Аномалии силы тяжести

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Аномалии силы тяжести 2 2. Виды аномалий силы тяжести 2 2.1 Аномалии в свободном воздухе 2 2.2 Влияние рельефа 3 2.3 Аномалии Буге 4 2.4 Поправка за рельеф. Аномалия Фая. 5 3. Статистические характеристики аномалий силы тяжести 7 4. Гравиметрические съемки 9 4.1 Виды гравиметрических съемок 9 4.2 Выполнение съемки 11 4.3 Топографо-геодезическое обеспечение съемки 14 5. Гравиметрические карты 16 5.1 Общие сведения о составлении гравиметрических карт 16 5.2 Точность гравиметрических карт 18 5.3 Косвенная интерполяция аномалий в свободном воздухе 20 5.4. Ошибка представительства 21 Литература 24 1. Аномалии силы тяжести Если изучение внешнего гравитационного поля Земли сводится к определению - остаточной (аномальной) части полного (действительного) потенциала (Разд. 3) где – нормальный потенциал, то исходными данными для этого служат аномалии силы тяжести. Аномалией силы тяжести называют разность между измеренным (действительным) значением силы тяжести и её нормальным (теоретическим) значением. В общем случае она обозначается, как . Аномалии силы тяжести связаны с аномальном потенциалом через производную по вертикальному направлению: Аномалии силы тяжести измеряются в миллигалах. Карты аномалий силы тяжести называются гравиметрическими картами, изолинии на них (линии равных аномалий) называются изоаномалами. 2. Виды аномалий силы тяжести 2.1 Аномалии в свободном воздухе В самом общем случае для точки с координатами ( вычисляют нормальную силу тяжести на отсчётном эллипсоиде по формуле Сомильяны или по формуле Гельмерта (Разд. 3), а затем приводят её к высоте точки над эллипсоидом введением поправки, которая называется поправкой за высоту в нормальное значение или редукцией в свободном воздухе: (1.0) в линейном приближении или с точностью до членов второго порядка: (1.1) где высота точки M над отсчетным эллипсоидом. всегда отрицательна, поскольку нормальная сила тяжести убывает с высотой. Аномалия силы тяжести называется чистой аномалией в свободном воздухе. Если подставить в (1.0) или в (1.1) вместо геодезической высоты высоту в поле силы тяжести (или над уровнем моря) , то такая аномалия в свободном воздухе называется смешанной. Аномалии в свободном воздухе являются важнейшими для геодезии и используются для учета неоднородности поля силы тяжести в инженерных задачах, нахождения других элементов аномального поля, а также установления системы высот. 2.2 Влияние рельефа В тех случаях, когда предметом изучения является не столько сама картина распределения аномалий, сколько информация о массах аномальной плотности, сосредоточенных под земной поверхностью (например, залежи полезных ископаемых или подземных карстовых пустотах), возникает задача отделения влияния этих масс от других источников вариации аномалий, и прежде всего - от влияния рельефа. Для точки на земной поверхности, в которой производятся измерения , определяющую роль в её изменении, согласно закону обратного квадрата расстояния, играют близлежащие топографические массы. Несложно показать, что зависимость аномалии в свободном воздухе от высоты (отметки точки) выражается, как Отсюда следует, что карты аномалий в свободном воздухе и топографические карты сильно взаимно коррелированны, что мешает обнаруживать и изучать аномальные плотности. Поэтому в аномалии (точнее, в величину ) вносят различные поправки за притяжение рельефа. 2.3 Аномалии Буге Простейший способ учета рельефа предложил П. Буге (1698-1758) : для каждой точки вводится поправка, эквивалентная притяжению бесконечного плоского слоя (Разд. 2) или пластины Буге. Толщина слоя равна высоте точки над уровнем моря, а плотность – средней плотности земной коры. Поправка называется поправка за притяжение промежуточного слоя или редукция Буге: где – гравитационная постоянная, - плотность земной коры, для которой обычно берут одно из стандартных значений: 2,67, 2,60 или 2,30 г/. Подставив численные значения и , получим: где высота должна быть выражена в метрах, а - в миллигалах. Редукция Буге «убирает» все притягивающие массы между уровнем моря и данной точкой. Аномалия силы тяжести в редукции Буге или просто аномалия Буге равна: (1.2) При удачно подобранной плотности промежуточного слоя аномалии Буге некоррелированы с рельефом, и карты аномалий Буге адекватно отображают картину недр на данной территории. Поэтому карты аномалий Буге при разных значениях стандартной плотности используются в гравиразведке. 