Влажность воздуха

Задание: Определите давление насыщенного пара при температуре $T$ давлении в одну атмосферу, если масса влажного воздуха при относительной влажности $\beta$ в объеме $V$ равна $m$ при тех же условиях.

Решение:

За основу решения примем закон Дальтона, который для смеси газов, а у нас смесь сухого воздуха и водяного пара, запишется в виде:

$$p=p_v+p_{H_2O}\left(1.1\right),$$

где $p_v$- давление сухого воздуха, $p_{H_2O}$- давление паров воды.

При этом масса смеси равна:

$$m=m_v+m_{H_2O}\left(1.2\right),$$

где $m_v-\ $масса сухого воздуха, $m_{H_2O}$- масса водяного пара.

Используем уравнение Менделеева -- Клайперона, запишем его для составляющей -- сухой воздух в виде:

$$p_vV=\frac{m_v}{{\mu }_v}RT\ \left(1.3\right),$$

где ${\mu }_v$- молярная масса воздуха, $T$ - температура воздуха, $V$ - объем воздуха.

Для водяного пара, приняв его за идеальный газ, запишем уравнение состояния:

$$p_{H_2O}V=\frac{m_{H_2O}}{{\mu }_{H_2O}}RT\ \left(1.4\right),$$

где ${\mu }_{H_2O}$- молярная масса пара, $T$ - температура пара, $V$ - объем пара.

Относительная влажность равна:

$$\beta =\frac{p_{H_2O}}{p_{np}}\cdot 100\%\ \left(1.5\right),$$

где $p_{np}$- давление насыщенного пара. Из (1.5) выразим давление насыщенного пара, получим:

$$p_{np}=\frac{p_{H_2O}}{\beta }\cdot 100\%\ \left(1.6\right),$$

Выразим из (1.2) массу сухого воздуха, получим:

$$m_v=m-m_{H_2O}\left(1.7\right).$$

Из (1.1) выразим давление сухого воздуха, имеем:

$$p_v=p-p_{H_2O}\left(1.8\right).$$

Подставим (1.7) и (1.8) в (1.3), получим:

$$\left(p-p_{H_2O}\right)V=\frac{\left(m-m_{H_2O}\right)}{{\mu }_v}RT\ \left(1.9\right).$$

Выразим массу пара из (1.4), получаем:

$${m_{\ }}_{H_2O}=\frac{V\cdot p_{H_2O}{\cdot \mu }_{H_2O}}{RT}\ \left(1.10\right).$$

Выразим давление пара ($p_{H_2O}$) используя выражения (1.9) и (1.10), получим:

$$\left(p-p_{H_2O}\right)V=\frac{\left(m-\frac{V\cdot p_{H_2O}{\cdot \mu }_{H_2O}}{RT}\right)}{{\mu }_v}RT\ \to pV{\mu }_v-p_{H_2O}V{\mu }_v=mRT-V\cdot p_{H_2O}{\cdot \mu }_{H_2O}\to V\cdot p_{H_2O}{\cdot \mu }_{H_2O}-p_{H_2O}V{\mu }_v=mRT-pV{\mu }_v\to p_{H_2O}=\frac{mRT-pV{\mu }_v}{V{\cdot \mu }_{H_2O}-V{\mu }_v}\ \left(1.11\right).$$

Используем (1.6), получаем давление насыщенного пара:

$$p_{np}=\frac{100}{\beta }\cdot \frac{mRT-pV{\mu }_v}{V{\cdot \mu }_{H_2O}-V{\mu }_v}.$$

Ответ: Давление насыщенного пара при заданных условиях равно: $p_{np}=\frac{100}{\beta }\cdot \frac{mRT-pV{\mu }_v}{V{\cdot \mu }_{H_2O}-V{\mu }_v}$.

Задание: При температуре $T_1\ $влажность воздуха равна ${\beta }_1$. Как изменится влажность воздуха, если температура его стала $T_2$ ($T_2>T_1$)? Объем сосуда, в котором находился газ уменьшить в $n$ раз.

Решение:

В задаче необходимо найти изменение (разность) ${\beta }_2{-\beta }_{1,\ }$ относительных влажностей в конечном и начальном состояниях:

$${\triangle \beta =\beta }_2{-\beta }_1={\beta }_{1\ }\left(\frac{{\beta }_2}{{\beta }_{1\ }}-1\right)(2.1)$$

используя определение относительной влажности запишем:

$${\beta }_{1\ }=\frac{p_1}{p_{np1}}100\%,$$ $${\beta }_{2\ }=\frac{p_2}{p_{np2}}100\%\ \left(2.2\right),$$

где $p_{np}$- давление насыщенного пара в соответствующих состояниях, $p_1$ -- давление водяного пара в начальном состоянии, $p_2$ -- давление пара в конечном состоянии.

Подставим (2.2) в (2.1) получим:

$$\triangle \beta ={\beta }_{1\ }\left(\frac{\frac{p_2}{p_{np2}}}{\frac{p_1}{p_{np1}}}-1\right)={\beta }_{1\ }\left(\frac{p_2p_{np1}}{{p_1p}_{np2}}-1\right)\ \left(2.3\right).$$

Так как по условию задачи нам известны температуры состояний системы, то давления насыщенного пара ($p_{np1}$и $p_{np2}$) мы можем считать известными в данном случае, так как всегда может взять их из соответствующих справочных таблиц.

Для нахождения давлений $p_1$ и $p_2$ используем уравнение Менделеева -- Клайперона, учтем, что количество вещества в процессах, которые происходят в системе не изменяется, тогда запишем:

$$p_1V_1=\nu RT_1\ для\ состояния\ 1,\ p_2V_2=\nu RT_2\ для\ состояния\ 2$$

тогда:

$$\frac{p_2V_2}{p_1V_1}=\frac{T_2}{T_1}\left(2.4\right).$$

Из условий задачи известно, что объем уменьшили в $n$ раз, то есть:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{n}.$$

Следовательно, выражение (2.4) запишется как:

$$\frac{p_2}{p_1n}=\frac{T_2}{T_1}\to \frac{p_2}{p_1}=n\frac{T_2}{T_1}\left(2.5\right).$$

Подставим (2.5) в (2.3), получим:

$$\triangle \beta ={\beta }_{1\ }\left(n\frac{T_2}{T_1}\frac{p_{np1}}{p_{np2}}-1\right).$$

Ответ: При заданных процессах, относительная влажность воздуха изменится на $\triangle \beta ={\beta }_{1\ }\left(n\frac{T_2}{T_1}\frac{p_{np1}}{p_{np2}}-1\right)$