Движение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

Теорема 1

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Основными примерами движений являются центральная, осевая и зеркальная симметрии. Рассмотрим их более подробно.

Центральная симметрия

Перед тем, как определить понятие центральной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно другой точки.

Определение 3

Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо точки $O$ , если эта точка $O$ будет являться центром отрезка $[XX_1]$ (рис. 2).

«Движение» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 4

Центральной симметрией фигуры относительно точки будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно данной точки каждой точке начальной фигуры.

Пример 1

Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки $O$ , изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку $O$ . На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям

$|AO|=|A'O|$ , $|BO|=|B'O|$ , $|CO|=|C'O|$ , $|DO|=|D'O|$

Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

Осевая симметрия

Перед тем, как определить понятие осевой симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо оси.

Определение 5

Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо оси $a$ , если прямая $(XX_1)$ будет перпендикулярна оси $a$ и при этом ось $a$ будет делить отрезок $[XX_1]$ пополам (рис. 5).

Определение 6

Осевой симметрией фигуры относительно оси будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой оси каждой точке начальной фигуры.

Пример 2

Постройте осевую симметрию тетраэдра, относительно оси $l$ , изображенных на рисунке 6.

Решение.

Для построения такой осевой симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к оси $l$ . На них построим отрезки, для которых пересечение с осью $l$ будет центром. Соединив их концы, и получим искомую симметрию (рис. 7).

Зеркальная симметрия

Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.

Определение 7

Точки $P$ и $P'$ будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости $a$ , если прямая $(PP')$ будет перпендикулярна плоскости $a$ и, при этом, плоскость $a$ будет делить отрезок $[PP']$ пополам (рис. 8).

Определение 8

Зеркальной симметрией фигуры относительно плоскости будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой плоскости каждой точке начальной фигуры.

Пример 3

Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости $l$ , изображенных на рисунке 9.

Решение.

Для построения такой симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости $l$ . На них построим отрезки, для которых пересечение с плоскостью $l$ будет центром. Соединив их концы, и получим искомую симметрию (рис. 10).