В том случае, если среда, где распространяются волны, линейна (свойства среды неизменны при прохождении света), к волнам можно применить принцип суперпозиции. Его смысл заключен в следующем:
При распространении в линейной среде совокупности волн, каждая волна распространяется так, словно других волн нет, результат можно найти как сумму отдельных колебаний.
Допустим, что у нас имеется N колебаний с одинаковыми амплитудами (a), фаза колебаний отличается на величину δ. В результате суперпозиции колебания можно представить как:
Выражение (1) можно записать в экспоненциальном виде как:
Далее значок Re будем опускать, считая, что физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции. В правой части выражения (2) имеем геометрическую прогрессию из N членов:
Следовательно, получаем:
где ˆA=a1−eiNδ1−eiδ(5) -- комплексна амплитуда, ее можно представить как:
α - начальная фаза колебания. Произведение: ˆA⋅ˆA∗=A2. Используем выражение (5) для нахождения квадрата амплитуды, получим:
Нам известно, что интенсивность света (I) прямо пропорциональна квадрату амплитуды, то есть I∼A2, следовательно, можно записать:
где I0=Кa2 - интенсивность одного луча. Если дважды взять предел функции sin2(Nδ2)sin2(δ2) при δ→2πm, то можно получить при δ=2πm:
Формула (9) определяет главные максимумы интенсивности. Их положение определяет условие:
где m - порядок главного максимума. В пространстве между соседними главными максимумами расположен N−1 минимум. В промежутках между этими минимумами лежат N−2 вторичных максимума. Большую интенсивность имеют вторичные максимумы, которые расположены ближе всех к главному минимуму.
Определите, во сколько раз интенсивность вторичного максимума, ближайшего к главному отличается от интенсивности главного максимума при суперпозиции большого количества волн одинаковой амплитуды.
Решение:
Вторичные максимумы расположены между N−1 минимумами. Чем ближе вторичный максимум к главному, тем больше его интенсивность. Так, вторичный максимум, который является самым близким к главному, находится между первым (k′=1) и вторым минимумами (k′=2). Минимумы отвечают условию разницы фаз:
δ=2πk′N (k′=1,2,…,N−1)(1.1).Тогда необходимые нам минимумы отвечают значениям δ:
δ=2πN и 4πN.Что означает, что вторичному максимуму соответствует значение:
δ=3πN(1.2).Для нахождения интенсивности в этом максимуме применим формулу зависимости I(δ), подставим соответствующее значение δ из (1.2):
I(δ=3πN)=Кa2sin2(Nδ2)sin2(δ2)=Кa2sin2(N3πN2)sin2(3πN2)=Кa2sin2(3π2)sin2(3π2N)(1.3).При большом количестве волн (N) можно считать, что 3π2N→0, можно положить sin3π2N≈3π2N, в этом случае выражение (1.3) можно представить как:
I(δ=3πN)=Кa21(3π2N)2=Кa2N2(3π2)2(1.4).Интенсивность главного максимума равна:
I=Кa2N2(1.5).Найдем искомое отношение интенсивностей (II(δ=3πN)):
II(δ=3πN)=Кa2N2:Кa2N2(3π2)2=(3π2)2≈22,18Ответ: Интенсивность заданного максимума в 22 раза слабее.
В промежутке между двумя главными максимумами интенсивности (при m=0 и m=1) лежат N−1 минимум, если мы имеем суперпозицию N волн с одинаковыми амплитудами. Каким значениям δ отвечают их положения?
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем формулу:
I(δ)=I0sin2(Nδ2)sin2(δ2)(2.1)В промежутке от m=0 до m=1(максимумы нулевого и первого порядков) δ изменяется 0≤δ≤2π. Соответственно 0≤δ2≤π. Знаменатель в выражении (2.1) sin2(δ2)≠0 во всех точках кроме концов отрезка. В середине отрезка [0,π] знаменатель максимален, и равен 1. Выражение в числителе на отрезке [0,2π] принимает значения 0≤Nδ2≤Nπ. В точках π,2π, …(N−1)π числитель выражения (2.1) равен нулю. Это есть минимумы интенсивности. При этом δ определятся как:
δ=2πk′N, (k′=1,2,…N−1).Ответ: δ=2πk′N, (k′=1,2,…N−1).