Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.
В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:
Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.
Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле - один из источников возникновения электрического поля).
Третье уравнение - указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.
Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.
Уравнения (1) - (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.
Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы →D и →j c вектором →E, а вектор →H c вектором →B. Эти равнения имеют вид:
где величины ε, μ, σ -- материальные постоянные, характеризующие свойства среды.
Если уравнения (1) - (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности S:
По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:
где интеграл в правой части берется по контуру L, который ограничивает поверхность S. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:
здесь интеграл ∫S→Dd→S является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:
Если проинтегрировать уравнение (3) по объему V, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского - Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, которая ограничивает объем V, то получим:
Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:
Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:
Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.
Задание: Ток, текущий по обмотке прямого соленоида, который имеет радиус R, изменяется так, что модуль индуктивности магнитного поля внутри соленоида растет в соответствии с законом: B=Ct2, где C=const. Запишите функцию тока смещения jsm(r), где r -- расстояние от оси соленоида.
Решение:
По определению, плотность тока смещения можно записать как:
jsm=∂D∂t(1.1).Используя одно из уравнений системы Максвелла:
∫S→Ed→l=−∫S∂→B∂td→S (1.2),найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:
→D=εε0→E(1.3)получим функцию D(r).
Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную ∂→B∂t:
∂→B∂t=2Ct(1.4).Для $r 2πrE=−πr22Ct→E=−rCt→D=−Cεε0rt→jsm=−Cεε0r.
Для r>R, из (1.2) - (1.4) получим:
2πrE=−πR22Ct, E=−CR2tr→jsm=−Cεε0R2r.Для r=R, из (1.2) - (1.4) найдем ток смещения:
E=−RCt→D=−Cεε0Rt→jsm=−Cεε0R.Ответ: jsm=−Cεε0r (rR), jsm=−Cεε0R (r=R).
Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей (→E=const,→H=const ) в интегральной форме.
Решение:
В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:
∫S→Ed→l=0 и ∮S→Dd→S=∫VρdV.Вторая группа - уравнения магнитостатики:
∫L→Hd→l=∫S→jd→S и ∮S→Bd→S=0.