Адиабатический процесс

В таком случае первое начало термодинамики можно записать в виде:

$$0=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV\ \left(1\right).$$

Из уравнения (1) следует, что при увеличении объема в адиабатном процессе уменьшается температура системы. Или говорят, что в адиабатном процессе работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы. И обратное справедливо: работа, совершенная над системой, увеличивает внутреннюю энергию системы и, как следствие, температуру. Уравнение, которое характеризует адиабатный процесс в термодинамических параметрах (уравнение адиабаты) носит имя Пуассона. Получим это уравнение для идеального газа. Из уравнения состояния идеального газа:

$$pV=\nu RT\to T=\frac{pV}{\nu R}\left(2\right).$$

Из соотношения Майера:

$$C_p-C_V=\nu R\ \left(3\right).$$

Подставим (3) в (2), получим:

$$T=\frac{pV}{C_p-C_V}\to p=\frac{T(C_p-C_V)}{V}\ \left(4\right).$$

Разделим уравнение (1) $C_VT\ (\ C_V=\frac{i}{2}нR)$, получим:

$$0=C_V\frac{dT}{T}+\frac{(C_p-C_V)}{VC_V}dV\to \frac{dT}{T}+\left(\gamma -1\right)\frac{dV}{V}=0\to \frac{dT}{T}=\left(1-\gamma \right)\frac{dV}{V}\left(5\right),$$

где $\gamma =\frac{C_p}{C_V}$ -- показатель адиабаты. Проинтегрируем уравнение (5):

$${ln T={ln V^{1-\gamma }+lnA\ }\ }\left(6\right),$$

где $lnA$- некоторая постоянная.

Потенцируем уравнение (6), получаем:

$${ln T={ln AV^{1-\gamma }\ }\ }.$$ $${T V^{\gamma -1}=А=const\ }\left(7\right).$$

Уравнение (7) есть уравнение адиабаты в параметрах T,V. Для того, чтобы перейти к уравнению адиабаты, в параметрах p,V используют уравнение Менделеева -- Клайперона. И получают уравнение адиабаты в виде:

$${p V^{\gamma }=const\ }\ \left(8\right).$$

Или в параметрах p,T уравнение (7,8) имеет вид:

$${T^{\gamma } p^{1-\gamma }=const\ \left(9\right).\ }$$

Зная, что теплоемкости можно представить как:

$$с_{\mu p}=\frac{i+2}{2}R,\ с_{\mu V}=\frac{i}{2}R\ \left(10\right).$$

показатель адиабаты исходя из ($\gamma =\frac{C_p}{C_V}$) и уравнений (10)

$$\gamma =\frac{i+2}{i}\ \left(11\right).$$

Легко получить формулу работы для адиабатного процесса. По определению работа газа A равна:

$$A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{pdV}=p_1V^{\gamma }_1\int\limits^{V_2}_{V_1}{\frac{dV}{V^{\gamma }}}=\frac{p_1V^{\gamma }_1}{1-\gamma }\left(V^{1-\gamma }_2-V^{1-\gamma }_1\right)=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\left[1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right]\ \left(12\right),$$

где $p_1V_1=\nu RT_1.$ Используя уравнение адиабаты, записанное для двух состояний в параметрах $V,T$, получаем:

$$A=\nu R\frac{\left(T_1-T_2\right)}{\gamma -1}\ \left(13\right).$$

Что такое адиабата

Линия, изображающая на термодинамической диаграмме адиабатный процесс, называется адиабатой (рис.1).

Рис. 1

Для сравнения на рис. 1 представлена также изотерма (пунктиром). На рис. 1 видно, что адиабата идет круче, чем изотерма. Работа в адиабатическом процессе по расширению от объема $V_1\ $до $V_2$ меньше, чем в изотермическом процессе с таким же изменением объема. Это объясняется тем, что при адиабатном процессе происходит охлаждение газа. В изотермическом процессе при расширении давление уменьшается только за счет уменьшения плотности, тогда как в адиабатном за счет плотности и средней кинетической энергии молекул (соответственно температуры).