA и RB. Для определения внутренних сил упругости в каком-либо сечении балки применим метод сечений. Разрежем мысленно балку в сечении, отстоящем на расстоянии х от левой опоры балки, и рассмотрим левую часть балки, отбросив ее правую часть. Рис. 3.2.24 Для того чтобы левая часть балки находилась в равновесии, в сечении должны действовать поперечная сила Q и изгибающий момент М. Из условия равновесия левой части балки имеем  , RA – F1 – Q = 0, откуда Q = RA – F1;  , RAx – F1(x – a) – M = 0, откуда М = RA · x – F1(x – a). Сила Q – результирующая внутренних сил, приложенная к оставшейся части балки, численно равная алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется поперечной или перерезывающей силой. Момент пары внутренних сил, приложенный к оставшейся части балки, численно равный алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется изгибающим моментом в сечении.  Так как вся балка под действием внешних сил вместе с силами реакций находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на часть балки, лежащую левее сечения, должна быть равна сумме всех сил, действующих на часть балки, лежащую правее сечения, но иметь обратное направление. По тому же условию равновесия момент равнодействующей пары всех сил, действующих левее сечения относительно центра тяжести сечения, должен быть равен моменту равнодействующей пары сил, действующих правее сечения относительно центра тяжести сечения, но иметь обратное направление. Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:изгибающий момент положительный, если он изгибает балку выпуклостью вниз и изгибающий момент отрицательный, если он изгибает балку выпуклостью вверх (рис. 3.2.25, а). Поперечная сила положительная, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения – вниз и наоборот (рис. 3.2.25, б). Примеры построения эпюр.Рассмотрим ряд типовых примеров, содержащих наиболее часто встречающиеся случаи нагружения.  Пример 1. При построении эпюр для балок с одним защемленным концом можно не определять опорных реакций. Проведя сечение, будем рассматривать равновесие той части, к которой приложены только внешние активные силы. Для балки (рис. 3.2.26, а) такой частью будет левая. В произвольном сечении балки на расстоянии х = 0 от свободного конца поперечная сила равна нулю (Q = 0), так как внешняя нагрузка не дает составляющей перпендикулярной оси балки. Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце; он положителен, так как балка от действия внешнего момента получает положительную кривизну. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 3.2.26, б, в. Балка в рассмотренном примере испытывает чистый изгиб, так как поперечная сила во всех ее поперечных сечениях равна нулю. Эпюра моментов при чистом изгибе представляет собой прямую линию, параллельную оси балки.  Пример 2. Построим эпюры для балки с защемленным концом, нагруженной сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 3.2.27, а). Здесь можно не определять опорных реакций. Проведя сечение, будем рассматривать равновесие правой части, к которой приложены внешние активные силы. В любом сечении балки на расстоянии х от свободного конца поперечная сила равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки (Q = F). Эпюра поперечных сил (рис. 3.2.27, б) представляет собой прямую линию, параллельную оси балки. Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки на расстоянии х от свободного конца равен моменту внешней силы F относительно центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке): М = – Fх. Эпюра изгибающих моментов – наклонная прямая (рис. 3.2.27, в). Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении заделки. Значение поперечной силы в сечении защемленного конца совпадает с величиной опорной реакции, а значение изгибающего момента в этом сечении равно величине реактивного момента. Этими условиями можно пользоваться для проверки правильности построения эпюр в балках с одним защемленным концом.  Пример 3. Построим эпюры для балки с защемленным концом, к которой приложена нагрузка, равномерно-распределенная по всей длине (рис. 3.2.28, а). Пусть на единицу длины приходится нагрузка q, тогда вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Для этой балки также нет надобности в определении опорных реакций, если рассматривать равновесие левой части, к которой приложены только внешние активные силы. В любом поперечном сечении балки на растоянии х от свободного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т.е. равнодействующей Q = – qx равномерно распределенной нагрузки q на участке длиной х. Она отрицательная, так как нагрузка qx направлена слева от сечения вниз, т.е. стремится опустить левую часть. Эпюра поперечных сил (рис. 3.2.28, б) представляет собой прямую наклонную линию, которую можно построить, зная две точки. При х = 0 Q = 0; при х = l Q = – ql. Наибольшее по абсолютной величине значение поперечной силы Q = – ql в сечении защемления. Изгибающий момент в произвольном сечении определяется по формуле M = – qx  = – q  . Так как сила qх изгибает балку выпуклостью вверх, изгибающий момент отрицателен. Эпюра изгибающих моментов – парабола (рис. 3.2.28, в). Давая х различные значения, можно построить ее по точкам. При х = 0 М = 0; при х = l/2 М = – ql2/8; при х = l M = – ql2/2. Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении защемления. Пример 4.Построим эпюры для двухопорной балки (рис. 3.2.29, а) нагруженной силой F в произвольном сечении. Составим уравнения равновесия. Приравняв к нулю сумму моментов всех внешних сил сначала относительно правой опоры, а затем относительно левой, найдем опорные реакции: åMB = 0; Fb – RAl = 0; åMA = –Fa + RBl = 0, откуда RA = Fb/l, RB = Fa/l. Законы изменения Q и M на участках АС и СВ различны, поэтому рассмотрим каждый участок отдельно.  Поперечная сила на всем участке АС равна реакции RA, она постоянна по всей длине участка и положительна, так как сила RA, действующая на левую часть, направлена вверх, т.е. поднимает левую часть, Q = RA =  . Поперечная сила в любом сечении на участке СВ равна разности сил RA и F и также постоянна по всей длине участка, т.е. Q = RA – F; Q = – RB = –  . Поперечная сила отрицательна, так как сила RB поднимает правую часть балки. Эпюра поперечных сил показана на рис. 3.2.29, б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила претерпевает разрыв на величину F и меняет знак. Найдем выражение изгибающего момента в любом сечении на первом участке при изменении х1 в пределах: 0 < х1 < а: M = RA x1 =  . Согласно принятому правилу знаков, момент положителен, так как сила RA стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке. Полученное для изгибающего момента уравнение определяет прямую линию, которую можно построить по двум точкам: - при х1 = 0, т.е. в сечении на левой опоре, М = 0; - при х1 = а, т.е. в сечении под силой F,  . Составим выражение изгибающего момента для любого поперечного сечения второго участка при изменении х2 от а до l: a < x2 < l: M = RAx2 – F(x2 – a) = F b x2/l – F(x2 – a). Знаки моментов сил поставлены в соответствии с приведенным выше правилом. Изгибающий момент на втором участке изменяется также по закону прямой линии; найдем две точки этой линии. При х2 = а, т.е. в сечении под силой F   ; при х2 = l, т.е. в сечении на правой опоре  . Таким образом, полная эпюра изгибающих моментов при заданном нагружении представляется на каждом участке наклонной линией и имеет для балки вид треугольника (рис. 3.2.29, в). Изгибающий момент во всех сечениях положителен. Из сопоставления эпюр Q и М следует, что изгибающий момент имеет наибольшую величину в том сечении, в котором поперечная сила меняет знак. Значение этого наибольшего момента определяется по формуле  . Пример 5. Построим эпюры для двухопорной балки, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 3.2.30, а). Составив и решив уравнения равновесия, найдем опорные реакции:  åMA = 0; –  ; åMB = 0;  , откуда  . Для проверки составляем сумму проекций на вертикальную ось åY = 0; RA – ql + RB = 0; ql/2 – ql + ql/2 = 0. Уравнение обращается в тождество, значит реакции вычислены верно. Проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии х от опоры А и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила определится из выражения  , при x = 0  ; при x =  Q = 0; при x = l  . Эпюра Q изображена на рис. 3.2.30, б. Изгибающий момент в проведенном сечении определяется из выражения  , при x = 0 М = 0; при х =   . Эпюра изгибающего момента изобразится параболой (рис. 3.2.30, в). Посередине балки при х = l/2 поперечная сила изменяет знак. В этом сечении изгибающий момент имеет наибольшее значение  . При х = l Þ M = 0. Пример 6.Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для простой балки, нагруженной сосредоточенной парой сил с моментом m (рис. 3.2.31, a). Определяем опорные реакции: реакция RA – направлена вверх, RB – вниз. Составим уравнения суммы моментов относительно опорных точек А и B, получим  МА = 0; –RB l + m = 0; RB= m/l.  МB = 0; –RAl + m = 0; RA= m/l. Опорные реакции балки образуют пару сил, момент которой уравновешивает момент приложенной пары. Делим балку на два участка. Первый участок – от опоры А до точки приложения сосредоточенного момента; х1 изменяется от 0 до а. Второй участок – от точки приложения момента до опоры В; х2 изменяется от а до l. Проводим произвольное сечение на первом участке на расстоянии х1 от опоры А и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила на этом участке постоянна, равна реакции RA и положительна, так как эта реакция стремится приподнять левую отсеченную часть: Q1 = RА = m/l.  Эпюра поперечных сил изображена на рис. 3.2.31,б. Изгибающий момент на первом участке зависит только от силы RА. M1 = RАx1 = mx1/l. При х1 = 0 Þ M1 = 0; при х1 = а Þ M1 = mа/l. Момент положителен, так как сила RА изгибает балку выпуклостью вниз. Эпюра моментов на первом участке – наклонная прямая (рис. 3.2.31, б). На втором участке – поперечная сила будет такой же, как на первом, сосредоточенный момент не влияет на поперечную силу: Q2 = RB = m/l. Изгибающий момент на втором участке при рассмотрении левой отсеченной части зависит от реакции RA и сосредоточенного момента m. M2 = RAx2 –m = mx2/l – m = m(x2 – l)/l; при х2 = а Þ M2 = m (a – l)/l = –m (l – a)/l = –mb/l; при х2 = l Þ M2 = 0. Эпюра моментов на втором участке (рис. 3.2.31, в), как и на первом, наклонная прямая. Под сечением, где приложена сосредоточенная пара, в эпюре моментов имеет место скачок, равный величине момента пары, так как: ma/l + mb/l = m(a + b)/l = ml/l = m. Взаимосвязь между нагрузками и видом эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рассмотрев примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, можно установить следующие зависимости: Для эпюры поперечной силы: 1. На участках, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, эпюра – наклонная прямая; наклон этой прямой к оси зависит от интенсивности нагрузки. 2. На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра – прямая, параллельная оси балки. 3. Под сечениями балки, где приложены сосредоточенные силы, в эпюре поперечных сил имеются скачки, равные величинам приложенных сил. 4. В сечениях, где приложены сосредоточенные пары сил, значение поперечной силы не изменяется. 5. В концевых сечениях балки поперечная сила численно равна сосредоточенным силам (активным или реактивным), приложенным в этих сечениях. Если в концевых сечениях не приложены сосредоточенные силы, то поперечная сила в них равна нулю. Для эпюры изгибающих моментов: 1. На участках, несущих равномерно распределенную нагрузку, эпюра моментов – квадратная парабола. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке. 2. На участках, свободных от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов – прямая линия. Под сосредоточенными силами на эпюре получаются изломы, т.е. для нескольких смежных участков эпюра изгибающих моментов – ломаная линия. 3. Под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, в эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил. 4. Изгибающий момент в концевых сечениях балок всегда равен нулю, если в сечениях не приложены сосредоточенные пары сил. Если в концевых сечениях приложены внешние (активные или реактивные) пары сил, то изгибающий момент в этих сечениях равен по величине моменту приложенных пар. 5. На участках, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб и эпюра изгибающих моментов – прямая, параллельная оси балки. 6. Изгибающий момент получает максимальное значение в одном из сечений балки, где изменяется знак поперечной силы. Приведенные выводы о взаимосвязи эпюр М и Q между собой и с внешней нагрузкой позволяют обходиться без составления уравнений изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка балки. Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой. Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно вычисляют моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой (имеющих много участков нагружения), так как вычисления при этом менее трудоемки, чем при построении эпюр по уравнениям. Касательные напряжения при изгибе. В случае поперечного изгиба внутренние силы в брусе уравновешивают изгибающий момент и поперечную силу. Изгибающий момент уравновешивается нормальными напряжениями, а поперечная сила – касательными, которые пропорциональны поперечной силе Q. Средняя величина этих касательных напряжений определяется по известной нам формуле Если положить два бруса один на другой и изгибать их силой F, то каждый брус будет деформироваться независимо от другого; нижние волокна будут растягиваться, а верхние – сжиматься. По плоскости соприкосновения один брус будет скользить по другому и концевые сечения брусьев разойдутся (рис. 3.2.32, а). Чтобы заставить брусья работать как одно целое, нужно по плоскости соприкосновения приложить касательные усилия  , как показано на рис. 3.2.32, б. В целом брусе верхняя часть не может сдвинуться относительно нижней; это и вызывает действие касательных усилий (напряжений) по площадкам, параллельным нейтральному слою, т.е. между горизонтальными слоями бруса. Формула для определения касательных напряжений в балках симметричного сечения была впервые выведена русским инженером-мостостроителем Д.И. Журавским (1821-1891). Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в XIX веке при строительстве мостов широко применялись деревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон. Рис. 3.2.32 Формула имеет следующий вид:  , (3.2.27) где Q – поперечная сила в сечении; Sх – статический момент относительно нейтральной оси части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от рассматриваемых волокон; Jx – момент инерции сечения относительно нейтральной оси; b – ширина сечения на уровне волокон, где определяются напряжения. Для прямоугольного сечения: Sx =  , Jx =  , тогда t =  . Так как  – среднее касательное напряжение, то максимальные касательные напряжения в 1,5 раза больше средних. Касательные напряжения достигают больших значений только при  >  . В других случаях они невелики. Проверку прочности балки по касательным напряжениям необходимо делать при очень коротких балках и при резко меняющихся размерах сечения по высоте. Понятия о линейных и угловых перемещениях.При изгибе сечения балки перемещаются перпендикулярно оси балки и поворачиваются вокруг своих нейтральных осей (рис. 3.2.33). Возможны случаи, когда балка, удовлетворяя условию прочности, не обладает достаточной жесткостью, т.е. прогибы и углы поворота сечения недопустимо велики.  Допустимый прогиб балок в машиностроении очень невелик. Обычно он назначается в долях от пролета балки и составляет от 1/200 до 1/1000 пролета (межопорного расстояния). Под действием поперечных нагрузок продольная ось искривляется. Если материал подчиняется закону Гука, после снятия нагрузок брус выпрямляется, поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме упругой линии балки можно судить о перемещениях при изгибе. При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на некоторый угол. Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае горизонтальные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассматривают вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называемые прогибами (у). Максимальные прогибы обозначают f = уmах. Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках оборудования проводят расчет на жесткость. Условие жесткости выражается неравенством  , где f – максимальный расчетный прогиб балки; [f] – допускаемый прогиб. Иногда проверяется угол поворота сечения  (рис. 3.2.34).  Существует несколько методов определения перемещения сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии, более рациональный способ – использование интегралов Мора. Метод Мора – универсальный способ определения линейных и угловых перемещений в любых системах. Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов поворота сечений балок для простейших случаев нагружений. При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения делится на составляющие, для которых прогибы рассчитываются по известным табличным формулам, результаты расчетов суммируются. Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников. В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости:  . Тема 7. Сложное сопротивление. Расчет по теориям прочности Косой изгиб. Большинство ответственных деталей и узлов авиационной техники работают в условиях сложного сопротивления. Так, например, крыло самолета в целом, его лонжероны и другие элементы подвергаются одновременно изгибу и кручению. Эти же деформации испытывают фюзеляж самолета и валы передач двигателя. Узел крепления двигателя к фюзеляжу – рама, а также стойка шасси самолета работают на изгиб и растяжение – сжатие. До сих пор мы рассматривали плоский изгиб, когда плоскость дейс­твия нагрузок совпадала с продольной плоскостью симметрии балки или вообще с одной из ее главных плоскостей. Деформация изгиба при этом происходила в плоскости действия моментов, а нейтральная ось совпадала с главной осью инерции поперечного сечения и была перпендикулярна к плоскости действия моментов. Однако бывают случаи, когда плоскость действия изгибающих моментов не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки. Такой изгиб называется косым изгибом. Рассмотрим пример косого изгиба. Пусть балка прямоугольного сечения, защемленная одним концом (рис. 3.2.35, а, б) изгибается силой F, действующей перпендикулярно к оси балки на свободном конце и составляющей угол с главной плоскостью ху. Так как плоскость действия изгибающего момента в данном случае не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки, то это будет случай косого изгиба. Абсолютное значение изгибающего момента в каком-либо сечении, отстоящем на расстоянии х от защемления, будет равна М = F(l – х). Разложим силу F на две составляющие Fz и Fy, действующие по главным осям сечения у и z. Тогда абсолютные значения составляющих моментов будут равны; Мz = Fy(l – x) = F(l – x)cosa,My = Fz (l – x) = F(l – x)sina. Моменты My и Мz действуют в главных плоскостях балки. Напряжения от каждого из этих моментов, взятых в отдельности, мы определять умеем. Пользуясь законом независимости действия сил, можно найти напряжения, получающиеся при одновременном действии моментов My и Мz.Таким образом, случай косого изгиба можно всегда свести к двум плоским, или, как иногда говорят, к простым изгибам. При действии только одного момента Мz нейтральной осью будет ось z (рис. 3.2.35, в), и нормальное напряжение для какой-либо точки N с координатами z, у, взятой в первом квадранте сечения mn, определяется по формуле s1 =  . Напряжение в той же точке от действия только момента Мy (рис. 3.2.35, г) равно: s2 =  . Рис. 3.2.35 При одновременном действии двух моментов Мy и Mz напряжение в любой точке сечения будет равно алгебраической сумме напряжений  1 и  2 т.е. s = s1 + s2=  . (3.2.28) В эту формулу координаты у, z точек сечения и изгибающие моменты подставляются со своими знаками. Координаты z и уположительны в первой четверти, отрицательны в третьей четверти, во второй четверти у положительна z отрицательна, а в четвертой четверти у отрицательна, z положительна. Если момент действует так, что в рассматриваемой четверти он вызывает растяжение, то ему приписывается знак плюс, а если сжатие, то минус. Наибольшее суммарное напряжение будет в точках В и С. Абсолютные значения этих напряжений будут одинаковы. Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю правую часть формулы (3.2.28):  = 0 или  . Этому уравнению прямой линии удовлетворяют значения у = 0 и z = 0; сле-довательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Определив из последнего выражения отношение у/z, найдем тангенс угла, составляемого нейтральной линией с положительным направлением оси z (рис. 3.2.35, д): tgb=  = – tga  . Из формулы видно, что для таких сечений, у которых Jy = Jz (квадрат, круг и др.), нейтральная линия всегда будет перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, в которой и будет происходить деформация изгиба, не может быть косого изгиба. Гипотезы прочности.