Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.

В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:

Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.

Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле - один из источников возникновения электрического поля).

Третье уравнение - указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.

Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

Уравнения (1) - (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.

Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы D и j c вектором E, а вектор H c вектором B. Эти равнения имеют вид:

где величины ε, μ, σ -- материальные постоянные, характеризующие свойства среды.

Если уравнения (1) - (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

«Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности S:

По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:

где интеграл в правой части берется по контуру L, который ограничивает поверхность S. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:

здесь интеграл SDdS является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:

Если проинтегрировать уравнение (3) по объему V, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского - Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, которая ограничивает объем V, то получим:

Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:

Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:

Замечание

Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.

Пример 1

Задание: Ток, текущий по обмотке прямого соленоида, который имеет радиус R, изменяется так, что модуль индуктивности магнитного поля внутри соленоида растет в соответствии с законом: B=Ct2, где C=const. Запишите функцию тока смещения jsm(r), где r -- расстояние от оси соленоида.

Решение:

По определению, плотность тока смещения можно записать как:

jsm=Dt(1.1).

Используя одно из уравнений системы Максвелла:

SEdl=SBtdS (1.2),

найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:

D=εε0E(1.3)

получим функцию D(r).

Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную Bt:

Bt=2Ct(1.4).

Для $r 2πrE=πr22CtE=rCtD=Cεε0rtjsm=Cεε0r.

Для r>R, из (1.2) - (1.4) получим:

2πrE=πR22Ct, E=CR2trjsm=Cεε0R2r.

Для r=R, из (1.2) - (1.4) найдем ток смещения:

E=RCtD=Cεε0Rtjsm=Cεε0R.

Ответ: jsm=Cεε0r (rR), jsm=Cεε0R (r=R).

Пример 2

Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей (E=const,H=const ) в интегральной форме.

Решение:

В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:

SEdl=0  и SDdS=VρdV.

Вторая группа - уравнения магнитостатики:

LHdl=SjdS и SBdS=0.
Дата последнего обновления статьи: 02.03.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant