В классической физике механический момент связан с магнитным моментом для точечной частицы, имеющей заряд $q$, массу $m_q$ запишем:
Для электрона магнитный момент представляют как:
где ${\mu }_B=\frac{q_e\hbar }{2m_e}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2(\frac{Дж}{Тл})$ -- магнетон Бора (система СИ), здесь $m_e$ -- масса электрона.
В квантовой теории вместо векторов применяют операторы, соотношения между ними аналогично соотношению между векторами в классической теории:
где $\widehat{p_m}$ -- оператор магнитного момента электрона. Для проекций операторов на направление $z$, имеем:
где $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots $ -- магнитное квантовое число. Исследование свойств магнитного момента электрона сводят к изучению свойств операторов $\widehat{p_m},\ \widehat{p_{m_z}}.$ Операторы $\widehat{p_m}$ и $\hat{L}$, также как и операторы $\widehat{p_{m_z}}$ и $\widehat{L_z}$ различны только постоянным множителем, то их свойства одинаковы. Данные моменты квантуются по одним правилам.
В стационарном состоянии значение определено только для модуля магнитного момента, который вызван движением электрона:
и одной из его проекций на произвольную ось $Z$. Принимая во внимание соотношения (3) и (4), а также:
где $l$ -- орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме и
где $m$ - магнитное квантовое число собственными значениями операторов $\widehat{p_m}$ и $\widehat{p_{m_z}}\ $ для электрона являются:
где магнетон Бора (${\mu }_B$) выполняет роль кванта магнитного момента, точнее его проекции.
Магнетон Бора входит в определение спинового магнитного момента ($p_s$) и его проекции ($p_{s_z}$) на произвольную ось $Z$:
где $m_s=s,s-1,\dots ,-s.$ $s=\frac{1}{2}\ (для\ элекрона)$ -- спиновое квантовое число, $m_s=\pm s.$
Итак, магнетон Бора -- минимальная величина магнитного момента, которая проявляется в атоме. Магнитный аналог электрического диполя.
Задание: Каково изменение магнитного момента ($\triangle p_m=p_{m2}-p_{m1}$), которое вызывается орбитальным перемещением электрона из возбужденного $3 p$ - состояния в основное в атоме водорода?
Решение:
Модуль магнитного момента орбитального движения электрона запишем как:
\[\left|p_m\right|={\mu }_B\sqrt{l\left(l+1\right)}(1.1)\]Для основного состояния имеем $l=0$, тогда следуя (1.1) имеем:
\[p_{m2}=0.\]Для возбуждённого состояния $3 p$ имеем $l=1$, тогда используя (1.1) получим:
\[p_{m1}={\mu }_B\sqrt{1\left(1+1\right)}={\mu }_B\sqrt{2}\left(1.2\right).\]Тогда искомое изменение равно:
\[\triangle p_m=-{\mu }_B\sqrt{2}.\]Знак минус говорит о том, что магнитный момент уменьшается.
Используя известное значение величины магнетона Бора:
\[м_B=\frac{q_e\hbar }{2m_e}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2\]проведем вычисление изменения магнитного момента:
\[\triangle p_m=-9,27\cdot {10}^{-24}\cdot \sqrt{2}=1,31\cdot {10}^{-23}\left(A\cdot м^2\right).\]Ответ: $\triangle p_m=1,31\cdot {10}^{-23}A\cdot м^2.$
Задание: Каков магнитный момент, который порожден движением электрона, если момент импульса электрона $1,83\cdot {10}^{-34}{\rm \ }{\rm Дж}\cdot {\rm с}$?
Решение:
Используем условие квантования момента импульса:
\[L=\hbar \sqrt{l\left(l+1\right)}\left(2.1\right).\]Выразим из (2.1) величину $\sqrt{l\left(l+1\right)}$, имеем:
\[\sqrt{l\left(l+1\right)}=\frac{L}{\hbar }\left(2.2\right).\]Модуль магнитного момента электрона определим как:
\[\left|p_m\right|={\mu }_B\sqrt{l\left(l+1\right)}\left(2.3\right).\]Принимая во внимание выражение (2.2) преобразуем формулу (2.3) к виду:
$\left|p_m\right|$ запишем как:
\[\left|p_m\right|={\mu }_B\frac{L}{\hbar }\left(2.4\right).\]Используя данные условий задачи и известные величины:
${\mu }_B=\frac{q_e\hbar }{2m_e}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2$\textit{, }$\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$\textit{, }проведем вычисление величины магнитного момента:
\[\left|p_m\right|=9,27\cdot {10}^{-24}\frac{1,83\cdot {10}^{-34}}{1,05\cdot {10}^{-34}}=1,62\cdot {10}^{-23}\left(A\cdot м^2\right).\]Ответ: $p_m=1,62\cdot {10}^{-23}A\cdot м^2.$
Задание: Какими могут быть значения $\left|p_m\right|$электрона в атоме водорода в возбужденном состоянии (в магнетонах Бора), если энергия возбуждения равна E=12,09 эВ?
Решение:
Модуль магнитного момента электрона можно найти как:
\[\left|p_m\right|={\mu }_B\sqrt{l\left(l+1\right)}\left(3.1\right),\]где ${\mu }_B$=$9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2\ $известная нам величина, $l$ -- орбитальное квантовое число, которое может принимать значения от $0$ до $n-1$. Следовательно, чтобы ответить на вопрос задачи надо найти главное квантовое число ($n$). Известная величина для атома водорода -- энергия ионизации $E_i=13,6\ эВ,\ $которая связана с энергией возбуждения выражением:
\[E=E_i\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2}\right)\left(3.2\right).\]Выражая из формулы (3.2) главное квантовое число получим:
\[n=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{E}{E_i}}}=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{12,09\ }{13,6}}}=3\left(3.3\right).\]При $n=3$ орбитальное квантовое число может принимать значения $l=0,1,2.$ Получаем:
\[\left|p_{m0}\right|=0.\] \[\left|p_{m1}\right|={\mu }_B\sqrt{1\left(1+1\right)}={\mu }_B\sqrt{2}.\] \[\left|p_{m2}\right|={\mu }_B\sqrt{2\left(2+1\right)}={\mu }_B\sqrt{6}.\]Ответ: $p_{m0}=0,\ p_{m1}=м_B\sqrt{2},\ p_{m2}={\mu }_B\sqrt{6}.$
