Планетарная модель атома
Планетарная (ядерная) модель атома стала результатом опытов, которые Резерфорд и его коллеги проводили, рассеивая $\alpha $ -- частицы с помощью тонких листков металлической фольги и теоретических расчетов. В соответствии с данной моделью в центре атома (в ядре, имеющем размеры порядка $({10}^{-14}-\ {10}^{-15}м$)) заключен весь положительный заряд атома и почти вся его масса. В области $\sim {10}^{-10}м,\ $вокруг ядра, по орбитам перемещаются электроны. масса электронов составляет малую часть от массы атома. Так, масса электрона составляет $m_e\approx 9,1\cdot {10}^{-31}кг$, тогда как масса протона (ядра атома водорода) равна $m_p\approx 1,67\cdot {10}^{-27}кг$. Ядерная модель атома внешне похожа на Солнечную систему: в центре расположено Солнце (ядро), вокруг него по орбитам движутся планеты (электроны). Вследствие этого ядерную модель атома, также называют планетарной.
Проблема устойчивости атома
Электроны в планетарной модели атома не могут быть неподвижными. Из-за наличия сил кулона, будучи неподвижными, они бы упали на ядро. Тогда как атом отличается устойчивостью. О подобном свойстве атомов говорят оптические спектры, которые отличаются весьма определенным для каждого химического элемента местоположением линий спектра. Такое свойство атома как устойчивость нельзя понять, если рассматривать ядерную модель атома и опираться на классическую физику.
Ядерная модель атома водорода
Атом водорода состоит из одного электрона и одного протона (ядра). Пусть электрон движется вокруг ядра по окружности. Под орбитой понимают геометрическое место точек, где электрон может обнаруживаться с максимальной вероятностью.
Скорость движения электрона по орбите, радиус которой равен примерно ${r\approx 10}^{-10}м$, можно вычислить, если использовать тот факт, что электрон удерживается на орбите силой Кулона, и можно записать:
Уравнения (1) выражают скорость, получают:
Центростремительное ускорение при этом получится равным:
Из приведенных в (2) и (3) значений скорости и ускорения видно, что они велики. Получается, что электрон ведет себя в атоме как вибратор, который совершат колебания с большой частотой. Такая система должна излучать электромагнитные волны. При этом, излучение должно идти непрерывно и, соответственно, должна идти непрерывная потеря энергии электроном. Такой вывод неизбежен, если к атому применить планетарную модель и классические законы физики. Из выше сказанного следует, что атом не может быть устойчивой системой (электрон постоянно теряет энергию на излучение, не может постоянно перемещаться по круговой траектории). Электрон должен двигаться по спирали, приближаясь к ядру и спустя некоторый промежуток времени упасть на него. Кроме того, частота, с которой электрон вращается вокруг ядра, должна быть переменной. Значит, переменной должна быть частота электромагнитных волн, которые атом излучает. В таком случае спектр частот, который излучает атом водорода, должен быть непрерывным. Линейчатого спектра у атома не может быть.
Так, использование планетарной модели атома и классических законов физики ведет к противоречию с эмпирическими данными. Такое несоответствие теоретических выводов и экспериментальных данных привело к созданию квантовой механики.
Задание: Исходя из законов классической электродинамики, если электрон имеющий ускорение $a$, движется вокруг ядра атома, энергия, которую он теряет на излучение, определяется законом:
\[\frac{dE}{dt}=-\frac{2{q_e}^2}{3c^3}a^2,\]где $q_e$ -- заряд электрона, c -- скорость света в вакууме. Оцените время, за которое энергия электрона уменьшится в L раз. Считайте, колебания электрона гармоническими, их частота равна $\omega .$
Решение:
