В середине 20 годов 20 в. благодаря проведенным исследованиям, авторами которых выступили Планк, Гейзенберг, Бор, де Бройль, Эйнштейн и др., удалось установить наличие корпускулярно-волнового дуализма у микрочастиц.
Это, в свою очередь, накладывает определенные ограничения на применение принципов классической механики при описании поведения микрочастиц, определяемого принципами дополнительности и неопределенности.
Микрочастицу, в соответствие с идеей де Бройля, может характеризовать волна, которая в одномерном случае записывается в следующем виде:
Рисунок 1. Волна. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Где:
Рисунок 2. Волна де-Бройля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
– это волна де-Бройля
А – амплитуда.
Физическая природа волн де Бройля
С целью понимания физической природы волн де Бройля проводится параллельно анализ дифракции света на основании корпускулярных свойств (свет в этом случае характеризуется потоком фотонов) и дифракции микрочастиц (например, электронов).
В соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, в момент прохождения электронов и фотонов сквозь щели определенной ширины у данных частиц возникает разброс поперечных составляющих. Это предполагает невозможность точного предсказания места на экране, куда будут попадать отдельные фотоны и электроны. Поэтому можно указать только относительную вероятность попадания этих частиц в определенную область на экране.
В момент прохождения сквозь соответствующие щели большого количества электронов и фотонов, расположенные по всей площади экрана датчики начнут фиксировать число частиц, которые попадают в определенную область экрана.
Разделив это количество частиц на полное число частиц, а также на площадь выбранной области экрана, получаем плотность вероятности. Эта плотность характеризуется вероятностью попадания частицы на единичную площадь поверхности экрана.
Плотность вероятности фотонов
Интенсивность света пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, усредненному по времени, что означает ее пропорциональность квадрату амплитуды напряженности электрического поля. Таким образом, прямо пропорциональная связь существует между:
- плотностью вероятности попадания фотона в некоторую область экрана, которая характеризует корпускулярные свойства света;
- квадратом амплитуды напряженности электрического поля, который характеризует волновые свойства света.
В случае с электроном, распределение плотности вероятности его попадания в некоторую область экрана подобно распределению плотности вероятности для фотонов и, как следствие - распределению интенсивности света.
В 1926 г. немецкий физик М. Борн экспериментально показал, что плотность вероятности может определяться квадратом модуля волны де Бройля (волновая функция). Речь идет о вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства.
Рисунок 3. Вероятность нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Формулы для определения плотности вероятности фотонов и микрочастиц внешне очень схожи. Однако имеют некоторые принципиальные отличия. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который определяет вероятность нахождения микрочастицы в определенном месте пространства.
Уравнение квантовой механики Шредингера
Развивая идеи волновых свойств материи де Бройля, австрийский физик Э. Шредингер открыл в 1926 г. главное уравнение квантовой механики для описания поведения микрочастиц.
Уравнение Шредингера постулируется, поскольку не может быть выведено из других соотношений. Справедливость данного уравнения подтверждается согласием всех вытекающих из него следствий с экспериментальными фактами.
В настоящее время ученые разработали математический аппарат, который позволяет решать уравнение Шредингера для разных микрочастиц. Такими микрочастицами могут быть, например, электроны в атомах, различных веществах и молекулах.
Решение уравнения Шредингера будет заключаться в нахождении волновых функций электронов и определении их энергетического спектра (значений энергии). Знание волновых функций позволяет рассчитывать вероятность нахождения электрона в исследуемой области пространства. При этом учитывается, что квадрат модуля волновой функции представляет вероятность нахождения электрона в единичном объеме пространства.
В качестве примера можно рассмотреть поведение электрона в простейшем атоме (например, в атоме водорода). Для этого рассматривается радиальная плотность вероятности главного состояния электрона (вероятность обнаружить электрон в шаровом слое единичной толщины). Эта плотность определяется из решения уравнения Шредингера.
При этом электрон не будет находиться на строго фиксированной орбите, как это следует из теории Н. Бора. Максимальная плотность вероятности приходится на расстояние от ядра, которое соответствует радиусу орбиты Бора. Существует несколько методов решения уравнения Шредингера:
- Аналитический (когда решение заключается в точном математическом выражении). Данный метод применяется только в редких случаях (одноэлектронных атомов, линейного осциллятора, потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками и др.)
- Метод возмущений (когда оператор Гамильтона рассматривается в качестве суммы двух слагаемых). Одно из них рассматривается в виде невозмущенного оператора, имеющего точное аналитическое решение. При стационарном возмущении решение будет заключаться в разложении собственных значений и функций в ряд по степеням малой постоянной возмущения и определении приближенного решения системы полученных уравнений. При нестационарном возмущении поиск волновой функции происходит в формате линейной комбинации собственных волновых функций с зависимыми от времени коэффициентами.
- Метод Ритца. Данный метод используется для решения стационарного уравнения Шредингера. При этом определяются экстремальные значения для средней полной энергии системы посредством варьирования параметров определенной пробной функции.
- Метод ВКБ.
- Метод Хартри-Фока.
