Уравнение волновых нормалей Френеля

Рассмотрим поведение плоских световых волн в анизотропной среде. Для этого используем уравнения:

Выразим из уравнения $(1.b)$ вектор $\overrightarrow{H}$ и подставим его в $\left(1.a\right)$, имеем:

где $v=\frac{\omega }{k}.$ Дальнейшие преобразования будем вести в декартовой системе координат, причем будем считать, что оси ее совпадают с главными осями тензора диэлектрической проницаемости, то есть:

В такой системе координат уравнение (2) примет вид трех скалярных уравнений:

Допустим, что вектор $\overrightarrow{E}\ $направлен по одной из главных диагоналей тензора диэлектрической проницаемости (например, $X$). В таком случае можно записать:

В этом случае уравнения (4) превращаются в одно уравнение:

где $v_1$ -- фазовая скорость, индекс 1 соответствует волне, у которой векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{D}$ коллинеарны оси $X$. Так как $E_1\ne 0$, то из уравнения (6) следует, что:

Аналогичными будут формулы для осей $Y$ и $Z$. То есть запишем:

$v_i$ называют главными скоростями распространения волны. Эти скорости не являются проекциями фазовой скорости волны на координатные оси, а характеризует фазовую скорость волны, векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{D}$ которой коллинеарны соответствующим осям. Учитывая выражение (7) векторное уравнение (2) можно представить:

Если умножить обе части уравнения (8) на $\frac{n_i}{1-\frac{v^2}{v^2_i}}$ и провести суммирование по i, то получим уравнение:

Учтем, что $\sum\limits_i{{n_i}^2=1}$, выражение (9) легко приводится к виду:

Формула (10)называется уравнением Френеля (уравнением волновых нормалей Френеля). С его помощью находят фазовую скорость в направлении $n_1,\ n_2,\ n_3.$ Уравнение (10)можно преобразовать к квадратному уравнению относительно фазовой скорости $v.$ Оно имеет два корня. Получается, что в любом направлении в анизотропной среде распространяются две волны с разными фазовыми скоростями ($v'и\ v''$), имеющими ортогональные поляризации ($D'\bot D''$). Получается, что при попадании световой волны в анизотропную среду она распадается на две волны, ортогонально поляризованные с разными скоростям и направлениями переноса энергии.

Уравнение (10) будет удовлетворяться, если в его левой части стоят слагаемые с разными знаками. Значит, $v^2\ $ни больше, ни меньше всех ${v_i}^2.$ Для того, чтобы найти корни уравнения (10) можно построить график функции $f(v^2)$ вида:

Такой график представлен на рис.1.

Рисунок 1.

На рис.1 пунктирные линии проводятся через точки ${v_i}^2.$ На рис.1 видно, что существуют два действительных значения ${v_i}^2$, которые удовлетворяют уравнению (10). Это значит, как уже говорилось, что в избранном направлении могут распространяться волны с двумя разными фазовыми скоростями $(v'и\ v''$), величины которых находятся между минимальной и средней, средней и максимальной из скоростей $v_i$.