Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Система с двумя степенями свободы

Что такое термодинамические степени свободы

Определение

Термодинамическими степенями свободы системы называют параметры фаз системы, находящиеся в равновесии, которым можно придавать произвольные значения в заданном интервале, при котором число фаз не изменяется.

Состояние каждой фазы определяется двумя макроскопическими параметрами (например, давлением и температурой), третий параметр связан с двумя другими.

Термодинамические соотношения системы в состоянии равновесия

Рассмотрим однофазную однокомпонентную систему, которая находится в состоянии равновесия. Система закрытая. Состояние такой системы полностью определяется, как говорилось выше, двумя независимыми параметрами состояния (масса считается неизменной). Для такой системы верны следующие основные дифференциальные уравнения термодинамики:

\[dU=TdS-pdV\ \left(1\right),\]

где $U$ - внутренняя энергия системы, $T$ - температура, $S$ - энтропия, $p$ - давление, $V$ - объем.

\[dH=TdS+Vdp\ \left(2\right),\]

где $H=U+pV\ $-энтальпия (теплосодержание, тепловая функция).

\[dF=-SdT-pdV\ \left(3\right),\]

где $F=U-TS$- энергия Гельмгольца (изохорно-изотермический потенциал, свободная энергия).

\[dФ=-SdT+Vdp\left(4\right),\]

где $Ф=H-TS=U+pV-TS$ - энергия Гиббса (изобарно - изотермический потенциал).

Допустим, что в описанной выше системе мы приняли в качестве независимых параметров переменные объем $(V)$ и температуру $(T)$. Тогда имеют место следующие термодинамические соотношения:

\[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p,\ \ \left(5\right).\] \[{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=C_V\ \left(6\right),\]

где $C_V$ -- теплоемкость вещества системы в процессе при постоянном объеме.

\[{\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T\left(7\right).\] \[{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_V=C_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\ \left(8\right).\] \[{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V=\frac{1}{T}\left[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T+p\right]\ \left(9\right).\] \[{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V=\frac{C_V}{T}\ \left(10\right).\] \[{\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)}_S=T{\left(\frac{{\partial }^2p}{\partial T^2}\right)}_V\left(11\right).\] \[C_p-C_V=-T\frac{{{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V}^2}{{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T},\ \ \left(12\right).\] \[{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S=-\frac{T}{C_V}{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\left(13\right).\]

Уравнение (13) -- дифференциальное уравнение адиабаты.

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_U=\frac{p-T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V}{C_V}\ \left(14\right).\] \[{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_H=-\frac{T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T}{C_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V}\ \left(15\right).\]

В формулах (5) -- (15) индексы, записанные внизу, обозначают постоянный параметр.

Если в качестве независимых параметров взять $p$ и $V$, то получим:

\[C_p-C_V=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p\left(16\right).\]
Пример 1

Задание: Пусть задана система -- идеальный газ. Используя основные дифференциальные соотношения термодинамики установить зависимости:

  1. внутренней энергии идеального газа от его объема и температуры;
  2. энтальпии идеального газа от его объема и температуры;
  3. теплоемкости $C_V$ для изолированной системы.

Решение:

Идеальный газ -- система с двумя степеням свободы. Третий параметр системы связан с двумя другими с помощью уравнения состояния, например, уравнения Менделеева -- Клайперона:

\[pV=\nu RT\ \to p=\frac{\nu RT}{V}\left(1.1\right).\]

Найдем частную производную от давления по температуре при постоянном объеме для уравнения (1.1):

\[{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V=\frac{\nu R}{V}\left(1.2\right).\]

Найдем вторую производную от давления по температуре при постоянном объеме:

\[{\left(\frac{{\partial }^2p}{\partial T^2}\right)}_V=0\ \left(1.3\right).\]

Найдем первую частную производную от давления по объему при постоянной температуре:

\[{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T=-\frac{\nu RT}{V^2}\left(1.4\right).\]

Рассмотрим, как ведет себя внутренняя энергия идеального газа, используем соотношения:

\[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p\ \left(1.5\right).\] \[{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=C_V=\frac{i}{2}\nu R\ \left(1.6\right).\]

Подставим найденную в (1.2) производную:

\[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=\frac{\nu RT}{V}-p=\frac{pV}{V}-p=0\ \left(1.7\right).\]

Из (1.7) следует, что внутренняя энергия не зависит от объема идеального газа.

Из (1.6) следует, что внутренняя энергия идеального зависит от температуры:

\[\triangle U=\frac{i}{2}\nu R\triangle T\left(1.8\right).\ \]

Рассмотрим поведение энтальпии идеального газа. Для этого используем соотношение:

\[{\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T\left(1.9\right).\]

Подставим производные, полученные нами (1.2) и (1.4):

\[{\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)}_T=T\cdot \frac{\nu R}{V}+V\cdot \left(-\frac{\nu RT}{V^2}\right)=0\ \left(1.10\right).\]

Из (1.10) следует, что тепловая функция не зависит от объема идеального газа.

Используем, следующее соотношения для энтальпии:

\[{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_V=C_V+V{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V\ \left(1.11\right).\]

Подставим производную (1.2), полученную из уравнения состояния идеального газа:

\[{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_V=\frac{i}{2}нR+V\cdot \frac{\nu R}{V}=\frac{i+2}{2}\nu R\ \left(1.12\right).\]

Энтальпия идеального газа является функцией температуры.

Определим, зависит ли теплоемкость идеального газа в изохорном процессе от объема. Используем термодинамическое соотношение для адиабатного процесса:

\[{\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)}_S=T{\left(\frac{{\partial }^2p}{\partial T^2}\right)}_V\left(1.13\right).\]

Подставим производную вторую производную от давления, которая найдена в (1.3):

\[{\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)}_S=T\cdot 0=0\ \left(1.14\right).\]

Получили, что теплоемкость идеального газа в изохорном процессе не зависит от объема.

«Система с двумя степенями свободы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 2

Задание: Рассмотрите идеальный газ как систему с двумя термодинамическими степенями свободы. В качестве независимых переменных используйте параметры p и V. Получите соотношение Майера.

Решение:

\[pV=\nu RT\ \to V=\frac{\nu RT}{p}\ и\ T=\frac{pV}{\nu R}\left(2.1\right).\]

Найдем частную производную от объема по температуре при постоянном давлении для уравнения (2.1) и от давления по температуре при постоянном объеме:

\[{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=\frac{\nu R}{p}\ \left(2.2\right).\] \[{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V=\frac{\nu R}{V}\left(2.3\right).\]

Используем соотношение:

\[C_p-C_V=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p\ \left(2.4\right).\]

Подставим производные (2.1) и (2.2) в соотношение (2.4), получим:

\[C_p-C_V=T\frac{\nu R}{V}\frac{\nu R}{p}=T\frac{\nu R}{\nu R}\frac{\nu R}{T}=\nu R\]

Таким образом, мы получили соотношение Майера.

Дата последнего обновления статьи: 27.11.2023
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot