Метод Риттера теоретической механики

В теоретической механике метод Риттера относится к разделу «статика твердого тела». Данный метод позволяет рассчитать усилия в стержнях ферм. Метод Риттера используется, в основном, для плоских систем сил.

Если необходимы расчеты усилий в ферме, можно использовать метод Риттера (если речь идет о ее стержнях). Принцип этого метода заключается в разрезании участка фермы и обозначении усилий в этих стержнях. При этом данный разрез не должен будет пересекать более трех стержней.

Усилие в большинстве случаев направляется от узла, что предполагает растянутость стержня. Если в результате усилие получается с отрицательным знаком, это будет свидетельством сжатости стержня.

В чем заключается метод Риттера

Метод Риттера представляет точный и простой способ определения усилий в стержнях за счет специального разреза (сечения) фермы. Разрез при этом должен соответствовать определенным условиям:

• поделить ферму на две несвязанные части;
• пересекать максимально три допустимых стержня;
• в каждой из частей необходимо наличие хотя бы одного стержня.

В сторону сечения направляются искомые (неизвестные) реакции разрезанных стержней, что будет соответствовать положительным усилиям растянутых стержней. Сжатость стержня характеризует усилие с отрицательным знаком.

Мысленное разрезание фермы и обозначение усилий предшествуют составлению уравнения равновесия для выбранной части фермы:

$\sum{M} = 0$ (относительно точки Риттера).

Метод Риттера не считается универсальным. Так, встречаются случаи отсутствия сечения Риттера для конкретного стержня. Главным в данном методе является существование независимого способа для определения усилий таким образом, чтобы исключить влияние значения в одном на значение другого.

Такое влияние, проявленное в накоплении ошибок округления, считается недостатком при использовании метода вырезания узлов. Также бывают и исключения, когда допускается возможность рассечения четырех и более стержней и определения усилия в нужном стержне. При этом составляется только одно уравнение моментов.

Метод Риттера сложно применить при компьютерных расчетах. Более простым в этом отношении считается метод вырезания узлов. При проверке несложных расчетов может быть применен такой графический метод, как диаграмма Максвелла-Кремоны.

Диаграмма Максвелла-Кремоны

Диаграммой Максвелла-Кремоны называется применяемый в теоретической механике графический метод для определения усилий в статически определимых плоских фермах. Его разработчиками были английский физик Дж. Максвелл и итальянский математик Л. Кремона. Применение данного метода также относится к строительной механике и сопротивлению материалов.

Метод основывается на графическом варианте формулировки условия равновесия для системы сходящихся сил – замкнутости многоугольника сил (в т. ч. усилий в стержнях), приложенных к узлу фермы, при равновесии.

Согласно принципу построения многоугольника, начало одного вектора должно приходиться на конец другого. Диаграмма Максвелла-Кремоны формирует правило, исключающее повторное построение усилий.

Построение начинается с определения реакций опор. Для этого применяются аналитические методы, при которых составляются уравнения проекций сил и моментов. Последнее усилие, полученное при построении, будет считаться проверочным, поскольку может быть определено не одним способом.

Считается, что первым вышеуказанный метод предложил в 1864 году именно Максвелл, а Кремона заговорил о нем спустя 8 лет. При этом последний признал приоритет Максвелла. Существуют доказательства того, что сама идея метода впервые была разработана У. Рэнкиным в 1858 году.

В практических расчетах ферм в настоящее время этот метод не применяется как устаревший. На смену ему пришли аналитические (метод вырезания узлов, метод Риттера) и компьютерные методы. Менее известен метод замены стержней Геннеберга (вариант метода сил).

Метод Риттера для расчета фермы

Согласно принципу метода сечений (метода Риттера), ферма будет рассечена на две части. Одна ее часть при этом отбрасывается. Действие фермы отображают усилия, попавшие в сечение, в стержнях той части, которая осталась.

Усилия в стержнях будут направлены к отброшенной части фермы вдоль стержней (предполагается растянутость всех стержней). Исследуемая часть фермы, на которую воздействуют заданные активные силы, усилия в стержнях и опорные реакции, находится в равновесном состоянии. При этом мы наблюдаем формирование произвольной плоской (не сходящейся) системы сил, для которой записываются три уравнения равновесия. Это объясняет ограниченное количество неизвестных (не более трех):

1-я форма записывается так:

$\sum\limits_{k=1}^{n}F_kx=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}F_ky=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_0(F_k)=0$

2-я форма:

$\sum\limits_{k=1}^{n}F_kx=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_A(F_k)=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_B(F_kx)=0$

3-я форма:

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_A(F_k)=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_B(F_k)=0$

$\sum\limits_{k=1}^{n}M_C(F_k)=0$

При составлении уравнений равновесия предпочтительной будет форма, позволяющая получить простейшие уравнения. Так, если в сечении, например, параллельными будут две неизвестные силы, удобно использовать 2-ю форму уравнений.

Если в сечении все силы попарно пересекаются, то тогда используется 3-я форма уравнений. Точки пересечения сил в таком случае выбираются как моментные точки. Каждое уравнения равновесия, полученное таким образом, будет содержать в себе только одну неизвестную. Сравнительно с методом вырезания узлов, это существенно ускоряет расчет, повышая при этом точность результатов вычислений. Если в сечении неизвестных усилий оказывает более трех, то возникает необходимость в дополнительных сечениях.