Автоматическое управление

Лекция 1 Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. История автоматического управления 2. Понятие об автоматическом управлении 3. Классификация систем автоматического управления 1. История автоматического управления В настоящее время нас в повседневной жизни окружает множество технических устройств. Важным аспектом является организация управления протекающими в них процессами. Этим в настоящее время занимается теория автоматического управления. Тем не менее, данная отрасль науки приобрела современный облик не сразу, а спустя длительный период развития. И теоретические исследования, и сама инженерная практика автоматизации прошли несколько этапов до формирования подходов к созданию систем автоматического управления, применяемых в последние годы. Среди классификаций этапов становления и развития теории автоматического управления и регулирования можно выделить следующую: – начальный период, когда главное внимание обращалось на устойчивость. Отправной точкой можно условно счи­тать 1868 год – появление публикации Максвелла, по­ложившей начало научному изучению процессов управ­ления и регулирования и, прежде всего, их устойчивости; – эпоха господства частотных методов, началом которой можно считать 1932 год – год публикации работы Найквиста. В последующее десятилетия автоматическое уп­равление и регулирование на базе частотных методов оформилось как научная дисциплина, изучаемая в выс­ших учебных заведениях, имеющая свои учебники и учебные пособия; – третий период, условным рубежом начала которого мож­но считать 1960 год. В этот период основное внимание исследователей обращается на исследование оптималь­ных систем управления, позволяющих повысить производительность промыш­ленности и транспорта. Первоначальное развитие автоматического управления и регулирования было связано с решением конкретной техни­ческой задачи – обеспечить равномерность частоты враще­ния паровой машины. В девятнадцатом веке, который неда­ром называют «веком пара», эта задача имела первостепенное значение. Рисунок 1 – Паровая машина с регулятором Уатта Еще великий изобретатель паровой машины Джемс Уатт (Watt, 1736-1819) разработал центробежный регуля­тор для поддержания постоянства частоты вращения ма­шины. Если нагрузка паровой машины уменьшалась, то при неизменной подаче пара частота вращения вала резко и опасно возрастала. Регулятор Уатта состоял из двух тяже­лых шаров на вертикальном валу, связанном с валом ма­шины. Шары были стянуты между собой жесткой пружи­ной. При вращении вала центробежная сила, преодолевая упругость пружины, поднимала шары, а с шарами была связана заслонка на паропроводе, снижающая доступ пара в машину. Жесткость пружины подбиралась так, что при номинальной нагрузке на валу частота вращения равнялась заданной. При увеличении частоты вращения из-за умень­шения нагрузки, возросшая центробежная сила разводила шары, в результате заслонка уменьшала подачу пара, пре­дотвращая большие отклонения частоты вращения от но­минального значения. Регулятор Уатта являлся одним из первых регуляторов, работающих на принципе обратной связи по отклонению, поскольку именно отклонение текущей скорости вращения машины от заданной изменяло угол сдвига шаров, а тем са­мым и подачу пара на входе в цилиндры машины. Регуляторы с обратной связью являются основой автоматического управления до самого последнего времени. Теория автоматического управления (ТАУ) появилась во второй половине 19 века сначала как теория регулирования. Широкое применение паровых машин вызвало потребность в регуляторах, то есть в специальных устройствах, поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины. Это дало начало научным исследованиям в области управления техническими объектами. Такое исследование было впервые выпол­нено великим английским физиком Джеймсом Клерком Мак­свеллом (Maxwell, 1831-1879), который в 1868 г. опубликовал статью «О регуляторах». В этой статье Максвелл указывает, что для правильного представления о работе регулятора надо учесть инерцион­ность его элементов и составить уравнение колебаний, воз­никающих при отклонениях действительной скорости вра­щения машины от номинальной. Работа Максвелла правильно наметила принципиальные пути, по которым в дальнейшем пошло развитие теории ав­томатического управления. В то же время на работе Макс­велла сказалось то, что он был все же физиком, а не инже­нером. Максвелл не мог учесть специфики тех реальных задач, которые стояли перед техникой того времени, и по­этому его работа не оказалась использованной инженерами ни в самой Англии, ни на континенте. Основателем теории регулирования машин, получившей практическое примене­ние в промышленности, по праву считается Иван Алексее­вич Вышнеградский (1831-1895), основная работа которо­го вышла в 1876 г. и называлась «О регуляторах прямого действия». По сво­ему содержанию она во многом схожа с рассмотренной нами работой Максвелла «О регуляторах». Независимо друг от друга и Максвелл и Вышнеградский пришли к выводу, что исследование устойчивости работы машины, снабженной регулятором, можно свести к исследованию корней харак­теристического уравнения ее малых колебаний. Результаты работы Вышнеградского были использованы на практике именно благодаря ее инженерной направленности, так как они содержали не только теоретические расчеты, но и практические рекомендации для инженеров. В конце статьи главные выводы своей работы были сформулированы в виде лапидарных тезисов, которые и вошли в практику конструирования цен­тробежных регуляторов под названием «тезисов Вышнег­радского». Их обычно записывают в следующем кратком виде: 1. Без катаракта нет регулятора; 2. Без неравномерности нет регулятора. В дальнейшем различными учеными и инженерами были разработаны и усовершенствованы алгебраические методы анализа устойчивости, успешно применявшиеся в то время при проектировании САУ вследствие малости порядков исследуемых систем. До пятидесятых годов ХХ века теорию автоматического регулирования (ТАР), базирующуюся на рассмотрении линейных дифференциальных уравнений теорию устойчивости и качества процессов в системе объект – регулятор, было принято называть классической. По существу она тесно соприкасалась с теорией устойчивости «в малом» А.М. Ляпунова, сформулировавшего более общие понятия и закономерности и создавшего теорию устойчивости нелинейных систем, но имела ярко выраженную инженерную направленность. Впоследствии оказалось, что результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Под влиянием потребностей автоматизации управления технологическими процессами и движущимися объектами в связи с их заметным усложнением в сороковых и пятидесятых годах прошлого века интенсивно развивалась теория автоматического управления (ТАУ). Она впитала существующие в то время методы теории связи теории колебаний и создала собственные методы анализа и синтеза систем с обратной связью. Эта прикладная теория автоматического управления именовалась в то время современной. Получив во многом завершенные формы, она составила предмет учебных дисциплин технических вузов, многочисленных учебников и учебных пособий. До настоящего времени она является основным инструментом предварительного анализа и синтеза локальных систем стабилизации на стадии их проектирования. В рамках этой инженерной теории использовались методы, основанные на частотном анализе (предложенном Найквистом критерии устойчивости, а также более простом расчетном методе, полученном А.В. Михайловым), алгебре передаточных функций, преобразовании Лапласа. Задача управления технологическими процессами и движущимися объектами также решалась в «малом». Таким образом, предметом этой теории для сложных объектов являлось решения множества частных задач на каждом этапе или режиме технологического процесса и движущегося объекта. Увязка всех этих частных задач для достижения конечной цели управления производилась на стадии проектирования системы на основе априорной информации с помощью методов, внешних по отношению к данной теории. В это же время начала развиваться теория случайных процессов. Над проблемой частичного предсказания будущих значений случайного про­цесса по прошлым измерениям работали такие выдающие­ся математики как Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), работа которого [5] была опубликована в 1941 г., и Норберт Винер (Wiener, 1894-1964). Первые работы Н. Винера были очень сложны для понимания и использования в практике. В дальнейшем Винер упростил изложение своих резуль­татов и включил их во вторую часть своей известной книги «Кибернетика» [6], изданной в 1948 г. Но и после упрощений, введенных Н. Вине­ром в 1948 г., усвоить его результаты не очень легко. Книга Н. Винера «Кибернетика» известна и популярна из-за своей первой части, где очень ярко обрисована роль обратной связи, роль информации не только в технических системах, но и в при­роде и человеческом обществе. Только несколько позже уже другие ученые коренным образом улучшили изложение результатов теории случай­ных процессов, положив в ее основу понятие корреляционной функции, отражающей тесноту связи между зна­чениями случайного процесса, разделенными некоторым конечным интервалом времени В конце пятидесятых - начале шестидесятых годов, когда Л.С. Понтрягиным была создана математическая теория оптимальных процессов, Р. Беллман предложил метод динамического программирования, а Р. Калман разработал общую теорию фильтрации и управления, были заложены основы современной теории автоматического управления (СТАУ). Основным характерными признаками СТАУ является описание процессов в пространстве состояний и применения для решения задач анализа и синтеза систем методов пространства состояний. 2. ПОНЯТИЕ ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ УПРАВЛЕНИИ Управление каким-либо объектом – это процесс воздействия на него с целью обеспечения требуемого течения процессов в объекте или требуемого изменения его состояния. Основой управления является получение и обработка информации о состоянии объекта и внешних условиях его работы для определения воздействий, которые необходимо приложить к объекту, чтобы обеспечить достижение цели управления. Объект управления может принадлежать как к неживой природе, в частности, быть техническим устройством (самолет, станок и т. п.), так и к живой природе (коллектив людей, и т. п.). Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим управлением. Предметом нашей дисциплины является теория автоматического управления (ТАУ) техническими объектами. Техническое устройство, с помощью которого осуществляется автоматическое управление объектом, называется управляющим устройством. Совокупность объекта управления и управляющего устройства образует систему автоматического управления (САУ). В общем виде САУ представлена на рис. 1 (а), где: О – объект управления, УУ – управляющее устройство. Рис. 1. Блок-схема (а) и функциональная схема (б) системы автоматического управления. Состояние объекта характеризуется выходной величиной X. От управляющего устройства на вход объекта поступает управляющее воздействие (управление) U. Помимо управляющего воздействия, к объекту приложено также, возмущающее воздействие (возмущение, помеха) F, которое изменяет состояние объекта, т. е. X, препятствуя управлению. На вход управляющего устройства подается задающее воздействие (задание) G, содержащее информацию о требуемом значении X, т. е. о цели управления. Переменные U, G и F в общем случае являются векторами, как и X. Как показано на рис. 1 (а), в самом общем случае на вход управляющего устройства, помимо задающего воздействия G, поступает также информация о текущем состоянии объекта в виде выходной величины X и о действующем на объект возмущении F. Управляющее устройство перерабатывает получаемую информацию по определенному заложенному в нем алгоритму (правилу). В результате на его выходе возникает управляющее воздействие. На рис. 1 (б) изображена функциональная схема САУ, на которой показаны основные составные части управляющего устройства: чувствительное устройство ЧУ, вычислительное устройство ВУ и исполнительное устройство ИУ. Чувствительные устройства (измерительные устройства) служат для измерения переменных X, G и F. Вычислительное устройство реализует алгоритм работы управляющего устройства, соответствующим образом перерабатывая поступающую от чувствительных устройств входную информацию. В простейшем случае оно осуществляет простые математические операции, такие, как операция сравнения, определяющая разность X–G, операции интегрирования, дифференцирования, статического нелинейного преобразования и т. п. В более сложных случаях вычислительное устройство может представлять собой вычислительную машину и даже комплекс таких машин. Исполнительные устройства предназначены для непосредственного управления объектом, т. е. изменения его состояния в соответствии с сигналом, выдаваемым вычислительным устройством. Помимо перечисленных выше частей, в состав управляющего устройства могут входить различные специальные устройства, например преобразователи, служащие для согласования отдельных частей системы, устройства связи и т. п. Таким образом, процесс управления сводится к трем этапам: 1) сбор и обработка информации с целью оценки сложившейся ситуации; 2) принятие решения о наиболее целесообразных действиях; 3) исполнение принятого решения. Иногда бывает, необходим еще четвертый этап: конт­роль исполнения решения. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Разомкнутые, замкнутые и комбинированные системы В схеме САУ, изображенной на рис. 1, на управляющее устройство поступают три вида информации: информация о величине X, определяющей состояние объекта, информация о величине G, задающей цель управления, информация о F – возму­щениях, нарушающих режим работы объекта. Однако возможны САУ, в которых используется лишь часть перечисленной инфор­мации. При этом в зависимости от видов используемой управляю­щим устройством информации различают два основных типа САУ – разомкнутые системы и замкнутые системы. В разомкнутых САУ выходная величина объекта X не измеряется, т. е. нет контроля за состоянием объекта. Разомк­нутыми такие системы называются потому, что вследствие этого в них отсутствует обратная связь между выходом объекта и входом управляющего устройства, при наличии которой объект и управляющее устройство образуют замкнутый контур. Возможны разомкнутые САУ, в которых управляющее устройство измеряет только одно задающее воздействие G, одно возмущение F и, наконец, оба эти сигнала одновременно. В первом варианте разомкнутой САУ управление осуществляется по задающему воздействию: поступающие из вне команды G приводят путем изменения управляющего воз­действия U к соответствующему изменению выходной величины объекта X. Точность обеспечиваемого при этом соответствия между Х и G целиком определяется постоянством параметров системы и возмущений и никак не контролируется. Поэтому практически такие системы пригодны лишь при достаточно высокой стабиль­ности указанных выше условий работы системы и невысоких требованиях к точности. Вторым вариантом разомкнутой САУ является система автоматического управления по возмуще­нию, или, как ее еще называют, система автоматиче­ской компенсации. Такие системы находят применение, в частности, когда задача управления сводится к поддержанию постоянства выходной величины X объекта. Система управления по задающему и воз­мущающему воздействиям является наиболее пол­ным видом разомкнутой САУ. В этом случае управление объек­том осуществляется в функции двух величин G и F, т. е. здесь объединены оба предыдущих варианта разомкнутых систем. В замкнутых САУ на вход управляющего устройства подаются задающее воздействие G и выходная величина объекта X. Исходя из величины G, управляющее устройство определяет со­ответствующее требуемое значение X и, имея информацию о те­кущем значении X, обеспечивает необходимое соответствие между X и G путем воздействия на объект. В такой САУ управляющее устройство стремится ликвидиро­вать все отклонения X от его значения, определяемого заданием G, независимо от причин, вызвавших эти отклонения, включая лю­бые возмущения, внешние и внутренние помехи, а также измене­ния параметров системы. Как видно из рис. 1, САУ такого типа представляют собой замкнутый контур, образованный объектом и управляющим устройством. При этом управляющее устройство создает обратную связь вокруг объекта, связывая его выход со входом. Замкнутые САУ называются поэтому еще системами с обратной связью или системами управле­ния по отклонению. Эти системы могут обеспечить принципиально неограниченную точность управления и представляют собой основной тип САУ. Комбинированные САУ представляют собой объеди­нение в одну систему замкнутой системы управления по откло­нению и разомкнутой системы управления по внешнему воздей­ствию. Показанная на рис. 1 схема является схемой такой ком­бинированной САУ. Добавление к замкнутой системе управления разомкнутой системы компенсации влияния на выходную величину объекта какого-либо возмущения облегчает задачу замкнутой САУ и тем самым позволяет упростить ее и повысить точность управления. Лучшее качество управления в комбинированных системах объяс­няется тем, что в них наиболее полно используется информация об объекте и внешней ситуации. Системы автоматического регулирования — системы стабилизации, системы программного управления и следящие системы Частным, но широко распространенным видом систем автома­тического управления являются системы автоматиче­ского регулирования (САР). Системой автома­тического регулирования называется САУ, задача которой заклю­чается в поддержании выходной величины объекта X на заданном уровне G, т. е. в поддержании равенства X = G. В зависимости от характера задающего воздействия САР делятся на три вида: системы стабилизации, системы программ­ного регулирования (управления) и следящие системы. В системах стабилизации задающее воздействие постоянно, в системах программного регулирования оно изменяется по заранее заданному закону, в следящих системах оно тоже изме­няется, но закон изменения заранее не известен. В последнем случае задающее воздействие поступает на систему извне и зада­чей системы является обеспечение слежения выходной величиной объекта за изменяющейся задающей величиной так, чтобы все время поддерживалось равенство X = G. Управляющее устройство в системах автоматического регули­рования называется регулятором, а выходная величина — регулируемой величиной. Одномерные и многомерные системы В зависимости от количества выходных координат объекта управления, образующих вектор выходной величины X, САУ делятся на одномерные и многомерные (двухмер­ные и т. д.). Многомерные САУ (и САР), в свою очередь, делятся на системы несвязанного и связанного управления (регулирования). Система несвязанного управления имеет несколько управляющих устройств, каждое из которых осущест­вляет управление своей выходной координатой объекта. При этом все эти устройства не имеют взаимных связей. (Последнее, однако, не исключает возможности влияния управляющих устройств друг на друга через объект управления или, например, общий источ­ник питания). В системе связанного управления отдельные управляющие устройства связаны друг с другом внешними связями. Входящая в состав многомерной системы управления (как свя­занной, так и несвязанной) отдельная система управления назы­вается автономной, если управляемая ею выходная коорди­ната объекта не зависит от значений остальных управляемых координат, так что изменение последних не вызывает изменения этой координаты. Часто с целью получения автономности (необ­ходимой по какой-либо эксплуатационной причине) вводят внеш­ние связи между отдельными управляющими устройствами. Системы линейные и нелинейные Линейной называется система, которая описывается ли­нейными уравнениями. В противном случае система является нелинейной. Чтобы система была нелинейной, достаточно иметь в ее составе хотя бы одно нелинейное звено, т. е. звено, описываемое нелинейным уравнением. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каж­дое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию системы на любое про­извольное воздействие через реакцию системы на элементарное типовое воздействие, например, в виде ступеньки. Для этого до­статочно представить данное входное воздействие в виде совокуп­ности выбранных типовых воздействий. Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического управления, описываемых линейными дифференциаль­ными уравнениями любого порядка. К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим. Нет и общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных систем автоматического управления. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных урав­нений. Вместе с тем, если не ограничивать диапазона измене­ния входных воздействий, то все реальные системы автомати­ческого управления оказываются нелинейными. Трудность ис­следования нелинейных систем заставляет упрощать их опи­сание. Желательным пределом такого упрощения является приближенное описание их линейными уравнениями, хотя бы в не­которых из интересующих нас режимов. Это называется лине­аризацией нелинейных систем. Системы стационарные и нестационарные Стационарной называется система, все параметры которой не изменяются во времени. Нестационарная система – это система с переменными параметрами. При матема­тическом описании нестационарной системы это проявляется в том, что некоторые коэффициенты дифференциального уравнения си­стемы являются функциями времени. Пример нестационарной системы – система управления ракетой, масса которой изме­няется вследствие расхода топлива. В соответствии с данным определением, в отличие от неста­ционарной системы, реакция стационарной системы на одно и то же воздействие не зависит от момента приложения этого воздей­ствия. Системы непрерывного и дискретного действия САУ бывают непрерывного или дискретного действия в зависи­мости от характера действия составляющих систему звеньев. Система непрерывного действия состоит только из звеньев непрерывного действия, т. е. звеньев, выходная величина которых изменяется плавно при плавном изменении входной величины. Система дискретного действия, или дис­кретная система, – это система, содержащая хотя бы одно звено дискретного действия. Звеном дискретного действия называется звено, выходная величина которого изменяется дис­кретно, т. е. скачками, даже при плавном изменении входной величины. (Скачки выходной величины могут происходить либо при прохождении входной величиной определенных пороговых значений – звено релейного действия, либо через определенный интервал времени – звено импульсного действия). Адаптивные и неадаптивные системы Адаптивные, или самоприспосабливаю­щиеся, системы обладают способностью приспосабливаться к изменению внешних условий работы, а также улучшать свою работу по мере накопления опыта. Неадаптивные, или, как их еще называют, обыкновенные, системы такой способностью не обладают. Они имеют постоянную настройку. Если вследствие какого-либо изменения условий работы обыкно­венной системы ее настройку требуется изменить для того, чтобы сохранить заданное качество управления (например, точность, быстродействие), эту перенастройку должен сделать человек. В адаптивной системе это осуществляется автоматически самим управляющим устройством системы. Область применения адаптивных САУ – это управление объек­тами, свойства или условия работы которых недостаточно известны или существенно непостоянны. В этих условиях обыкновенная, неадаптивная, система либо будет работать неудовлетворительно, либо потребует постоянного надзора. Лекция 2 Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Характеристика процесса управления. Критерий качества управления 2. Ограничения, накладываемые на управление 3. Задачи теории автоматического управления 4. Постановка задачи оптимального управления 1. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ Устойчивость, качество и точность процесса управления Рассмотрим общую характеристику процессов, происходящих в системах автоматического управления. Как и у всякой динамической системы, процессы в САУ делятся на уста­новившиеся и переходные. При рассмотрении процессов в САУ важное значение имеют следующие понятия: устойчивость системы, качество процесса управления и точность управления. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в установившееся состояние после того, как она была выведена из этого состояния каким-либо возмущением. Замкнутые САУ весьма склонны к потере устой­чивости, что чаще всего проявляется в возникновении расходя­щихся колебаний (генерации). Устойчивость является необходимым условием работо­способности всякой САУ. Качество процесса управления характери­зуется тем, насколько процесс управления близок к желаемому. Количественно оно определяется критериями качества, которые избираются в соответствии с целью управления. Точность управления характеризуется погреш­ностью системы в установившихся режимах. Критерий качества управления Задачу управления мы будем в дальнейшем рас­сматривать как математическую задачу. Однако в отли­чие от многих других математических задач она имеет ту особенность, что допускает не одно решение, а мно­жество различных решений. Это связано с тем, что в задачах управления имеется, как правило, много способов организации какого-либо процесса, которые приводят к достижению поставленной цели. Поэтому задачу управления мож­но было бы ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставлен­ной цели. Однако такая постановка вопроса обычно бы­вает недостаточна. Если имеется множество решений какой-либо зада­чи, то возникает добавочная задача – выбрать из это­го множества решений такое, которое с какой-либо точ­ки зрения является наилучшим. Можно привести много примеров таких задач. Так, имеется много способов для склеивания коробки из листа картона заданных разме­ров. Добавочной задачей можно считать задачу получения коробки максимальной вместимости. Из одного города в другой можно проехать, пользуясь различными видами транспорта: железнодорожным, воздушным/вод­ным; автобусным, автомобильным. Добавочной зада­чей можно считать выбор наиболее выгодного вида транспорта с точки зрения времени проезда, стоимости, удобства, привычек и т. п. Аналогичное положение имеет место и в задачах управления. В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута несколькими различными способами, на спо­соб управления можно наложить добавочные требова­ния, степень выполнения которых может служить осно­ванием для предпочтения одного способа управления всем другим. Во многих случаях реализация процесса управле­ния требует затраты каких-либо ресурсов: затрат вре­мени, расхода материалов, топлива, электроэнергии. Следовательно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, достигается ли поставленная цель, но и о том, какие ресурсы придется затратить для достижения этой цели. В этом случае задача управле­ния состоит в том, чтобы из множества решений, обес­печивающих достижение цели, выбрать одно решение, которое требует наименьшей затраты ресурсов. В других случаях основанием для предпочтения од­ного способа управления другому могут служить иные требования, налагаемые на систему управления: стои­мость обслуживания, надежность, степень, близости полу­чаемого состояния системы к требуемому, степень досто­верности знаний о состоянии природы и т. п. Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называется критерием качества управления. Наиболее предпочтительным или оптималь­ным способом управления будет такой, при котором критерий качества управления достигает минимального (иногда максимального) значения. При выборе, напри­мер, режима полета за критерий качества управления можно принять или выражение для количества топлива, расходуемого на единицу пути, или путь, проходимый за счет единицы топлива. Наиболее экономичному, т. е. оптимальному, режиму будет соответствовать или мини­мальное (в первом случае), или максимальное (во вто­ром случае) значение критерия качества управления. Приведенное определение оптимального управления будем рассматривать как предварительное. Более стро­гое определение будет дано после рассмотрения ограни­чений налагаемых на процесс управления. 2. Ограничения, накладываемые на процесс управления Задачу нахождения оптимального управления следует считать не существую­щей, т. е. не вызывающей никаких проблем, если на ха­рактер движения системы не наложено никаких огра­ничений. Следова­тельно, при решении задачи управления нельзя не счи­таться с тем обстоятельством, что движение любой си­стемы всегда подвержено различного рода ограниче­ниям. Для более ясного представления о встречающихся ограничениях рассмотрим конкретный пример управле­ния автомобилем. Осуществляя процесс управления, во­дитель должен считаться с тем, что автомобиль имеет ограниченную мощность двигателя, а значит может вести лишь ограниченный груз с ограниченной предель­ной скоростью. Благодаря инерционности скорость авто­мобиля и направление движения могут изменяться лишь с ограниченным по величине ускорением. Это означает невозможность мгновенной остановки или мгновенного изменения направления движения в случае возникнове­ния непредвиденной опасной ситуации и в свою очередь ограничивает скорость движения. При выборе маршрута водитель вынужден считаться с ограниченным запасом горючего в баке и необходимостью пополнения этого за­паса в пути и т. п. В общем случае имеется два вида ограничений на выбор способа управления. Ограничениями пер­вого вида являются сами законы природы, в соответст­вии с которыми происходит движение управляемой си­стемы. При математической формулировке задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими, дифференциальными или разностны­ми уравнениями объекта управления и их часто назы­вают уравнениями связи. Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые в силу физиче­ских особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов. Матема­тически ограничения этого вида выражаются обычно в виде систем алгебраических уравнений или неравенств, связывающих переменные, описывающие состояние си­стемы. 3. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ УУ – управляющее устройство; ОбУ – объект управления; ИУ – измерительное устройство; g - уставка, или выходной сигнал генератора уставки; е - невязка, или ошибка регулирования; x - управление, или выходной сигнал регулятора; у - измерение, или выходной сигнал измерительного устройства (ИУ); - возмущения объекта и измерительного устройства. Основная задача теории автоматического управления – обеспечение устойчи­вости системы путем выбора структуры и параметров регулятора или изме­нения параметров объекта. Интуитивно понятие устойчивости означает, что при любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ог­раниченным. Задача программного управления – изменение управляемой величины y(t) по заранее заданному закону (программе) g(t) без учета внешних воздействий. Примерами могут служить программы автопилота самолета, движения инст­румента обрабатывающего станка или руки робота по заданной траектории. Задача следящего управления – изменение управляемой величины y(t) no произвольному и заранее неизвестному закону g(t). Цель слежения e(t) достигается с помощью отрицательной обратной. При e(t) 0 регулятор отрабатывает ошибку управления в направлении уменьше­ния ее абсолютного значения |е(t)|. Задача стабилизации – сведение управляемой величины к значению посто­янной уставки g(t) = const. Стабилизация как частный случай слежения ши­роко востребована в технических системах со стационарными целями. Задача статического и динамического анализа системы автоматического управления состоит в исследовании статических (в установившемся режиме) и динамических (в переходном режиме) свойств системы с учетом взаимно­го влияния ее элементов друг на друга. Сюда входит определение статиче­ских ошибок и параметров качества переходных процессов в системе при различных входных воздействиях. Качество системы определяется параметрами переходного процесса при от­работке системой возникающих возмущений. К основным показателям каче­ства относятся: – статические ошибки регулирования, или отклонения выходных перемен­ных от их уставок в установившемся режиме; – длительность переходного режима, или время установления; – максимальные выбросы (перерегулирования) управляемых переменных за их установившиеся значения; – число колебаний в переходном режиме и степень затухания колебаний. Задача синтеза устройства управления заключается в проектировании техни­ческого устройства, воздействующего на объект в направлении достижения желаемой цели управления. Требования, которым должна удовлетворять современная система управления сложным объектом: – Система должна предсказуемым образом реагировать на входные воз­действия и начальные условия, для чего она должна быть устойчивой. Неустойчивая система неработоспособна. – Поскольку никакая модель не описывает физическую систему полно­стью, то система автоматического управления должна проектироваться с определенным запасом устойчивости, предназначенным для компенсации неконтролируемых изменений параметров объекта во времени, а также их зависимости от условий внешней среды. – В системе должна быть обеспечена желаемая точность отработки устав­ки в установившемся режиме, вплоть до нулевой статической ошибки. – Переходные процессы в системе автоматического управления должны иметь желаемые динамические показатели качества: время установления, перерегулирование, степень затухания колебаний и другие параметры, указанные в техническом задании. – Система должна быть способной подавлять (компенсировать) влияние нежелательных внешних возмущений — как статических, так и изме­няющихся во времени, как детерминированных, так и стохастических. 4. Постановка задачи оптимального управления Задачу управления можно считать сформулиро­ванной математически, если: 1) сформулирована цель управления, выраженная через критерий качества управления; 2) определены ограничения первого вида, представляю­щие собой систему дифференциальных или разностных уравнений, ограничивающих возможные способы движе­ния системы; 3) определены ограничения второго вида, представляю­щие собой систему алгебраических уравнений или нера­венств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин, используемых при управлении. Способ управления, который удовлетворяет всем по­ставленным ограничениям и обращает в минимум (мак­симум) критерий качества управления, называется опти­мальным управлением. Лекция 3 Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Классификация элементов систем управления 2. Виды соединений статических элементов 3. Линеаризация статических элементов 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Элементы систем управления классифицируются по следующим признакам: По функциональному назначению: • задающие элементы — генераторы установок; • измерительные элементы — датчики; • суммирующие и вычитающие элементы; • усиливающие элементы без изменения формы сигналов; • преобразующие и корректирующие элементы; • исполнительные элементы. По виду используемой энергии: • электрические элементы; • механические элементы; • гидравлические элементы; • пневматические элементы; • комбинированные элементы. По наличию источника энергии: • активные элементы; • пассивные элементы. По длительности переходных процессов: • безынерционные элементы — описываются алгебраическими уравне­ниями. Входные и выходные переменные связаны между собой коэф­фициентами усиления; • инерционные элементы — описываются дифференциальными урав­нениями. У линейных инерционных элементов связи между вход­ными и выходными переменными устанавливаются передаточными функциями. По характеру установившегося режима: • статические элементы, имеющие конечные установившиеся значения выходных переменных; • астатические элементы, модели которых не имеют постоянных уста­новившихся значений выходных переменных. 2. ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ СТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Статическим называется элемент, у которого при постоянном входном воз­действии x(t) с течением времени устанавливается постоянная выходная пе­ременная y(t). Отношение у/х в установившемся режиме называется коэф­фициентом усиления К. Статическая характеристика системы, образованной соединением двух эле­ментов, может быть найдена двумя способами: – аналитическим, если заданы формулы статических характеристик исход­ных элементов; – графическим, если характеристики элементов заданы графиками. Рассмотрим основные типы соединений статических элементов и методы ана­литического и графического расчета их статических характеристик. Параллельное соединение: Графическое построение результирующей характеристики f(х) очень про­сто: она равна сумме ординат характеристик парал­лельно соединенных элементов при одинаковых значениях абсцисс х. Последовательное соединение: Графическое построение результирующей характеристики f(х) выполняем следующим образом: • на оси абсцисс характеристики первого элемента выбираем значения х и по графику определяем выходной сигнал . • рассматривая как входной сигнал второго элемента, по графику находим значение, равное выходному сигналу у последовательного соединения. При этом ось у совпадает с осью х; • для каждой пары чисел {х, у} на отдельном графике строим точку искомой характеристики y = . Нелинейные элементы нельзя переставлять местами, т. к. в общем случае Соединение с обратной связью. На рисунке и формулах в обозначениях «±» и «» верхний знак означает отрицательную обрат­ную связь (ООС), а нижний – положительную (ПОС). Запишем уравнения трех блоков системы: Исключая переменные е и z, получим уравнение связи входа и выхода: Последовательность графического построения статической характеристики обратного построения: 3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Каждый элемент системы имеет рабочую область изменения входных и вы­ходных переменных, причем некоторые точки этой области наиболее пред­почтительны как точки равновесия или как самые удаленные от границ ра­бочей области. Такие точки называются номинальными, а координаты точки () – номинальным режимом. При слабой нелинейности статической ха­рактеристики достаточно иметь одну номинальную точку, сильная же нели­нейность заставляет разбивать область работоспособности на подобласти, каждую со своим номинальным режимом. В окрестности номинального режима желательно иметь линейное описание элемента как наиболее удобное для решения задач анализа и синтеза. Ли­неаризация – это замена реальных нелинейных уравнений, описывающих функционирование объекта, близкими к ним линейными уравнениями. Ли­неаризация гладкой функции в окрестности номинальной точки () выполняется по формуле разложения в ряд Тейлора Это уравнение касательной к кривой f(x) в точке (). Введем отклонения от номинального режима , тогда линеаризованное уравнение в отклонениях примет вид с коэффициентом наклона касательной Лекция 4 Математические модели линейных непрерывных систем (Часть 1) Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Описание линейных непрерывных систем дифференциальными уравнениями 2. Описание линейных непрерывных систем динамическими моделями в комплексной плоскости 1. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В общем виде математическая модель любой системы представляется в виде функциональной зависимости между входным воздействием и выходной величиной системы. В общем случае как входные сигналы систем, так и выходные, являются векторными величинами, то есть в системе может присутствовать несколько входных воздействий и несколько выходных величин. Структурная схема такой модели представлена на рисунке 1, а сама модель описывается следующей формулой: , где – входное воздействие; – выходной сигнал системы; – функциональная зависимость, связывающая выходной сигнал с входным. Рисунок 1 – Структурная схема математической модели системы в общем виде Основной математической моделью линейных непрерывных систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), описываемые выражением: , (1) где , (;) – коэффициенты дифференциального уравнения. определяющие параметры и характеристики системы. Уравнение (1) является неоднородным и описывает вынужденный режим протекания процессов в системе. Если в уравнении (1) правая часть равна нулю (входное воздействие отсутствует), то ОДУ называется однородным. В этом случае оно используется для описания свободных режимов и свободного движения системы, а сами такие системы называются автономными. Однородное ДУ является частным случаем неоднородного ДУ при отсутствии входного воздействия и описывается уравнением: . (2) Решение дифференциальных уравнений (1) и (2) заключается в их интегрировании. Тогда, например, для ДУ первого порядка вида решение будет иметь следующий вид: . В задачах теории автоматического управления необходимо, чтобы начальные условия, как правило, были нулевыми, то есть выполнялось условие: . (3) Если задать определенный вид входного воздействия, например, косинусоидальной формы , то для описанного выше примера решение с учетом выполнения условий (3) будет иметь следующий вид: . В зависимости от коэффициентов, входящих в дифференциальное уравнение, все системы делятся на 3 класса: 1) если все коэффициенты уравнения являются числовыми константами, то уравнение и система называются линейными; 2) если хотя бы один из коэффициентов уравнения является функцией выходной величины или ее производных, то уравнение и система называются нелинейными: ; 3) если хотя бы один из коэффициентов является функцией времени , то уравнение и система называются нестационарными: . Для первого из трех классов необходимо выполнение условия физической реализуемости: . (4) Например, реализовать физически операцию дифференцирования, описываемую уравнением , невозможно. Это связано в первую очередь с тем, что в реальных системах всегда присутствуют помехи (шумы), накладываемые на входные воздействия. Пусть в системе есть входной сигнал синусоидальной формы, а на него наложен шум с частотой, большей в 100 раз, и амплитудой, не превышающей 1% амплитуды входного сигнала: . После выполнения операции дифференцирования выходной сигнал будет иметь вид: . Таким образом, очевидно, что амплитуда помех после дифференцирования соизмерима с амплитудой основного сигнала. Правая часть уравнения (1) характеризует чувствительность системы к изменению входного сигнала. Теоретически чем ближе к , тем выше чувствительность. На практике это сделать очень сложно, так как помехоустойчивость системы снижается. Левая часть уравнения (1) характеризует инерционные свойства системы: чем больше , тем система более инерционна, реагирует на входные воздействия с большим запаздыванием. 2. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ДИНАМИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ Для получения математической модели системы в компактной и более удобной для анализа форме применяют одностороннее преобразование Лапласа, обозначаемое как . Преобразование осуществляют по следующей формуле: , (5) где – оригинал функции во временной области; – изображение функции по Лапласу в комплексной плоскости; – комплексная переменная . Свойства преобразования Лапласа: 1) для , выполняется ; 2) для 3) для при нулевых начальных условиях; 4) для при нулевых начальных условиях. Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1), описывающему линейную непрерывную систему, получим математическую модель, описывающую динамику системы в комплексной области: , (6) или в полиномиальной форме: , (7) где ­– полином левой части; – полином правой части. В рассмотрение вводится математическая модель в комплексной форме, называемая передаточной функцией, которая описывается следующим выражением: . (8) Передаточная функция – это отношение преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях выходного сигнала к входному. Передаточная функция не зависит от вида сигналов в системе, так как ее можно представить в виде отношения двух полиномов: . На основании этого можно записать: , (9) то есть выходной сигнал системы определяется входным воздействием и некоторыми свойствами, характеризующими саму систему независимо от присутствия в ней каких-либо сигналов. В случае автономной системы, ее движение целиком определяется ее свойствами. По аналогии с комплексной математической моделью получают операторную форму выражения (1) и аналог передаточной функции системы для временной области. Для этого выражение (1) записывают в виде: , где – способ записи производной функции, то есть . Из этого выражения получают аналогичную (7) операторную форму во временной области вида: , (10) где ; . Аналог передаточной функции для временной области имеет вид: . (11) Зависимость между входным и выходным сигналами выражается как: . (12) Лекция 5 Математические модели линейных непрерывных систем (Часть 2) Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Математические модели систем во временной области 2. Математические модели систем в частотной области 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Кроме дифференциальных уравнений существует еще 2 математические модели систем во временной области: импульсная и переходная характеристики. Импульсная (весовая) характеристика является реакцией системы на дельта-импульс (дельта-функцию). Дельта-импульс представляет собой сигнал нулевой длительности, бесконечной амплитуды и единичной мощности: (13) При подаче на вход системы воздействия на выходе системы получаем импульсную характеристику: . (14) Дельта-импульс и соответствующая импульсная характеристика системы показаны на рисунке 2. Рисунок 2 – Дельта-импульс и импульсная характеристика системы Известно, что , (*) тогда из выражения (9) при следует, что , то есть . (15) Для определения используется свертка (интеграл Дюамеля), вычисляемая по формуле: . (16) Произведению функций во временной области соответствует свертка в комплексной плоскости, а произведению изображений в комплексной плоскости – свертка во временной области: , . Тем не менее, несмотря на наглядность результатов применения импульсной характеристики, экспериментально получить ее очень сложно. Это связано с точностью формирования входного воздействия. Поэтому вводят еще одну характеристику, называемую переходной характеристикой. Переходная характеристика является реакцией системы на единичный сигнал, определяемый согласно выражению: (17) При подаче на вход системы воздействия на выходе получаем переходную характеристику: . Единичный сигнал и соответствующая переходная характеристика показаны на рисунке 3. По переходной характеристике непосредственно получить выходной сигнал нельзя. Но она часто используется, так как ее легко реализовать физически, поскольку в этом случае в системе используется обычный режим переключения уровня сигнала. Рисунок 3 – Единичный сигнал и переходная характеристика системы Известно, что , (**) тогда с учетом (*) можно сделать вывод, что (18) или . (19) Формулы (18) и (19) отображают связь импульсной и переходной характеристик. Таким образом, для линейных непрерывных систем во временной области помимо дифференциальных уравнений также используются 3 математические модели: , и . 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Одностороннее преобразование Фурье является еще одним способом построения математической модели системы в комплексной плоскости и производится по формуле: . (20) Очевидно, что оно является частным случаем преобразования функции по Лапласу при . Преобразование Фурье отображает частотные характеристики системы. Передаточная функция при представляет собой амплитудную фазовую частотную характеристику (АФЧХ) и записывается в виде: . Поученную комплексную величину АФЧХ можно представить в алгебраической (21) или показательной (22) форме: , (21) . (22) В формулах (21) и (22) представлены следующие частотные характеристики системы: 1) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ); 2) – мнимая частотная характеристика (МЧХ); 3) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ); 4) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Анализировать частотные характеристики целесообразно в случаях наличия в системе переменных сигналов. Пусть в системе есть синусоидальный сигнал , тогда в линейных (и только линейных!) системах после окончания переходных процессов выходная величина . В данном случае для заданной частоты колебаний АЧХ представляет собой отношение амплитуд выходного сигнала к входному , а ФЧХ равняется сдвигу фаз . Общий вид АЧХ и ФЧХ показан на рисунке 4, а. Рисунок 4 – а) АЧХ и ФЧХ системы; б) ЛАЧХ и ФЧХ системы Как показано на рисунке 5, для всех частотных характеристик существует геометрическая интерпретация: , , , , . Еще одной частотной графической характеристикой является годограф. Годографом АФЧХ называют геометрическое место точек конца вектора при изменении частоты от 0 до ∞. Иногда диапазон изменения частот принимают от –∞ до +∞. Вектор вращается вокруг начала координат. Направление изменения частоты показывают стрелкой. Пример годографа представлен на рисунке 6. Для большинства систем годограф сходится к началу координат. Рисунок 5 – Геометрическая интерпретация частотных характеристик системы Наиболее часто используют АЧХ и ФЧХ. Их строят в диапазоне частот от 0 до ∞. Для построения зависимости амплитуды от частоты, как правило, вводят логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ): . (23) График ЛФЧХ представлен на рисунке 4, б. На графике отмечена частота среза , в которой , и соответственно . Единицей измерения ЛАЧХ является децибел (дБ). Построение, как правило, осуществляется в логарифмическом масштабе по оси частот. Значение ФЧХ приводятся в градусах или радианах. Рисунок 6 – Годограф АФЧХ системы Лекция 6 Временные характеристики элементов и систем управления Динамические свойства элементов и систем оцениваются их временными ха­рактеристиками (ВХ) – реакциями на типовые входные воздействия: гар­моническое, импульсное и ступенчатое. При гармоническом воздействии определенной частоты динамика системы характеризуется изменением амплитуды и фазовым сдвигом установившегося выходного сигна­ла, т. е. передаточной функцией и частотными характеристиками системы. Остановимся на задаче расчета реакций типовых звеньев и системы в целом на входные воздействия импульсного и сту­пенчатого типов. Среди множества различных методов расчета переход­ных процессов в инженерной практике наиболее распространен опера­торный метод преобразования Лапласа. Основные моменты этого метода: – по формуле выполняется прямое преобразование Лапласа входного сигнала x(t) – оригинала, в результате чего получается изобра­жение сигнала X(s); – с помощью алгебраического преобразования находится изображение Y(s) выходного сигнала; – обратным преобразованием Лапласа восстанавливается оригинал у(t) – временная функция выходного сигнала. Типовые временные характеристики Остановимся на изучении реакций динамических элементов и систем на типовые воздействия импульсного и ступенчатого видов. Поскольку в реальных условиях заранее неизвестно, ка­кой формы сигнал поступает на вход системы, то для анализа ее качества выбираются тестовые сигналы. Выбор таких сигналов из всего многообразия воздействий обусловлен: во-первых, их широким распространением в при­роде; во-вторых, возможностью аппроксимации произвольных сигналов комбинацией тестовых; в-третьих, несложностью выполнения с ними ана­литических и численных операций. Именно таким требованиям удовлетворяют воздейст­вия импульсного и ступенчатого типов. Импульсная характеристика Импульсное или ударное воздействие в момент времени бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды описывается абстрактной дельта-функцией Дирака, являющейся пределом функции х(t, е) с конечны­ми длительностью и амплитудой: Воздействия импульсного типа в электронных схемах вырабатываются уст­ройствами синхронизации, возникают при разрядах конденсаторов, при дребезге контактов переключателей, в результате электромагнитных наводок и т. п. Сигнал можно считать импульсным, если его конечная длительность существенно, т. е. на несколько порядков, меньше минимальной постоян­ной времени элементов системы. Дельта-функция принадлежит классу обобщенных функций и явля­ется недифференцируемым пределом при непрерывных импульсных функций x(t, e), имеющих следующие свойства: – четность относительно аргумента t: x(t, ) = х(-t, ); – начальное и конечное значения ; – площадь под функцией x(t, e) равна единице при любых значениях ; – предел , а ширина интервала изменения функции при стремится к нулю. Импульсная характеристика (ИХ) w(t) – это реакция системы на входное воз­действие в виде несмещенного дельта-импульса при нулевых начальных ус­ловиях. Согласно свойству изображения функции , при нулевых начальных условиях изображение импульсной характеристики системы есть ее переда­точная функция W(s). И наоборот, w(t) есть оригинал изображения W(s): (1) В формулах заключена потенциальная возможность решения задачи идентификации – определения передаточной функции системы по ее реак­ции на импульсный сигнал единичной площади при нулевых начальных усло­виях. Для этого нужно как можно точнее описать выходной сигнал временной зависимостью w(t), а затем по таблице преобразова­ния Лапласа получить W(s). Переходная характеристика Единичное (ступенчатое) воздействие в момент времени с бесконечно ма­лой длительностью фронта описывается единичной функцией Хевисайда – пределом функции x(t, ) с конечным временем перехода из нуля в единицу: Ступенчатые воздействия в электронных схемах возникают при переключе­нии напряжения питания, скачкообразном изменении нагрузки, характерны для выходных напряжений реле, триггеров и других дискретных элементов. Сигнал можно считать ступенчатым, если конечная длительность его фронта существенно, т. е. хотя бы на порядок, меньше минимальной постоянной времени элементов системы. Единичная функция 1(t), как и дельта-функция, принадлежит классу обоб­щенных функций и является недифференцируемым пределом при не­прерывных функций x(t, ), имеющих следующие свойства: – ; – кососимметричность относительно среднего значения ; – интервал изменения от 0.05 до 0.95 сужается до 0 при . Переходная характеристика (ПХ) h(t) – это реакция системы на входное воз­действие в виде несмещенной единичной функции 1(t) при нулевых начальных условиях. Согласно свойству изображения функции 1(t), при нулевых началь­ных условиях изображение H(s) переходной характеристики h(t) и переда­точная функция системы W(s) связаны следующими операторными соотно­шениями: (2) Формулы тоже можно использовать для идентификации системы по ее реакции на ступенчатый сигнал единичной амплитуды при нулевых на­чальных условиях. Для этого нужно как можно точнее описать выходной сигнал временной зависимостью h(t), а затем по таблице преоб­разования Лапласа получить изображение H(s), по которому определить передаточную функцию W(s) = sH(s). Взаимосвязь временных характеристик Из формул 1 и 2 следуют важнейшие соотношения между импульсной и пере­ходной характеристиками (3) позволяющие по одной характеристике найти другую, причем удобнее вы­числять импульсную характеристику путем дифференцирования переходной. Полученные зависимости таят в себе один тонкий момент. Дело в том, что если переходная характеристика совершает в начальный момент вре­мени скачок из нуля в состояние , то импульсная характеристика по свойству дифференцирования разрывных функций должна включать дельтаобразную составляющую . При эта составляющая отсутствует. Отразим данный факт явным образом в виде следующих за­висимостей: (4) где начальное значение h(0) равно площади дельта-импульса, входящего в состав импульсной характеристики в начальный момент времени t = 0. По формулам (1) - (4) вычислены и сведены в таблицу импульсные и переходные характеристики всех типовых звеньев с параметрами К > 0 и Т > 0. Следует отчетливо понимать, что графики временных характеристик, содержащих дельта-функцию и ее производные, имеют условный характер из-за невозможности точно изобразить импульсы бесконечно большой ам­плитуды и бесконечно малой длительности, какими являются эти абстракт­ные функции. Наибольший практический интерес представляют инерционные типовые зве­нья с конечным и ненулевым временем установления временных характеристик – апериодическое и колебательное звенья. Лекция 7 Частотные характеристики элементов и систем управления Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Общие сведения о частотных характеристиках 2. Основные частотные характеристики 3. Частотные характеристики типовых звеньев 1. оБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ Эта лекция посвящена изучению реакции линейных стационарных элементов и систем на одно из типовых внешних воздействий – гармоническое колеба­ние. Важность этого воздействия не очевидна, поскольку редко встречаются системы управления, отслеживающие синусоидальную уставку. Однако, ес­ли известна реакция системы на гармонические колебания всех возможных частот, то тем самым мы получаем полную информацию об этой системе, поскольку любой сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Часто удается экспериментально измерить реакцию физической системы на гармонические колебания, и полученные таким образом характеристики имеют огромную практическую ценность. Рассмотрим линейный объект с входным сигналом x(t) и выходным сигна­лом y(t), описываемый неоднородным дифференциальным уравнением: К основным задачам исследования сложных объектов относится расчет переходных процессов – зависимостей y(t) при различных воздействиях x(t). Это составляет, пожалуй, главный визуальный результат теории автоматиче­ского управления. Многократное решение линейного неоднородного диф­ференциального уравнения со сложной правой частью весьма трудоемко и повторяется каждый раз заново для каждого нового входного сигнала. Один из подходов, призванный унифицировать и тем самым облегчить ре­шение данной задачи и основанный на свойстве линейности объекта, за­ключается в следующем: – входное воздействие представляется взвешенной суммой некоторого числа типовых сигналов простого вида; – рассчитывается отклик объекта на типовой сигнал; – выходной сигнал формируется как взвешенная сумма откликов на типо­вые сигналы, составляющие входное воздействие. К простейшим типовым воздействиям, применяемым в теории автоматиче­ского управления, относятся колебательные, ступенчатые и импульсные сигналы. Гармоническое колебание некоторой величины описывается тригонометри­ческими формулами (1) и характеризуется следующими тремя параметрами. Амплитудой Av – размахом колебания вокруг нулевого среднего значе­ния. Единица измерения амплитуды совпадает с единицей измерения самой величины. Частотой – скоростью совершения одного цикла колебаний. В автома­тике принята единица измерения частоты 1 рад /с – один радиан в се­кунду, что соответствует длительности цикла 2 6.28 с. Во многих техни­ческих дисциплинах, изучающих колебательные процессы, используется единица измерения частоты 1 Гц – один герц или один цикл в секунду. Радианная частота и циклическая частота f связаны соотношением и отличаются друг от друга примерно в 6 раз: 1 рад/с соответствует 160 мГц. Колебания частотой f Гц описываются функциями Фазой – угловым сдвигом колебательного процесса от несме­щенного (с фазовым углом ( = 0) сигнала . Еди­ницами измерения фазового угла являются рад (радиан) или градус. Форма описания колебаний функциями (1) для решения практических за­дач неудобна тем, что при каждом дифференцировании функция sin меня­ется на cos , a cos – на –sin. Более удобной является общепринятая комплексная форма описания колеба­ний (2) где = -1, как равномерного вращения на комплексной плоскости радиус-вектора длиной с угловой скоростью и начальным фазовым углом (рис. 1) Рис. 1 Частотная характеристика (ЧХ) – это зависимость определенного параметра гармонических колебаний выходной переменной линейного объекта от частоты колебаний входной переменной в установившемся режиме функционирования. Широкое применение частотных характеристик базируется на том, что входное воздействие произвольного характера может быть представлено в виде