Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Интегральная формулировка закона Би-Савара-Лапласа

Уравнение, описывающее возникновение магнитного поля электрическим током, называется законом Био-Савара-Лапласа. Био и Савар установили его экспериментально, Лаплас облек в его математическую форму. Для замкнутого тока данный закон записывается как:

где r -- радиус-вектор, проведенный от элемента тока Idl к точке, в которой ищется индукция магнитного поля (B), μ0=4π107Гнм(в СИ) - магнитная постоянная. Интегрирование проводят по замкнутому контуру тока. Считается, что ток является линейным. Для объемных токов закон Био -- Савара-Лапласа записывается в несколько ином виде:

В формуле (2) интегрирование проводят по всем областям пространства, где присутствуют объемные токи, j- плотность тока. Оба выражения (1) и (2) применимы только для постоянных токов.

Элементарная формулировка закона

Элементарном виде закон Био-Савара - Лапласа записывают соответственно:

где модуль элемента индукции магнитного поля равен:

или

Постоянные токи всегда замкнуты. Все наблюдаемые величины остались бы неизменными, если в правую часть формулы (3) добавить произвольное слагаемое, интеграл от которого по замкнутому контуру обращается в ноль. Из этого следует, что в рамках учения о постоянных токах элементарный закон Био -- Савара - Лапласа в формах (3) и (5) принципиально невозможно проверить опытным путем. Нельзя выделить на практике отдельные элементы постоянных токов и проводить с ними эксперименты. Опытной проверке можно подвергнуть только интегральные формы данного закона (1), (2).

Закон Био -- Савара -- Лапласа применяют для расчета магнитных полей. Векторы dB,dl и r  связаны правилом правого винта. Вектор dB перпендикулярен плоскости в которой находятся dl и r. В тех случаях, когда проводник с током и точка, где ищется поле, лежат в одной плоскости, все элементарные векторы поля направлены вдоль одной прямой. В остальных случаях dB не лежат не одной прямой. Магнитное поле элемента тока имеет осевую симметрию. Если магнитное поле имеет осевую симметрию, точка в которой ищут поле лежит на этой оси, то искомый вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси симетрии.

«Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Полевая трактовка закона

Аналогично электростатике взаимодействие элементов тока представляют двумя стадиями.

  1. Один из элементов тока (I1dl1) создает магнитное поле в точке, где находится второй ток (I2dl2):
  2. dB12=μ04πI1[dl1r12]r123(6).
  3. Второй элемент тока (I2dl2) взаимодействует с магнитным полем dB12, что ведет к возникновению силы dF12:
  4. dF12=I2dl2×dB12 (7).
Пример 1

Задание: По плоскому контуру, который изображен на рис.1 течет постоянный ток силы I. Угол, между прямолинейными участками контура равен 900. Радиусы контуров R1 и R2. Какова магнитная индукция в точке C?

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Рис. 1

Решение:

В точке С магнитное поле создают четыре проводника с током. Два из них прямолинейные, конечной длины, два являются частями витков с током.

В качестве основы для решения задачи используем закон Био -- Савара -- Лапласа в виде:

B=μ04πI[dlr]r3(1.1).

Выделим в интеграле (1.1) четыре интеграла, по количеству участков -- проводников:

B=μ04π(1I[dlr]r3+2I[dlr]r3+3I[dlr]r3+4I[dlr]r3)(1.2).

В подынтегральном выражении мы имеем векторное произведение, модуль которого равен:

|dl×r|=|dl||r|sin(^lr) (1.3).

В таком случае, получим, что

2I[dlr]r3=0 (1.4)

так как для данного участка проводника dl↑↓r, следовательно, угол между этими векторами равен 1800, следовательно, sinπ=0.

4I[dlr]r3=0(1.5).

для данного участка проводника dl↑↑r, следовательно, угол между этими векторами равен 00, следовательно, sin0=0.

В соответствии с приведенными выше рассуждениями получаем, что поле в точке С можно найти как сумму двух интегралов:

B=μ04π(1I[dlr]r3+3I[dlr]r3)(1.6).

Или как сумму полей двух токов, которые текут в двух дугах окружностей. Для дуги окружности запишем:

r=R,dlR, sinπ2=1, sindα2=dl2R,dαмал,sindα2dα2 Rdα=dl.

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

dB=μ0I4πRR2dα=μ0I4πRdα(1.7),

где α1αα2.

Тогда для части окружности с радиусом R1 запишем, что элемент поля в точке С равен:

B1=μ0I4πR1π20dα=μ0πI8πR1 (1.8)

для части окружности с радиусом R2 запишем, что элемент поля в точке С равен:

B2=μ0I4πR20π2dα=μ0πI8πR2 (1.9).

Результирующее поле равно:

B=μ0Iez8[1R11R2],

где ez- единичный орт, направленный перпендикулярно плоскости чертежа.

Ответ: B=μ0Iez8[1R11R2].

Пример 2

Задание: Проводник имеет сечение формы тонкого полукольца с радиусом R. По нему течет ток силой I. Найдите индукцию магнитного поля в точках на оси полого полуцилиндра.

Решение:

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Рис. 2

Для решения задачи, данный проводник необходимо рассматривать как совокупность множества нитей с током, которые имею форму полуокружностей. Результирующая магнитная индукция будет направлена вдоль оси X (рис.2).

Индукцию одной нити будем искать с помощью закона Био -- Савара -- Лапласа.

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

dB=μ0I4πdlcosφr2(2.1),

где cosφ=sin(α), где α -- угол между элементом тока и радиус-вектором точки (r), где ищем поле. Рассматривая треугольник, который построен на элементе dl, в котором можно записать:

l=rsinφ, Rtgφ=ldl=Rdφcos2φ
r=Rcosφ(2.2).

Тогда в центре полуокружности одна нить с током создает магнитное поле с индуктивностью равной:

B=μ0I4ππ2π2Rcosφdφcos2φR2cos2φ=μ0I4ππ2π2cosφdφR=μ0I4πRsinφ|π2π2=μ0I2R(2.3).

Индукцию всего проводника найдем как:

B=π0dBsinβ(2.4),

где dB- запишем как:

dB=μ0dI2πR(2.5).

Элемент тока в нашем случае можно записать как:

dI=Ildl=IlRdβ(2.6).

Подставим (2.6) в (2.5), за тем в (2.4), найдем искомую величину:

B=π0μ0IRdβ2Rπlsinβ=μ0I2πlπ0sinβdβ=μ0I2πl(cosβ)π0=μ0Iπl(2.7).

Длина полуокружности равна:

l=πR (2.8).

Ответ: B=μ0Iπ2R.

Дата последнего обновления статьи: 05.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant