Аналитическая геометрия в пространстве

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕКТОРЫ, ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ Определение. Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Векторы принято обозначать двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой наверху: AB …, при этом первая буква указывает на начало вектора, а вторая – на его конец; либо одной маленькой латинской буквой со стрелкой наверху. Определение. Вектор, у которого совпадают начало и конец, называется нуле вым: AA  0 . Определение. Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ .   Определение. Если a  1 , то вектор a называется единичным. По взаимному расположению два вектора в пространстве делятся на коллинеар  ные (лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначаются а b ) и неколлинеарные (лежат на пересекающихся прямых). Коллинеарные векторы, в свою очередь, делятся на сонаправленные (коллине  арные векторы, которые смотрят в одном направлении, обозначаются a  b ) и противоположно направленные (коллинеарныевекторы, которые смотрят в проти воположных направлениях, обозначаются a  b ). Сонаправленные векторы, длины которых равны, называются равными, обозна  чаются а  b . По взаимному расположению три вектора в пространстве делятся на компланарные (лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости) и некомпланарные. Любые три ненулевых некомпланарных вектора в пространстве образуют базис    e1 , e2 , e3 . Справедлива следующая теорема:    Пусть e1 , e2 и e3 - три ненулевых и некомпланарных вектора в пространстве,  тогда любой вектор x можно единственным образом представить в виде     x  x1e1  x2 e2  x3e3 , где x1 , x2 , x3  R .  Определение. Числа x1 , x2 , x3 называются координатами вектора x в базисе e1 , e2 , e3 . Определение. Совокупность некоторой точки O и трех ненулевых и неком   планарных векторов e1 , e2 , e3 в пространстве называется системой координат или    репером; обозначается он O, e1 , e2 , e3 .    Определение. Под координатами точки M в репере O, e1 , e2 , e3  понимаются O, e1 , e2 , e3 , то есть координаты её радиус-вектора в репере     M ( y1 , y2 , y3 )  OM  y1e1  y2 e2  y3e3 . 1 В будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой координат          O, i , j , k , где векторы i , j и k обладают следующими свойствами: i  j  k  1 ,       i  j , i  k , j  k и называются ортами. В этом случае первая координата точки называется абсциссой, а вторая – ординатой, а третья – его аппликатой.   ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1. Сложение векторов Определение:   a. Суммой двух векторов a и b , отложенных последовательно так, что второй вектор выходит из конца первого, называется вектор, обознача  емый a  b , направленный из начала первого вектора в конец второго (правило треугольника).   b. Суммой двух векторов a и b , отложенных от одной точки, называется  вектор, обозначаемый a  b , направленный из этой точки в противо положную вершину параллелограмма, построенного на векторах и a  b (правило параллелограмма).    c. Суммой нескольких векторов a1 , a 2 , …, a n , отложенных последовательно так, что каждый последующий вектор выходит из конца преды   дущего, называется вектор, обозначаемый a1  a2  ...  an , направленный из начала первого вектора в конец последнего (правило многоугольника).     Свойства: 1. a  b  b  a       2. a  b  c  a  b  c     В координатах: a  x1 , y1 , z1 , b  x2 , y2 , z 2    a  b  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2  2. Вычитание. Определение:   Разностью двух векторов a и b , отложенных от одной точки, называется   вектор, обозначаемый a  b , направленный из конца вектора b в конец  вектора a .   В координатах: a  x1 , y1 , z1 , b  x2 , y2 , z 2    a  b  x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 3. Умножение вектора на число. Определение:   b  a, b  k  a , если k  0        ka  b : b  a , b  k  a , если k  0  0, если k  0 Свойства:   1. kla  k la      2       2. k a  b  ka  kb    3. k  l a  ka  la   В координатах: a  x1 , y1 , z1 , ka  kx1 , ky1 , kz1. Справедлива следующая теорема (критерий коллинеарности двух векторов):   Если a  x1 , y1 , z1  и b  x2 , y2 , z 2  два ненулевых вектора в пространстве, то они являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: x1 y1 z1   . x2 y 2 z 2 Результатом всех рассмотренных нами операций над векторами являлись векторы, поэтому все они называются линейными операциями над векторами. Но из физики известно, что существует такая операция над векторами, резуль  татом которой является число: A  F  S cos . По-видимому, есть смысл рассматривать такое действие над векторами. Это действие называется скалярным умножением векторов, а его результат – скалярным произведением векторов. 4. Скалярное умножение векторов.   Определение: скалярным произведением двух векторов a и b называется число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними:  ^     a  b  a  b  cos a , b  .   Свойства:  2  1. Скалярный квадрат вектора a равен квадрату его длины: a 2  a .     2. a 2  0 ;a 2  0  a 0        3. a 0 , b  0 a  b  0  a  b   4. a  b  b  a        5. a  b  c  a  c  a  b     6. k a  b  ka   b     В координатах: a  x1 , y1 , z1  и b  x2 , y2 , z 2 , a  b  x1  x2  y1  y2  z1  z2 .    