суммы гармоник различной частоты, каждая из которых передается на выход линейной системы без искаже­ния формы. Большинство систем при внезапной подаче на вход периодического воздей­ствия дают в конечном счете периодический отклик установившейся фор­мы. За редким исключением, когда в момент приложения входного сигнала система случайно оказывается точно в состоянии, совпадающем с устано­вившимся, практически всегда в начале движения будет некоторый интервал времени, в течение которого затухает начальное отклонение системы от ус­тановившегося режима. Таким образом, если на вход невозбужденного линейного устойчивого объекта подан сигнал в виде гармонического колебания , то на его выходе начинает развиваться переходный процесс y(t), который по истечении некоторого времени ty становится установившимся процессом (рис.2) Рис. 2 У всех устойчивых динамических объектов, описываемых дифференци­альными уравнениями, амплитуда Ау и фазовый сдвиг выходно­го сигнала зависят от частоты входного сигнала . Иначе говоря, устано­вившиеся параметры выходных колебаний являются частотно-зависимыми, и это свойство изменять амплитуду и фазу гармонического сигнала является свойством самого линейного объекта, а не сигнала, про­ходящего через него. Теоретически частотные характеристики определены при изменении угло­вой частоты от 0 до . Однако всякое реальное устройство может пропус­кать гармонические сигналы лишь некоторого ограниченного интервала частот, поэтому в каждом конкретном случае следует заранее определиться, в каком интервале частот целесообразно исследование частотных свойств этого устройства. Частотные характеристики устойчивого объекта могут быть получены экспе­риментально с помощью генератора гармонических колебаний и устройства регистрации временных процессов, например, осциллографа. Ввиду отсутст­вия у неустойчивого объекта установившегося режима его частотные харак­теристики не могут быть экспериментально измерены. Тем не менее, их можно формально построить по передаточной функции W(s) (она, как из­вестно, есть иной способ записи дифференциального уравнения объекта и не зависит от вида входного воздействия). Передаточной функцией (ПФ) называется отношение изображения выхода системы к изображению ее входа при нулевых начальных значениях входа, выхода и их производных. s – оператор Лапласа. 2. ОСНОВНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), или отношение частотно-зависимой амплитуды выходных колебаний к ампли­туде входных. – фазочастотная характеристика (ФЧХ), или разность между частотно-зависимой фазой выходных колебаний и фазой вход­ных. – комплексная частотная характеристика (КЧХ). Как любой комплексный объект, комплексная частотная характеристика имеет вещественную и мнимую составляющие (рис. 3): (рис. 3) – вещественная частотная характери­стика (ВЧХ); – мнимая частотная характеристика (МЧХ). Знание вещественной и мнимой характеристик позволяет рассчитать ампли­тудную и фазовую частотные характеристики по следующим формулам: (3) Вот самый главный результат описания гармонических колебаний на ком­плексной плоскости: фактически без решения неоднородного дифференци­ального уравнения мы можем быстро найти по комплексной частотной ха­рактеристике , которая просто получается из передаточной функции , коэффициент усиления амплитуды сигнала и его фазовый сдвиг на любой частоте . Перечисленные выше частотные характеристики принято строить в равно­мерном масштабе по оси частот . Особое внимание следует уделить по­строению графика фазочастотной характеристики по ее аналитической зависимости (3) с помощью ЭВМ, в том числе и калькулятора. Поскольку функция arctg возвращает главное значение угла в интервале (-90°, +90°), то при Р() < 0 его следует скорректировать: – увеличить на 180° или рад при > 0; – уменьшить на 180° или рад при < 0. Линия на комплексной плоскости, образуемая точками графика при изменении частоты от 0 до , называется годографом или амплитуднофазовой частотной характеристикой (АФЧХ) . – логарифмическая амплитудно-частотная характери­стика (ЛАЧХ), строящаяся в логарифмических масштабах как по оси частот, так и по оси амплитуд. – логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ), строя­щаяся в логарифмическом масштабе по оси частот и в равномерном, желательно градусном, масштабе по оси фазового угла. В англоязычной литературе логарифмические фазочастотные характеристики называют диаграммами Боде. 3. Частотные характеристики типовых звеньев Типовые звенья – это элементы, передаточные функции которых имеют в числителе или знаменателе полином минимальной (от нулевой до второй) степени с действительными коэффициентами: – безынерционный усилитель нулевого порядка с передаточной функцией W(s) = К; – дифференцирующее звено первого порядка с передаточной функцией W(s) = Ks; – форсирующее звено первого порядка с передаточной функцией W(s) = К(1 + Тs); – интегрирующее звено первого порядка с передаточной функцией W(s) = K/s; – апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией W(s) = К/(1 + Тs); – форсирующее звено второго порядка с передаточной функцией W(s) = ; – колебательное звено второго порядка с передаточной функцией W(s) = ; – звено чистого запаздывания с передаточной функцией W(s) = . Буквенные параметры передаточных функций типовых звеньев должны удовлетворять следующим условиям. Значения коэффициента усиления К и постоянной времени Т могут быть любого знака. Типовые звенья с Т<0 принято называть неминимально-фазовыми в том смысле, что их фазочастотные характеристики отклоне­ны от характеристик аналогичных звеньев с положительными постоян­ными времени Т и левыми корнями полиномов передаточных функций. Коэффициент затухания (демпфирования) звеньев второго порядка < 1. Лекция 8 Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Построение характеристик системы на примере апериодического звена 2. Передаточные функции системы при различном соединении ее звеньев 3. Построение частотных характеристик сложных систем 1. ПОСТРОЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ НА ПРИМЕРЕ АПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗВЕНА Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка) описывается уравнением вида: . Получим временные характеристики данного звена. Подставим в дифференциальное уравнение входное воздействие и решим его, тогда на выходе системы будет сигнал, описываемый выражением для переходной характеристики h(t): . По формуле (19) (см. л. р. №1) получим выражение для импульсной характеристики звена: . h(t) w(t) t t а) б) Рисунок 1 – Переходная (а) и импульсная (б) характеристики апериодического звена На рисунке 1 изображены переходная (а) и импульсная (б) характеристики апериодического звена. Для нахождения данных временных характеристик в пакете Simulink можно использовать непосредственное временное моделирование с использованием генератора задающего воздействия (например, Pulse Generator для формирования дельта-импульса и Step для формирования единичного сигнала). Тогда на осциллограмме выходного сигнала системы будет отображена реакция системы на данные типовые воздействия, то есть импульсная и переходная характеристика соответственно. Другим способом определения временных характеристик является использование специального инструмента Linear Analysis для анализа характеристик систем управления, входящего в состав пакета Simulink. Для этого необходимо отметить вход и выход анализируемой системы (в контекстном меню, появляющемся при нажатии правой кнопки мыши на соединительной линии, выбрать Linearization Points → Input Point и Linearization Points → Output Point соответственно). Далее следует выбрать в меню Tools → Control Design → Linear Analysis. В появившемся окне выбрать вид необходимой характеристики (Impulse Response для импульсной характеристики или Step Response для переходной характеристики) и нажать Linearize Model. Для определения частотных характеристик звена необходимо воспользоваться передаточной функцией, которая имеет следующий вид: . Подставив данную формулу и получим выражение для амплитудной фазовой частотной характеристики звена: . Данное выражение имеет вид представления АФЧХ в алгебраической форме комплексного числа: . ω = ∞ K/2 K ω = 0 –K/2 ω = 1/T φ = π/4 Рисунок 2 – Годограф апериодического звена Подставив в формулу определяющие частоты, получим значения для вещественной и мнимой части годографа: 1) ω = 0 → u = K, v = 0; 2) ω = ∞ → u = 0, v = 0; 3) ω = 1/T → u = K/2, v = –K/2. Общий вид годографа для апериодического звена имеет вид, представленный на рисунке 2. При построении годографа с помощью инструмента Linear Analysis (характеристика Nyquist Diagram) используется диапазон частот от ω = – ∞ до ω = ∞. Построим логарифмическую амплитудную частотную характеристику апериодического звена согласно формуле (23) (см. л. р. №1) и фазовую частотную характеристику. Определим ЛАЧХ из выражения для АЧХ: . Таким образом, получим . При изображении логарифмической характеристики ее принято заменять кусочно-линейной. В данном случае она разбивается на 2 асимптоты: низкочастотную (при ω = 0) и высокочастотную (ω = ∞). Низкочастотная асимптота логарифмической характеристики для апериодического звена имеет вид: , высокочастотная определяется выражением . L(ω) 20lgK (0 дБ/дек) lg ωδmax ω = 1/T ωср 20lgK – 20lgTω (–20 дБ/дек) Рисунок 3 – ЛАЧХ апериодического звена Асимптоты характеристики пересекаются в точке с частотой сопряжения ω = 1/T. При частотах, меньших частоты сопряжения, используется низкочастотная асимптота, при больших частотах – высокочастотная. ЛАЧХ апериодического звена приведена на рисунке 3. На графике отмечены низкочастотная и высокочастотная асимптоты и их наклон, частоты сопряжения ω = 1/T и среза ωср, а так же максимальная ошибка линеаризации δmax, полученная при замене реальной ЛАЧХ звена приближенной кусочно-линейной. Для данного звена δmax составляет дБ. Фазовая частотная характеристика данного звена не зависит от его коэффициента передачи K и определяется выражением, отражающим ее зависимоть только от постоянной времени звена T: . ФЧХ апериодического звена изображена на рисунке 4. lg ω ω = 1/T φ(ω) Рисунок 4 – ФЧХ апериодического звена Нули и полюса звена определяются из передаточной функции системы. Для апериодического звена установлено наличие единственного полюса s = – 1/T, расположенного на вещественной оси. 2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНОМ СОЕДИНЕНИИ ЕЕ ЗВЕНЬЕВ Различают 3 основных соединения звеньев систем управления: 1) последовательное; 2) параллельное согласное; 3) параллельное встречное. Последовательное соединение звеньев Для упрощения модели рассматривается два звена. Все сигналы в системе представляются в комплексной форме. Структурная схема последовательного соединения двух звеньев имеет вид, представленный на рисунке 5,а. На рисунке 5,б оба звена объединены в одно обобщенное звено всей системы в целом. Из структурной схемы а) на рисунке 5 следует соотношение: , (1) из структурной схемы б): . (2) Тогда из равенств (1) и (2) следует выражение . (3) Следовательно, если при добавлении третьего звена два других заменять обобщенным, то получим следующую формулу при последовательном соединении любого числа звеньев: . (4) X(s) = X1(s) Y1(s) = X2(s) Y2(s) = Y(s) X(s) Y(s) a) б) Рисунок 5 – Структурная схема последовательного соединения двух звеньев Представление системы в виде последовательно соединенных звеньев часто используется при построении частотных характеристик системы. При этом используются следующие формулы, из которых следует, что для последовательно соединенных звеньев их результирующие логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики равны сумме соответствующих характеристик каждого звена: , . При данном соединении звеньев сохраняются свойства минимальной фазовости и устойчивости, если все соединяемые звенья минимально фазовые и устойчивые. Если хотя бы одно звено не является минимально фазовым (устойчивым), то и полученная система также будет неминимально фазовой (неустойчивой). Параллельное согласное соединение звеньев Структурная схема параллельного согласного соединения двух звеньев имеет вид, представленный на рисунке 6. Структурная схема системы с обобщенным звеном, включающим два параллельно согласно включенных звена, аналогично приведенной на рисунке 5,б. Согласно данным структурным схемам получаем следующие соотношения: (5) и . (6) X1(s) Y1(s) X(s) Y(s) X2(s) Y2(s) Рисунок 6 – Структурная схема параллельного согласного соединения двух звеньев Из выражений (5) и (6) получаем, что для параллельного согласного соединения двух звеньев , (7) а в общем виде для нескольких звеньев , (8) то есть при данном включении звеньев их передаточные функции суммируются. На практике это свойство часто используется при построении годографов, где получается, что При минимально фазовых и устойчивых соединяемых звеньях свойство устойчивости в общем случае сохраняется, так как не меняются полюса передаточной функции функции. Про свойство минимальной фазовости ничего сказать нельзя. Параллельное встречное соединение звеньев При параллельном встречном включении звеньев системы является звеном прямой цепи, а звено передает сигнал с выхода на вход системы, поэтому его называют звеном обратной связи. Саму схему от выхода Y(s) до входа сумматора называют обратной связью. Если входной сигнал прямой цепи X1(s) определяется путем суммирования сигнала обратной связи Y2(s) со входным сигналом системы X(s), то такая обратная связь называется положительной. Если для определения сигнала X1(s) сигнал обратной связи вычитается из входного сигнала системы X(s), то обратная связь считается отрицательной. На рисунке 7 представлены два вида обратной связи: а) положительная и б) отрицательная. X(s) X1(s) Y1(s) = Y(s) X(s) X1(s) Y1(s) = Y(s) Y2(s) X2(s) Y2(s) X2(s) а) б) Рисунок 7 – Структурная схема системы с обратной связью Если обратная связь положительная, то входной сигнал звена прямой связи определяется выражением , если отрицательная, то выражение примет вид . При введении обратной связи система становится замкнутой. Обозначим передаточную функцию замкнутой системы (системы в замкнутом состоянии) через Ф(s). Структурная схема системы с обобщенным звеном аналогична приведенной на рисунке 5,б. Из нее следует соотношение: . (9) Из структурной схемы, приведенной на рисунке 7, следует: , откуда получаем . (10) Из сравнения формул (9) и (10) очевидно, что (11) Если разомкнуть обратную связь, то сигнал Y2(s) не будет подаваться на вход системы и будет являться выходным сигналом всей системы. Передаточная функция будет определяться как для последовательно соединенных звеньев и . Система становится разомкнутой (системой в разомкнутом состоянии), ее передаточная функция имеет вид: (12) Система с обратной связью всегда размыкается у звена сравнения. Ее передаточная функция выражается через передаточную функцию разомкнутой системы следующим образом: . (13) При данном соединении нули передаточной функции сохраняются, таким образом сохраняется и свойство минимальной фазовости для замкнутой и разомкнутой системы. Полюса же в общем случае не сохраняются, поэтому в общем случае не сохраняется и свойство устойчивости системы при переходе от разомкнутой системы к замкнутой и обратно. Существуют системы с единичной обратной связью. С помощью данного типа отрицательной обратной связи реализуется принцип управления по отклонению (принцип управления Ползунова-Уатта), а сама обратная связь называется главной отрицательной обратной связью (ГООС), на основе которой в системе формируется сигнал рассогласования E(s): . (14) Передаточная функция замкнутой системы с ГООС имеет вид: , (15) где – передаточная функция прямой цепи системы. Как правило, передаточную функцию выражают в виде отношения дух полиномов степеней m и n при выполнении условия физической реализуемости: , (16) где , – характеристический полином разомкнутой системы, . Подставляя (16) в (15), получим: , то есть передаточная функция замкнутой системы с ГООС имеет вид , (17) где D(s) – характеристический полином замкнутой системы. 3. ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ СИСТЕМ При построении частотных характеристик передаточную функцию принято записывать через постоянные времени. При этом каждый вещественный нуль заменяется форсирующим звеном (1), а каждый вещественный полюс – апериодическим звеном (2). , (1) , . (2) Каждая пара сопряженных комплексных полюсов заменяется колебательным звеном . (3) Нулевые полюса заменяются соответствующим числом интегрирующих звеньев: . Форма записи передаточной функции сложной системы через последовательно соединенные типовые звенья имеет следующий вид: . (4) В формуле (4) коэффициент передачи К определяется как отношение произведения коэффициентов передачи всех типовых форсирующих звеньев к произведению коэффициентов передачи всех типовых апериодических звеньев. определяет число нулевых полюсов и нулей: – нет нулевых полюсов и нулей; – каждому полюсу соответствует интегрирующее звено; – каждому нулю соответствует дифференцирующее звено. Известно, что при последовательном соединении логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики звеньев складываются. Тогда логарифмическую амплитудную характеристику сложной системы можно представить как: , (5) где ; – ЛАЧХ j-ого форсирующего звена; – ЛАЧХ i-ого апериодического звена. Фазовая частотная характеристика сложной системы определяется согласно формуле , (6) где – ФЧХ j-ого форсирующего звена; – ФЧХ i-ого апериодического звена. Общее правило при построении логарифмических амплитудных характеристик: 1) Определяют все частоты сопряжения; 2) Выбирают декады таким образом, чтобы можно было расположить все частоты сопряжения и показать низкочастотную и высокочастотную асимптоты; 3) Тонкими или пунктирными линиями показывают наклоны, кратные 20 дБ/дек, то есть ± 20 дБ/дек, ± 40 дБ/дек и т.д.; 4) Построение всей характеристики начинают с низкочастотной асимптоты, наклон которой составляет дБ/дек; 5) После каждой частоты сопряжения наклон характеристики изменяется на – 20 дБ/дек, если частота сопряжения относится к апериодическому звену, либо на + 20 дБ/дек, если она относится к форсирующему звену. При построении фазовых частотных характеристик принимают во внимание свойство минимально-фазовости: 1) низкочастотной асимптоте соответствует разность фаз ; 2) для каждого форсирующего звена ФЧХ стремится к увеличению на ; 3) для каждого апериодического звена ФЧХ стремится к уменьшению на . Лекция 9 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Понятие устойчивости 2. Алгебраические критерии устойчивости 3. Критерий устойчивости Рауса - Гурвица 4. Частотный критерий устойчивости Михайлова 5. Запасы устойчивости замкнутой системы 1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ Устойчивость является важнейшим и самым необходимым условием работо­способности автоматических систем, т. к. включает в себя требование зату­хания переходных процессов во времени. Система управления с расходя­щимся переходным процессом неработоспособна. Устойчивость системы оз­начает, что ее реакция на любое ограниченное воздействие также является ограниченной. Понятие устойчивости нелинейной динамической системы и условия устойчивости установлены А. М. Ляпуновым. Математическое определение понятия устойчивости по Ляпунову (рис. 1, а): невозмущенное движение называется устойчивым, если при любых ограниченных отклонениях начального состояния и его производных от их номинальных значений дальнейшее свободное движение также является ограниченно отклоненным от номинальной траектории. Рисунок 1 В неустойчивой системе малейшее отклонение движения от номинального режима приводит к его неограниченному отклонению апериодического или колебательного характера. В действительности неустойчивое движение раз­вивается не до бесконечности: в лучшем случае – до насыщения элементов системы по мощности, а в худшем приводит к более катастрофическим по­следствиям – разрушению объекта, взрыву реактора, падению ракеты и т. п. Если сходимость имеет место при , то такое движение на­зывается асимптотически устойчивым. Асимптотически устойчивое движе­ние называется экспоненциально устойчивым, если его траектория не выходит из сужающейся трубки, ограниченной сверху и снизу экспоненциальными функциями с отрицательным показателем (рис. 1, б). Если линейный объект устойчив, то он устойчив не только асимптотически, но и экспоненциально. Движение, асимптотически устойчивое при любых начальных отклонениях от номинального режима, называется устойчивым в целом. Устойчивые ли­нейные объекты всегда устойчивы в целом. Если существуют определенные границы начальных отклонений, в пределах которых движение устойчиво, а вне этих границ – нет, то такое движение называется устойчивым в малом. Свойство устойчивости в малом присуще только нелинейным системам. Оно в большой мере ограничивает область работоспособности таких систем и достоверность их описания линеаризо­ванными моделями. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Алгебраические критерии устойчивости работают с характеристическим по­линомом (ХП) (1) т. е. полиномом знаменателя передаточной функции той системы, устойчи­вость которой исследуется. Получим передаточную функцию W3(s) и харак­теристические полиномы Cp(s) и C3(s) разомкнутой и замкнутой систем, изображенных на рис. 2: Рисунок 2 – в разомкнутой системе (а) – в замкнутой системе с единичной обратной связью (б) – в замкнутой системе с неединичной обратной связью На схемах и в формулах в обозначениях «» и «±» верхние знаки соответст­вуют отрицательной обратной связи, а нижние – положительной. Полином, все корни которого – левые, называется устойчивым. Если все его коэффициенты – числа, то алгебраические критерии устойчивости ус­танавливают факт устойчивости либо неустойчивости системы с данным ха­рактеристическим полиномом. Если некоторые коэффициенты характери­стического полинома зависят от одного или нескольких параметров, то кри­терии устойчивости дают соотношения типа неравенств, которые используются для построения областей устойчивости системы в пространст­ве параметров. 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА-ГУРВИЦА Исследуя вопрос о расположении корней полинома с действительными коэффициентами, Раус и независимо от него Гурвиц доказа­ли теорему, гласящую: число правых корней действительного полинома C(s) равно числу инверсий знака в последовательности (2) где Mi – есть i-ый главный минор -матрицы Гурвица Г: Как частный случай, из теоремы следует критерий Рауса – Гурвица, дающий условия устойчивости действительного полинома, при которых число его правых корней равно нулю: для устойчивости действительного полинома необ­ходимо и достаточно, чтобы все элементы последовательности (2) были одного знака. В частности: – если сn > 0, то все главные миноры должны быть положительны: – при сn < 0 знаки миноров должны чередоваться, начиная с М1 < 0: Можно инвертировать знаки всех коэффициентов сi, (от этого спектр по­линома не изменяется) и к полученному полиному применить лучше за­поминающийся критерий устойчивости полинома с положительным ко­эффициентом cn. Граница устойчивости системы – это такая конфигурация спектра ее ха­рактеристического полинома, при которой часть простых корней находит­ся точно на мнимой оси Im{s}, а все остальные корни – слева от нее. На­личие корней на мнимой оси – лишь необходимый, но не достаточный признак границы устойчивости, т. к. даже единственный правый корень с Re{si} > 0 делает систему неустойчивой независимо от расположения ос­тальных корней Sj. 4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА Частотные критерии устойчивости работают с частотными характеристика­ми, построенными по характеристическому полиному системы C(s) или ее передаточной функции W(s). Подставив в (1) s = jω, получим комплексно-частотный полином с четной вещественной P(ω) и нечетной мнимой Q(ω) частотными характе­ристиками: График C(jω), построенный в интервале частот ω от 0 до , называется графом Михайлова. Он имеет следующие предельные свойства: – начальное значение равно C(j0) = P(0) + jQ(0) = с0 + j0 = с0 – годофаф Михайлова начинается в точке с0 на действительной оси Re{C}; – на малых частотах начальное направление линии C(jω) из точки c0 определяется коэффициентом с1: • при с1 > 0 график направлен вверх; • при С1 < 0 график направлен вниз; Примерные виды годографов Михайлова для различных полиномов показа­ны на рис. 3. В скобках (n, ±, ±) около графиков перечислены степени полиномов n и знаки коэффициентов с0 и с1. Рисунок 3 Критерий устойчивости Михайлова: для устойчи­вости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы изменение аргу­мента годографа ее характеристического полинома степени n было определенным и составляло рад или n квадрантов при изменении частоты от 0 до . Визуально оценить устойчивость характеристического полинома по годо­графу Михайлова очень просто: начинаясь на действительной оси, он дол­жен проходить последовательно n квадрантов против часовой стрелки, пооче­редно пересекая оси координат и нигде не обращаясь в нуль. В соответствие с этим правилом все годографы на рис. 3, а соответствуют устойчивым системам. 5. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ До сих пор мы полагали главным условием работоспособности системы ее устойчивость. Но на практике простой устойчивости замкнутой системы может оказаться недостаточно, и этому есть по меньшей мере две причины: 1) кроме всех остальных качеств, система должна иметь приемлемые вре­менные характеристики, которые, возможно, не обеспечиваются в имеющемся устойчивом состоянии; 2) работа вблизи границы устойчивости модели, всегда в той или иной сте­пени отличной от реальной системы, может привести к неустойчивости последней из-за неточного знания или дрейфа ее параметров. Поэтому надежно функционирующая система должна держаться от границы устойчивости на определенном расстоянии, т. е. обладать некоторым запа­сом устойчивости, необходимым для гарантированного обеспечения устой­чивой работы системы управления при возможных отклонениях модели объекта от реального прототипа. Степень близости замкнутой системы к границе устойчивости измеряется: – в критерии Рауса – Гурвица применительно к характеристическому по­ линому C3(s) – отличием левых частей неравенств от нуля; – в критерии Михайлова — минимальным расстоянием от годографа по­ линома C3(jω) до начала координат (0, j0). Лекция 10 РАСЧЕТ ПереходныХ процессОВ в системах автоматического управления Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Переходные процессы в системах автоматического управления 2. Структура переходного процесса 1. Переходные процессы в системах автоматического управления Моделирование является последней и одной из важнейших задач анализа систем автоматического управления, позволяющей имитировать поведение реальной системы в различных условиях эксплуатации, предусмотреть аварийные ситуации или повышенные нагрузки на элементы системы без рис­ка их разрушения. Моделирование переходных процессов является обяза­тельным этапом исследования условно устойчивых и неустойчивых систем, какими являются объекты аэрокосмического, энергетического, химического и других назначений. Оно заменяет экспериментирование с реальными до­рогостоящими и часто уникальными объектами, которые в рабочих условиях всегда должны функционировать устойчиво, надежно и безопасно. Первоначально исследование поведения объектов проводилось вручную пу­тем аналитического или численного решения уравнений, составляющих мо­дель системы. Переложение вычислительной нагрузки на компьютер осво­бодило мозги разработчика системы управления для осмысления результатов моделирования, совершенствования моделей элементов и методов синтеза. Следует отметить основные преимущества моделирования, особенно компью­терного, по сравнению с натурным экспериментом: – можно исследовать поведение системы при самых разных условиях, в том числе в гипотетических и запредельных режимах; – по данным модельных испытаний можно оценить поведение проекти­руемых, но еще не существующих систем, для принятия решения о це­лесообразности их изготовления; – всесторонние испытания системы можно выполнить за сравнительно короткий промежуток времени; – только моделирование способно предсказать поведение в реальных условиях объектов одноразового назначения – космических аппаратов, артиллерийских снарядов и т. п.; – моделирование часто является единственным экологически безопасным и экономически приемлемым методом анализа поведения систем. До того, как получили широкое распространение быстродействующие цифровые компьютеры, основным методом моделирования было аналоговое. В последнее время этот метод утратил свое былое значение, однако в некоторых случаях без него обойтись невозможно. В системах имитационного моделирования с оборудованием в контуре управления зависимость скорости цифрового моделирования от бы­стродействия компьютера создает дополнительные проблемы с согласо­ванием машинного и реального времени. Аналоговая модель, работаю­щая в реальном масштабе времени, находится в состоянии постоянной готовности, отслеживает процессы по ходу их развития и не тормозит оборудование, встроенное в контур управления. Если моделируемая система является очень жесткой (r » 10), то отноше­ние постоянных времени экспонент, составляющих ее переходную характеристику, может составлять несколько порядков. При цифровом моделировании такой системы шаг интегрирования ∆T должен задаваться достаточно малым, а интервал моделирования tm – очень большим. Желание ускорить моделирова­ние путем увеличения шага приведет к потере быстрых движений и сделает модельный процесс недостоверным. Аналоговое моделирование по своей природе непрерывно и отслеживает все составляющие переходного процесса, чьи частоты лежат в полосе пропускания моделирующей схемы. Цифровое моделирование по определению дискретно, так что если возникает необходимость в промежуточных значениях некоторого сигнала между имеющимися отсчетами, то приходится повторять моделирование новым, меньшим шагом интегрирования. Аналоговый сигнал определен во всех точках интервала моделирования, а при необходимости иметь, например, осциллограмму начального участка процесса в иной временной шкале можно построить отдельную схему масштабированной по времени модели. 