Физический смысл углового спектра
Допустим, что комплексное поле плоской волны, распространяющейся по оси $Z$, описано функцией $E(x,y,$ при $z=0)$, тогда поле в некоторой точке $P$ с координатами $(x,y,z)$ будет $E(x,y,z)$. В плоскости $XY$ Фурье -- образ представлен как:
Операцию преобразования Фурье рассматривают как представление сложной функции как суммы простых комплексных экспонент. Так обратный Фурье - образ:
Уравнение плоской волны, обладающей амплитудой равной единице, запишем как:
где направляющие косинусы нормали к волновому фронту обозначены как ($\alpha ,\beta ,\gamma $), при этом они связаны соотношением:
Тогда в плоскости $z=0$ функцию $e^{2\pi i(ux+vy)}$ можно принять за плоскую волну с направляющими косинусами:
Комплексная амплитуда данной плоской волны будет $F\left(u,v\right)dudv,$ где $u=\frac{\alpha }{\lambda },\ v=\frac{\beta }{\lambda }.$ Следовательно, функция вида:$\ $
называется угловым спектром возмущения $E\left(x,y,0\right).$
Возмущение в точке пространства с координатами $(x,y,z)$ можно выразить через угловой спектр как:
Влияние ширины отверстия на угловой спектр возмущения
Допустим, что на бесконечный непрозрачный экран с отверстием $S$, размещенный в плоскости $z=0$ падает световая волна. Допустим, что угловой спектр возмущения, достигший экрана - $F_i\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda }\right)$. Амплитудный коэффициент пропускания экрана определяется выражением:
Рисунок 1.
Используем граничные условия Кирхгофа к возмущению $E$, полагая, что экран не возмущает волн, которые падали бы на отверстие $S$, кроме того поля в области геометрической тени нет. Следовательно, поле в плоскости за экраном запишем как:
где $E_i\left(x,y,0\right)$ -- поле волны падающей на экран. Используя теорему свертки, угловой спектр $F_{\tau }\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda }\right)$ прошедших за экран волн представим:
где
Из выражений (10) и (11) видно, что угловой спектр возмущения за экраном определен сверткой углового спектра возмущения падающего на экран и углового спектра самого отверстия.
Для одной плоской волны, имеющей амплитуду равную единице, попадающей на отверстие перпендикулярно можно записать угловой спектр для падающей волны:
В таком случае угловой спектр прошедшей через отверстие волны имеет вид:
Прошедший через отверстие угловой спектр находится с помощью преобразования Фурье функции пропускания отверстия.
Итак, введение отверстия, которое ограничивает в пространстве падающую волну, ведет к увеличению ширины углового спектра возмущения. В том случае, если отверстие освещено плоской волной, то угловой спектр света, прошедшего за экран может быть найден как преобразование Фурье функции пропускания отверстия. При уменьшении отверстия ширина спектра за отверстием увеличивается.
Подобный эффект наблюдается и в случае импульсных электрических сигналов. Ограничения длительности функции по времени ведет к расширению ее спектра частоты.
Задание: Покажите, что если направляющие косинусы ($\alpha ,\beta $) волны распространяющейся по оси $Z$ удовлетворяют условию ${\alpha }^2{+\beta }^2
Решение:
Рассмотрим угловой спектр возмущения $E$ в плоскости $XY$ на расстоянии $z$ от нее. Пусть $F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)$ -- угловой спектр функции $E(x,y,z),$ то есть запишем:
\[F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)=\iint\limits^\infty_{-infty}{E(x,y,z)exp\left[-2 \pi i\left(\frac{\alpha }{\lambda }x+\frac{\beta }{\lambda }y\right)\right]}dxdy\left(1.1\right).\]Возмущение $E\left(x,y,z\right)$представим как:
\[E\left(x,y,z\right)=\iint\limits^{\infty }_{-\infty }{F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)}exp\left[2\pi i\left(\frac{\alpha }{\lambda }x+\frac{\beta }{\lambda }y\right)\right]d\frac{\alpha }{\lambda }d\frac{\beta }{\lambda }\left(1.2\right).\]В тех точках, где источник отсутствует функция $E\left(x,y,z\right)$ удовлетворяет уравнению:
\[{\nabla }^2E+k^2E=0\left(1.3\right).\]Используя (1.2) и уравнение Гельмгольца (1.3), получим, что функция $F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)$ должна удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка:
\[\frac{d^2}{dz^2}F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)+{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2\left[1-{\alpha }^2-{\beta }^2\right]F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)=0\left(1.4\right).\]Частное решение уравнения (1.4) запишем как:
\[F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)=F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda }\right)exp\left[\frac{2 \pi i}{\lambda}\sqrt{1-{\left(\alpha \right)}^2-{\left(\beta \right)}^2}z\right]\left(1.5\right).\]Из уравнения (1.5) следует, что если направляющие косинусы подчиняются условию:
\[{\alpha }^2{+\beta }^2то распространение волны на расстояние $z$ проявляется только в изменении относительных фаз разных составляющих углового спектра. Сдвиги фаз появляются из-за того, что плоские волны распространяются под разными углами и проходят различные расстояния, до момента попадания в точку наблюдения.Задание: Как можно охарактеризовать световые волны, когда направляющие косинусы (см. Пример 1) удовлетворяют условию: ${\alpha }^2{+\beta }^2 >1$?
Решение:
Обратимся вновь к выражению, которое определяет угловой спектр (Пример 1):
\[F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)=F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda }\right)exp\left[\frac{2\pi i}{\lambda }\sqrt{1-{\left(\alpha \right)}^2-{\left(\beta \right)}^2}z\right]\left(2.1\right).\]В том случае, если ${\alpha }^2{+\beta }^2 >1$, квадратный корень в правой части выражения (2.1) станет мнимым. Выражение (2.1) можно представить как:
\[F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda },z\right)=F\left(\frac{\alpha }{\lambda },\ \frac{\beta }{\lambda }\right)exp\left[-\mu z\right]\left(2.2\right),\]где $\mu =\frac{2\pi }{\lambda }\sqrt{{\left(\alpha \right)}^2+{\left(\beta \right)}^2-1}$ -- положительное действительное число. Следовательно, эти составляющие волны существенно ослабляются в ходе их распространения. Мы имеем дело с затухающими волнами.
Ответ: Затухающие волны.