2.4 Поправка за рельеф. Аномалия Фая. Более сложная процедура учета притяжения топографических масс требует вычисления поправки за рельеф , которая должна отражать в окрестностях исследуемой точки отступления физической поверхности Земли от горизонтальной плоскости, проходящей через неё. Точка находится на поверхности земли, поэтому введение этой поправки интерпретируется как выравнивание окружающих холмов и впадин до уровенной поверхности, которую на локальном участке можно считать за плоскость. Удаляются соседние массы, расположенные выше уровня этой поверхности и потому уменьшающие силу тяжести (как бы «притягивающие вверх»), и заполняются впадины, которые, находясь ниже, также ослабляли силу тяжести. В итоге, поправка за рельеф всегда приводит к увеличению , то есть всегда положительна. После её введения полученное (увеличенное) значение силы тяжести соответствует такому, какое было бы, если бы реальная физическая поверхность совпадала бы с уровенной, проходящей через данную точку (рис. 2.1). рис. 2.1 Поправка за рельеф Опуская вывод, запишем, что для топографических масс в пределах круговой области σ поправка за рельеф вычисляется, как где – отметка текущей точки интегрирования (притягивающего элемента топографических масс), - горизонтальное проложение до текущей точки интегрирования, – наклонное расстояние до неё. Интегрирование производится по топографической карте с помощью палетки или по цифровой модели рельефа. Учитывается притяжение рельефа в области радиусом до 50 км вокруг пункта, а в горных районах до 200 км. Поправка за рельеф в горных районах может превышать 100 мГал. Если в аномалию в свободном воздухе ввести поправку за рельеф, то получим аномалию силы тяжести, которую называют аномалией Фая. В равнинной местности, где поправки за рельеф становятся пренебрегаемо малыми, аномалии Фая совпадают с аномалиями в свободном воздухе. Там же, где влияние рельефа значительно, аномалии в свободном воздухе отличаются от аномалий Фая на величину поправки за рельеф. Аномалии в свободном воздухе и аномалии Фая применяются для определения элементов аномального потенциала и для изучения фигуры Земли. Аномалии Буге используются в геодезии для косвенной интерполяции аномалий в свободном воздухе и аномалий Фая. Применение обеих поправок (за промежуточный слой и за рельеф) даёт полную (уточнённую) аномалию Буге: 3. Статистические характеристики аномалий силы тяжести Аномалии силы тяжести находят на пунктах гравиметрической съемки, которая часто не только не равномерна, но и содержит неизученные площади. Вместе с тем, в теории определения гравитационного поля Земли и при решении геофизических задач предполагается, что аномалии силы тяжести заданы непрерывно. Линейное интерполирование аномалий между пунктами съемки и, тем более, экстраполирование неизбежно связано с ошибками, особенно при редкой съемке и сложном аномальном поле. Поэтому в таких задачах, а также при точностных расчетах, используют статистические свойства аномалий силы тяжести, считая аномалии случайными величинами, а поле аномалий - изотропным, т.е. не зависящим от направления. Одной из статистических характеристик является дисперсия аномалий – математическое ожидание квадрата отклонения аномалии от средней ее величины, которая после центрирования аномалий становится равной нулю. Такие аномалии называют центрированными. Среднее квадратическое отклонение будет равно . Но одинаковую дисперсию могут иметь поля различной сложности. Поэтому второй характеристикой поля служит статистическая связь (корреляция, ковариация) аномалий при разных расстояниях между точками на гравиметрической карте. Ковариацией называют математическое ожидание произведения аномалий во всех парах точек при постоянном расстоянии между ними, число пар равно : При , очевидно, – т. е. при нулевом расстоянии между точками ковариация равна дисперсии. По мере увеличения расстояния между точками величина уменьшается – медленней или быстрее, в зависимости от сложности поля. Поэтому второй характеристикой поля аномалий является расстояние корреляции . Это расстояние , на котором ковариация уменьшается вдвое, т.