Система сходящихся сил

1 Лекция 3. Система сходящихся сил 3.1. Приведение к равнодействующей силе Системой сходящихся сил F 1 , F 2 ,..., F n называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными (рис. 3.1, а) и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости (рис. 3.1, б). а б Рис. 3.1 Рассмотрим способы вычисления равнодействующей для двух сил. В дальнейшем будем рассматривать систему сил, расположенную в одной плоскости. Две силы, приложенные в одной точке и направленные под углом  , друг к другу, эквивалентны одной силе (равнодействующей), приложенной в той же точке и равной по модулю и направлению диагонали которого параллелограмма, изображают стороны величины и направления обеих заданных сил (рис. 3.2). Рис. 3.2 1. Равнодействующая R этих двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме этих сил (рис. 3.2, б) т.е. R  F 1 F2 . 2 2. Сумма проекций двух сил F 1 и F 2 на линию действия равнодействующей равна модулю равнодействующей: F1 cos   F2 cos   R . Параллелограмм, стороны которого отображают величины и направления заданных сил, состоит из двух равных треугольников (рис. 3.3). Сторона ВС параллелограмма равна модулю вектора рассмотреть силы F2 . ОBC , равнодействующую силу R Рис. 3.3 получить как Если то можно “замыкающую” этот Рис. 1.5 треугольник, который принято называть силовым. По теореме косинусов можно вычислить модуль равнодействующей: R2  F 2  F 2  2F1 F2 cos 180     F 2  F 2  2F1 F2  cos  . 1 2 1 2 Направление равнодействующей R (угол  или угол  ) вычисляется по теореме синусов F2 F2  sin   sin 180     sin  ;    R R F F R   2  1  sin 180    sin  sin   F F  sin   1 sin 180     1 sin  .  R R Рассмотрим общий случай системы сходящихся сил. Так как силы, действующие на твердое тело, являются скользящими векторами, то можно считать, что силы F 1 , F 2 ,..., F n приложены в точке О. 3 Геометрическое вычисление равнодействующей. Пусть нужно сложить а четыре силы F 1 , F 2 , F 3 , F 4 (рис. 3.4, а). Равнодействующая R может быть получена построением силового многоугольника из заданных сил. Для этого совместим с началом декартовой системы координат б точку О пересечения линий действия сил. Из точки О проводим прямую, параллельную линии действия силы F1 , и откладываем в масштабе модуль этой силы (рис. 2.4, б). Далее от конца вектора силы F1 проводим прямую, параллельную линии в действия силы F , и откладываем вдоль 2 Рис. 3.4 полученной прямой модуль второй силы, и т.д. Равнодействующая R в силовом многоугольнике соединяет начало координат (точка О) с концом вектора последней силы. Измеряем длину полученного вектора R , и с учетом масштаба получаем модуль равнодействующей R , измеряя транспортиром угол  , который образует вектор R и положительное направление оси Ox , определяем направление вектора R . Силы в силовом многоугольнике можно изображать в любой последовательности (рис. 3.4, в). Вектор равнодействующей силы является замыкающим силового многоугольника, сторонами которого являются слагаемые силы. 4 Сложение сил по правилу силового многоугольника называется геометрическим сложением сил. Итак, равнодействующая R системы сходящихся сил равна по модулю и направлению их геометрической сумме: R  Fi  F1  F2    Fn . Аналитическое вычисление равнодействующей. Аналитическое вычисление равнодействующей основано на применении метода проекций, который основан на правиле векторной алгебры: проекция равнодействующей на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось: R   Fi  F1  F2   Rx   Fxi  Fx1  Fx 2    Fn    Ry   Fyi  F  F  y1 y2   Fxn ;  F yn . Сложим аналитически четыре силы F 1 , F 2 , F 3 , F 4 (рис. 3.5). Проецируя заданные векторы сил на оси Ox и Oy , получим: Rx   Fix   F1 sin  F2  F 3 cos   Fn cos  ; Ry   Fiy F1 cos   F 3 sin   Fn sin  . Рис. 3.5 Модуль системы сил: равнодействующей заданной R  Rx 2  R y 2 ; Направление косинусу: равнодействующей определим по направляющему 5 cos  R,x   cos   Rx R    arccos x . R R Пример 3.1. Вычислить равнодействующую системы сходящихся сил F1 , F2 , F3 , приложенных в точку О (рис. 3.6, а), аналитически и геометрически, если F1  6 кH , F2  8 кH , F3  12 кH . Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой О. Геометрическое вычисление равнодействующей. Совместим с началом декартовой системы координат точку пересечения линий действия заданных сил (рис. 3.6, б). Из точки О проводим прямую, параллельную линии действия силы F1 , и откладываем отрезок вдоль этой линии, равный модулю этой силы. Далее, через конец вектора F1 проводим прямую, параллельную линии действия силы F2 (угол между линиями действия сил F1 и F2 равен 60 ), и откладываем отрезок, равный модулю силы F2 , через конец вектора F2 проводим прямую, параллельную линии действия силы F 3 (угол между линиями действия сил F2 и F 3 равен 75 ), и откладываем отрезок, равный модулю силы F 3 . а б Рис. 3.6 Равнодействующая R в силовом многоугольнике соединяет начало координат О (точка приложения первой силы) с концом вектора F 3 6 (рис. 3.6, б). Измеряем модуль равнодействующей R и угол между осью Оx и R . Аналитическое вычисление равнодействующей. Проецируем заданные векторы сил на прямоугольную систему координат, получим: R x   Fix   F2 sin 60  F3 sin 45  8  0,87  12  0,707  1,52 кH ; R y   Fiy    F1  F2 cos60  F3 cos45  6  8  0,5  12  0,707  6,48 кH ; R  Rx 2  R y 2  ( 1,52 )2  ( 6,48 )2  44,3  6,65 кH ; cos  R, x   cos   Rx 1,52   0,23    77 . R 6,65 Сравниваем полученные результаты, убедимся, что геометрические и аналитические расчеты совпали. 3.2. Условия равновесия системы сходящихся сил Аналитическое условие равновесия. Пусть на абсолютно твердое тело действует плоская система сходящихся сил. Тогда для равновесия заданной системы сил F 1 , F 2 ,..., F n необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая системы R была равна нулю, т.е. R  Fi  0, а силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, был замкнутым. В проекциях на декартовые оси координат Ox и Oy аналитическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил представляют так: 7  Fix  0;  R  Rx  R y  0    Fiy  0.  Рассмотрим на примере геометрическое вычисление величины силы P , которая уравновесит систему заданных сил S , S , S 3 , S4 . (рис. 3.7, а). Для 1 2 этого построим силовой многоугольник из заданных сил. Из точки O (рис. 3.7, б) проводим прямую, параллельную линии действия силы S 1 , и откладываем отрезок вдоль этой линии, равный модулю этой силы, далее через его конец проводим прямую, параллельную линии действия силы S 2 (угол между линиями действия сил S 1 и S 2 равен 78 ), откладываем на ней отрезок, равный модулю силы S 2 , и т.д. а б Рис. 3.7 Замыкающим вектором силового многоугольника будет вектор, соответствующий силе P . Измеряем полученный отрезок. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю, а силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, был замкнутым. Пример 3.2. Задана система сил: P  4 kн , F  3 kн , Q  5 kн , причем 3 4 sin  , cos   5 5 (рис. 3.8). Проверить, находятся ли заданная система сил в равновесии. 8 Решение. Совместим систему координат Oxy с точкой пересечения линий действия заданных сил (рис. 3.8, а). Условия равновесия относительно выбранной системы координат запишутся так: 3   Fx  0, Q sin   F  5   3  0;   5    Fy  0; Q cos   P  5  4  4  0.   