Док-во: Из свойств 1 и 3 следует, что для базисных векторов i , j , k справедливы следующие равенства:                   i  i  j  j  k  k  1, i  j  j  i  i  k  k  i  j  k  k  j  0 .           Так как a  x1i  y1 j  z1k , b  x2 i  y2 j  z2 k , то скалярно умножая a на b и раскрывая скобки с учетом свойства 5 и последних равенств, получим требуемое выражение. Над векторами в пространстве мы будем рассматривать еще две операции: векторное умножение векторов и смешанное умножение векторов.     5. Векторное умножение векторов. 3   Определение: векторным произведением двух векторов и называется векa b   тор, обозначаемый a  b , который определяется следующими тремя условиями:     1) длина вектора a  b равна произведению длин векторов a и b на синус  ^     угла между ними: a  b  a  b  sin  a , b  ;          2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и : a b  a , a a  b b    a b b ;       3) векторы a  b , a и b образуют правую тройку векторов ( a  b располо жен по отношению к a и b также, как координатная ось Oz относительно координатных осей Ox и Oy ).   В координатах: a  x1 , y1 , z1  и b  x2 , y2 , z 2 ,    y z1 x1 z1 x1 y1  ab   1 ; ; . y z x z x y 2 2 2 2 2 2    Пример. Найдем координаты векторного произведения, если a  1;2;3;  b  4;5;6.   2 3 1 3 1 2 Решение: a  b   ; ;    3;6;3. 5 6 4 6 4 5   Свойства:          1. Если a  0 , b  0 , то a  b  0  a b (док-во из п. 1) определения).     2. Свойство анти перестановочности сомножителей: a  b  b  a . 3. Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю:    a   b  a  b   a  b . 4. Свойство распределительности относительно суммы векторов:        a  b c  a b  a c . 5. Длина векторного произведения двух неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис., док-во из п.1) определения).   Пример. Векторы a и b составляют угол в 450 . Найдем площадь параллело      грамма, построенного на векторах a  2b и 3a  2b , если a  b  5 .     Решение: S  a  2b  3a  2b .               a  2b  3a  2b  3a  a  6b  a  2a  b  4b  b  8a  b .       S  a  2b  3a  2b  8 a  b  8  5  5  sin 450  100 2 .                   Согласно определению и свойствам 1 и 2 векторного произведения, для базис   ных векторов i , j , k справедливы следующие равенства:        i i  j  j  k  k  0,       i  j  k , j  i  k , 4       k i  j, i k j,       j  k  i , k  j  i . 6. Смешанное умножение трёх векторов.    Определение: смешанным произведением трёх векторов a , b и с называется    число, обозначаемое ab c , равное скалярному произведению вектора a на вектор       ное произведение b и с : ab c  a  b  c .    В координатах: a  x1 , y1 , z1  и b  x2 , y2 , z 2 , c  x3 , y3 , z3  y z2 x z2 x y2   . ab c  x1  2  y1  2  z1 2 y3 z 3 x3 z3 x3 y3   Пример: Найдем смешанное произведение векторов a  1;2;3; b  4;5;6;  c  0;1;2. 5 6 4 6 4 5   Решение: ab c  1   2  3  16  16  12  12 . 1 2 0 2 0 1 Свойства:       1. a  b  c  a  b  c .       2. Если векторы a , b и с компланарны, то a  b  c  0 .    3. Если векторы a , b и с некомпланарны, то модуль смешанного произведения       a  b  c равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и с :    V  a b c .    Пример: Вычислим объем пирамиды, построенной на векторах a  3i  4 j ,       b  3 j  k и c  2 j  5k . 1    Решение: V  a  b  c .  6   a  3;4;0, b  0;3;1, c  0;2;5.    3 1 0 1 0  3 b c  ; ;    17;0;0. 2 5 5 2    1   1 V  a  b  c  3   17   4  0  0  0  8,5 . 6 6 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ 1. Связь между координатами вектора и координатами его концов: Ax1 , y1 , z1  ,                         Bx2 , y2 , z2  , AB  x2  x1 , y2  y1 , z2  z1. 2. Вычисление длины вектора по его  a  x2  y2  z 2 . координатам:  a  x, y, z,   3. Вычисление расстояния между двумя точками: Ax1 , y1 , z1  , B x2 , y2 , z 2 ,   A, B   x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2 . 5   4. Вычисление угла между двумя векторами: a  x, y, z, b  x, y, z , x  x  y  y   z  z    . cos a, b  2 2 2 2 2 2 x  y  z   x   y    z  5. Координаты середины отрезка: Ax1 , y1  , Bx2 , y2 , O - середина отрезка АВ ,  x  x2 y1  y2 z1  z 2   . O 1 , , 2 2 2   6. Деление отрезка в данном отношении: говорят, что точка C делит отрезок MA   , причем координаты точки M вычисляАВ в отношении  , если MB x  x 2 y  y 2 z  z 2 ются по формулам xM  1 , yM  1 , zM  1 . 1  1  1  7. Вычисление площади параллелограмма, построенного на векторах     a  x, y, z, b  x, y, z : S  a  b .  8. Вычисление объема параллелепипеда, построенного на векторах a  x, y, z,     b  x, y, z , c  x, y, z : V  ab c .     НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА, ОРТ-ВЕКТОР ВЕКТОРА  Определение. Направляющими косинусами вектора a называются косинусы углов, образуемых этим вектором с осями координат. x Они вычисляются по следующим формулам: cos  , x2  y2  z 2 y z , cos  . cos   2 2 2 2 2 2 x y z x y z  Определение. Орт-вектором вектора a называется вектор, сонаправленный с  a  a и имеющий длину, равную 1: l   . a Пример. M (3,4,1) . Найдите длину вектора OM , его направляющие косинусы и орт-вектор. 4 1  3 4 1   3 , , , cos    , cos  , l  OM  26 , cos  . 26 26  26 26 26  26 Т.о. направляющие косинусы служат координатами орт-вектора заданного вектора. 6