е. становится равной половине дисперсии: При достаточно большом расстоянии ковариация стремится к нулю. Аналитическая зависимость ковариации от расстояния называется ковариационной (корреляционной) функцией . Глобальное поле аномалий в свободном воздухе характеризуется величинами: и . Предложены разные модели ковариационной функции аномалий. Для местных исследований, при которых аномалии можно считать заданными на плоскости, часто пользуются моделью Джордана (1972 г.) (3.1) где . График функции показан на рис. 3.1. Рис. 3.1 Ковариационная функция Джордана Параметры функции находят эмпирически по имеющейся гравиметрической съемке, предварительно исключив общий тренд аномалий, вызванный притяжением периферийных масс. Тренд аппроксимируют линейной или параболической функцией. Получив ковариации для нескольких расстояний , по графику эмпирической ковариационной функции находят расстояние корреляции. 4. Гравиметрические съемки 4.1 Виды гравиметрических съемок Гравиметрические съемки выполняют для определения аномалий силы тяжести на пунктах с целью составления гравиметрических карт и каталогов. Гравиметрическая съемка предусматривает гравиметрические и топографо-геодезические работы. Различают несколько видов гравиметрической съемки. 1. Мировая гравиметрическая съемка, образованная всеми доступными гравиметрическими данными, необходима для решения геодезических и навигационных задач. 2. Для изучения общих особенностей аномального поля силы тяжести на территориях протяженностью в сотни и тысячи километров выполняют региональную съемку. По ее результатам строят карты в масштабе 1:1000000 и 1:500000 с сечением изолиний (изоаномал) 5 мГал и намечают участки для более детальных съемок. 3. Для изучения районов, которые могут содержать месторождения полезных ископаемых, обнаружения перспективных геологических образований выполняют поисковую съемку и строят гравиметрические карты в масштабе 1:200000 и 1:100000 с сечением соответственно 2 и 1 мГал. 4. Для изучения залежей и пород, вмещающих полезные ископаемые, определения формы, размеров и глубины залегания геологических тел предназначена детальная гравиметрическая съемка. Ее выполняют для составления карт масштабов от 1:50000 до 1:5000 с сечением изоаномал соответственно от 0,5 до 0,05 мГал. Расстояние между пунктами разных съемок составляет соответственно от 5 км до 10-50 м. 5. При изучении малых территорий (участков распространения карста, возможного разуплотнения грунта при строительстве объектов, историко-архитектурных территорий и т.п.) применяют микрогравиметрическую съемку. Шаг съемки, в зависимости от изучаемого объекта, - 5 м, иногда 2 и даже 1 м, а сечение – 5 или 2 мкГал. Пункты съемки часто располагают на прямолинейных параллельных профилях, особенно при детальных съемках. Расстояние между профилями обычно превышает расстояние между пунктами на профиле. При относительно равномерном распределении пунктов на местности съемка называется площадной, она позволяет построить гравиметрическую карту. Если расстояние между профилями в пять и более раз превышает шаг съемки по профилю, съемка будет профильной, по ее результату строят профили аномалий силы тяжести. На гравиметрических картах чаще всего показаны аномалии Буге. 4.2. Выполнение съемки Полевые работы при гравиметрической съемке обычно начинаются с создания местной опорной сети гравиметрических пунктов, которая служит обоснованием рядовой съемки. Точность пунктов опорной сети должна в 1,5-2 раза превышать точность рядовой съемки, а расстояние между опорными пунктами быть приемлемым для