2. СТРУКТУРА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА Изменение состояния системы во времени осуществляется в форме движе­ния. Внешне выглядящее как единое целое, движение в действительности складывается из ряда составляющих, порождаемых различными причинами. Классификация основных видов движений приведена на рис. 1. Рисунок 1 Движение , вызванное влиянием на объект внешнего воздействия, называется вынужденным или возмущенным движением. При длительном, большем времени установления tу, постоянном характере внешних воздействий объект функционирует в установившемся режиме вынужденного движения , при котором параметры его состояния – значения координат, скорости их изменения, амплитуды и фазы колебаний – постоянны во времени. Установившийся режим включает в себя состояние равновесия или покоя – это движение по номинальной траектории в отсутствие внешних воз­мущений. Переходным режимом называется движение объекта между двумя устано­вившимися режимами. В устойчивых системах переходный режим заканчи­вается за время tу после окончания внешнего воздействия или установления его постоянных параметров. Свободным называется движение объекта из ненулевого состояния в со­стояние равновесия без учета внешнего воздействия, т. е. при x(t) = 0. Собственным называется движение, совершаемое во время перехода из одного установившегося режима в другой без учета свободного движения. На графиках и таблице, изображенных на рис. 2, показано соотношение движений системы на примере колебаний маятника в вязкой движущейся среде. Рисунок 2 При расчете переходного процесса определенный момент времени t0 выби­рается начальным. Состояние объекта при называется начальным со­стоянием или начальными условиями. Начальное состояние с нулевыми зна­чениями координат объекта и их производных называется нулевыми началь­ными условиями. В некоторые моменты времени входное воздействие x(t) может изменять свое описание, иметь разрывы, изломы и т. д. При определенных свойствах системы это даст разрывы в функции y(t) и ее производных . Например, если полиномы передаточной функции A(s) и B(s) имеют равные степени n=m, то коэффициент прямой связи входа с выходом ра­вен , а скачки входного сигнала порождают выходные cкачки Переходный процесс на выходе системы развивается как последователь­ность процессов на интервалах постоянства описания сигнала x(t). В конце k-го интервала моделирования формируются предначальные усло­вия для следующего к + 1-го интервала . По достижении конечного времени t = tм моделирование заканчивается. Аналитические методы расчета переходных процессов в системах управле­ния делятся на частотные и временные. Частотные методы заключаются в обратном преобразовании Лапласа изображения выходного сигнала Y(s) с помощью таблиц или по формуле разложения Хевисайда. К основным временным методам относятся методы вариации произвольных постоянных, интеграла Дюамеля и пространства состояний. Лекция 11 МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (Часть 1) Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. Основные задачи синтеза регуляторов 2. Основные типы регуляторов и их свойства: последовательный, прямой параллельный, обратный локальный 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Сложная проблема создания системы автоматического управления с хоро­шими статическими и динамическими свойствами включает следующие ос­новные задачи: – обеспечение устойчивости (стабилизация) системы и повышение запаса ее устойчивости; – повышение точности регулирования в статическом режиме и обеспечение нужной степени астатизма; – улучшение показателей качества переходных процессов – уменьшение времени установления tу, перерегулирования σ и числа колебаний Nк. Исходя из требований к статическим и динамическим свойствам системы автоматического регулирования, необходимо выбрать оптимальную с точки зрения выбранных критериев структуру – состав элементов системы – и определить параметры элементов. Эти данные позволяют сформировать ее желаемые характеристики на основе компромисса между качеством и точно­стью, с одной стороны, и простотой технической реализации – с другой. Обеспечение устойчивости и желаемого качества регулирования в системе управления достигается двумя способами: 1) целенаправленным выбором имеющихся элементов системы. К функцио­нально необходимым элементам систем управления относятся датчики сигналов, измерительные устройства, усилители мощности, преобразова­тели сигналов, исполнительные устройства. Они подбираются по специа­лизированным каталогам и справочникам на основе требований к разви­ваемой мощности, быстродействию, предельным скоростям и ускорениям, допустимым статическим погрешностям, помехоустойчивости и т. д. Про­ектировщик системы управления должен ясно понимать, что улучшение качества системы в первую очередь связано с оптимизацией свойств самого объекта управления, чтобы они соответствовали требованиям технического задания и делали решение задачи синтеза принципиально возможным; 2) если объект либо вообще невозможно изменить, либо он уже был изме­нен настолько, насколько возможно, но качество системы все еще не­удовлетворительно, то остается единственная возможность наделения системы желаемыми свойствами путем введения дополнительного эле­мента, который исправляет (корректирует) их в нужном направлении. Корректирующее устройство – это функциональный элемент системы авто­матического управления, доставляющий ей необходимые свойства: устойчи­вость и желаемые показатели качества переходных процессов. Как отмечалось во введении, регулятором в широком смысле является вся система управления за вычетом объекта. Задача регулятора в узком смысле состоит в выполнении аналоговых, логических и арифметических операций по расчету управления, т. е. в чистом виде исполнение функций корректи­рующего устройства. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕГУЛЯТОРОВ И ИХ СВОЙСТВА (часть 1) Рассмотрим основные типы регуляторов и их свойства. 1) Последовательный регулятор с передаточной функцией Rп(s) (рис. 3) включается в прямую цепь системы непосредственно после сравнивающего элемента или после предварительного усилителя. Передаточная функция замкнутой системы с последовательным регулятором равна (1) Рисунок 3 Простейшим корректирующим устройством данного типа является про­порциональный усилитель RП(s) = Кп, формирующий П-управление. Регулятор может дополнительно использовать производную ошибки регулирования e'(t), что, как будет показано ниже, увеличивает запас устойчивости и улучшает качество переходного процесса. При включе­нии в закон управления интеграла ошибки обеспечивается астатизм замкнутой системы и нулевая установившаяся ошибка . В практике автоматического управления широко распространены про­мышленные ПИД-регуляторы с передаточной функцией и на страивае-мыми параметрами Кп, Кд и Ки. Применяются и более сложные последовательные корректирующие устройства. 2) Прямой параллельный регулятор с передаточной функцией Rпп(s) (рис.4) включается параллельно подлежащей коррекции подсистеме W1(s) в прямой цепи системы, имеющей передаточную функцию . Рисунок 4 Сравнивая (1) с передаточной функцией замкнутой системы с данным типом регулятора получим условия эквивалентности регуляторов (2, а) позволяющие перейти от одного его типа к другому, возможно, более простому в технической реализации. Прямой параллельный регулятор в виде широкополосного усилителя с передаточной функцией Rnn(s) = Knn может быть полезным, например, в следующих случаях: – для придания подсистеме с передаточной функцией форсирующих свойств без использования дифференцирующих уст­ройств, усиливающих высокочастотные помехи: 3) Обратный локальный регулятор с передаточной функцией Ron(s) (рис. 5) охватывает местной обратной связью – отрицательной (верхний знак) либо положительной (нижний знак) – подлежащий коррекции элемент системы, чаще всего оконечный каскад усилителя или исполнительное устройство. Рисунок 5 Сравнивая с (1) передаточную функцию замкнутой системы с данным типом регулятора получим условия эквивалентности регуляторов: (2,б) Локальная положительная обратная связь, кроме целей генерирования автоколебаний, используется для увеличения статиче­ского коэффициента усиления охватываемого элемента в существенно большем диапазоне, чем при подключении последовательного усилите­ля. Например, охватив устойчивую статическую подсистему с переда­точной функцией контуром положительной обратной связи через усилитель Roл(s) = Кол с коэффициентом усиления , получим скорректированную подсистему со следующими передаточной функцией, статическим коэффициентом усиления и характеристическим полиномом: Неумеренно большая положительная связь является дестабилизирующим фактором: если по недосмотру задано значение, то охваченная ею подсистема становится неустойчивой. Локальная отрицательная обратная связь широко применяется в автома­тике для стабилизации и улучшения качества работы элементов системы, склонных к неустойчивости или слишком инерционных, имеющих большую постоянную времени. При этом неустойчивые или близкие к границе устойчивости полюсы передаточной функции подсистемы, охва­ченной локальной отрицательной обратной связью, сдвигаются влево, что либо делает ее устойчивой, либо повышает степень устойчивости, быстродействие и уменьшает колебательность: – неустойчивая подсистема первого порядка с передаточной функцией , охваченная гибкой отрицательной обратной связью дифференцирую­щего типа при Тол > Т2 / К2, превращается в устойчивое звено с постоянной времени Т= К2Тол - Т2 > 0; – инерционная подсистема первого порядка с передаточной функцией и большой постоянной времени Т2 с помощью локальной отрица­тельной обратной связи через широкополосный усилитель Rол(s) = Кол становится более быстродействующей: ее передаточная функция имеет постоянную времени ; – колебательная подсистема второго порядка с малым коэффициентом затухания при охватывании гибкой отрицательной обратной связью превращается в колеба­тельную подсистему с увеличенным коэффициентом затухания: . Выбрав постоянную времени регулятора из условия можно превратить колебательное звено в два апериодических устой­чивых звена с постоянными времени, равными Вывод Свойства замкнутой системы слабо чувствительны к изменениям параметров подсистемы , охваченной цепью глубокой отрицательной обратной связи. Рассмотрим еще раз схему усилителя с конечным коэф­фициентом усиления , охваченного контуром глубокой отрица­тельной обратной связи через четырехполюсник с передаточной функ­цией W0(s) (рис. 6,а). По структурной схеме, построенной на рис. 6,б определяем передаточную функцию замкнутой системы а б Рисунок 6 Чем идеальнее усилитель в прямой цепи (), тем ближе эта пере­даточная функция к идеальному значению, не зависящему от малых относительных изменений Ку: . Это свойство лежит в основе конструирования схем на операционных усилителях путем установки навесных элементов в соответствии с тре­буемой передаточной функцией схемы без учета внутренних свойств операционного усилителя. Применение глубокой отрицательной обратной связи — основной способ навязывания замкнутой системе желаемых свойств и подавления нежела­тельных свойств. Лекция 12 МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (Часть 2) Рассматриваемые в лекции вопросы: 3. Основные типы регуляторов и их свойства: регулятор в цепи обратной связи, комбинированный регулятор 3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕГУЛЯТОРОВ И ИХ СВОЙСТВА (часть 2) 4) Регулятор в цепи отрицательной обратной связи системы с передаточной функцией Ro(s) (рис. 7) является обобщением локальной отрицатель­ной обратной связи и выполняет аналогичные функции применительно ко всей системе. Сравнивая с (1) передаточную функцию замкнутой системы Рисунок 7 получим условия эквивалентности регулятора в цепи отрицательной об­ратной связи и последовательного регулятора Rп(s): По сравнению с другими типами корректирующих устройств регулятор в отрицательной обратной связи незаменим при проектировании следящих систем с масштабированием уставки (роботов, манипуляторов, тренаже­ров, прецизионных устройств микроэлектроники и микрохирургии), где требуется воспроизведение выходным сигналом y(t) формы задающего воздействия g(t) с увеличением либо уменьшением масштаба в М раз: Записав условие инвариантности воспроизведения уставки как равенство передаточной функции замкнутой системы значению масштаба на всех частотах уставки получим передаточную функцию регулятора, решающего задачу масштабного слежения: Отсюда при М = 1 получаем регулятор для точного воспроизведения устав­ки на выходе замкнутой системы: По формулам эквивалентности получим передаточную функцию соответствующего последовательного регулятора откуда видно, что при М = 1 с помощью последовательного регулятора в принципе невозможно точное слежение за изменяющейся во времени устав­кой. Регулятор, установленный в контуре отрицательной обратной связи, такой уникальной способностью обладает. Как правило, условия инвариантности выполнимы лишь в опреде­ленном диапазоне частот. Если этот диапазон накрывает полосу пропус­кания системы и полосу частот уставки g(t), то на выходе системы будет наблюдаться масштабная копия уставки y(t) ≈ Mg(t). Удовлетворив условие статической инвариантности в установившемся ре­жиме (ω = 0) выбором регулятора-усилителя получим астатическую систему масштабного слежения без введения в пря­мую цепь контура управления интегратора, обычно замедляющего пере­ходные процессы. 5) Комбинированный регулятор по уставке и ошибке (рис. 8) формирует управляющее воздействие с изображением Рисунок 8 Первая составляющая управляющего воздействия xe(t) = Re(s)e(t) есть управление по ошибке и решает главную задачу стабилизации системы и обеспечения желаемых показателей качества движения в отсутствие регу­лятора Rg(s). Второе слагаемое xg(t) = Rg(s)g(t) в виде прямого, а не косвенного через контур обратной связи, воздействия уставки на вход объекта есть управ­ление по уставке. Оно придает системе форсирующие свойства и улучша­ет динамическое качество слежения за уставкой, увеличивая быстродей­ствие в ее отработке. С помощью регулятора по уставке также можно решить задачу масштаб­ного слежения за уставкой. Приравняв по условию инвариантности вос­произведения уставки передаточную функцию замкнутой системы к желаемому значению М, получим регулятор масштабного воспроизведе­ния уставки: Отсюда при М = 1 вытекает регулятор точного воспроизведения уставки на выходе замкнутой системы: По условию статической инвариантности W3(0) = М, действительному только в установившемся режиме, получим регулятор-усилитель и астатическую следящую систему без использования интегратора. Сравнивая передаточные функции, получим формулу экви­валентного перехода от комбинированной системы с регуляторами Re(s) и Rg(s) к системе с последовательным регулятором Rп(s): Очевидно, что введение в систему управления регулятора по уставке Rg(s) существенно улучшает статическое качество слежения благодаря создаваемому им астатизму. Динамическое качество (высокое быстро­действие, отсутствие перерегулирования) определяется, в основном, ре­гулятором по ошибке Re(s). 