Анализ линейных цепей в установившемся синусоидальном режиме

96 Лекция 11. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ План 1. Синусоидальные электрические величины. 2. Двухполюсные элементы цепей на синусоидальном токе. 3. Заключение. 1. Синусоидальные электрические величины Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляются преимущественно на синусоидальном переменном токе. Это объясняется тем, что для передачи и распределения электрической энергии требуются напряжения разного уровня. При передаче энергии на большие расстояния для уменьшения потерь необходимо высокое напряжение. В то же время для распределения энергии потребителям используют сравнительно низкое напряжение. Преобразование уровня переменного напряжения легко осуществить с помощью трансформаторов. При передаче информации токи и напряжения представляют непериодические функции времени. Однако расчеты линейных цепей и в этом случае могут быть выполнены с помощью методов, предназначенных для цепей синусоидального тока. Поэтому понимание процессов в цепях синусоидального тока и изучение методов расчета таких цепей имеют исключительно важное значение. Токи и напряжения, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими. Наименьший промежуток времени, через который значения периодического тока повторяются, называют периодом. Для периодической функции f t  справедливо равенство f t   f t  T . Здесь Т – период f t . Величину, обратную периоду, называют циклической частотой: f 1 . T Частота равна числу периодов в единицу времени. Она измеряется в герцах (Гц). Простейшей периодической функцией является синусоидальная функция (рис. 11.1). Мгновенное значение синусоидальной функции времени определяется равенством 97 it   I m sin  t   . Здесь I m – амплитудное значение тока. Значение аргумента синусоидальной функции называют фазой. Таким образом, аргумент ω t  ψ есть фаза синусоидального тока. Фаза измеряется в радианах или градусах. Скорость изменения аргумента  называют угловой частотой. Угловая частота измеряется в радианах в секунду (рад/с). Она равна произведению частоты f на 2π : ω  2π f . Рис. 11.1 Угол ψ называют начальной фазой. Начальная фаза равна аргументу синусоидальной функции в момент начала отсчета времени. Если выбор начала отсчета времени не имеет принципиального значения, начальную фазу принимают равной нулю. Следует отметить, что если в линейной цепи действуют синусоидальные источники одинаковой частоты, то все напряжения и токи ветвей являются синусоидами той же частоты. В электроэнергетических системах России и стран Европы принята стандартная частота переменного тока, равная 50 Гц (период Т = 0,02 с). В радиотехнике и электронике используют переменные токи частотой от 10 до  Гц. Для генерирования синусоидального напряжения промышленной частоты используют электромашинные генераторы. Источниками более высоких частот служат транзисторные или ламповые генераторы. Как было показано в предыдущих главах, реакцию цепи на действие входного сигнала можно представить в виде суммы свободной и принужденной составляющих. В дальнейшем будем полагать, что источники синусоидального напряжения были включены при t   , так что к моменту t  0 в цепи наблюдается установившийся синусоидальный режим. О величине переменного тока судят по его среднему или действующему значению. Среднее значение периодической функции времени f t  определяют по формуле 98 T Fср   f t dt . T Среднее значение периодической функции равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной графиком f t  и осью времени (рис. 11.2). Рис. 11.2 Среднее значение синусоидальной функции за период равно нулю. Поэтому используют понятие среднего значения за половину периода:  Fср  T Т   f t dt .  Среднее значение синусоидального тока за половину периода I ср   T Т    I m sin tdt  I m  . I m .  Тепловое действие тока, а также сила механического взаимодействия проводников с током пропорциональны квадрату тока. Потому о величине переменного тока судят обычно по его среднеквадратичному или действующему значению. Действующее значение переменного тока it  определяется по формуле 1T it 2 dt . I  T0 99 Действующее значение синусоидального тока T I m sin t  dt  I m . I  T  За один период переменного тока в резисторе сопротивлением R выделяется тепловая энергия, определяемая выражением Т    R i dt  RT T  i dt  RI T .   Т  Из последней формулы следует, что действующее значение синусоидального тока равно такому постоянному току, при котором в резисторе за период выделяется такое же количество тепла, что и при переменном. Действующие значения переменных токов и напряжений обозначают прописными буквами. Большинство измерительных приборов определяют действующие значения переменных токов и напряжений. 