надежного контроля дрейфа гравиметров при рядовой съемке. Измерения в опорной сети выполняют группой гравиметров, по возможности короткими рейсами. Исходным служит пункт Государственной фундаментальной гравиметрической сети (ГФГС) или пункт Государственной гравиметрической сети 1 класса (ГГС-1), если речь не идёт о микрогравиметрической съемке. В зависимости от внешних условий и состояния дорожной сети применяют разные схемы измерений: центральную систему, двухступенчатую систему, схему узловых точек. Центральная система предусматривает связи пункта опорной сети с исходным пунктом многократными наблюдениями. Точность опорной сети находят по формуле для равноточных измерений (4.1) где (4.2) – ошибка единичного определения , - уклонение измеренного приращения силы тяжести от среднего, - общее число измерений в сети на определяемых пунктах. Если все пункты опорной сети не удается определить по схеме центральной системы, то применяют двухступенчатую систему, состоящую из каркасной и заполняющей опорных сетей. Каркасные пункты определяют по центральной системе, а заполняющие – в рейсах между каркасными пунктами. Уравнивание выполняют, считая каркасную сеть жесткой, либо каркасную и заполняющую сети уравнивают совместно, с учетом весов измерений. Если центральную и двухступенчатую системы сложно осуществить, то создают полигональную систему измерений, по возможности, с небольшим числом сторон. Каждую связь в полигоне выполняют независимыми гравиметрическими рейсами в последовательности 1-2-1. Если опорная сеть не была создана до начала рядовой съемки или в условиях плохих дорог, заболоченной местности и т.п., применяют методику узловых пунктов, строя сеть рейсами от одного или нескольких исходных пунктов. Узловые пункты образуются при пересечениях независимых рейсов. Сеть узловых пунктов уравнивают. Рис. 4.1 Построение гравиметрических рейсов. Измерения в рядовой сети проводят гравиметрическими рейсами между пунктами опорной сети. Рейс начинают и заканчивают на одном и том же опорном пункте (рис. 4.1а) либо на разных (рис. 4.1б), стараясь ограничить его продолжительность временем, за которое смещение нуль-пункта можно считать линейным. Внешние условия наблюдений в течение рейса должны быть по возможности неизменными. На каждом пункте фиксируют время наблюдений, и, если прибор не термостатирован, берут отсчет по термометру гравиметра. Повторные наблюдения на определяемых пунктах в обратном ходе, как показывает опыт, неэффективны, поскольку увеличивают продолжительность рейса. Обработку наблюдений начинают с вычисления показаний гравиметра в миллигалах. Затем по опорным отсчетам находят скорость смещения нуль-пункта (мГал/час): - если рейс начинается и заканчивается на одном опорном пункте A (рис 4.1a) или - если начальный и конечный пункты разные (рис. 4.1б). Поправка за смещение нуль-пункта вводится в показания гравиметра пропорциональные времени от начала рейса . В коротких рейсах эта поправка учитывает и влияние переменного лунно-солнечного притяжения. Для оценки точности измерений силы тяжести в каждый рейс включают один или несколько пунктов из предыдущих рейсов, выполняют независимые контрольные рейсы. Оценку точности делают по формулам 4.1 и 4.2. 4.3 Топографо-геодезическое обеспечение съемки Чтобы определить требования к планово-высотному обеспечению съемки, обратимся к формуле (1.2) для вычисления аномалии Буге: (4.3) Ошибку нормальной силы тяжести на отсчетной поверхности представим как: где – ошибка определения координаты (где ось направлена на север) горизонтальный градиент нормальной силы тяжести. Полагая получим . Такую точность с избытком обеспечивают автономные GPS-определения и крупномасштабные топографические карты. Найдем величину ошибки определения высоты гравиметрического пункта, ограничив ее влияние на величину аномалии Буге величиной 0,01 мГал. Согласно (4.3) При плотности горных пород приближенно имеем и GPS-определения позволяют получить высоту пункта с ошибкой 4 см за несколько минут при удалении от базовой станции до 30-50 км. В сильно залесенной