6) Комбинированный регулятор по возмущению и ошибке с передаточными функциями Rf(s) и Re(s) предназначен для компенсации действующих на объект внешних (не управляющих) воздействий. Пусть точка приложе­ния возмущения f(t) проходящего через фильтр Wf(s), делит систему на две подсистемы с передаточными функциями W1(s) и W2(s) (рис. 9). Система управления может включать ранее спроектированный регулятор по ошибке Re(s), например, последовательного типа. Рисунок 9 Комбинированный регулятор формирует управляющее воздействие с изображением Первая составляющая xe(t) = Re(s)e(t) есть управление по ошибке и решает главную задачу стабилизации системы и обеспечения желаемых показателей качества движения в отсутствие регулятора Rf(s). Второе слагаемое xf(t) = Rf(s)f(t) в виде прямой, а не косвенной через контур обратной связи, компенсации воздействия возмущения на oбъект есть управление по возмущению, противодействующее его влиянию. Понятно, что для компенсации возмущения f(t) необходимо его априорно знать или иметь возможность измерить. Записав по принципу суперпозиции операторное уравнение выходного сигнала замкнутой системы с передаточными функциями получим из условия инвариантности по возмущению W3f(s) = 0 передаточ­ную функцию регулятора полностью компенсирующего произвольное возмущение f(t). Удовлетво­рив условие статической инвариантности W3f(s) = 0, получим статический регулятор компенсирующий постоянное возмущение f(t) = f0 в установившемся режиме. Проектирование главного регулятора по ошибке Re(s) может проводиться независимо от регулятора по возмущению Rf(s), т. к. последний даже при неполной инвариантности слабо влияет на характеристический полином замкнутой системы, а значит, и на показатели ее качества. При проектировании систем автоматического управления применяются также сочетания различных типов регуляторов. Далее мы будем рассматри­вать системы с единичной отрицательной обратной связью и последователь­ным регулятором R(s), имея в виду, что другие типы регуляторов могут быть пересчитаны к последовательному типу по формулам эквивалентно­сти. Используемое во всех замкнутых системах управления сравни­вающее устройство, вычисляющее ошибку регулирования е = g - у, имеет простейшую схемную реализацию в виде каскада на одном операционном усилителе (рис. 10). Рисунок 10 В данной главе предпринимаются два подхода к решению задачи синтеза лоследовательного регулятора: 1) частотный подход, оперирующий частотными характеристиками объ­екта, желаемого разомкнутого контура и регулятора. По логарифмиче­ским характеристикам последнего восстанавливается передаточная функция R(s); 2) спектральный подход, оперирующий распределением полюсов si и нулей Zj объекта, желаемого разомкнутого контура и регулятора. По спектру последнего строится передаточная функция R(s). Переходим к рассмотрению задачи синтеза регулятора частотными метода­ми. Исходными данными для проектирования являются: – передаточная функция W(s) и частотные характеристики W(jω), А(ω), φ(ω), L(ω) и Ф(ω) объекта в прямой цепи системы управления; – желаемые показатели качества функционирования замкнутой системы: • статические ошибки регулирования по положению, скорости и производным высших порядков; • время установления ty; • перерегулирование σ; • запасы устойчивости по амплитуде L и фазе φ. Методика синтеза последовательного регулятора основана на соотношениях в которых индекс «ж» обозначает желаемые передаточную функцию и час­тотные характеристики разомкнутого контура, и на зависимости свойств замкнутой системы (главное из них – устойчивость) от частотных характе­ристик разомкнутой. Отдельные части частотных характеристик избирательно влияют на показа­тели качества переходной характеристики замкнутой системы h(t): – низкочастотная (НЧ) часть определяет погрешности регулирования в ус­тановившемся режиме; – от среднечастотной (СЧ) части зависят устойчивость, запасы устойчивости L и φ, динамические показатели качества tу и σ; – высокочастотная (ВЧ) часть должна максимально ослаблять влияние шумов на работу системы управления. Каждая из задач обеспечения отдельного показателя качества решается со­ответствующим методом. Иногда несколько требований могут быть удовле­творены совместно, в других случаях они оказываются противоречивыми. В зависимости от приоритетов разработчик принимает компромиссное реше­ние выбора варианта, облегчая второстепенные, на его взгляд, требования к системе управления либо ужесточая первостепенные требования. Частотный синтез регулятора с заданной структурой может быть выполнен следующими методами: 1) аналитический метод использует точные нелинейные частотные характе­ристики элементов системы для формирования системы уравнений, ре­шение которой дает параметры регулятора. Важнейшее значение в реа­лизации метода имеют условия, при которых приведенная по амплитуде и фазе замкнутая система находится на границе устойчивости, а сама система обладает одновременно обоими запасами устойчивости L и φ. 2) графический приближенный метод синтеза регулятора, соединяющий знания, логику и интуицию разработчика в выборе частотных характери­стик желаемой системы, часто использует быстро строящиеся асимпто­тические логарифмические характеристики элементов системы для: • ориентировочного анализа свойств исходных графиков L(ω) и Ф(ω); • построения желаемых характеристик Lж(ω) и Фж(ω); получения характеристик регулятора путем графиче­ского вычитания Lр(ω) = Lж(ω) - L(ω); Фр(ω) = Фж(ω) - Ф(ω); • восстановления передаточной функции регулятора R(s) по его частот­ным характеристикам; 3) графоаналитический метод, использующий графики частотных характе­ристик для предварительной оценки расположения граничного уровня φгр = 180° ± 360° (чаще всего используется значение φгр = -180°), зна­ка «+» или «-» фазового запаса ±φ3 (чаще встречается запас +φ3) и ин­тервала выбора частоты запаса ωз – всего того, что используется в уравнениях для точного расчета параметров регулятора аналити­ческим методом. Лекция 13 ПОРЯДОК СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Остановимся подробнее на общем порядке синтеза. Задача синтеза САУ в заключается в определении управляющего устройства в виде его математического описания для заданных объектов управления, требований к точности и качеству управления и условий работы, включая характеристики внешних воздействий, требования к на­дежности, весу, габаритам, потребляемой мощности и т. д. Задача синтеза есть всегда задача на оптимум, поскольку требуется создать устройство, наилучшим образом удовлетворяю­щее всем требованиям, т. е. являющееся оптимальным. Однако большое число требований и их разнообразие не дают, как правило, возможности объединить всех их в одном сложном критерии опти­мальности и решить задачу синтеза как строго математическую вариационную задачу на экстремум этого критерия. Поэтому практически синтез САУ разбивается путем извест­ного упрощения на ряд этапов, на каждом из которых решается какая-то часть задачи синтеза, т. е. рассматривается какой-то один ее аспект. При решении некоторых из этих отдельных задач часто удается сформулировать численный критерий оптималь­ности и, таким образом, решить задачу средствами вариационного исчисления. Поскольку общий критерий оптимальности отсутствует, для нахождения наилучшего решения обычно приходится произво­дить расчет нескольких вариантов управляющего устройства и только в результате их сравнения выявлять оптимальный вариант. Рассмотрим общий порядок поэтапного синтеза линейной САУ. При этом ограничим пока свое рассмотрение синтезом простей­ших САУ – систем автоматического регулирования. А. Определение порядка астатизма и коэффициента передачи системы Эти параметры находятся исходя из требований к точности в установившихся режимах при детерминированных воздействиях. При этом, если коэффициент пере­дачи системы, определенный по требуемой величине статизма или добротности (в случае астатических САУ), оказывается на­столько большим, что существенно затрудняет даже просто стаби­лизацию системы, целесообразно повысить порядок астатизма и этим свести до нуля заданную установившуюся ошибку вне зави­симости от значения коэффициента передачи системы. В резуль­тате становится возможным величину этого коэффициента выби­рать, исходя только из соображений устойчивости и качества пере­ходных процессов. На этом же этапе решается вопрос о применении воздействий по основному возмущению (или по нескольким основным возмуще­ниям), т. е. о переходе к комбинированной САУ. Это целесообразно если, во-первых, имеется возможность достаточно просто измерить данное возмущение и, во-вторых, когда в результате введения ком­пенсации этого возмущения существенно упростится замкнутый контур САУ. Последнее будет иметь место, если при отсутствии компенсации для получения нужной точности требуется доста­точно большой коэффициент передачи в контуре, а введение ком­пенсации позволяет его значительно уменьшить. Кроме того, следует помнить, что воздействия по внешним возмущениям повышают и качество переходных процессов, что рассмотрим да следующих этапах синтеза. Б. Определение основной, т. е. неварьируемой, части системы Часть звеньев САУ обычно однозначно определяется сразу непосредственно по заданию на разработку системы. Сюда отно­сятся прежде всего объект управления и смежные с объектом и поэтому определяемые им исполнительные и чувствительные звенья управляющего устройства. Разумеется, при выборе этих звеньев необходимо исходить из предъявляемых к САУ требований, в том числе и по точности и быстродействию. Часто одно­значно определяемыми или даже заданными оказываются и другие звенья управляющего устройства (преобразователи, усилители, вычислительные устройства). В результате составляется костяк структурной схемы системы, которая должна быть дополнена корректирующими звеньями, а также звеньями, выбор которых требует учета устойчивости и качества переходных процессов. Кроме того, некоторые из пара­метров основных звеньев системы тоже могут оказаться неопре­деленными, т. е. варьируемыми, и, следовательно, подлежащими определению. В. Выбор коррекции и составление структурной схемы САУ При невысоких требованиях к качеству переходных процессов и точности в стационарных случайных режимах выбор корректи­рующих звеньев, а также варьируемых параметров всех других звеньев системы осуществляется по условию обеспечения устой­чивости с получением достаточно большой области устойчивости в пространстве варьируемых параметров системы. После этого выбираются значения варьируемых параметров (рабочая точка в области устойчивости), обеспечивающие выполне­ние требований к качеству переходных процессов и точности в ста­ционарных случайных режимах. При достаточно высоких требованиях к качеству переходных процессов или точности в стационарных случайных режимах может оказаться, что эти требования нельзя будет удовлетворить путем выбора значений параметров корректирующих звеньев, которые ранее были выбраны только по условию устойчивости, и потребуется дополнительная коррекция. Поэтому в таких случаях следует синтезировать коррекцию, сразу исходя из требований к качеству переходных процессов или к точности при ста­ционарных случайных воздействиях в зависи­мости от того, какие из этих двух требований наиболее жесткие. После выбора коррекции проверяется выполнение другой группы требований. При этом в случае необходимости уточняется коррекция. Например, в результате синтеза корректирующих звеньев на минимум среднеквадратичного отклонения выходной величины при заданном стационарном случайном воздействии переходная характеристика САУ обычно получается с повышенной колебательностью в два-три периода. Поэтому при наличии более жестких требований к колебательности переходных процессов приходится изменять настройку корректирующего звена в сторону снижения колебательности САУ за счет некоторого снижения точ­ности в стационарном случайном режиме. При синтезе САУ на заданное качество переходных процессов использование корневых и интегральных методов синтеза требует предва­рительного выбора корректирующих звеньев. Сами же названные методы позволяют лишь определять числовые значения парамет­ров этих звеньев, а также значения варьируемых параметров основных звеньев системы. При использовании частотных методов синтеза находится час­тотная характеристика варьируемой части системы. Эту часть системы затем следует синтезировать с помощью любых корректи­рующих звеньев. Если применяется последовательное корректирующее звено, найденная частотная характеристика варьируемой части системы и будет являться непосредственно частотной характеристикой этого корректирующего звена. По ней затем определяется пере­даточная функция этого звена. Если предполагается применить корректирующую обратную связь, ее передаточную функцию можно легко найти по ранее полученной передаточной функции последовательного корректирующего звена. Если используется одновременно последовательная и па­раллельная коррекция, то из полученной передаточной функции варьируемой части системы выделяется сначала передаточная функ­ция последовательного корректирующего звена, а затем по остав­шейся части этой передаточной функции находится передаточная функция звена обратной связи. При прочих равных условиях следует останавливаться па наиболее простом варианте коррекции. Мощным методом синтеза САУ является синтез с по­мощью вычислительных машин. Применение вы­числительных машин позволяет, варьируя передаточные функции корректирующих звеньев и значения их параметров в широких пределах, быстро получить большое количество соответствующих кривых переходных процессов и значений среднеквадратичных отклонений выходной величины при случайных воздействиях. Поэтому выбор коррекции и значений варьируемых параметров может быть выполнен простым перебором возможных вариантов. Для этого по каждому варианту коррекции строятся области устой­чивости в пространстве варьируемых параметров. Внутри этих областей наносятся линии равных значений выбранных показа­телей качества (длительность переходного процесса, перерегули­рование или колебательность и т. д.). Иногда просто для достаточно большого количества точек в области устойчивости приводятся непосредственно переходные характеристики. Полученная картина позволяет выбрать оптимальную коррекцию. Аналогично опреде­ляется значение среднеквадратичного отклонения в разных точках области устойчивости при наличии случайного воздействия. Г. Построение переходных процессов Это завершающий этап синтеза. При по­строении переходных процессов необходимо по возможности учесть все те упрощения, которые были сделаны при математическом опи­сании звеньев системы и в процессе ее синтеза. При этом одновременно уже в порядке анализа должна быть количественно подтверждена допустимость принятых ранее упрощений.