Свободное движение частицы
Гамильтониан частицы в одномерном, свободном движении (для стационарных состояний) равен:
Тогда уравнение (1) приобретает вид:
где $E_n$ -- собственные значения энергии, $\Psi_n$ -- собственные функции - решения уравнения (2). Преобразуем уравнение (2) к виду:
где $k^2=\frac{2mE}{{\hbar }^2}>0.$ Из уравнения (3) получается, что собственному значению $E$ соответствуют следующие функции:
На волновой вектор $(k)$ ограничений не наложено, следовательно, система имеет непрерывный спектр.
Существуют два состояния, которые отвечают одному значению энергии. Это вырожденные состояния. С кратностью вырождения два. Существование вырождения дает возможность строить бесконечное количество состояний, имеющих одно значение энергии.
Прямоугольная потенциальная яма
Допустим, что потенциальная энергия поля задана:
При этом стационарное уравнение Шредингера для одномерногослучая принимает вид:
Задача состоит в поиске значений энергии ($E$) при которых уравнение (4) имеет ненулевое решение, и соответствующих волновых функций. Разумно допустить, что частица не будет находиться в области потенциала равного бесконечности ($\Psi(\left|x\right|>\frac{a}{2})\equiv 0$). Исходя вышесказанного предположения уравнение (4) перепишем как:
где $x\in \left[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right].$ Для соблюдения условия непрерывности функции $\Psi$, выдвигается требование равенства нулю волновой функции на границах ямы:
Общее решение уравнения (5) запишем в виде:
где $k^2=\frac{2mE}{{\hbar }^2}$. Использовав условия (6), найдем:
В таком случае для энергии получаем:
где решение при $n=0$ отброшено. Из уравнения (9) следует, что в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, появляется дискретный спектр энергий.
Система собственных функций гамильтониана для частицы в яме имеет вид:
где из условия нормировки получают $A_n=\sqrt{\frac{2}{a}.}$
Гармонический осциллятор
Гармонический осциллятор в квантовой механике определим как частицу имеющую массу $m$ и потенциальную энергию $U=\frac{\varkappa x^2}{2}$, где $\varkappa ={\omega }^2m=const.$ Запишем уравнение Шредингера для нашего одномерно случая:
Уравнение (11) имеет конечные, однозначные и гладкие собственные функции при соответствующих собственных значениях $E$, которые равны:
Из уравнения (12) следует, что уровни энергии эквидистантны. Нулевая энергия равна $E_0=\frac{\hbar \omega }{2}$. То, что частица не может лежать на дне потенциальной ямы, связано с принципом неопределенности.
Для квантового осциллятора возможны переходы только между соседними «стационарными» уровнями, при этих переходах квантовое число изменяется на единицу. Это так называемое правило отбора для квантового гармонического осциллятора. При каждом из таких переходов излучается или поглощается фотон, энергия которого равна $\hbar \omega .$ Надо отметить, что говорить, что в стационарных состояниях квантовый осциллятор испытывает колебания с частотой $\omega \ $не верно.
Задание: Какова вероятность найти частицу в левой трети потенциальной ямы, если прямоугольная потенциальная яма имеет ширину $l$ и бесконечно высокие «стенки»? Частица находится в основном состоянии.
Решение:
Состояние частицы, находящейся в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками в основном состоянии (n=1) описывается волновой функцией вида:
\[\Psi_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}}sin\frac{\pi x}{l},0\ \le x\le \frac{l}{3}\left(1.1\right).\]Вероятность можно найти как:
\[P=\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{\left|\Psi_1\right|}^2dx=\frac{2}{l}}\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{sin}^2\frac{\pi x}{l}dx=}\frac{2}{l}\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{\frac{1}{2}(1-cos\frac{2\pi x}{l})dx=\frac{1}{l}\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{dx-\frac{1}{l}}}\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{cos\frac{2\pi x}{l}}dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{l}\frac{l}{2\pi }sin{\left.\frac{2\pi x}{l}\right|}^{\frac{l}{3}}_0=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi }sin\frac{2\pi }{3}\approx 0,195.\]Ответ: $P=0,195.$
Задание: Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширина которой $l$. Состояние частицы описывается волновой функцией вида:
$\Psi\left(x\right)=Ax(x-l)$. Каково распределение вероятностей разных значений энергии $(p\left(E_0\right),\ p\left(E_1\right),\dots $)?
Решение:
Прежде всего, следует нормировать волновую функцию на единицу, вычислить коэффициент A:
\[A^2\int\limits^l_0{x^2{(x-l)}^2}dx=A^2\int\limits^l_0{x^2(x^2-2xl+l^2)dx}=A^2\left\{\int\limits^l_0{x^4}dx-2l\int\limits^l_0{x^3}dx+l^2\int\limits^l_0{x^2}dx\right\}=A^2\left\{\frac{l^5}{5}-2l\frac{l^4}{4}+l^2\frac{l^3}{3}=\frac{12-30+20}{60}l^5\right\}=\frac{A^2l^5}{30}(2.1).\]Волновая функция имеет вид:
\[\Psi\left(x\right)=\sqrt{\frac{30}{l^5}}x\left(x-l\right)\left(2.2\right).\]Разложение волновой функции в ряд по собственным функциям $\Psi_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}}\ sin\frac{\pi (n+1)x}{l}\ {\rm при}{\rm \ }0 \[\Psi\left(x\right)=\sum{C_n\Psi_n\left(x\right)(2.3),}\]
где коэффициенты $C_n$ найдем как:
\[C_n=\sqrt{\frac{60}{l^6}}\int\limits^l_0{x\left(x-l\right)sin\frac{\pi(n+1)x}{l}}dx=-\frac{\sqrt{240}}{{\pi }^3}\frac{1+{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^3}\left(2.4\right).\]Вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии номер n равна:
\[p_n={\left|C_n\right|}^2\left(2.5\right).\]Используем результат, полученный в (2.4), имеем:
\[p\left(E_0\right)={\left(\frac{\sqrt{240}}{{\pi }^3}\frac{1+{\left(-1\right)}^0}{{\left(0+1\right)}^3}\right)}^2=\frac{960}{{\pi }^6}\approx 0,999.\] \[p\left(E_1\right)\approx 0,001\]Ответ: $p\left(E_0\right)\approx 0,999,\ p\left(E_1\right)\approx 0,001$ и т.д.