5 Равнодействующая заданной системы сил Рис. 3.8 равна нулю. Построим силовой многоугольник (рис. 3.8, б). Убеждаемся, что он замкнутый. Пример 3.3. Шар весом Р  10 кН подвешен на нерастяжимой нити в точке А и удерживается горизонтальной нерастяжимой нитью, привязанной в точке O , касается поверхности в точке В, угол   30 (рис. 3.9, а). Вычислить натяжение нити давление шара на плоскость. Решение. Выделим шар, отбросим связи и заменим их силами натяжения: TA и реакцией гладкой поверхности NB (рис. 3.9, а, б). Тогда на шар будут действовать три силы: вес Р и две реакции связей. Все силы пересекаются в точке О (центр шара) и лежат в одной плоскости (рис. 3.9, б). а б в Рис. 3.9 9 Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий сил и запишем условия равновесия:  1  1 10 3  T   N  0, , В  N В  TA    Fx  0, TA cos 60  N В  0,  A 2 2 3          Fy  0; TA sin 60  P  0;   3 20 3  T   10  0; .  A TA   2 3  Получили, что TA  Проверим 20 3 10 3 kн; N В  kн. 3 3 полученный результат графически. Строим силовой многоугольник (рис. 3.9, в). Силовой многоугольник, построенный из сил Р , T A и N Â , – замкнутый, равнодействующая этих сил равна нулю. Подтвердим полученный результат, используя теорему синусов:  P  sin 30 3  10   8,66 kH ; NВ  2 sin 60 P NВ TA     sin 60 sin 30 sin 90  P 20 3   11,55 kH . TA  3 sin 60  Пример 3.4. На нерастяжимой нити АВС в еѐ середине подвешен груз весом Q . Точки А и С, расстояние между которыми  , находятся на горизонтальной прямой (рис. 3.10, а). Смещение точки В от прямой АС равно z . Вычислить натяжение нити в зависимости от отношения 2z . Решение. Рассмотрим геометрию задачи. Из  AOB (рис. 3.10, б) выразим гипотенузу АВ и тригонометрические функции угла  как функции аргумента  z : 10 2 2  z  AB  z     4   1 , тогда 2  2 2 sin   AO  AB 2 2  z 2   4   1  1 2 ; z 4   1  z 2  z 2z  . cos     AB z z  4   1 4   1   а б в Рис. 3.10 Рассмотрим равновесие узла В: вырежем узел (рис. 3.10, в), отбросим связи, заменим отброшенные связи реакциями. Силы натяжения TA , TС . (реакции связей) направим вдоль нитей АВ и ВС к точкам подвеса А и С. Совместим декартову систему координат с точкой В. Запишем и решим полученные уравнения равновесия: TA  TC ,  Fx  0,  TA  TC  sin   0,        Fy  0; TA  TC  cos   Q  0; TA  TC  Q .   2 cos   Имеем: z Q  4   1 Q Q   TA  TC    2 cos  4 z z 2  2    z 4    1 , кН.   11 3.3. Равновесие твердого тела под действием трех сил Теорема. Если тело находится в равновесии и на него действует система трех непараллельных сил, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке (рис. 3.11). Доказательство. Пусть система трех сил F 1 , Рис. 3.11 F 2 и F 3 , приложенных в точках А1, А2 и А3, находится в равновесии (рис. 3.11). Предположим, что линии действия сил F 1 , F 2 пересекаются в точке О. Перенесем эти две силы по линиям их действия в точку пересечения О, по правилу параллелограмма вычислим их равнодействующую R12 . Но система двух сил R12 и F 3 находится в равновесии только в том случае, если эти силы направлены по одной прямой. Следовательно, линия действия силы F 3 должна совпасть с линией действия силы R12 . Итак, для равновесия системы трех сил, лежащих в одной плоскости, необходимо (но недостаточно), чтобы линии действия этих сил пересекались в одной точке. Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил. Пример 3.5. Вычислить геометрически направление реакций в опорах А и С, используя теорему о трех непараллельных силах, рис. 3.12. Рис. 3.12 Решение. Выделим тело АВ, отбросим связи, заменим их реакциями связи. Реакция в точке А направлена перпендикулярно вертикальной поверхности и пересекает линию действия силы Р в точке О, рис. 3.13, а. При равновесии третья сила – сила реакции в точке С – также пройдет через точку О. 12 Вычислим направление реакции в точке С из геометрии задачи. Из  CBO находим:  BO  ,   BOC  60   CB  ; Получили, что реакция RC направлена под углом 60о к вертикали. Перенесем силы P, RС , N A в точку О (рис. Рис. 3.13 3.13, б) и построим силовой треугольник, рис. 3.13, в. Из силового треугольника получаем: RC  2 P; N A  RC  cos 30  2 P 3  2 P 3. 2 Пример 3.6. Стержень АВ длины 2 опирается одним концом на гладкую вертикальную стену, а другим концом упирается в угол В, BO  a , расстояние а (рис. 3.14, а). Вычислить направление реакции в точке В при равновесии стержня и реакции опор в точках А и В геометрически и аналитически, если вес стержня Р  10 кН; б  5 м, a  3 м. Решение. Выделим тело АВ, отбросим связи, заменим их реакциями связи. Реакция в точке А направлена нормально стене ОА и пересекает линию Рис. 3.14 действия силы Р в точке S . При 13 равновесии третья сила – сила реакции в точке В – также пройдет через точку S , рис. 3.14, б. Вычислим направление реакции в точке В из геометрии задачи. Из  CBO находим:  BC  a,   CO    OB  ; 2  a2 . Из  CBS находим:  BC  a,   CS  2CO  2   tg  2  a2 ; CS 2  CB 2  a2 a  2 52  32 8   2,67. 3 3 Вычислим реакции опор в точках А и В аналитически. Перенесем силы P, RA , N A в точку S (рис. 3.15, а). Совместим с точкой пересечения линий действия систему координат S xy и запишем уравнения равновесия (рис. 3.15, а):  Fx  0,     Fy  0;   R cos   N A  0,  B   RB sin  P  0. (а) Из геометрии задачи вычислим cos  и sin  . Рассмотрим  CBS , получим (рис. 3.15, б): BS  CS 2  CB 2  4 Рис. 3.15  4 CS 2 sin   BS 4 2 2  a2  3a 2  2  2   a2  a2   3a 2  4  52  3  32  73  8,54; 2 52  32 4  52  3  32  24  0,94; 73 14 cos  CB a 3 3     0,35. 2 2 2 2 BS 73 4  3a 4 5  33 Решим систему уравнений (а): N A   RB cos   10,64  0,35  RB  10 5 7 7  3,7 кН . 6 3 P 10   10,6 кН ; sin 0,94 Проверим решение геометрически. Зная линии действия реакций N A , P и RB , построим замкнутый силовой треугольник, рис. 3.13, б. Из силового треугольника получим: tg   P P 10  NA    3,74  3,7; NA tg 2,67 RB  P  N A  10  2 2 2 102 2,672  100  100  10,6 kн. 5,76 Реакции опор, вычисленные аналитически и геометрически совпали. Пример 3.7. Брусок АВ длиной  10 ( м) , на конце которого прикреплен груз М весом P  2 (kH ) , опирается в точке А на гладкую вертикальную поверхность OA , а в точке С – на Рис. 3.16 уступ (рис. 3.16). Вычислить, пренебрегая весом бруска и трением, реакции опор и расстояние АС при равновесии, если брусок образует с горизонтом угол   30 . Решение. Выделим тело АВ, отбросим связи и заменим их действие реакциями (рис. 3.17, а). Реакция в точке А направлена нормально поверхности ОА и пересекает линию действия силы Р в точке О. Согласно теореме о трех 15 непараллельных силах, при равновесии третья сила – сила реакции точке С – также пройдет через точку О. Расстояние АС а обозначим через x. Рассмотрим  СOB и  АCB : tg 60  CO  10  CO СО   СВ 10    tg 60  10    3. (а) б tg 30  CO CO 3   CO  x  tg 30  x  . AC x 3 (б) Рис. 3.17 Приравняем правые части (а) и (б), получим:  Рис. 2.7  x  3  x  3 3 3 x   10  7,5 м. 3 4 4 Перенесем силы R A , P , RC по линиям их действия к точке О и рассмотрим полученную уравновешенную систему сходящихся сил (рис. 3.17, б). Совместим систему координат Oxy с точкой пересечения линий действия трех сил и запишем уравнения равновесия. Имеем: P 22   Fy  0,  Rc sin 60  P  0, R    2,3 kH ; c  sin 60  3         R cos 60  R  0;  A  Fx  0;  c  RA  Rc cos 60  2,3  0,5  1,15 kH .