Выше рассматривалась работа материалов при различных видах деформаций, существующих раздельно и при которых возникают напряжения или только нормальные или касательные. Напряжения при таких видах деформаций в каждой точке сечения можно складывать алгебраически. Часто встречаются и имеют большое практическое значение случаи сочетания основных видов деформаций, когда в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные неравномерно и по разным законам. Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно. При оценке прочности приходится основываться на механических характеристиках материала, полученных из диаграммы растяжения, а условия прочности составляются на основе научных предположений (гипотез) о том, какой фактор вызывает появление опасного состояния. Можно полагать, что опасное состояние возникает при достижении нормальными напряжениями предела текучести или предела пропорциональности. С другой стороны, можно полагать, что опасное состояние возникает тогда, когда наибольшее относительное удлинение достигает определенного значения. Возможно и третье предположение, что появление опасного состояния связано с тем, что касательные напряжения достигают определенного значения. Возникновение опасного состояния можно связать также с достижением определенного значения величины энергии, накапливаемой в материале при деформации. На основе указанных выше возможных критериев опасного состояния разработано пять теорий прочности. Подробное рассмотрение этих теорий выходит за пределы нашей учебной программы. Для расчета валов, болтовых соединений, винтов домкратов и др. применяют третью или пятую теорию прочности. Изгиб с кручением.Случаем совместного действия изгиба и кручения является передача мощности валом. Для расчета валов на совместное действие изгиба и кручения применяют третью или пятую теорию прочности. По третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений), эквивалентное напряжение вычисляют по формуле sэкв =  . (3.2.29) По пятой теории прочности (энергетическая теория), формула для эквивалентных напряжений имеет вид sэкв =  .. (3.2.30) В этих формулах и нормальное и касательное напряжения в опасной точке поперечного сечения бруса. Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:  ;  , где полярный момент сопротивления (Wr), и осевой момент (Wх) связаны равенством Wr = 2Wх. При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси. Подставим значения напряжений в принятые уравнения теорий прочности, получим sэкв =  и sэкв =  . Выражение, стоящее в числителе, назовем эквивалентным моментом. Расчетная формула для круглых валов принимает вид sэкв =   . (3.2.31) Кручение и растяжение или сжатие.Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, например, болты и крепежные винты, а сочетание кручения и сжатия – винты домкратов и т.д. Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях вычисляют по формулам s =  ; t =  . Применив третью теорию прочности, получим расчетную формулу sэкв =   . (3.2.32) Применив пятую теорию прочности, получим sэкв =   . (3.2.33) Внецентренное растяжение – сжатие. Рассмотрим нагружение бруса осевой силой F, параллельной оси, приложенной в некоторой точке Е, т.е. действующей с некоторым эксцентриситетом е. В этом случае брус испытывает внецентренное растяжение. Приложим в точке О две равные и противоположно направленные силы F¢ и F¢¢, равные F, от этого ни равновесие бруса, ни напряжения в его поперечных сечениях не изменятся. Рассматривая отдельно эти силы, можно сделать вывод, что сила F¢ вызывает растяжение, а оставшаяся пара сил образует момент Fе, изгибающий брус. Сила F¢, действующая по оси бруса, вызывает напряжение растяжения, которое определяется по формуле  , это напряжение распределяется равномерно по всему поперечному сечению бруса и имеет одинаковую величину в любом сечении (рис. 3.2.36, б).  Изгибающий момент Fe постоянен по длине бруса. Он вызывает чистый изгиб, при котором возникают напряжения  . Из рис. 3.2.36 видно, что верхние волокна бруса растягиваются силой F¢ и изгибающим моментом Fе, а нижние волокна растягиваются силой F¢ и сжимаются изгибающим моментом Fе. При этом в одной и той же плоскости возникают нормальные напряжения и, следовательно, суммарные напряжения будут равны алгебраической сумме напряжений (sр + sи), тогда  . Таким образом, в верхних волокнах возникают максимальные напряжения, в нижних – минимальные:  ;  .