Принципы теоретической механики

Основными принципами теоретической механики являются:

• принцип Даламбера,
• принцип освобождаемости;
• принцип возможных перемещений.

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно указанному принципу, при присоединении силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получаем уравновешенную систему.

Принцип Даламбера сформулирован таким образом: если к воздействующей на тело активной силе будет приложена дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получится нулевым.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

$F_i+N_i+J_i=0$, где:

• $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
• $N_i$ - реакция связи, наложенной на точку;
• $J_i$ - сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона): $F=ma$ $F-ma=0$. $ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

На основании 2-го закона динамики, для несвободной материальной точки формула записывается следующим образом:

$m\bar{a}=\bar{F}+\bar{R}$, где $R$ представляет реакцию связи.

Принимая значение:

$\bar{Ф}=-m\bar{a}$, гдe $Ф$— сила инерции, в итоге получаем:

$\bar{F}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

Вышеприведенная формула выражает принцип Даламбера для материальной точки. Он позволяет задействовать при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его активное применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении при установлении реакций связей в ситуации, когда известен или получен при решении соответствующих уравнений закон происходящего движения

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции влияния не оказывает, поскольку для нее она будет фиктивной силой. При этом точка продолжала бы оставаться в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на нее оказывала непосредственное воздействие еще и сила $Ф$.

Принцип освобождаемости

Согласно принципу освобождаемости, любая несвободная система может быть рассмотрена в формате свободной при отбрасывании связей и замене их действия силами (реакциями связей). Реакции связей изначально не известны, поскольку зависят от характера действующих сил и могут определяться только в процессе решения задач.

Помимо разделения сил на внешние и внутренние, их также классифицируют как пассивные и активные. К первым относятся реакции связей, а категорию вторых составляют все остальные силы.

В механике часто встречаются идеальные связи, называемые также гладкими. Сумма элементарных работ реакций таких связей имеет нулевое значение при любом виртуальном перемещении.

В качестве примера идеальной голономной связи выступает абсолютно гладкая поверхность (известная идеализация реальной поверхности). При этом не имеет значения возможная неподвижность поверхности относительно инерциальной системы отсчета или ее перемещение в пространстве, а также деформация. Важную роль играет только ее абсолютно гладкая текстура.

Вследствие ортогональности векторов, виртуальная работа получит нулевое значение:

$R \Delta r=0$

Принцип возможных перемещений

Равновесное состояние механической системы означает уравновешивание сил, действующих на каждую из точек механической системы. Таким образом, получаем формулу:

$F_i+R_i=0$

Где $F_i$ - результирующая активных сил, действующих на точку, а $R_i$— реакция связи.

Тогда элементарная работа всех сил, приложенных к точке, будет определяться формулой:

$\delta A=F_i \Delta S_i+R_i \Delta S_i$

Для всей системы из «n» точек получаем:

$\sum{F_i} \Delta S_i+\sum{R_i} \Delta S_i=0$

Для систем с идеальными связями $\sum{R_i} \Delta S_i=0$ получаем

$\sum{F_i} \Delta S_i=0$

или

$\sum{F_i} \Delta S_i \cos{\alpha_i}=0$

Последняя формула выражает принцип возможных перемещений, который может быть сформулирован так: для равновесного состояния механической системы с идеальными связями необходимым и достаточным условием будет нулевое значение суммы элементарных работ всех воздействующих на нее активных сил при абсолютно любом возможном перемещении системы. Принцип возможных перемещений рассматривает решение задач статики методами динамики.