Интегральная формулировка закона Би-Савара-Лапласа
Уравнение, описывающее возникновение магнитного поля электрическим током, называется законом Био-Савара-Лапласа. Био и Савар установили его экспериментально, Лаплас облек в его математическую форму. Для замкнутого тока данный закон записывается как:
где →r -- радиус-вектор, проведенный от элемента тока Id→l к точке, в которой ищется индукция магнитного поля (→B), μ0=4π⋅10−7Гнм(в СИ) - магнитная постоянная. Интегрирование проводят по замкнутому контуру тока. Считается, что ток является линейным. Для объемных токов закон Био -- Савара-Лапласа записывается в несколько ином виде:
В формуле (2) интегрирование проводят по всем областям пространства, где присутствуют объемные токи, →j- плотность тока. Оба выражения (1) и (2) применимы только для постоянных токов.
Элементарная формулировка закона
Элементарном виде закон Био-Савара - Лапласа записывают соответственно:
где модуль элемента индукции магнитного поля равен:
или
Постоянные токи всегда замкнуты. Все наблюдаемые величины остались бы неизменными, если в правую часть формулы (3) добавить произвольное слагаемое, интеграл от которого по замкнутому контуру обращается в ноль. Из этого следует, что в рамках учения о постоянных токах элементарный закон Био -- Савара - Лапласа в формах (3) и (5) принципиально невозможно проверить опытным путем. Нельзя выделить на практике отдельные элементы постоянных токов и проводить с ними эксперименты. Опытной проверке можно подвергнуть только интегральные формы данного закона (1), (2).
Закон Био -- Савара -- Лапласа применяют для расчета магнитных полей. Векторы d→B,d→l и →r связаны правилом правого винта. Вектор d→B перпендикулярен плоскости в которой находятся d→l и →r. В тех случаях, когда проводник с током и точка, где ищется поле, лежат в одной плоскости, все элементарные векторы поля направлены вдоль одной прямой. В остальных случаях d→B не лежат не одной прямой. Магнитное поле элемента тока имеет осевую симметрию. Если магнитное поле имеет осевую симметрию, точка в которой ищут поле лежит на этой оси, то искомый вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси симетрии.
Полевая трактовка закона
Аналогично электростатике взаимодействие элементов тока представляют двумя стадиями.
- Один из элементов тока (I1dl1) создает магнитное поле в точке, где находится второй ток (I2dl2): d→B12=μ04πI1[d→l1→r12]r123(6).
- Второй элемент тока (I2dl2) взаимодействует с магнитным полем d→B12, что ведет к возникновению силы d→F12: d→F12=I2dl2×d→B12 (7).
Задание: По плоскому контуру, который изображен на рис.1 течет постоянный ток силы I. Угол, между прямолинейными участками контура равен 900. Радиусы контуров R1 и R2. Какова магнитная индукция в точке C?
Рис. 1
Решение:
В точке С магнитное поле создают четыре проводника с током. Два из них прямолинейные, конечной длины, два являются частями витков с током.
В качестве основы для решения задачи используем закон Био -- Савара -- Лапласа в виде:
→B=μ04π∮I[d→l→r]r3(1.1).Выделим в интеграле (1.1) четыре интеграла, по количеству участков -- проводников:
→B=μ04π(∫1I[d→l→r]r3+∫2I[d→l→r]r3+∫3I[d→l→r]r3+∫4I[d→l→r]r3)(1.2).В подынтегральном выражении мы имеем векторное произведение, модуль которого равен:
|d→l×→r|=|d→l||→r|sin(^→l→r) (1.3).В таком случае, получим, что
∫2I[d→l→r]r3=0 (1.4)так как для данного участка проводника d→l↑↓→r, следовательно, угол между этими векторами равен 1800, следовательно, sinπ=0.
∫4I[d→l→r]r3=0(1.5).для данного участка проводника d→l↑↑→r, следовательно, угол между этими векторами равен 00, следовательно, sin0=0.
В соответствии с приведенными выше рассуждениями получаем, что поле в точке С можно найти как сумму двух интегралов:
→B=μ04π(∫1I[d→l→r]r3+∫3I[d→l→r]r3)(1.6).Или как сумму полей двух токов, которые текут в двух дугах окружностей. Для дуги окружности запишем:
r=R,→dl⊥→R, sinπ2=1, sindα2=dl2R,dα−мал,sindα2≈dα2 →Rdα=dl.Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:
dB=μ0I4πRR2dα=μ0I4πRdα(1.7),где α1≤α≤α2.
Тогда для части окружности с радиусом R1 запишем, что элемент поля в точке С равен:
B1=μ0I4πR1π2∫0dα=μ0πI8πR1 (1.8)для части окружности с радиусом R2 запишем, что элемент поля в точке С равен:
B2=μ0I4πR20∫π2dα=−μ0πI8πR2 (1.9).Результирующее поле равно:
→B=μ0I→ez8[1R1−1R2],где →ez- единичный орт, направленный перпендикулярно плоскости чертежа.
Ответ: →B=μ0I→ez8[1R1−1R2].
Задание: Проводник имеет сечение формы тонкого полукольца с радиусом R. По нему течет ток силой I. Найдите индукцию магнитного поля в точках на оси полого полуцилиндра.
Решение:
Рис. 2
Для решения задачи, данный проводник необходимо рассматривать как совокупность множества нитей с током, которые имею форму полуокружностей. Результирующая магнитная индукция будет направлена вдоль оси X (рис.2).
Индукцию одной нити будем искать с помощью закона Био -- Савара -- Лапласа.
Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:
dB′=μ0I4πdlcosφr2(2.1),где cosφ=sin(α), где α -- угол между элементом тока и радиус-вектором точки (→r), где ищем поле. Рассматривая треугольник, который построен на элементе dl, в котором можно записать:
l=rsinφ, Rtgφ=l→dl=Rdφcos2φТогда в центре полуокружности одна нить с током создает магнитное поле с индуктивностью равной:
B′=μ0I4ππ2∫−π2Rcosφdφcos2φR2cos2φ=μ0I4ππ2∫−π2cosφdφR=μ0I4πRsinφ|π2−π2=μ0I2R(2.3).Индукцию всего проводника найдем как:
B=π∫0dB′sinβ(2.4),где dB′- запишем как:
dB′=μ0dI2πR(2.5).Элемент тока в нашем случае можно записать как:
dI=Ildl=IlRdβ(2.6).Подставим (2.6) в (2.5), за тем в (2.4), найдем искомую величину:
B=π∫0μ0IRdβ2Rπlsinβ=μ0I2πlπ∫0sinβdβ=μ0I2πl(−cosβ)π0=μ0Iπl(2.7).Длина полуокружности равна:
l=πR (2.8).Ответ: B=μ0Iπ2R.