В том случае, если среда, где распространяются волны, линейна (свойства среды неизменны при прохождении света), к волнам можно применить принцип суперпозиции. Его смысл заключен в следующем:
При распространении в линейной среде совокупности волн, каждая волна распространяется так, словно других волн нет, результат можно найти как сумму отдельных колебаний.
Допустим, что у нас имеется $N$ колебаний с одинаковыми амплитудами ($a$), фаза колебаний отличается на величину $\delta $. В результате суперпозиции колебания можно представить как:
Выражение (1) можно записать в экспоненциальном виде как:
Далее значок $Re$ будем опускать, считая, что физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции. В правой части выражения (2) имеем геометрическую прогрессию из N членов:
Следовательно, получаем:
где $\hat{A}=a\frac{1-e^{iN\delta }}{1-e^{i\delta }}(5)$ -- комплексна амплитуда, ее можно представить как:
$\alpha $ - начальная фаза колебания. Произведение: $\hat{A}\cdot {\hat{A}}^*=A^2.$ Используем выражение (5) для нахождения квадрата амплитуды, получим:
Нам известно, что интенсивность света (I) прямо пропорциональна квадрату амплитуды, то есть $I\sim A^2$, следовательно, можно записать:
где $I_0=Кa^2$ - интенсивность одного луча. Если дважды взять предел функции $\frac{sin^2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin^2\left(\frac{\delta }{2}\right)}$ при $\delta \to 2\pi m$, то можно получить при $\delta =2\pi m$:
Формула (9) определяет главные максимумы интенсивности. Их положение определяет условие:
где $m$ - порядок главного максимума. В пространстве между соседними главными максимумами расположен $N-1$ минимум. В промежутках между этими минимумами лежат $N-2$ вторичных максимума. Большую интенсивность имеют вторичные максимумы, которые расположены ближе всех к главному минимуму.
Определите, во сколько раз интенсивность вторичного максимума, ближайшего к главному отличается от интенсивности главного максимума при суперпозиции большого количества волн одинаковой амплитуды.
Решение:
Вторичные максимумы расположены между $N-1$ минимумами. Чем ближе вторичный максимум к главному, тем больше его интенсивность. Так, вторичный максимум, который является самым близким к главному, находится между первым ($k'=1$) и вторым минимумами ($k'=2$). Минимумы отвечают условию разницы фаз:
\[\delta =2\pi \frac{k'}{N}\ \left(k'=1,2,\dots ,N-1\right)\left(1.1\right).\]Тогда необходимые нам минимумы отвечают значениям $\delta $:
\[\delta =\frac{2\pi }{N}\ и\ \frac{4\pi }{N}.\]Что означает, что вторичному максимуму соответствует значение:
\[\delta =\frac{3\pi }{N}\left(1.2\right).\]Для нахождения интенсивности в этом максимуме применим формулу зависимости $I\left(\delta \right)$, подставим соответствующее значение $\delta $ из (1.2):
\[I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)=Кa^2\frac{sin^2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin^2\left(\frac{\delta }{2}\right)}=Кa^2\frac{sin^2\left(\frac{N\frac{3\pi }{N}}{2}\right)}{sin^2\left(\frac{\frac{3\pi }{N}}{2}\right)}=Кa^2\frac{sin^2\left(\frac{3\pi }{2}\right)}{sin^2\left(\frac{3\pi }{2N}\right)}\left(1.3\right).\]При большом количестве волн ($N$) можно считать, что $\frac{3\pi }{2N}\to 0$, можно положить $sin\frac{3\pi }{2N}\approx \frac{3\pi }{2N}$, в этом случае выражение (1.3) можно представить как:
\[I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)=Кa^2\frac{1}{{\left(\frac{3\pi }{2N}\right)}^2}=\frac{Кa^2N^2}{{\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^2}\left(1.4\right).\]Интенсивность главного максимума равна:
\[I=Кa^2N^2\left(1.5\right).\]Найдем искомое отношение интенсивностей ($\frac{I}{I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)}$):
\[\frac{I}{I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)}=Кa^2N^2:\frac{Кa^2N^2}{{\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^2}={\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^2\approx 22,18\]Ответ: Интенсивность заданного максимума в $22$ раза слабее.
В промежутке между двумя главными максимумами интенсивности (при $m=0$ и $m=1$) лежат $N-1$ минимум, если мы имеем суперпозицию $N$ волн с одинаковыми амплитудами. Каким значениям $\delta $ отвечают их положения?
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем формулу:
\[I\left(\delta \right)=I_0\frac{sin^2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin^2\left(\frac{\delta }{2}\right)}\left(2.1\right)\]В промежутке от $m=0$ до $m=1$(максимумы нулевого и первого порядков) $\delta $ изменяется $0\le \delta \le 2\pi $. Соответственно $0\le \frac{\delta }{2}\le \pi $. Знаменатель в выражении (2.1) $sin^2\left(\frac{\delta }{2}\right)\ne 0$ во всех точках кроме концов отрезка. В середине отрезка $\left[0,\pi \right]$ знаменатель максимален, и равен $1$. Выражение в числителе на отрезке $\left[0,2\pi \right]\ $принимает значения $0\le \frac{N\delta }{2}\le N\pi $. В точках $\pi ,2\pi ,\ \dots (N-1)\pi $ числитель выражения (2.1) равен нулю. Это есть минимумы интенсивности. При этом $\delta $ определятся как:
\[\delta =2\pi \frac{k'}{N},\ \left(k'=1,2,\dots N-1\right).\]Ответ: $\delta =2\pi \frac{k'}{N},\ \left(k'=1,2,\dots N-1\right).$
