Закон Кирхгофа связывает между собой параметры, связанные с тепловым излучением тел. Такие как монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ($A_{\nu ,T}$) и спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_{\nu ,T}$). Напомню, что коэффициент $A_{\nu ,T}\ $ определяется как:
где $dW_{pad}$- элемент энергии, который падает на единичную площадку поверхности в единицу времени, $dW_{pogl}$ -- элемент энергии, поглощаемый единичной площадкой поверхности в единицу времени.
Выражение, определяющее величину $E_{\nu ,T}$ имеет вид:
где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $\nu $ до $\nu $+d$\nu $.
Дифференциальная форма закона Кирхгофа
Между вышеназванными величинами для любого непрозрачного тела существует соотношение, которое называют законом Кирхгофа. В дифференциальной форме он имеет следующий вид:
где ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$-- излучательная способность абсолютно черного тела. Уравнение (3) показывает, что для любой температуры и частоты отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для любых тел и равно излучательной способности черного тела. ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }={\varepsilon }_{\nu ,T\ }(\nu ,T)$ - функция частоты и температуры ее еще называют функцией Киргхофа.
Из закона Кирхгофа следует, что если в данном интервале частот $A_{\nu ,T}=0$, то есть тело не поглощает излучение, то $E_{\nu ,T}=0$, то есть тело в этом же интервале частом не может и излучать. Чем больше тело излучает, на какой - то определенной частоте, тем больше поглощает на той же частоте. Наибольшее излучение при заданной температуре у абсолютно черного тела.
Интегральная форма закона Кирхгофа
Прежде, чем записать закон Кирхгофа в интегральной форме введем еще несколько необходимых физических величин, которые характеризует тепловое излучение тела. Интегральная излучательная способность (энергетическая светимость) тела ($E_T$) равна поверхностной плотности мощности теплового излучения тела. Математически определение $E_T$ записывается как:
\[E_T=\int\limits^{\infty }_0{E_{\nu ,T}d\nu =\int\limits^{\infty }_0{E_{\lambda ,T}d\lambda \ \left(4\right),}}\]где $E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }^2}E_{\nu ,T}$ - излучательная способность тела. $E_T$ также называют энергией излучения всех возможных частот, которые испускаются с единицы поверхности тела на единицу времени. Интегральная излучательная способность (${\varepsilon }_{T\ }$) -- абсолютно черного тела равна:
\[{\varepsilon }_{T\ }=\int\limits^{\infty }_0{{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ (5)}.\]Соотношение между интегральной излучательной способностью серого тела (${E_T}^{ser}$) и его поглощательной способностью ($A_T$) имеет вид:
Уравнение (6) -- это закон Кирхгофа в интегральной форме. Или его можно сформулировать так:
Отношение интегральной излучательной способности серого тела к его поглощательной способности равно интегральной излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.
Интегральная излучательная способность любого тела может быть записана как:
\[E_T=\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ (7)}.\]или
\[E_T={\alpha }_T{\varepsilon }_{T\ }\ \ \left(8\right),\]где ${\alpha }_T$- степень черноты тела, при чем, она равна:
\[{\alpha }_T=\frac{\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}{{\varepsilon }_{T\ }}=\frac{\int\limits^{\infty }_0{A_{\nu }{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}{\int\limits^{\infty }_0{{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ }}\ \left(9\right).\]Степень черноты зависит от температуры, материала и состояния поверхности тела.
Поглощающая способность тел может изменяться в пределах $0{
Закону Кирхгофа подчиняется только тепловое излучение. Если излучение не подчиняется закону Кирхгофа, то оно не является тепловым.
Задание: Две пластины изолированы от внешней среды. Одна из пластин -- абсолютно черное тело. Получите закон Кирхгофа, рассмотрев равновесное тепловое излучение.
Решение:
Итак, даны две пластины (1 и 2), пусть пластина (1) является абсолютно черным телом. Из определения коэффициента поглощение ($A_{\nu ,T}$), запишем:
\[dW_{pogl}=A_{\nu ,T}dW_{pad\ }\left(1.1\right).\]Так как пластины находятся в состоянии равновесия, то запишем следующее:
\[dW_{pad\ }=dW_{izl\ \ }\left(1.2\right).\]На пластину (2) падает $dW_{pad\left(2\right)}$ энергии, так как пластины находятся в состоянии равновесия, то вторая пластина получает энергии столько, сколько излучает первая пластина, запишем это:
\[dW_{pad\left(2\right)}=dW_{izl\left(1\right)\ }={\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ \left(1.3\right),\]где ${\varepsilon }_{\nu ,T\ }$-- излучательная способность пластины 1 (абсолютно черного тела). Пластина (2) поглощает падающую на нее энергию, запишем:
\[dW_{pogl(2)}=A_{\nu ,T}dW_{pad\left(2\right)}\left(1.4\right).\]Но мы уже установили в (1.3) чему равно $dW_{pad\left(2\right)}$, подставим в (1.4), получим:
\[dW_{pogl\left(2\right)}=A_{\nu ,T}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ \ \left(1.5\right).\]Но пластина (2) не только поглощает энергию, но и излучает, причем $dW_{izl\left(2\right)\ }$ равно:
\[dW_{izl\left(2\right)\ }=E_{\nu ,T\ }d\nu \left(1.6\right).\]Причем пластина излучает столько же энергии, сколько ее поглощает, то есть:
\[dW_{pogl\left(2\right)}=dW_{izl\left(2\right)\ }\to A_{\nu ,T}{\varepsilon }_{\nu ,T\ }d\nu \ =E_{\nu ,T\ }d\nu (1.7)\]Получаем из (1.7), что
\[\frac{E_{\nu ,T\ }}{A_{\nu ,T}}={\varepsilon }_{\nu ,T\ .}\]Ответ: итак, мы показали, что отношение энергетической светимости любого тела к поглощательной способности этого же тела равно излучательной способности абсолютно черного тела при одинаковых температурах.
Задание: Закон Кирхгофа выполняется для монохроматического излучения. Запишите его используя интенсивность излучения $I_{\lambda }$.
Решение:
Запишем закон Кирхгофа в форме, которую уже рассматривали:
\[\frac{E_{\nu ,T}}{A_{\nu ,T}}={\varepsilon }_{\nu ,T\ }\left(2.1\right)\]Для того, чтобы перейти к интенсивности монохроматического света закон Кирхгофа удобнее записать через излучательную способность тела, он примет вид:
\[\frac{E_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}=\frac{I_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}{=\varepsilon }_{\lambda ,T}=i_{\lambda ,T}\left(2.2\right)\]$i_{\lambda ,T}$ -- интенсивность излучения абсолютно черного тела, $E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }^2}E_{\nu ,T}$.
Ответ: закон Кирхгофа в требуемом виде запишется как: $\frac{E_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}=\frac{I_{\lambda ,T}}{A_{\lambda ,T}}{=\varepsilon }_{\lambda ,T}=i_{\lambda ,T}$.
