Закон Кирхгофа

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Закон Кирхгофа связывает между собой параметры, связанные с тепловым излучением тел. Такие как монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ( $A_{\nu ,T}$ ) и спектральная плотность энергетической светимости тела ( $E_{\nu ,T}$ ). Напомню, что коэффициент $A_{\nu ,T}\$ определяется как:

где $dW_{pad}$ - элемент энергии, который падает на единичную площадку поверхности в единицу времени, $dW_{pogl}$ -- элемент энергии, поглощаемый единичной площадкой поверхности в единицу времени.

Выражение, определяющее величину $E_{\nu ,T}$ имеет вид:

где $dW$ - энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $\nu$ до $\nu$ +d $\nu$ .

Дифференциальная форма закона Кирхгофа

Между вышеназванными величинами для любого непрозрачного тела существует соотношение, которое называют законом Кирхгофа. В дифференциальной форме он имеет следующий вид:

$\frac{E_{\nu ,T}}{A_{\nu ,T}}={\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(3\right),$

где ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$ -- излучательная способность абсолютно черного тела. Уравнение (3) показывает, что для любой температуры и частоты отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для любых тел и равно излучательной способности черного тела. ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }={\varepsilon }_{\nu ,T\ }(\nu ,T)$ - функция частоты и температуры ее еще называют функцией Киргхофа.

Из закона Кирхгофа следует, что если в данном интервале частот $A_{\nu ,T}=0$ , то есть тело не поглощает излучение, то $E_{\nu ,T}=0$ , то есть тело в этом же интервале частом не может и излучать. Чем больше тело излучает, на какой - то определенной частоте, тем больше поглощает на той же частоте. Наибольшее излучение при заданной температуре у абсолютно черного тела.

Интегральная форма закона Кирхгофа

Прежде, чем записать закон Кирхгофа в интегральной форме введем еще несколько необходимых физических величин, которые характеризует тепловое излучение тела. Интегральная излучательная способность (энергетическая светимость) тела ( $E_T$ ) равна поверхностной плотности мощности теплового излучения тела. Математически определение $E_T$ записывается как:

$E_T=\int\limits^{\infty }_0{E_{\nu ,T}d\nu =\int\limits^{\infty }_0{E_{\lambda ,T}d\lambda \ \left(4\right),}}$

где $E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }^2}E_{\nu ,T}$ - излучательная способность тела. $E_T$ также называют энергией излучения всех возможных частот, которые испускаются с единицы поверхности тела на единицу времени. Интегральная излучательная способность ( ${\varepsilon }_{T\ }$ ) -- абсолютно черного тела равна:

${\varepsilon }_{T\ }=\int\limits^{\infty }_0{{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ (5)}.$

Соотношение между интегральной излучательной способностью серого тела ( ${E_T}^{ser}$ ) и его поглощательной способностью ( $A_T$ ) имеет вид:

«Закон Кирхгофа» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

${E_T}^{ser}=A_T{\varepsilon }_{T\ }\ \left(6\right).$

Уравнение (6) -- это закон Кирхгофа в интегральной форме. Или его можно сформулировать так:

Закон Кирхгофа

Отношение интегральной излучательной способности серого тела к его поглощательной способности равно интегральной излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.

Интегральная излучательная способность любого тела может быть записана как:

$E_T=\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ (7)}.$

или

$E_T={\alpha }_T{\varepsilon }_{T\ }\ \ \left(8\right),$

где ${\alpha }_T$ - степень черноты тела, при чем, она равна:

${\alpha }_T=\frac{\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}{{\varepsilon }_{T\ }}=\frac{\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}{\int\limits^{\infty }_0{{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}\ \left(9\right).$

Степень черноты зависит от температуры, материала и состояния поверхности тела.

Поглощающая способность тел может изменяться в пределах $0{

Закону Кирхгофа подчиняется только тепловое излучение. Если излучение не подчиняется закону Кирхгофа, то оно не является тепловым.

Пример 1

Задание: Две пластины изолированы от внешней среды. Одна из пластин -- абсолютно черное тело. Получите закон Кирхгофа, рассмотрев равновесное тепловое излучение.

Решение:

Итак, даны две пластины (1 и 2), пусть пластина (1) является абсолютно черным телом. Из определения коэффициента поглощение ( $A_{\nu ,T}$ ), запишем:

$dW_{pogl}=A_{\nu ,T}dW_{pad\ }\left(1.1\right).$

Так как пластины находятся в состоянии равновесия, то запишем следующее:

$dW_{pad\ }=dW_{izl\ \ }\left(1.2\right).$

На пластину (2) падает $dW_{pad\left(2\right)}$ энергии, так как пластины находятся в состоянии равновесия, то вторая пластина получает энергии столько, сколько излучает первая пластина, запишем это:

$dW_{pad\left(2\right)}=dW_{izl\left(1\right)\ }={\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ \left(1.3\right),$

где ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$ -- излучательная способность пластины 1 (абсолютно черного тела). Пластина (2) поглощает падающую на нее энергию, запишем:

$dW_{pogl(2)}=A_{\nu ,T}dW_{pad\left(2\right)}\left(1.4\right).$

Но мы уже установили в (1.3) чему равно $dW_{pad\left(2\right)}$ , подставим в (1.4), получим:

$dW_{pogl\left(2\right)}=A_{\nu ,T}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ \ \left(1.5\right).$

Но пластина (2) не только поглощает энергию, но и излучает, причем $dW_{izl\left(2\right)\ }$ равно:

$dW_{izl\left(2\right)\ }=E_{\nu ,T\ }d\nu \left(1.6\right).$

Причем пластина излучает столько же энергии, сколько ее поглощает, то есть:

$dW_{pogl\left(2\right)}=dW_{izl\left(2\right)\ }\to A_{\nu ,T}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ =E_{\nu ,T\ }d\nu (1.7)$

Получаем из (1.7), что

$\frac{E_{\nu ,T\ }}{A_{\nu ,T}}={\varepsilon }_{\nu ,T\ .}$

Ответ: итак, мы показали, что отношение энергетической светимости любого тела к поглощательной способности этого же тела равно излучательной способности абсолютно черного тела при одинаковых температурах.

Пример 2

Задание: Закон Кирхгофа выполняется для монохроматического излучения. Запишите его используя интенсивность излучения $I_{\lambda }$ .

Решение:

Запишем закон Кирхгофа в форме, которую уже рассматривали:

$\frac{E_{\nu ,T}}{A_{\nu ,T}}={\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(2.1\right)$

Для того, чтобы перейти к интенсивности монохроматического света закон Кирхгофа удобнее записать через излучательную способность тела, он примет вид:

$\frac{E_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}=\frac{I_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}{=\varepsilon }_{\lambda ,T}=i_{\lambda ,T}\left(2.2\right)$

$i_{\lambda ,T}$ -- интенсивность излучения абсолютно черного тела, $E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }^2}E_{\nu ,T}$ .

Ответ: закон Кирхгофа в требуемом виде запишется как: $\frac{E_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}=\frac{I_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}{=\varepsilon }_{\lambda ,T}=i_{\lambda ,T}$ .