Найти эксперта
Спин электрона (и других микрочастиц) -- это квантовая величина, у которой нет классического аналога. Это внутреннее свойство электрона, которое можно уподобить заряду или массе. Понятие спина было предложено американскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом для того, чтобы объяснить существование тонкой структуры спектральных линий. Ученые предположили, что электрон имеет собственный механический момент импульса, который не связан с движением электронам в пространстве который был назван спином.
Если считать, что электрон имеет спин (собственный механический момент импульса (${\overrightarrow{L}}_s$)), то значит должен иметь собственный магнитный момент (${\overrightarrow{p}}_{ms}$). В соответствии с общими выводами квантовой физики спин квантуется как:
где $s$ -- спиновое квантовое число. Проводя аналогию с механическим моментом импульса, проекция спина ($L_{sz}$) квантуется таким образом, что число ориентаций вектора ${\overrightarrow{L}}_s$ равно $2s+1.$ В опытах Штерна и Герлаха ученые наблюдали две ориентации, то $2s+1=2$, следовательно, $s=\frac{1}{2}$.
При этом проекция спина на направление внешнего магнитного поля определена формулой:
где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число.
Получилось, что экспериментальные данные привели к необходимости введения дополнительной внутренней степени свободы. Для полного описания состояния электрона в атоме необходимы: главное, орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа.
Позднее Дирак показал, что наличие спина следует из полученного им релятивистского волнового уравнения.
Атомы первой валентной группы периодической системы имеют валентный электрон, находящийся в состоянии с $l=0$. При этом момент импульса всего атома равен спину валентного электрона. Поэтому когда обнаружили для подобных атомов, пространственное квантование момента импульса атома в магнитном поле это стало доказательством существования спина только двух ориентаций во внешнем поле.
Найти эксперта
Спиновое квантовое число, отличаясь от других квантовых чисел, является дробным. Количественную величину спина электрона можно найти в соответствии с формулой (1):
Для электрона имеем:
Иногда говорят, что спин электрона ориентирован по направлению или против направления напряженности магнитного поля. Такое высказывание является неточным. Так как при этом на самом деле имеется в виду направление его составляющей $L_{sz}.$
Из опытов Штерна и Герлаха получено, что $p_{ms_z}$ (проекция собственного магнитного момента электрона) равна:
где ${\mu }_B$ -- магнетон Бора.
Найдем отношение проекций $L_{sz}$ и $p_{ms_z}$, применяя формулы (4) и (5), имеем:
Выражение (6) называют спиновым гиромагнитным отношением. Оно в два раза превышает орбитальное гиромагнитное отношение. В векторной записи гиромагнитное отношение записывают как:
Опыты Эйнштейна и де Гааза определили спиновое гиромагнитное отношение для ферромагнетиков. Это дало возможность определить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и получить теорию ферромагнетизма.
Задание: Найдите численные значения: 1) собственного механического момента импульса (спина) электрона, 2) проекции спина электрона на направление внешнего магнитного поля.
Решение:
-
В качестве основания для решения задачи используем выражение:
\[L_s=\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(1.1\right),\]где $s=\frac{1}{2}$. Зная величину $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, проведем вычисления:
\[L_s=\hbar \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)}=1,05\cdot {10}^{-34}\frac{\sqrt{3}}{2}=9,09\cdot {10}^{-35}\left(Дж\cdot с\right).\] -
В качестве основы для решения задачи используем формулу:
\[L_{sz}=\hbar m_s\left(2\right),\]где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число. Следовательно, можно провести вычисления:
\[L_{sz}=\pm \frac{1}{2}\cdot 1,05\cdot {10}^{-34}=\pm 5,25\cdot {10}^{-35}\left(Дж\cdot с\right).\]
Ответ: $L_s=9,09\cdot {10}^{-35}{\rm Дж}\cdot {\rm с},\ L_{sz}=\pm 5,25\cdot {10}^{-35}Дж\cdot с.$
Задание: Каков спиновый магнитный момент электрона ($p_{ms}$) и его проекция ($p_{ms_z}$) на направление внешнего поля?
Решение:
Спиновый магнитный момент электрона может быть определен из гиромагнитного соотношения как:
\[p_{ms}=\frac{q_e}{m_e}L_s\left(2.1\right).\]Собственный механический момента импульса (спина) электрона можно найти как:
\[L_s=\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(2.2\right),\]где $s=\frac{1}{2}$.
Подставим выражение для спина электрона в формулу (2.1), имеем:
\[p_{ms}=\frac{q_e}{m_e}\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(2.3\right).\]Используем известные для электрона величины:
\[m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,\ q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл.\]поведем вычисление магнитного момента:
\[p_{ms}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}}{9,1\cdot {10}^{-31}}9,09\cdot {10}^{-35}=1,6\cdot {10}^{-23}\left(A\cdot м^2\right).\]Из опытов Штерна и Герлаха получено, что $p_{ms_z}$ (проекция собственного магнитного момента электрона) равна:
\[p_{ms_z}=\frac{q_e\hbar }{2m_e}\left(2.4\right).\]Вычислим $p_{ms_z}$ для электрона:
\[p_{ms_z}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\cdot 1,05\cdot {10}^{-34}}{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}}=9,27\cdot {10}^{-24}\left(A\cdot м^2\right).\]Ответ: $p_{ms}=1,6\cdot {10}^{-23}A\cdot м^2,\ p_{ms_z}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2.$
Найти эксперта
