Способы изменения внутренней энергии тела
Существует два способа изменения внутренней энергии тела (системы) -- совершение работы над ним или передача тепла. Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, который не сопровождается совершением работы, называется теплообменом. Энергия, которая передана телу в результате теплообмена, называется количеством теплоты, полученным телом. Обозначается количество тепла обычно Q. Вообще говоря, изменение внутренней энергии тела в процедуре теплообмена - результат работы внешних сил, только это не работа, связанная с изменением внешних параметров системы. Это работа, которую производят молекулярные силы. Например, если привести в соприкосновении тело с горячим газом, то энергия газа передается через столкновения молекул газа с молекулами тела.
Количество тепла не является функцией состояния, так как Q зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое. Если задано состояние системы, но не указан процесс перехода, то ничего нельзя сказать о количестве тепла, которое получено системой. В этом смысле нельзя говорить о количестве тепла, запасенном в теле.
Иногда говорят о теле, обладающем запасом тепловой энергии, это имеется в виду не количество тепла, а внутренняя энергия тела. Такое тело называют тепловым резервуаром. Подобные «ляпы» в терминологии остались в науке от теории теплорода, впрочем, как и сам термин количество тепла. Теория теплорода рассматривала теплоту как некую невесомую жидкость, которая содержится в телах и не может быть создана или уничтожена. Существовала версия сохранения теплорода. С такой точки зрения было логично говорить о запасе тепла в теле без отношения к процессу. Сейчас в калориметрии часто рассуждают так, если бы был справедлив закон сохранения количества теплоты. Так, например, поступают в математической теории теплопроводности.
В связи с тем, что теплота не является функцией состояния, то для бесконечно малого количества теплоты используют обозначение $\delta Q$, а не $dQ$. Этим подчёркивается, что $\delta Q$ не рассматривается как полный дифференциал, т.е. не всегда могут быть представлены как бесконечно малые приращения функций состояния (только в частных случаях, например в изохорном и изобарном процессах). Принято считать, что теплота положительна, если система ее получает, и отрицательна в противном случае.
Что такое теплоемкость
Рассмотрим теперь, что такое теплоемкость.
Количество теплоты, переданное телу с целью нагреть его на 1К, -- теплоемкость тела (системы). Обычно обозначается "C":
\[С=\frac{\delta Q}{dT}\left(1\right).\]Теплоемкость единицы массы тела:
\[c=\frac{C}{m}\ \left(2\right)-\]удельная теплоемкость. m -- масса тела.
Теплоемкость единицы молярной массы тела:
\[c_{\mu }=\frac{C}{\nu }=c\mu \left(3\right)-\]молярная теплоемкость. $\nu $- количество вещества (количество молей вещества), $\mu $ -- молярная масса вещества.
Средней теплоемкостью $\left\langle C\right\rangle $ в интервале температур от $T_1$ до $T_2\ $называют:
\[\left\langle C\right\rangle =\frac{Q}{T_2-T_1}\ \left(4\right).\]Связь между средней теплоемкостью тела и его «просто» теплоемкостью выражается как:
\[\left\langle C\right\rangle =\frac{1}{T_2-T_1}\int\limits^{T_2}_{T_1}{CdT}\ \left(5\right).\]Мы видим, что теплоемкость определена через понятие «теплота».
Как уже отмечалось, количество тепла подведенного к системе зависит от процесса. Соответственно, получается, что и теплоемкость зависит от процесса. Поэтому формулу определения теплоемкости (1) следует уточнить и записать в виде:
\[С_V={\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)}_V,\ С_p={\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)}_p(6)\]теплоёмкости (газа) в постоянном объеме и при постоянном давлении.
Таким образом, теплоемкость в общем случае характеризует как свойства тела, так и условия, при которых происходит нагрев тела. Если определить условия нагревания, то теплоемкость становится характеристикой свойств тела. Такие теплоемкости мы видим в справочных таблицах. Теплоемкости в процессах при постоянном давлении и постоянном объеме являются функциями состояния.
Задание: Идеальный газ, молекула которого имеет число степеней свободы, равное i, расширили по закону: $p=aV,$где $a=const.$ Найти молярную теплоемкость в этом процессе.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем определение теплоемкости:
\[\delta Q=\nu c_{\mu }dT\ \left(1.1\right).\]Кроме того, используем первое начало термодинамики:
\[\delta Q=dU+\delta A=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV\left(1.2\right).\]Так как газ идеальный, то используем уравнение Менделеева -- Клайперона и уравнение процесса для преобразования элементарной работы и получения выражения для нее через температуру:
\[pV=\nu RT\to aV^2=\nu RT\to aVdV=\frac{\nu RdT}{2}\ \left(1.3\right).\]Итак, элемент работы имеет вид:
\[\delta A=pdV=aVdV=\frac{\nu RdT}{2}\left(1.4\right).\]Подставим (1.4) в (1.2), получим:
\[\delta Q=\nu c_{\mu }dT=\frac{i}{2}\nu RdT+\frac{\nu RdT}{2}\left(1.5\right).\]Выразим молярную теплоемкость:
\[c_{\mu }=\frac{i}{2}R+\frac{R}{2}=\frac{R}{2}(i+1)\]Ответ: Молярная теплоемкость в заданном процессе имеет вид: $c_{\mu }=\frac{R}{2}\left(i+1\right).$
Задание: Найти изменение количества теплоты идеального газа в процессе p$V^n=const$ (такой процесс называется политропическим), если число степеней свободы молекулы газа равно i, изменение температуры в процессе $\triangle T$, количество вещества $\nu $.
Решение:
Основой для решения задачи станет выражение:
\[\triangle Q=C\triangle T\ \left(2.1\right).\]Значит, необходимо найти C (теплоемкость в заданном процессе). Используем первое начало термодинамики:
\[\delta Q=dU+pdV=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV=CdT\to C=\frac{i}{2}\nu R+\frac{pdV}{dT}\ \left(2.2\right).\]Найдем $\frac{dV}{dT}$ используя уравнение процесса и уравнение Менделеева - Клайперона:
\[pV=\nu RT\to p=\frac{\nu RT}{V},\ V=\frac{\nu RT}{p}\ (2.3).\]Подставим давление и объем из (2.3.) в уравнение процесса, который задан, получим уравнение политропы в параметрах $V,T$:
\[V^{n-1}T=const'=B\ \to V=B'T^{\frac{1}{1-n}}\left(2.4\right).\]В таком случае:
\[\frac{dV}{dT}=B'\cdot \frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}\left(2.5\right).\] \[p=\frac{\nu RT}{V}\to \frac{T}{T^{\frac{1}{1-n}}}=\frac{\nu R}{B'}T^{\frac{n}{n-1}}\left(2.6\right).\] \[C=\frac{i}{2}\nu R+\frac{pdV}{dT}=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{B'}T^{\frac{n}{n-1}}{\cdot B}'\cdot \frac{1}{1-n}T^{\frac{n}{1-n}}=\frac{i}{2}\nu R+\frac{\nu R}{1-n}\left(2.7\right).\] \[\triangle Q=C\triangle T=\nu R\left(\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}\right)\triangle T\left(2.8\right).\]Ответ: Изменение количества теплоты идеального газа в процессе задано формулой: $\triangle Q=\nu R\left(\frac{i}{2}+\frac{1}{1-n}\right)\triangle T$.
