Идея Планка
В 1900 г. М. Планк предложил интерполяционную формулу для спектральной плотности энергии равновесного излучения. Формула была получена Планком полуэмпирическим путем, позднее он доказал ее теоретически. День, в который Планк сделал доклад на заседании немецкого физического Общества, о теоретическом доказательстве своей формулы, считается днем рождения квантовой физики. Новшество идеи Планка состояло в том, что излучение и поглощение света происходит порциями, квантами света (квантами энергии). При выводе своей формулы Планк пользовался понятием гармонического осциллятора, понимая под ним не только частицу, которая совершает гармонические колебания, но и, например, стоячую волну, определенной частоты в полости тела, которое принимают как модель абсолютно черного тела. И при этом Планк считал, что энергия осциллятора с собственной частотой $\nu $ может принимать дискретные значения, которые отличаются от элементарной порции энергии (кванта) на целое число. Энергия кванта равна:
где $h=6,625\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$ -- постоянная Планка (квант действия). Средняя энергия радиационного осциллятора получилась у Планка равной:
Формула, которую получил Планк для спектральной испускательной способности черного тела, имеет вид:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T}=\frac{2\pi {\nu }^2}{c^2}\frac{h\nu }{{exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)\ }-1}\ \left(3\right).\]Другой вид формулы Планка получаю, если записывают ее через длину волны ($\lambda $):
\[{\varepsilon }_{\lambda ,T}=\frac{2\pi c^2}{{\lambda }^5}\frac{h}{{exp \left(\frac{hc}{k\lambda T}\right)\ }-1}\ \left(4\right).\]Формула Планка, записанная через циклическую частоту ($\omega $) примет вид:
\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }^3}{4{{\pi }^2c}^2}\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}\left(5\right),\]где $\hbar =\frac{h}{2\pi }=1,055\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$.
Формула Планка полностью описывает излучение абсолютно черного тела и расчеты, которые проводятся с ее использованием, совпадают с экспериментальными данными для любых частот. В этой формуле, как частный случай, содержится формула Рэлея -- Джинса (при $h\nu \ll kT$). В области больших частот (при $h\nu \gg kT$) формула Планка переходит в выражение:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T}=\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}{exp \left(-\frac{h\nu }{kT}\right)\ }\left(6\right).\]Закон смещения Вина и закон Стефана-Больцмана
Из формулы Планка следуют закон смещения Вина и закон Стефана -- Больцмана. Количественное значение постоянной Планка можно найти, зная из эксперимента величины постоянных: k (постоянная Больцмана), $\sigma$ (постоянная Стефана - Больцмана) и скорости света в вакууме (с):
\[h=\sqrt[3]{\frac{2{\pi }^5k^4}{15 \sigma c^2}}\ \left(7\right).\]Постоянную Планка можно выразить через постоянную Вина.
Задание: Используя формулу Планка, получите закон Стефана -- Больцмана для интегральной излучательной способности абсолютно черного тела.
Решение:
Энергетическую светимость абсолютно черного тела определим, как:
\[{\varepsilon }_T=\int\limits^{\infty }_0{{\varepsilon }_{\nu ,T}d\nu \ \left(1.1\right).}\]Используем формулу Планка для излучательной способности абсолютно черного тела:
\[{\varepsilon }_{\nu ,T}=\frac{2\pi {\nu }^3}{c^2}\frac{h}{{exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)\ }-1}\ \left(1.2\right).\]Подставим (1.2) в (1.1), получим интеграл:
\[{\varepsilon }_T=\int\limits^{\infty }_0{\frac{2\pi {\nu }^3}{c^2}\frac{h}{{exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)\ }-1}d\nu =\frac{2\pi h}{c^2}\ \int\limits^{\infty }_0{\frac{{\nu }^3d\nu }{{exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)\ }-1}}\left(1.3\right).}\]Проведем замену переменных, подставим $x=\frac{h\nu }{kT}\to \nu =\frac{xkT}{h},\ \to d\nu =\frac{kTdx}{h}$, тогда интеграл в (1.3) преобразуется к виду:
\[{\varepsilon }_T=\frac{2\pi h}{c^2}\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\left(\frac{xkT}{h}\right)}^3\frac{kTdx}{h}}{{exp \left(x\right)\ }-1}}=\frac{2\pi {\left(kT\right)}^4}{c^2h^3}\int\limits^{\infty }_0{\frac{x^3exp \sigma (-x)dx}{1-{exp \left(-x\right)\ }}}\left(1.4\right).\]Разложим знаменатель интеграла из (1.4) в ряд:
\[1-e^{-x}=1+e^{-x}+e^{-2x}+\dots .\]Найдем интеграл:
\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{x^3e^{-x}dx}{1-e^{-x}}}=\int\limits^{\infty }_0{x^3e^{-x}(1+e^{-x}+e^{-2x}+\dots .)dx}=6\left(1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots \right)=\frac{{\pi }^4}{15}\]Так, получаем интеграл в выражении (1.4) равен:
\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{x^3dx}{{exp \left(x\right)\ }-1}}=\frac{{\pi }^4}{15}\approx 6,5\left(1.5\right).\]В таком случае из (1.4) получим:
\[{\varepsilon }_T=\frac{2\pi {\left(kT\right)}^4}{c^2h^3}\frac{{\pi }^4}{15}= \sigma T^4\ \left(1.6\right),\]где $\sigma=\frac{2\pi k^4}{c^2h^3}\frac{{\pi }^4}{15}$
Рассчитаем величину $\sigma$, которую мы получили, зная все составляющие ее формулу постоянные:
\[\pi =3,14;;\] \[k={1,38•10}^{-23}\frac{Дж}{К};\] \[c=3•{10}^8\frac{м}{с};;\] \[h=6,67\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с.\] \[\sigma=\frac{2\cdot {\left(3,14\right)}^5\cdot {\left({1,38\cdot 10}^{-23}\right)}^4}{15\cdot {\left(3\cdot {10}^8\right)}^2\cdot {\left(6,67\cdot {10}^{-34}\right)}^3}=5,7\cdot {10}^{-8}\ \frac{Вт}{м^2К^4}.\]Таким образом, мы получили закон Стефана Больцмана:
\[{\varepsilon }_T=\sigma T^4.\]Задание: Используя формулу Планка, получите формулу Рэлея Джинса.
Решение:
Формула Планка переходит в формулу Рэлея -- Джинса в области низких частот. Это значит, что $\hbar \omega \ll kT.$
Запишем формулу Планка через циклическую частоту:
\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }^3}{{{4\pi }^2c}^2}\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}\left(2.1\right).\]Рассмотрим дробь: $\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}$, проведем замену, обозначим $\frac{\hbar \omega }{kT}=x$, тогда:
\[\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}=\frac{1}{{exp \left(x\right)\ }-1}\ (2.2)\]По условию мы имеем, что $\hbar \omega \ll kT$, следовательно, $x$ стремится к нулю. Около нуля мы можем экспоненциальную функцию разложить в ряд: ${exp \left(x\right)\ }=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots +\approx 1+x$. В таком случае ${exp \left(x\right)\ }-1=1+x-1=x$. В таком случае уравнение (2.1) запишем в виде (от x перейдем назад к $\frac{\hbar \omega }{kT}$):
\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }^3}{{{4\pi }^2c}^2}\frac{1}{\frac{\hbar \omega }{kT}}=\frac{{\omega }^2kT}{{{4\pi }^2c}^2}\ (2.3)\]Таким образом, мы получили, что:
\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{щ^2kT}{{{4$\eth$}^2c}^2}-\]это формула Рэлея -- Джинса, что и требовалось получить.