2. Двухполюсные элементы цепей на синусоидальном токе 2.1. Резистивный элемент Пусть ток резистивного элемента изменяется по синусоидальному закону it   I m sin t    . В соответствии с законом Ома напряжение резистора ut   Rit   RI m sin t   . Напряжение резистивного элемента изменяется синусоидально, причем начальные фазы напряжения и тока одинаковы. Разность начальных фаз двух синусоид одинаковой частоты называют фазовым сдвигом и обозначают символом . Фазовый сдвиг между напряжением и током резистивного элемента равен нулю. Говорят, что напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. Амплитуды напряжения и тока резистивного элемента связаны законом Ома U m  RI m . 100 На рис. 11.3 изображены временные диаграммы тока и напряжения резистивного элемента. Мгновенная мощность, поглощаемая резистивным элементом, равна произведению мгновенных напряжения и тока: pt   u t it   U m I m sin  t   UmIm   cos t   UI   cos t .  (11.1) Рис. 11.3 Полученное выражение содержит два слагаемых. Первое слагаемое – постоянная величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока UI . Второе слагаемое – косинусоида удвоенной частоты UI cos 2ω t . График мгновенной мощности резистивного элемента показан на рис. 11.4. Рис. 11.4 Таким образом, мгновенная мощность резистивного элемента представляет пульсирующую функцию времени. Так как начальные фазы напряжения и тока резистора совпадают, мгновенная мощность pt  всегда положительна. Это соответствует определению идеального резистивного элемента. 101 Среднее значение мгновенной мощности pt  за период Т называют активной или средней мощностью: T  pt dt . T В соответствии с (11.1) активная мощность P P  UI  RI  . Итак, активная мощность резистивного элемента равна произведению действующих значений напряжения и тока. 2.2. Индуктивный элемент Предположим, что ток индуктивного элемента изменяется синусоидально. Для упрощения выкладок примем начальную фазу тока равной нулю: i  I m sin t . Напряжение индуктивного элемента uL   di  LI m cos t  LI m sin t   .  dt (11.2) Ток индуктивного элемента отстает по фазе от приложенного напряже ния на угол или на четверть периода. В соответствии с (11.2) амплитуда  напряжения индуктивного элемента U m   LI m  xL I m . Величину xL  L , имеющую размерность сопротивления, называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление является линейной функцией частоты . Временные диаграммы напряжения и тока индуктивного элемента показаны на рис. 11.5. Мгновенная мощность индуктивного элемента pt   ut it   U m I m sin t cos t  UmIm sin t .  102 Учитывая, что действующие значения синусоидальных величин U I U  m , I  m , окончательно получим   pt   UI sin 2ωt . Рис. 11.5 Таким образом, мгновенная мощность индуктивного элемента представляет синусоиду, частота которой равна удвоенной частоте приложенного напряжения. Активная мощность, равная среднему значению мгновенной мощности за период, равна нулю: P  0 . Энергия, запасаемая в магнитном поле индуктивного элемента в первую четверть периода, во вторую четверть периода возвращается во внешнюю цепь. Это соответствует определению идеального индуктивного элемента, в соответствии с которым в этом элементе происходит только запасание энергии магнитного поля, а потери энергии отсутствуют. 2.3. Емкостный элемент Предположим, что напряжение емкостного элемента – синусоидальная функция времени ut   U m sin t . Ток емкостного элемента it   C   duC  CU m cos t  CU m sin t   .  dt 103 Ток емкостного элемента опережает напряжение u t  на угол  или на  четверть периода. Амплитуда тока I m   CU m  bCU m . Величину bC , имеющую размерность проводимости, называют емкостной проводимостью. Величина, обратная емкостной проводимости, – емкостное сопротивление:  . xC  C Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенного напряжения. Временные диаграммы напряжения и тока емкостного элемента показаны на рис. 11.6. Рис. 11.6 Мгновенная мощность емкостного элемента pt   ut it   U m I m sin  t cos t  UmIm sin t  UI sin  t .  Как и в индуктивном элементе, мгновенная мощность емкостного элемента представляет синусоиду удвоенной частоты. Активная мощность емкостного элемента равна нулю. 104 3. Заключение 1. 2. 3. 4. 5. Синусоидальная функция является простейшей периодической функцией. Ее мгновенное значение характеризуется тремя параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Действующее значение синусоидального тока равно такому постоянному току, при котором в резисторе за период выделяется такое же количество тепла, что и при переменном. Действующее значение синусоидального тока I  I m 2 . Амплитуды напряжения и тока резистивного элемента связаны законом Ома: U  RI . Фазовый сдвиг между напряжением и током резистивного элемента равен нулю. Амплитуды напряжения и тока индуктивного элемента связаны соотношением U m  xL I m . Величину xL  L , имеющую размерность сопротивления, называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление является линейной функцией частоты. Напряжение индуктивного элемента опережает ток на угол, равный  2 . Амплитуды напряжения и тока емкостного элемента связаны соотношением U m  xС I m . Величину xС  1 С , имеющую размерность сопротивления, называют емкостным сопротивлением. Напряжение емкостного элемента отстает от тока на угол, равный  2 .