Обозначим через $v_m$ амплитуду скорости колебаний электрона. Найдем средний квадрат ускорения электрона за период:
\[\left\langle a^2\right\rangle =\frac{\int\limits^T_0{{\left\{\frac{d}{dt}v_msin (\omega t)\right\}}^2dt}}{T}=\frac{\int\limits^{\frac{2\pi }{\omega }}_0{{\left\{\frac{d}{dt}v_msin (\omega t)\right\}}^2dt}}{\frac{2\pi }{\omega }}=\frac{1}{2}v^2_m{\omega }^2\left(1.1\right).\]По условию задачи уменьшение энергии электрона описывает закон:
\[\frac{dE}{dt}=-\frac{2{q_e}^2}{3c^3}a^2=-\beta a^2\left(1.2\right),\]где введено обозначение: $\beta =\frac{2{q_e}^2}{3c^3}$. Используем результат интегрирования, полученный в (1.1), подставим вместо ускорения в (1.2), имеем:
\[\frac{dE}{dt}=-\beta \frac{1}{2}v^2_m{\omega }^2\left(1.3\right).\]Разделим и умножим правую часть выражения (1.3) на массу электрона, получим:
\[\frac{dE}{dt}=-\beta \frac{m_ev^2_m}{2}\frac{{\omega }^2}{m_e}\left(1.4\right).\]Преобразуем выражение (1.4) к виду:
\[\frac{dE}{dt}=-\beta E\frac{{\omega }^2}{m_e}\left(1.5\right).\]Решением дифференциального уравнения (1.5) является выражение:
\[E=E_0exp (-\beta \frac{{\omega }^2}{m_e}t)(1.6)\]По условию задачи $\frac{E}{E_0}=L$, следовательно, запишем:
\[{exp \left(-\beta \frac{{\omega }^2}{m_e}t\right)\ }=\frac{1}{L}\to {ln \left(L\right)\ }=\beta \frac{{\omega }^2}{m_e}t\to t=\frac{{m_eln \left(L\right)\ }}{\beta {\omega }^2}\to t=\frac{{{3c^3m}_eln \left(L\right)\ }}{2{q_e}^2{\omega }^2}.\]Ответ: $t=\frac{{{3c^3m}_eln \left(L\right)\ }}{2{q_e}^2{\omega }^2}.$
Задание: Рассмотрите ситуацию с электроном в первом примере и определите, через какое время электрон упадет на ядро? Считайте, что радиус круговой орбиты электрона был равен r, вектор ускорения всегда направлен к центру атома.
Решение:
Используем закон, описывающий уменьшение энергии электрона:
\[\frac{dE}{dt}=-\frac{2{q_e}^2}{3c^3}a^2(2.1),\]где $q_e$ -- заряд электрона, c -- скорость света в вакууме.
Центростремительное ускорение электрона можно определить как:
\[a=\frac{v^2}{r}=\frac{F}{m_e}\left(2.2\right).\]При этом модуль силы, которая действует на электрон в электрическом поле, представим как:
\[F=q_eE_e\left(2.3\right).\]Подставим правую часть выражения (2.3) в (2.2) вместо модуля силы, и вместо напряженности $E_e$ подставим поле, которое создает точечное заряженное ядро атома (в системе СГС), имеем:
\[a=\frac{v^2}{r}=\frac{q_eE}{m_e}=\frac{q_e}{m_e}\frac{Zq_e}{r^2}\to \frac{v^2}{r}=\frac{q_e}{m_e}\frac{Zq_e}{r^2}\to v^2=\frac{1}{m_e}\frac{Z{q_e}^2}{r}\left(2.4\right).\]Значит, выражение для ускорения можно записать как:
\[a=\frac{v^2}{r}=\frac{1}{m_e}\frac{Z{q_e}^2}{r^2}\left(2.5\right).\]Запишем полную энергию электрона в виде:
\[E=\frac{m_ev^2}{2}+E_p\left(2.6\right),\]где $E_p$ -- потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра. Запишем ее в явном виде, для взаимодействующих заряженных точечных тел, подставим в (2.6), получаем:
\[E=\frac{m_ev^2}{2}-\frac{Zq^2_e}{r}=\frac{m_e}{{2m}_e}\frac{Z{q_e}^2}{r}-\frac{Zq^2_e}{r}=\frac{Z{q_e}^2}{2r}-\frac{Zq^2_e}{r}=-\frac{Z{q_e}^2}{2r}\left(2.7\right).\]Полученное выражение (2.7) ($E=-\frac{Z{q_e}^2}{2{\varepsilon }_0r}$) подставим в формулу (2.1), используем формулу (2.5) для определения ускорения имеем:
\[\frac{Z{q_e}^2}{2r^2}\frac{dr}{dt}=-\frac{2{q_e}^2}{3c^3}\frac{1}{{m_e}^2}\frac{Z^2{q_e}^4}{r^4}\to \frac{dr}{dt}=-\frac{4}{3c^3}\frac{1}{{m_e}^2}\frac{Z{q_e}^4}{r^2}\to dt=-\frac{3c^3{m_e}^2}{4}\frac{r^2}{Z{q_e}^4}dr\ \left(2.8\right).\]Возьмем интегралы от обеих частей выражения (2.8), имеем:
\[\tau =-\frac{3c^3{m_e}^2}{4Z{q_e}^4}{\left.\frac{r^3}{3}\right|}^0_{r_0}=\frac{c^3{m_e}^2}{4Z{q_e}^4}r^3_0.\]Ответ: $\tau =\frac{c^3{m_e}^2}{4Z{q_e}^4}r^3_0.$
