Аналитическая геометрия на плоскости

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ВЕКТОРЫ, ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ Определение. Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Векторы принято обозначать двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой наверху: AB …, при этом первая буква указывает на начало вектора, а вторая – на его конец; либо одной маленькой латинской буквой со стрелкой наверху. Определение. Вектор, у которого совпадают начало и конец, называется нуле вым: AA  0 . Определение. Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ . По взаимному расположению два вектора на плоскости делятся на коллинеар  ные (лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначаются а b ) и неколлинеарные (лежат на пересекающихся прямых). Коллинеарные векторы, в свою очередь, делятся на сонаправленные (коллине  арные векторы, которые смотрят в одном направлении, обозначаются a  b ) и противоположно направленные (коллинеарныевекторы, которые смотрят в проти воположных направлениях, обозначаются a  b ). Сонаправленные векторы, длины которых равны, называются равными, обозна  чаются а  b . Справедлива следующая теорема:   Пусть e1 и e2 - два ненулевых и неколлинеарных вектора на плоскости, тогда     любой вектор x можно единственным образом представить в виде x  x1e1  x2 e2 , где x1 , x2  R .  Определение. Числа x1 , x2 называются координатами вектора x в базису e1 ,e2  . Определение. Совокупность некоторой точки O и двух ненулевых и неколли  неарных векторов e1 и e2 на плоскости называется системой координат или репе  ром; обозначается он O, e1 , e2 .   Определение. Под координатами точки M в репере O, e1 , e2  понимаются коO, e1 , e2 , то есть ординаты её радиус-вектора в репере    M ( y1 , y2 )  OM  y1e1  y2 e2 .   В школе имели дело с прямоугольной декартовой системой координат O, i , j  ,   где векторы i и j обладают следующими свойствами: их длины равны 1     ( i  j  1) и они взаимно перпендикулярны ( i  j ). В этом случае первая координата точки называется абсциссой, а вторая – ординатой вектора. С ней мы и будем иметь дело. 1 ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1. Сложение векторов Определение:   a. Суммой двух векторов a и b , отложенных последовательно так, что второй вектор выходит из конца первого, называется вектор, обознача  емый a  b , направленный из начала первого вектора в конец второго (правило треугольника).   b. Суммой двух векторов a и b , отложенных от одной точки, называется  вектор, обозначаемый a  b , направленный из этой точки в противо положную вершину параллелограмма, построенного на векторах и a  b (правило параллелограмма).    c. Суммой нескольких векторов a1 , a 2 , …, a n , отложенных последовательно так, что каждый последующий вектор выходит из конца преды   дущего, называется вектор, обозначаемый a1  a2  ...  an , направленный из начала первого вектора в конец последнего (правило многоугольника).     Свойства: 1. a  b  b  a       2. a  b  c  a  b  c   В координатах: a  x1 , y1 , b  x2 , y2    a  b  x1  x2 , y1  y2  2. Вычитание. Определение:   Разностью двух векторов a и b , отложенных от одной точки, называется   вектор, обозначаемый a  b , направленный из конца вектора b в конец  вектора a .   В координатах: a  x1 , y1 , b  x2 , y2    a  b  x2  x1 , y2  y1 3. Умножение вектора на число. Определение:   b  a, b  k  a , если k  0        ka  b : b  a , b  k  a , если k  0  0, если k  0 Свойства:   1. kla  k la      2. k a  b  ka  kb    3. k  l a  ka  la   В координатах: a  x1 , y1 , ka  kx1 ,ky1 Справедлива следующая теорема (критерий коллинеарности двух векторов):       2   Если a  x1 , y1 и b  x2 , y2  два ненулевых вектора в пространстве, то они являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: x1 y1 .  x2 y 2 Результатом всех рассмотренных нами операций над векторами являлись векторы. Но из физики известно, что существует такая операция над векторами, резуль  татом которой является число: A  F  S cos . По-видимому, есть смысл рассматривать такое действие над векторами. Это действие называется скалярным умножением векторов, а его результат – скалярным произведением векторов. 4. Скалярное умножение векторов.   Определение: скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:  ^     a  b  a  b  cos a , b  .   Свойства:  2  1. Скалярный квадрат вектора a равен квадрату его длины: a 2  a .     2. a 2  0 ;a 2  0  a 0        3. a 0 , b  0 a  b  0  a  b   4. a  b  b  a        5. a  b  c  a  c  a  b     6. k a  b  ka   b     В координатах: a  x1 , y1 , b  x2 , y2 , a  b  x1  x2  y1  y2 Над векторами в пространстве мы будем рассматривать еще две операции: векторное умножение векторов и смешанное умножение векторов.     ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ 1. Связь между координатами вектора и координатами его концов: Ax1 , y1  , Bx2 , y2 , AB  x2  x1 , y2  y1.   2. Вычисление длины вектора по его координатам: a  x, y, a  x 2  y 2 . 3. Вычисление расстояния между двумя точками: Ax1 , y1  , Bx2 , y2 ,   A, B   x2  x1 2  y2  y1 2 . 4. Вычисление угла между двумя x  x  y  y    . cos a , b  2 2 2 2 x  y   x   y    3 векторами:  a  x, y,  b  x, y, 5. Координаты середины отрезка: Ax1 , y1  , Bx2 , y2 , O - середина отрезка АВ ,  x  x2 y1  y2   . O 1 , 2 2   6. Деление отрезка в данном отношении: говорят, что точка C делит отрезок MA   , причем координаты точки M вычисляАВ в отношении  , если MB x  x 2 y  y 2 ются по формулам xM  1 , yM  1 . 1  1  НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА, ОРТ-ВЕКТОР ВЕКТОРА  Определение. Направляющими косинусами вектора a называются косинусы углов, образуемых этим вектором с осями координат. x Они вычисляются по следующим формулам: , cos  2 2 x y y . cos   x2  y2  Определение. Орт-вектором вектора a называется вектор, сонаправленный с  a  a и имеющий длину, равную 1: l   . a Пример. M (3,4) . Найдите длину вектора OM , его направляющие косинусы и орт-вектор. 3 4  3 4  OM  5 , cos  , cos    , l   ,  . 5 5 5 5  Т. о. направляющие косинусы служат координатами орт-вектора заданного вектора. 4