Определение полной замкнутой цепи
Полную замкнутую цепь (рис.1) можно рассматривать как последовательное соединение сопротивления внешней цепи (R) и внутреннего сопротивления источника тока (r). То есть:
Рис. 1
Если заменить источник тока таким, что его внутренне сопротивление равно такому же сопротивлению как и у предыдущего, то ток в цепи изменится. То есть ток в цепи зависит и от внутреннего сопротивления источника и от его ЭДС. Количественно все эти величины: ЭДС ($\mathcal E$) источника, его внутренне сопротивление, силу тока в цепи (I), электросопротивление цепи (R) связывает закон Ома.
Связь локального закона Ома с интегральным законом для замкнутой цепи
Допустим, что электрические токи текут в тонких проводах. В этом случае направления токов совпадают с направлением оси провода. Для тонких проводов можно считать, что плотность тока $\overrightarrow{j}=const$ в любой точке поперечного сечения провода. В нашем случае можно записать, что сила тока равна:
где $S$ -- площадь поперечного сечения проводника. Пусть мы имеем дело с постоянным током (I=const) вдоль всего проводника. Допустим, что в цепи присутствует источник ЭДС ($\mathcal E$). В данном случае локальная формулировка закона Ома будет иметь вид:
где $\overrightarrow{E}$ напряженность поля кулоновских сил, $\overrightarrow{E_{stor}}$ -- напряженность поля сторонних сил, $\sigma $ -- удельная проводимость, $\overrightarrow{e}$- единичный вектор, направленный по току. Для тонкого провода можно записать выражение (3), как:
Умножим выражение (4) на элемент длины проводника (dl) и найдем интеграл по участку проводника от точки 1 до точки 2. Так как силу тока мы признали постоянной, то имеем:
Электростатическое поле потенциально, следовательно:
Второй интеграл в выражении (5) не равен нулю только в пределах источника ЭДС. Он не зависит от положения точек 1 и 2. Они должны находиться только вне источника.
Считают, что ЭДС источника больше нуля, если путь 1-2 пересекает источник от отрицательного полюса к положительному.
где $R'$ -- электросопротивление, $\rho $ -- удельное сопротивление. Таким образом, из выражения (5) получаем:
Мы получили закон Ома в интегральной форме. В том случае, если цепь замкнута, то ${\varphi }_1={\varphi }_2$, следовательно:
где $R'$ -- электросопротивление всей цепи, электросопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника тока. То есть закон Ома для замкнутой цепи запишем как:
где $r$ -- электросопротивление источника тока.
Довольно часто приходится решать задачи, в которых напряжение на концах участка цепи не известно, но заданы сопротивления составных частей цепи и ЭДС источника, который питает цепь. Тогда используют закон Ома в виде (11) для расчета силы тока, которая течет в цепи.
Задание: Источник тока имеет внутреннее электросопротивление равное r . Найдите падение потенциала внутри источника ($U_r$) внутри элемента, если ток в цепи равен I. Как вычислить внешнее электросопротивление цепи при заданных условиях?
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем закон Ома для замкнутой цепи:
\[I=\frac{\mathcal E}{R+r}\left(1.1\right).\]Из формулы (1.1) легко получить формулу для расчета внешнего сопротивления:
\[I\left(R+r\right)=\mathcal E\to \mathcal E-Ir=IR\to R=\frac{\mathcal E}{I}-r.\]Для того чтобы вычислить падение напряжения внутри источника тока, используем закон Ома для участка цепи:
\[{I=\frac{U_r}{r}\to U}_r=Ir\ \left(1.2\right).\]Ответ: $U_r=Ir,$ $R=\frac{\mathcal E}{I}-r.$
Задание: Источник тока имеет внутреннее сопротивление равное r=1 Ом и ЭДС равную $\mathcal E$=10В. Найдите КПД источника ($\eta $), если ток в цепи равен I=5 А.
Решение:
Коэффициент полезного действия источника тока равен отношению:
\[\eta =\frac{P'}{P}\left(2.1\right),\]где $P'$ - мощность (полезная мощность), которая выделяется внешним участком цепи, $P$- полная мощность, которая развивается источником. При этом:
\[P'=I^2R\ \left(2.2\right),\ \] \[P=\mathcal E I\ \left(2.3\right).\]Следовательно, КПД источника можно выразить как:
\[\eta =\frac{I^2R\ }{\mathcal E I}=\frac{IR}{\mathcal E}\left(2.4\right).\]Следуя закону Ома для замкнутой цепи запишем:
\[I=\frac{\mathcal E}{R+r}\left(2.5\right).\]Выразим из (2.5) электросопротивление внешней цепи, получим:
\[R=\frac{\mathcal E}{I}-r(2.6).\]Подставим (2.6) в выражение для КПД (2.4), получим:
\[\eta =\frac{I\left(\frac{\mathcal E}{I}-r\right)}{\mathcal E}=\frac{\mathcal E-Ir}{\mathcal E}.\]Подставим численные данные, проведем вычисления, получим:
\[\eta =\frac{10-5\cdot 1}{10}\cdot 100\%=50\%\]Ответ: 50%
