Рассмотрим поведение плоских световых волн в анизотропной среде. Для этого используем уравнения:
Выразим из уравнения (1.b) вектор →H и подставим его в (1.a), имеем:
где v=ωk. Дальнейшие преобразования будем вести в декартовой системе координат, причем будем считать, что оси ее совпадают с главными осями тензора диэлектрической проницаемости, то есть:
В такой системе координат уравнение (2) примет вид трех скалярных уравнений:
Допустим, что вектор →E направлен по одной из главных диагоналей тензора диэлектрической проницаемости (например, X). В таком случае можно записать:
В этом случае уравнения (4) превращаются в одно уравнение:
где v1 -- фазовая скорость, индекс 1 соответствует волне, у которой векторы →E и →D коллинеарны оси X. Так как E1≠0, то из уравнения (6) следует, что:
Аналогичными будут формулы для осей Y и Z. То есть запишем:
vi называют главными скоростями распространения волны. Эти скорости не являются проекциями фазовой скорости волны на координатные оси, а характеризует фазовую скорость волны, векторы →E и →D которой коллинеарны соответствующим осям. Учитывая выражение (7) векторное уравнение (2) можно представить:
Если умножить обе части уравнения (8) на ni1−v2v2i и провести суммирование по i, то получим уравнение:
Учтем, что ∑ini2=1, выражение (9) легко приводится к виду:
Формула (10)называется уравнением Френеля (уравнением волновых нормалей Френеля). С его помощью находят фазовую скорость в направлении n1, n2, n3. Уравнение (10)можно преобразовать к квадратному уравнению относительно фазовой скорости v. Оно имеет два корня. Получается, что в любом направлении в анизотропной среде распространяются две волны с разными фазовыми скоростями (v′и v″), имеющими ортогональные поляризации (D′⊥D″). Получается, что при попадании световой волны в анизотропную среду она распадается на две волны, ортогонально поляризованные с разными скоростям и направлениями переноса энергии.
Уравнение (10) будет удовлетворяться, если в его левой части стоят слагаемые с разными знаками. Значит, v2 ни больше, ни меньше всех vi2. Для того, чтобы найти корни уравнения (10) можно построить график функции f(v2) вида:
Такой график представлен на рис.1.
Рисунок 1.
На рис.1 пунктирные линии проводятся через точки vi2. На рис.1 видно, что существуют два действительных значения vi2, которые удовлетворяют уравнению (10). Это значит, как уже говорилось, что в избранном направлении могут распространяться волны с двумя разными фазовыми скоростями (v′и v″), величины которых находятся между минимальной и средней, средней и максимальной из скоростей vi.
Задание: В каждом направлении в анизотропном веществе могут распространяться две волны с разными фазовыми скоростями (v′и v″). Покажите, что их векторы электрического смещения перпендикулярны (D′⊥D″).
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем уравнение:
→n(→n⋅→E)−→E+μ0v2→D=0(1.1)Запишем его дважды для D′,E′ и D″,E″:
→n(→n⋅→E′)−→E′+μ0v′2→D′=0(1.2),Умножим выражение (1.2) скалярно на →D″, учтем, что (→n⋅→D=0) получим:
→E′→D″=μ0v′2→D′→D″(1.4).Уравнение (1.3) умножим на →D′, получим:
→E″→D′=μ0v″2→D″→D′(1.5).Расписав в главных осях выражения →E′→D″ получим:
→E′→D″=∑iE′iε0εiE″i=∑iE″iε0εiE′i=→E″→D′(1.6).Если левые части выражений (1.4) и (1.5) равны, то равны правые части:
μ0v′2→D′→D″=μ0v″2→D″→D′(1.7).Проведем небольшие преобразования выражения (1.7), получим:
v′2→D′→D″−v″2→D″→D′=0→(v′2−v″2)→D′→D″=0(1.8).Так как v′2≠v″2, то →D′→D″=0, так как модули данный векторов отличны от нуля, следовательно, они перпендикулярны друг другу. Что следовало показать.
Задание: Существуют ли направления распространения световой волны в анизотропной среде, в которых фазовые скорости (решения уравнения волновых нормалей (v′и v″)) совпадают?
Решение:
Рассмотрим уравнение волновых нормалей Френеля:
nx2v2−vx2+ny2v2−vy2+nz2v2−vz2=0 (2.1).Если избрать направление распространения волны, например таким, что:
nx2=vx2−vy2vx2−vz2, ny2=0, nz2=vy2−vz2vx2−vz2,два решения уравнения Френеля совпадают, что означает: v′=v″. Такие направления называют оптическими осями кристалла.
Ответ: Существуют (оптические оси кристаллов).