В классической физике механический момент связан с магнитным моментом для точечной частицы, имеющей заряд q, массу mq запишем:
Для электрона магнитный момент представляют как:
где μB=qeℏ2me=9,27⋅10−24A⋅м2(ДжТл) -- магнетон Бора (система СИ), здесь me -- масса электрона.
В квантовой теории вместо векторов применяют операторы, соотношения между ними аналогично соотношению между векторами в классической теории:
где ^pm -- оператор магнитного момента электрона. Для проекций операторов на направление z, имеем:
где m=0,±1,±2,… -- магнитное квантовое число. Исследование свойств магнитного момента электрона сводят к изучению свойств операторов ^pm, ^pmz. Операторы ^pm и ˆL, также как и операторы ^pmz и ^Lz различны только постоянным множителем, то их свойства одинаковы. Данные моменты квантуются по одним правилам.
В стационарном состоянии значение определено только для модуля магнитного момента, который вызван движением электрона:
и одной из его проекций на произвольную ось Z. Принимая во внимание соотношения (3) и (4), а также:
где l -- орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме и
где m - магнитное квантовое число собственными значениями операторов ^pm и ^pmz для электрона являются:
где магнетон Бора (μB) выполняет роль кванта магнитного момента, точнее его проекции.
Магнетон Бора входит в определение спинового магнитного момента (ps) и его проекции (psz) на произвольную ось Z:
где ms=s,s−1,…,−s. s=12 (для элекрона) -- спиновое квантовое число, ms=±s.
Итак, магнетон Бора -- минимальная величина магнитного момента, которая проявляется в атоме. Магнитный аналог электрического диполя.
Задание: Каково изменение магнитного момента (△pm=pm2−pm1), которое вызывается орбитальным перемещением электрона из возбужденного 3p - состояния в основное в атоме водорода?
Решение:
Модуль магнитного момента орбитального движения электрона запишем как:
|pm|=μB√l(l+1)(1.1)Для основного состояния имеем l=0, тогда следуя (1.1) имеем:
pm2=0.Для возбуждённого состояния 3p имеем l=1, тогда используя (1.1) получим:
pm1=μB√1(1+1)=μB√2(1.2).Тогда искомое изменение равно:
△pm=−μB√2.Знак минус говорит о том, что магнитный момент уменьшается.
Используя известное значение величины магнетона Бора:
мB=qeℏ2me=9,27⋅10−24A⋅м2проведем вычисление изменения магнитного момента:
△pm=−9,27⋅10−24⋅√2=1,31⋅10−23(A⋅м2).Ответ: △pm=1,31⋅10−23A⋅м2.
Задание: Каков магнитный момент, который порожден движением электрона, если момент импульса электрона 1,83⋅10−34 Дж⋅с?
Решение:
Используем условие квантования момента импульса:
L=ℏ√l(l+1)(2.1).Выразим из (2.1) величину √l(l+1), имеем:
√l(l+1)=Lℏ(2.2).Модуль магнитного момента электрона определим как:
|pm|=μB√l(l+1)(2.3).Принимая во внимание выражение (2.2) преобразуем формулу (2.3) к виду:
|pm| запишем как:
|pm|=μBLℏ(2.4).Используя данные условий задачи и известные величины:
μB=qeℏ2me=9,27⋅10−24A⋅м2\textit{, }ℏ=1,05⋅10−34Дж⋅с\textit{, }проведем вычисление величины магнитного момента:
|pm|=9,27⋅10−241,83⋅10−341,05⋅10−34=1,62⋅10−23(A⋅м2).Ответ: pm=1,62⋅10−23A⋅м2.
Задание: Какими могут быть значения |pm|электрона в атоме водорода в возбужденном состоянии (в магнетонах Бора), если энергия возбуждения равна E=12,09 эВ?
Решение:
Модуль магнитного момента электрона можно найти как:
|pm|=μB√l(l+1)(3.1),где μB=9,27⋅10−24A⋅м2 известная нам величина, l -- орбитальное квантовое число, которое может принимать значения от 0 до n−1. Следовательно, чтобы ответить на вопрос задачи надо найти главное квантовое число (n). Известная величина для атома водорода -- энергия ионизации Ei=13,6 эВ, которая связана с энергией возбуждения выражением:
E=Ei(112−1n2)(3.2).Выражая из формулы (3.2) главное квантовое число получим:
n=√11−EEi=√11−12,09 13,6=3(3.3).При n=3 орбитальное квантовое число может принимать значения l=0,1,2. Получаем:
|pm0|=0. |pm1|=μB√1(1+1)=μB√2. |pm2|=μB√2(2+1)=μB√6.Ответ: pm0=0, pm1=мB√2, pm2=μB√6.
