Величина ($\alpha $), равная некоторой комбинации постоянных величин:
где ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$, $\hbar =1,05\ \cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл$, $c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}$ называется постоянной тонкой структуры или постоянной Зоммерфельда. Подставляем в уравнение (1) вышеперечисленные постоянные величины, получаем:
Постоянная тонкой структуры является безразмерной фундаментальной величиной, не зависящей от системы единиц. Она имеет фундаментальный смысл в физике, так как определяет электрический заряд в некоторых естественных единицах, не имеющих размерности. Электрический заряд -- мера интенсивности электромагнитного взаимодействия. Следовательно, постоянная тонкой структуры может служить мерой электромагнитного взаимодействия. Небольшое абсолютное значение $\alpha $ означает то, что электромагнитное взаимодействие относится к слабым взаимодействиям. Данный факт положен в основу квантовой электродинамики, которая рассматривает электромагнитное взаимодействие в теории возмущений относительно малой величины$\cdot \alpha $.
В настоящее время выделяют четыре типа фундаментальных взаимодействий частиц: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Любое из этих фундаментальных взаимодействий характеризуют механизмом протекания, временем течения, интенсивностью и радиусом действия (табл.1). При этом интенсивность всех взаимодействий сравнивается с интенсивностью электромагнитного взаимодействия, которое, как уже говорилось, определяется безразмерным параметром $\alpha $. В таком подходе интенсивности взаимодействия являются относительными.
Рисунок 1.
Зоммерфельд ввел постоянную тонкой структуры как отношение скорости электрона на первой круговой орбите модели атома Бора к скорости света:
Эту постоянную определяют, кроме того, как соотношение энергий:
Энергия электрона ($E_n$), который движется по стационарной орбите номер $n$, определена как:
Используя определение постоянной $\alpha $ в виде (1), имеем:
введем произведение (4) в формулу (3), получим:
Выразим постоянную Зоммерфельда:
где $E_0=m_ec^2$ -- собственная энергия электрона.
Постоянная Зоммерфельда является характеристикой тонкой структуры линий спектра. С использованием данной постоянной определяют размер маленького расщепления энергоуровней атома, то есть возникновения близких частот в линиях спектра прямо пропорционального ${\alpha }^2.\ $Данное расщепление возникает вследствие взаимодействия $2x$ электронов атома (электроны обмениваются виртуальными фотонами), при этом происходит изменение энергии.
Постоянную тонкой структуры иногда определяют как:
где $q_p$- $\sqrt{4\pi {\varepsilon }_0\hbar c}=\sqrt{2{\varepsilon }_0hc}$=$1,87554\cdot {10}^{-18}Кл$ -- планковский заряд.
Задание: Каково отношение радиуса основной орбиты электрона в модели Бора, комптоновской длины волны для него же и постоянной тонкой структуры? Рассмотри атом водорода.
Решение:
Запишем выражение для радиуса первой орбиты электрона в водороде ($Z=1,\ n=1$):
\[r_0=\frac{4\pi \varepsilon_0{\hbar }^2}{q^2_em_e}\left(1.1\right).\]Выражение для комптоновской длины волны электрона будет иметь вид:
\[{\lambda }_k=\frac{h}{m_ec}\left(1.2\right).\]Разделим выражение (1.2) на (1.1), имеем:
\[\frac{{\lambda }_k}{r_0}=\frac{h}{m_ec}:\frac{4\pi {\varepsilon }_0{\hbar }^2}{q^2_em_e}=\frac{h}{m_ec}\cdot \frac{2\pi q^2_em_e}{4\pi h\hbar {\varepsilon }_0}=\frac{2\pi q^2_e}{4\pi \hbar c{\varepsilon }_0}\left(1.3\right).\]Из определения константы Зоммерфельда имеем:
\[\alpha =\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0c\hbar }\left(1.4\right).\]Используя выражение (1.4) перепишем формулу (1.3), получаем:
\[\frac{{\lambda }_k}{r_0}=2\pi \alpha .\]Ответ: $\frac{{\lambda }_k}{r_0}=2\pi \alpha .$
Задание: Атом водорода покоился до того момента пока не излучил фотон частота которого, соответствует головной линии серии Лайма. Выразите скорость движения атома сразу после испускания фотона. Как она связана с постоянной тонкой структуры?
Решение:
С одной стороны, импульс атома можно определить как:
\[p_{at}=m_{at}v_{at}\left(2.1\right).\]Импульс фотона вычислим в соответствии с выражением:
\[p_f=\frac{2\pi \hbar }{\lambda }=m_ev\left(2.2\right).\]где длину волны, в свою очередь представим как:
\[\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }\left(2.3\right).\]Частоту выразим, используя формулу спектральной серии Лаймана для головной линии:
\[\omega =\frac{m_eq^4}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{m_eq^4}{2{\cdot (4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\ \left(2.4\right).\]Из закона сохранения импульса имеем:
\[m_{at}v_{at}=m_ev\ \left(2.5\right).\]Используя выражения (2.3) -- (2.4), преобразуем формулу (2.5):
\[m_{at}v_{at}=\frac{\hbar }{c}\frac{3}{4}\cdot \frac{m_eq^4}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}\left(2.6\right).\]Из выражения (2.6) получим для скорости атома:
\[v_{at}=\frac{3}{4}\frac{\hbar }{m_{at}c}\frac{m_eq^4_e}{2{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2{\hbar }^3}=\frac{3}{8}\frac{m_e}{m_{at}}\frac{q^4_e}{{(4\pi )}^2{{\varepsilon }_0}^2c{\hbar }^2}=\frac{3}{8}\frac{m_e}{m_{at}}c{\alpha }^2\left(2.7\right).\]где постоянная тонкой структуры определена как:
\[\alpha =\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0c\hbar }.\]Ответ: $v_{at}=\frac{3}{8}\frac{m_e}{m_{at}}c\alpha^2.$
