Зоны Френеля

Вычисление амплитуды световых колебаний с использованием аналитического выражения принципа Гюйгенса - Френеля является в общем случае сложной, нетривиальной задачей. Однако Френель показал, что в некоторых случаях при наличии симметрии найти амплитуду суммарных колебаний можно используя алгебраическое или геометрическое суммирование.

Пусть сферическая или плоская волна попадает на экран с отверстием. Необходимо определить, как распределяется интенсивность света за экраном. Для того чтобы решить эту задачу используя принцип Гюйгенса - Френеля делают предположения:

1. Непрозрачные части экрана не работают как источники вторичных волн.

2. В отверстии экрана точки волнового фронта служат источником вторичных волн, как будто нет экрана.

Пусть точка А является источником сферической волны, $S$ - волновой фронт в момент времени $t$.

Рисунок 1.

Для того чтобы найти интенсивность волны в точке $В$, надо разбить поверхность $М$ на зоны - кольца, имеющие такие размеры, чтобы расстояния от краев зоны до точки $В$ были различны на величину $\frac{\lambda }{2}$. Границы зон на рис.1 обозначены как $M_0,\ M_1,\ M_2,\dots$ Запишем вышеназванное условие как:

Рисунок 2.

Центральная зона носит название нулевой ($M_0$). Иногда центральную зону называют первой, при этом говорят, что $m=1,2,$ ...

Радиусы и площади зон Френеля

Для определения радиусов зон рассмотрим рисунок (рис. 2). На этом рисунке: радиусы зон $r_1,\ r_2,\dots ,r_m.$ $R$ - радиус кривизны сферического фронта волны. Точка $D$ обозначает место пересечения фронта волны с прямой $АВ$, $d_1,\ d_2,\dots ,d_m-$ расстояния от точки $D$ до проекции границы соответствующей зоны на прямую $АВ$. Из рис.2 видно, что для радиуса $r_m$ будет справедливо уравнение:

Рисунок 3.

Если ограничиться точностью величин до ${\lambda }^2$ из уравнения (2) следует:

Используя второе выражение из (3) площадь нулевой зоны найдем как:

Найдем суммарную площадь первой и нулевой зон, получим:

Соответственно площадь первой зоны равна:

Получилось, что площадь первой зоны равна площади нулевой зоны. Выражение (6) определяет площади и всех остальных зон. Пренебрегая кривизной поверхности фронта волны считают, что площадь кольцевой зоны на поверхности волнового фронта равна ее проекции на плоскость, которая перпендикулярна прямой $АВ$. Если радиусы зон Френеля существенно меньше радиуса кривизны волнового фронта, то ошибка в таком допущении небольшая. Если длины волн малы, из формулы (3) можно сделать вывод, что данное условие хорошо выполнимо для большого количества зон Френеля.

Амплитуды колебаний

Амплитуды колебаний, которые возбуждаются в точке В зонами Френеля образуют монотонно убывающую последовательность. При этом фазы колебаний, которые возбуждают соседние зоны отличны на $\pi$. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке В может быть записана как:

Запишем выражение (7) в ином виде:

Так как амплитуда ($A_m$) монотонно убывает, то приближенно можно положить, что:

В таком случае выражение (8) преобразуется до:

В соответствии с выражением (10) амплитуда волны в точке $В$ равна половине амплитуды волны, которая создается центральной зоной.