местности или на застроенных территориях при необходимости прокладывают тахеометрические или нивелирные ходы. Применяют и крупномасштабные аэроснимки, позволяющие достигнуть точности 2-5 см Требования к сечению изоаномал и точности геодезического обеспечения съемок разной детальности приведены в таблице 4.1 Таблица 4.1 Требования к планово-высотному обоснованию гравиметрических карт 5. Гравиметрические карты 5.1. Общие сведения о составлении гравиметрических карт Гравиметрические карты составляют как для больших территорий, охватывающих обширные регионы, целые страны и континенты, так и для небольших участков детальных съемок. На мелкомасштабных картах чаще всего показаны на суше аномалии Буге, а на море аномалии в свободном воздухе. Крупномасштабные карты строят по аномалиям Буге. На картах аномалий Буге обязательно указывается плотность промежуточного слоя. Часто карта объединяет съемки разных лет, выполненные по разным схемам и с разной точностью. Поэтому предварительно проводят критический анализ результатов измерений, приводят их к единому гравиметрическому уровню и единому нормальному полю и устраняют возможные расхождения на границах съемок. При этом стараются сохранить детальность более подробных съемок. Для вычисления нормальной силы тяжести в отечественной практике пользуются формулой Гельмерта (Разд. 3) с поправкой −14 мГал в Потсдамскую систему (Разд. 4). Рис. 5.1. Карта аномалий Буге сечением 0,5 мГал, гравиметрические профили и пункты детальной съемки при гравиметрической разведке. При составлении детальных карт аномалий Буге важно уверенно выбирать плотность топографических масс для вычисления поправки за притяжение промежуточного слоя. Величина плотности может ощутимо меняться. В частности, для Москвы характерна величина 2,14 г/, а для Серпухова 2,39 г/. Плотность находят по образцам горных пород либо подбирают такую величину, при которой корреляция аномалий Буге с высотами гравиметрических пунктов становится минимальной. Для составления карт масштабов 1:50000 и мельче пользуются стандартными значениями плотности 2,30 или 2,67 г/. Поправку за рельеф вводят для составления карт масштаба 1:25000 и крупнее, причем в тех случаях, когда она превышает половину заданной ошибки определения аномалии на пункте. 5.2 Точность гравиметрических карт При построении изоаномал на гравиметрической карте предполагается линейное изменение аномалий между смежными пунктами, из-за чего возникают неизбежные ошибки. Для оценки точности карты М.С. Молоденский ввел понятие ошибки интерполяции , т.е. среднего квадратического расхождения интерполированного и измеренного значения аномалии на том же пункте: где - число пунктов. Ошибка полностью характеризует точность гравиметрической карты. Для определения ошибки интерполяции разрежают имеющуюся съемку, строят карту заново и находят разности на исключенных пунктах и сравнивают с исходными. Затем процедуру повторяют. Имея в виду, что при сплошной съемке расстояние между пунктами равно нулю и величина тоже равнялась бы нулю, интерполируют полученный результат для шага съемки оцениваемой карты. Ошибка интерполяции (таблица 4.2) аномалий силы тяжести зависит от сложности аномального поля, расстояния между пунктами и ошибки определения аномалии на гравиметрическом пункте. Ошибка , в свою очередь, складывается из ошибки измерений силы тяжести и влияния ошибок определения координат и высот гравиметрических пунктов (таблица 4.1). Ошибка носит название полной ошибки интерполяции. Таблица 4.2 Полная ошибка интерполяции E Таблица 4.2 показывает, что полная ошибка интерполяции должна быть меньше (в 22,5 раза) сечения карты аномалий Буге, а ошибка измерения должна быть в 24 раза меньше . При детальной гравиметрической съемке пользуются приближенным линейным соотношением , где - коэффициент, зависящий от характера аномального поля. В равнинных районах для аномалий Буге принимают мГал/км, а в горных районах величина в 2-3 раза больше. Величину зависящую от плотности пунктов съемки и сложности аномального поля, называют чистой ошибкой интерполяции. Чтобы по возможности увеличить шаг съемки и уменьшить стоимость работ стараются уменьшить ошибку . Чистую ошибку интерполяции можно оценить по формуле, полученной Ю.