Теория множеств — это раздел дискретной математики, в котором изучаются свойства множеств.
Введение
Одним из основополагающих математических понятий является понятие множества. Множество является первичным понятием математики, то есть это понятие не подлежит определению через другие понятия, а только возможным пояснениям. Множество может быть представлено как соединение, совокупность, набор определённых предметов, которые объединены по каким-либо признакам. К примеру, множеством могут быть несколько учеников класса, совокупность букв алфавита, натуральные числа, набор точек на прямой линии, книги на полке.
Для обозначения множества часто применяется какое-нибудь одно слово, которое может считаться синонимом слова «множество» (зрители, семья, деревья). Обозначать множества принято заглавными буквами латинского алфавита (A, B, C) или символически при помощи фигурных скобок, в которых указаны его компоненты. Сами компоненты некоторых множеств принято обозначать малыми латинскими буквами, если они не обладают специальными обозначениями.
Использование элементов теории множеств для работы с информацией
Главные методы задания множеств следующие:
- Создание перечня всех его компонентов.
- Описание, то есть определение характеристического свойства его компонентов. Данный метод предполагает указание такого признака, которым обладают все компоненты этого множества и не обладают компоненты, не входящие в данное множество.
К примеру, множество «хор» может быть охарактеризовано как множество людей (а может быть птиц), которые поют вместе. Когда рассматривается множество четных чисел, обычно должно указываться характеристическое свойство его компонентов, а именно тот факт, что все числа, которые принадлежат этому множеству, делятся на два.
Компоненты конечного множества могут быть перечислены, а компоненты бесконечных множеств даже в теории невозможно соединить в законченный набор. Конечные множества возможно задавать как при помощи перечисления, так и при помощи характеристического свойства. Бесконечные множества можно задавать лишь при помощи характеристического свойства.
Существует довольно много информации о структуре данных, где описывается их устройство, приводятся примеры о том, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания могут оказаться бесполезными, если мы нет понимания того, как это можно применить в реальной жизни.
В теории множеств известна диаграмма Венна, которая является отличной иллюстрацией отношения подмножеств. Множество выступает как математическая концепция, а теория множеств описывает отношения среди множеств. Множеством является, по сути, неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующих компонентов.
В данном определении присутствуют некоторые важные слова, а именно, «неупорядоченная», «дублирующих» и «компонентов». Эти слова чётко отражают суть и устройство множества. Как указано выше, отношения множеств отлично иллюстрирует диаграмма Венна. Рассмотрим конкретный пример, имеется два множества, а именно, книги, которые есть у пользователя дома, и книги, которые он уже прочитал. На рисунке ниже приведена диаграмма Венна.
Рисунок 1. Диаграмма Венна. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На диаграмме Венна показано, что в центре в зелёном круге расположены книги, которые есть у пользователя, и те книги, которые он прочитал. В этом месте наблюдается пересечение множеств. Также следует отметить, что два множества, а именно, прочитанные пользователем книги и книги, которые имеются у пользователя, присутствуют внутри другого множества. Это множество всех существующих в мире книг.
Диаграмма Венна считается хорошей базой для восприятия теории множеств, поскольку при её помощи можно более легко понимать более сложные моменты. Предположим, что необходимо представить два множества книг в какой-либо структуре данных. Естественно, книги следует разделить на те же два множества, то есть книги, которые пользователь прочитал и которые имеются у него дома. Для удобства обозначим первое множество Set X, а второе Set Y. Данные множества после реконфигурации в структуры данных могут быть представлены при помощи диаграммы Венна, изображённой на рисунке ниже.
Рисунок 2. Диаграмма Венна. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Следует отметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши, то есть компоненты внутри них не обладают индексами или другими компонентами, которые позволяют их упорядочить. В них также отсутствуют повторяющиеся компоненты, что превращает эти структуры данных в множества. Как отмечалось выше, множеством является коллекция неупорядоченных компонентов, которые не повторяются.
Отображение множеств в форме структур данных предоставляет широкие возможности, например, с ними теперь возможно осуществлять различные операции. Парой наиболее важных операций, которые можно исполнять над множествами, являются операции пересечения и объединения.
Операция пересечения множеств может быть записана при помощи следующей нотации:
X ∩ Y.
Пересечение определяет область пересечения двух множеств. Иными словами, эта операция выполняет возврат всех компонентов, входящих в оба множества. В приведённом выше примере пересечение Set X и Set Y выполняет возврат всех книг, которые пользователь читал и которые имеются у него дома. Хорошим ключом к восприятию операции пересечения является ключевое слово «и». То есть, в результате этой операции будут найдены все книги, которые пользователь читал и которые присутствуют у него дома. Невзирая на тот факт, что найденные при помощи пересечения книги присутствуют в двух множествах, они не повторяются, поскольку в множестве могут быть лишь уникальные компоненты.
Операцию объединения двух множеств принято обозначать следующим образом:
X ∪ Y.
Операция объединения выполняет возврат общности двух множеств или объединённое множество. Другими словами, при помощи объединения множеств получается новое множество компонентов, которые присутствуют хотя бы в одном исходном множестве.