М. Нейманом, основанной на ковариационной функции Джордана (3.1): где – дисперсия, – расстояние корреляции аномалий силы тяжести, - среднее расстояние между пунктами съемки. По этой формуле можно найти расстояние между пунктами при планировании съемки, оценив величины и по изученному району со схожим рельефом и геологическим строением. 5.3 Косвенная интерполяция аномалий в свободном воздухе Интерполирование аномалий в свободном воздухе между гравиметрическими пунктами может сопровождаться значительными ошибками из-за сильной зависимости аномалий от высоты. Ошибка легко может превышать 10 мГал даже при расстояниях в несколько километров. Поэтому часто применяют предложенный М.С. Молоденским метод косвенной интерполяции аномалий в свободном воздухе, основанный на различии характера поля аномалий в свободном воздухе и Буге. Это различие иллюстрируют гравиметрические карты на рис. 5.2. Рис. 5.2. Участок неравномерной гравиметрической съемки (Японские о-ва). а – аномалии в свободном воздухе; сечение 10 мГал. б – аномалии Буге, плотность 2,60 г/см3; сечение 5 мГал. Как видно, сечение карты аномалий Буге меньше, а изоаномалы более плавные и монотонные, чем на карте аномалий в свободном воздухе. Поэтому интерполирование аномалий Буге на определяемые пункты будет точнее интерполирования аномалий в свободном воздухе. Переход к искомой аномалии в свободном воздухе осуществляется прибавлением поправки за притяжение промежуточного слоя Поправка при плотности составит примерно 0,10·H мГал. Если высоту пункта определять по топографической карте, то даже считая ошибку определения высоты в 2 м при сечении рельефа 5 м на карте масштаба 1:25000, получим погрешность поправки 0,2 мГал, что не скажется на точности результата косвенной интерполяции. 5.4. Ошибка представительства Современные схемы вычисления элементов аномального поля по гравиметрической съемке предусматривают применение средних значений аномалий силы тяжести по трапециям стандартных размеров. Точность этих средних значений называют ошибкой представительства, поскольку среднее значение аномалии характеризует аномальное поле всей трапеции. Ошибка представительства – это среднее квадратическое уклонение аномалий силы тяжести на гравиметрических пунктах трапеции от средней аномалии : Ошибки средних аномалий значительно меньше ошибки представительства. Ее величина зависит от размеров трапеции и сложности аномального поля. Если нанести на гравиметрическую карту прямоугольную сетку так, чтобы на каждую ячейку приходился один пункт, то зависимость ошибки представительства от размера ячейки описывается эмпирическими формулами где – стороны ячейки, в которой находится один гравиметрический пункт, – коэффициенты, зависящие от сложности аномального поля. В равнинном районе с небольшими изменениями аномалии принимают . Вторую формулу называют формулой де Грааф-Хантера (1935 г.). Для оценки ошибки представительства Л.В. Огородовой (1987 г.) предложена эмпирическая формула основанная на ковариационной функции Джордана (3.1), где – дисперсия, - расстояние корреляции аномалий силы тяжести, - расстояние между гравиметрическими пунктами. При увеличении расстояния между пунктами ошибка представительства растет быстрее ошибки интерполяции, а при они примерно одинаковы. На рис. 5.3 показана гравиметрическая изученность и распределение по трапециям ошибки представительства. Рис. 5.3. Изученность севера о. Мадагаскар и окружающих акваторий (а); число гравиметрических пунктов в одноградусных трапециях, средняя аномалия в свободном воздухе и ошибка представительства (б) Литература 1. Огородова Л.В., Шимбирев Б.П., Юзефович А.П. Гравиметрия – М.:, Недра, 1978 г., –325с. 2. Юзефович А.П. Поле силы тяжести и его изучение. - М.: Изд-во. МИИГАиК, 2014. –194 с. 3. ГКИНП (ГНТА) - 04-122-03 Инструкция по развитию высокоточной государственной гравиметрической сети России, Москва, ЦНИИГАиК, 2004